第頁，共頁2024-2025高二數(shù)學階段測試試卷一、單選題1.一物體做直線運動，其運動方程為，則時，其速度為（）A.－2 B.－1 C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】由導數(shù)的定義求解即可；【詳解】;故選：D2.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出導函數(shù)得出切線斜率，再結(jié)合直線垂直得出斜率關(guān)系列式求參.【詳解】因為曲線，所以所以在點處的切線斜率為，直線的斜率為，又因為兩直線垂直，所以，所以.故選：B.3.3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽，不同的選法有（）A.243 B.125 C.128 D.264【答案】B【解析】【分析】由分步計數(shù)原理直接得結(jié)論.【詳解】解：因為第1個班有5種選法，第2個班有5種選法，第3個班有5種選法，所以由分步計數(shù)原理可得，不同的選法有種，故選：B【點睛】此題主要考查分步計數(shù)原理的運用，屬于基礎題.4.用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.652 B.648 C.504 D.562【答案】B【解析】【分析】應用乘法原理計算求解.【詳解】用0，1，…，9十個數(shù)字，先取百位數(shù)有9種情況，因為無重復數(shù)字再取十位數(shù)有9種情況，最后個位數(shù)字有8種情況。所以可以組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.故選：B.5.已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再判斷其奇偶性，即可判斷A、D，最后由特殊值排除C.【詳解】由可知，，，則，即為奇函數(shù)，故A，D錯誤；又，故C錯誤，B正確.故選：B.6.已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為（）A4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再檢驗是否符合題意即可.【詳解】由題得，因為函數(shù)在處取得極小值，所以或，當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，所以函數(shù)在處取得極大值為；當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)處取得極大值，不符合題意；綜上，的極大值為4.故選：A7.用紅、黃、藍三種不同顏色給如圖所示的4塊區(qū)域A、B、C、D涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（）A.14種 B.16種 C.20種 D.18種【答案】D【解析】【分析】分A與C同色與不同色兩類，每一類中利用分步計數(shù)原理求解，可得總的方法數(shù).【詳解】先涂A，有3種涂法，再涂B有2種涂法，涂C時，與A同色，有1種涂法，此時D有2種涂法，當C與A異色時有1種涂法，這是D有1種涂法，所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18種.故選：D.8.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當時，，可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，從而得到不等式，求出答案.【詳解】令，則，由題意知當時，，故在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，所以是定義域為的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，所以，所以當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則.則不等式的解集為.故選：D.二、多選題9.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)的函數(shù)的圖象，可判斷函數(shù)的單增區(qū)間與單減區(qū)間，進而可得極大值點，從而可得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的導函數(shù)的圖象可知，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點，故C錯誤，D正確.故選：AD.10.某學校高二年級數(shù)學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法B.從中選2人參加數(shù)學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法C.將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D.8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法.【答案】BCD【解析】【分析】選項A可以看做從8個人中取2個人的排列；選項B先從男生中選1個有種情況，再從女生中選1人有種情況，進而可得；選項C先排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有種情況，進而可得；選項D依次把3個女生插入隊伍中，共有種.【詳解】選項A：從8個人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有種，故A錯誤；選項B：從8個人中選2人參加數(shù)學競賽，其中男、女生各1人選法共有種，故B正確；選項C：選排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有種情況，共有種情況，故C正確；選項D：8名學生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個女生可以排5個男生中間4個空或2頭，有6種情況，再排第二個女生可以排到排好的6個人中間的5個空或2頭，有7種情況，最后排第三個女生可以排到排好的7個人中間的6個空或2頭，有8種情況，共有種情況，故D正確，故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.當時，有兩個極值點B.當時，有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.當時，過點可作曲線的三條切線【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)求解極值點即可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及極值的正負即可判斷B；利用函數(shù)對稱的性質(zhì)即可判斷C；設出切點，利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程，結(jié)合條件把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，即可判斷D.