第1頁/共1頁2025北京初三一模數(shù)學(xué)匯編圓解答題（第24題）一、解答題1．（2025北京平谷初三一模）脂肪氧化率（單位：）指單位時(shí)間內(nèi)人體通過代謝途徑氧化分解脂肪產(chǎn)生能量的速率，我們通常用它來描述運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的效果．脂肪氧化率與運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度（單位）密切相關(guān)，下表記錄了不同的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度所對應(yīng)的脂肪氧化率的數(shù)據(jù)：運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度（）455055606570758085脂肪氧化率0.010.360.520.590.600.500.390.22(1)通過觀察表格數(shù)據(jù)可以看出，若設(shè)運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度為，脂肪氧化率為是的函數(shù)．在如圖建立的平面直角坐標(biāo)系，已經(jīng)描出表中部分對應(yīng)點(diǎn)，補(bǔ)全圖形并畫出函數(shù)圖象：(2)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：①的值約為___________（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；②當(dāng)脂肪的氧化率維持在0.4及以上時(shí)，運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的范圍約為___________（精確到整數(shù)位）；③研究發(fā)現(xiàn)，初中生的課間跑操的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度與速度之間滿足如下函數(shù)關(guān)系：則若要使脂肪的氧化率達(dá)到最佳的效果，即脂肪氧化率達(dá)到以提高初中生的耐力、強(qiáng)身健體，則跑步的速度應(yīng)控制在___________千米/小時(shí)左右（精確到整數(shù)位）．2．（2025北京初三一模）如圖，是的直徑，，過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長．3．（2025北京海淀初三一模）如圖，是的直徑，是弦，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是延長線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接，取的中點(diǎn)，連接．若，，求的長．4．（2025北京海淀初三一模）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)D．點(diǎn)在線段上，．連接并延長交于．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)．若，，求的半徑．5．（2025北京房山初三一模）如圖，是直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，是切線，連接交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)若，，求的長．6．（2025北京通州初三一模）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，分別與交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)．若，求半徑的長．7．（2025北京大興初三一模）如圖，內(nèi)接于，，過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn)，是的直徑．(1)求證：；(2)若，，求的長．8．（2025北京初三一模）如圖，是的直徑，與相切于B，C為上點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)E，交于F．(1)求證：與相切；(2)，，求的長．9．（2025北京西城初三一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，連接，作直線，交直線于點(diǎn)E，交的角平分線于點(diǎn)D，連接．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)F．若，，求的半徑．10．（2025北京朝陽初三一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求半徑的長．11．（2025北京石景山初三一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的切線交的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M．若，，求半徑的長．12．（2025北京初三一模）如圖，已知中為中的直徑，交于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)G，．(1)求證：為的切線；(2)連接交于點(diǎn)M，若，，求的值．13．（2025北京豐臺初三一模）如圖，，是的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)．若，求的長．

參考答案1．(1)見詳解(2)①②③8【分析】本題考查了函數(shù)圖象，新定義，近似數(shù)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先逐個(gè)描點(diǎn)，再依次連接，即可作答．（2）①根據(jù)（1）的圖象，以及結(jié)合“精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位”這個(gè)要求，即可作答．②根據(jù)（1）的圖象，以及結(jié)合“精確到整數(shù)位”這個(gè)要求，即可作答．③先找出要使脂肪的氧化率達(dá)到最佳的效果，即脂肪的氧化率為，此時(shí)對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度為，則運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度為所對的運(yùn)動(dòng)速度為千米/小時(shí)左右，即可作答．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：結(jié)合函數(shù)圖象，①的值約為，故答案為：；②當(dāng)脂肪的氧化率維持在0.4及以上時(shí)，運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的范圍約為（精確到整數(shù)位）；故答案為：；③研究發(fā)現(xiàn)，初中生的課間跑操的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度與速度之間滿足如下函數(shù)關(guān)系：則若要使脂肪的氧化率達(dá)到最佳的效果，即脂肪的氧化率為，此時(shí)對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度為，則觀察上表，運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度為所對的運(yùn)動(dòng)速度為千米/小時(shí)左右，即跑步的速度應(yīng)控制在千米/小時(shí)左右．故答案為：82．(1)見解析(2)2【分析】（1）等弧所對的圓周角相等，得到，直徑，得到，根據(jù)等角的余角相等，即可得證；（2）證明，求出的長，勾股定理求出的長，三角函數(shù)，推出，切線得到，解直角三角形，求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）；∴，∴，∴，∴，∴，∵過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接，．