【詳解】對于A，由題知，定義域為，則，當時，令，得或，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以為極大值點，為極小值點，故A正確；對于B，當時，當時，；當時，，且，，因為，所以，，所以，，所以有三個零點，B正確；對于C，若點是曲線的對稱中心，則滿足恒成立，因為，，所以，其值不恒為0，C錯誤；對于D，設過點的直線與相切的切點為，則，且切線斜率為，故切線的方程為，即，因為切線過，則，整理得，即，構(gòu)造函數(shù)與，對于函數(shù)，，令，得，令，得或，即該函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令，得，即該函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)有極小值；時，函數(shù)有極大值，當時，；當時，，作出函數(shù)與的圖象，如圖，因為，所以，所以函數(shù)與圖象有三個交點，即方程有三個解，即過點可作曲線的三條切線，D正確.故選：ABD.三、填空題12.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為是______.【答案】【解析】【分析】求導后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】，因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以存在，使得小于零，所以導函數(shù)的判別式，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為是，故答案為：.13.過點作曲線的切線的斜率為______．【答案】2【解析】【分析】設切點坐標，由導數(shù)得幾何意義求得切線方程，代入即可求解；【詳解】，設切點橫坐標為，故曲線在處的切線方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案為：214.設實數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則k的最小值為_______．【答案】##【解析】【分析】將整理為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到，即，再構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性得到，即可得到的范圍.【詳解】由得，即，令，則．因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，即，所以k的最小值為．四、解答題15.計算下列各題：（1）；（2）解方程：.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式計算，可得答案；（2）根據(jù)排列數(shù)公式化簡可得一元二次方程，結(jié)合排列數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】；【小問2詳解】由，得，即，即，解得或，又因為且，故，故的解為.16.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，能組成多少個符合下列條件的數(shù)字？（運算結(jié)果以數(shù)字作答）（1）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)；（2）無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)；（3）無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)．【答案】（1）個（2）個（3）個【解析】【分析】（1）分個位數(shù)字為0，2，4，三種情況分別應用排列計算結(jié)合分類加法原理計算即可；（2）分個位數(shù)字為0，5，兩種情況分別應用排列計算結(jié)合分類加法原理計算即可；（3）分首位數(shù)字，百位數(shù)字，十位數(shù)字，個位數(shù)字比1230大分類討論列排列數(shù)結(jié)合加法原理計算求解.【小問1詳解】符合要求的四位偶數(shù)可分為兩類．第一類，0在個位時有個；第二類，2或4在個位時，首位從1，3，4（或2），5中選（有種情況），十位和百位從余下的數(shù)字中選（有種情況），于是有個．由分類加法計數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)（個）．【小問2詳解】符合要求的數(shù)可分為兩類：第一類：0在個位時有個；第二類：5在個位時有個．故滿足條件的四位數(shù)共有（個）．【小問3詳解】符合要求的比1230大的四位數(shù)可分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有個；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四類：形如123□，共有個．由分類加法計數(shù)原理知，無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)共有（個）．17已知函數(shù).（1）若在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三次函數(shù)在上不單調(diào)，只需導函數(shù)判別式大于0即可；（2）先判斷單調(diào)性，再結(jié)合端點值即可.【小問1詳解】因為，所以.因為在上不單調(diào)，所以方程有兩個不同的根，則，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】因為，所以.由，得或，由，得，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，，所以在上的值域為.18.函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，然后分，兩種情況，由導函數(shù)的正負可求得其單調(diào)區(qū)；（2）構(gòu)造函數(shù)，，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為，求得，結(jié)合分析函數(shù)的單調(diào)性并確定最小值為，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】由題意得，，當時，則，在上單增，的遞增區(qū)間為；當時，令，則；令，則.的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數(shù)的取值范圍為.19.設，函數(shù)，其中．（1）討論的零點個數(shù)；（2）證明：對任意，都存在，使得．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合分類討論以及零點存在定理求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)以及，求導判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求證.【小問1詳解】，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故在區(qū)間上無零點；當時，令，解得；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，且，，由零點存在定理可知在區(qū)間上有唯一的零點，此時在區(qū)間上有唯一的零點．綜上，當時，無零點；當時，有一個零點．【小問2詳解】證明：由（1）知當時，，要證存在，使得，即證對任意恒成立，即證對任意恒成立，即證對任意恒成立，即證對任意恒成立，令，，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增