由，，可得，由是的直徑，是的中點(diǎn)，，進(jìn)而可得，即可證明為的切線；（2）連接，過作，垂足為．利用相似三角形的性質(zhì)求出，設(shè)的半徑為，則．在中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵是的直徑，是的中點(diǎn)，則，∴．∴．∴，即．∴．∴為的切線．（2）解：如圖，連接，過作，垂足為．∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，解得，設(shè)的半徑為，則．解之得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵為中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴．4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，先證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理證明，再逐步求得，即得答案；（2）連接，先證明，接著證明，即得和，從而可得，繼續(xù)證明是等邊三角形，最后利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，設(shè)，是的直徑，，，，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，由（1）可得，，，，，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形的綜合性問題，垂直平分線的性質(zhì)定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．（1）切線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，圓周角定理結(jié)合已知條件推出，進(jìn)而得到，即可；（2）解，求出的長，進(jìn)而求出的長，連接，圓周角定理得到，根據(jù)，求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵是切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，連接，則：，∴，∴．6．(1)見解析(2)3【分析】（1）證明和，得到，即可得到結(jié)論；（2）證明，得到，設(shè)，得到，則，由即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．∵，．，．（2）解：如圖，

∵，，，設(shè)，∵是的直徑，，∵，于點(diǎn)，，是的中位線，，，∵是的切線，，，∵，，∴半徑的長為3．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的中位線的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）連接并延長，交于點(diǎn)F，連接，利用切線的性質(zhì)定理得到，利用圓周角定理得到，再利用平行線的判定定理解答即可；（2）連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，利用圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理和矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)得到，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得，則結(jié)論可求．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點(diǎn)F，連接，如圖，則為的直徑，∵為的切線，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖，∵，∴，∴．∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，矩形與正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．8．(1)見詳解(2)【分析】（1）首先證明是線段的垂直平分線，推出，推出，由，推出，推出，由是切線，推出，推出，推出，即可解決問題；（2）由，得，設(shè)，則，，，，，，，在中，根據(jù)，列出方程即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，與交于點(diǎn)，，，即垂直平分線段，，，，，，是切線，，，，，是的切線；（2）解：是直徑，，，，，,，設(shè)，則，，,，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義以及已知條件可證明可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接．易證可得、，進(jìn)而得到，易證可得，則、、，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得，則，進(jìn)而得到，然后求得即可解答．【詳解】（1）證明：∵平分，．，．．，垂足是C，．．∴半徑．∴是的切線．（2）解：如圖：連接．．，．．，，，．．，．，．．∴，∴，∴，∴∴，即的半徑為．10．(1)是的切線(2)1【分析】（1）先利用圓周角定理證得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得，然后利用切線的判定得出結(jié)論；（2）先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，設(shè)，接著用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用線段的和求得，得到關(guān)于的方程，求出，最后求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接．，．，．∵是半徑，是的切線．（2）設(shè)與相交于點(diǎn)D．，．∵，．，，．，．設(shè)，則．∴在中，．．．．，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用平行線的性質(zhì)求角度，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似，列出比例式求出待求線段的長．11．(1)見解析(2)20【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）延長交于F，先證明，，則可證明四邊形是矩形，得到，再證明，推出，即可證明；（2）先證明，得到，即，設(shè)，則，，解直角三角形得到；，則，由相似三角形的性質(zhì)得到，由矩形的性質(zhì)得到，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長交于F，∵是的切線，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴；∴，∴；∵，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，解得，∴，∴半徑的長為20．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，易證，可推出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易證，即可證明；（2）連接，證明，得到，設(shè)，則，根據(jù)，即，求出；求出，，，根據(jù)，求出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵為中的半徑，∴為的切線；（2）解：連接，∵為中的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，，∴，即，整理得：，解得：或（舍去）；∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，掌握以上知識點(diǎn)是解題