2024-2025學(xué)年上海市位育中學(xué)八年級(jí)（下）鞏固練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（一）

一、選擇題（每題3分，共18分）

2l

1.下列關(guān)于x的方程-^--=7,—+l=x,--+^^=V3,二+471=2中，是分式方程的有

a-+13x2x+3V2-xx

（）個(gè)?

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列方程有實(shí)數(shù)根的是（）

A.——=——B.J4x+1+1=0C.Jx-3+j3-x=1D.J2x-5?Jx-2=0

x—3x—3

3.用換元法解關(guān)于方程二L-'二^+3=0如果設(shè)上=，那么原方程可化為（）

x-1XX—1

A.2/—5%+3=0B.2』+3/—5=0C.t2+3t-5=0D.Z2-5/+3=0

4.如果平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是8和12,那么它的邊長(zhǎng)不能是（）

A.10B.8C.7D.6

5.如圖，在口/3CO中，AB=4,SC=10NC的垂直平分線交4D于點(diǎn)E,則△（7￡）￡的周長(zhǎng)是（

A.9B.10C.13D.14

6.下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

①關(guān)于x的方程ax=b的解是x=2;

a

②關(guān)于X的方程X2=-/+1無解；

③關(guān)于X的方程（〃2+l）x=b有唯一解;

④關(guān)于x的方程/=25的根是x=±5.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每題3分，共36分）

7.方程X3-64=0的根是.

8.方程=6的根是.

-1-

9.方程組［"+>=8的解是_.

［孫=15

10.關(guān)于X的分式方程一2_+———=2—有增根，則7"的值是—.

x-2（x+1）（%-2）x+1

11.關(guān)于X的分式方程3=/L+2的根是正實(shí)數(shù)，則7"的取值范圍是—.

x—2x—2

12.甲乙兩人同時(shí)從某地出發(fā)，步行5千米來到游樂園，己知甲比乙每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比乙早到15

分鐘，問甲乙兩人每小時(shí)各走多少千米，若設(shè)甲每小時(shí)走x千米，則可列方程：一.

13.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角度數(shù)都是40。，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和度數(shù)是一.

14.若口N2CD的周長(zhǎng)為40厘米，△BCD的周長(zhǎng)是25厘米，則對(duì)角線8。的長(zhǎng)為__厘米.

15.如圖，平行四邊形/8CZ）中，ABAD=120°,E、尸分別在CO和2c的延長(zhǎng)線上，AE//BD,

EFIBC,EF=3e，則48的長(zhǎng)是

16.如圖，在平行四邊形488中，用直尺和圓規(guī)作乙8/。的平分線4G,若/。=5,DE=6,則/G的

17.我們把對(duì)角線與一邊垂直的平行四邊形叫做“優(yōu)美平行四邊形”.如果一個(gè)“優(yōu)美平行四邊形”的一

組鄰邊長(zhǎng)為2亞和4,那么它的較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為—.

18.如圖，在口/8CD中，AB=6,BC=4,ZABC=60°,點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊CD上一點(diǎn),

將平行四邊形ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGC,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,則

的長(zhǎng)度為.

三、解方程（組）（每題5分，共20分）

-2-

19.解方程:-—2=—

x—4x—2

x2+xy-2y2=00

20.解方程組:

x2-6xy+9y2=25②

21.解方程：Jx+8+j2-x—4=0.

22.解方程：x2+3x+s/x2+3x=6

四、解答題（第23題8分，第24題8分，共16分）

23.在行駛完某段全程600千米的高速公路時(shí)，李師傅對(duì)張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時(shí)比我

多跑20千米，比我少用1.5小時(shí)就跑完了全程.”

（1）已知這段高速公路全程限速110千米/小時(shí)，如果兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請(qǐng)說

明理由;

（2）張師傅所行駛的車內(nèi)油箱余油量y（升）與行駛時(shí)間/（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)張師傅行駛

完這段高速公路時(shí)，求油箱里的剩余油量.

24.如圖，在中，BE、0G分別平分乙48C、ZADC,交/C于點(diǎn)E、G.

（1）求證：△/GAM/XCEB；

（2）過點(diǎn)E作石尸_L48,垂足為尸.若平行四邊形48a）的周長(zhǎng)為48,EF=8,求口48c。的面積.

五、綜合題

-3-

33

25.如圖，直線+5與坐標(biāo)軸交于N、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)4關(guān)于y軸對(duì)稱.。。，X軸與直線/8

交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)/和點(diǎn)3的坐標(biāo)；

O

(2)點(diǎn)尸在直線CD上，且△N8P的面積為一，

2

①求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在直線下方時(shí)，以點(diǎn)/、8、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)

直接寫出所有符合要求的點(diǎn)0坐標(biāo).

-4-

參考答案

選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案cDBADC

一、選擇題（每題3分，共18分）

1.下列關(guān)于x的方程-^--=7,—+-=x2,-1-+^^=V3,二+471=2中，是分式方程的有

a-+13x2x+3V2-xx

（）個(gè)?

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：關(guān)于x的方程47^y-上1=7中，分母不含未知數(shù)，不是分式方程；

a2+13

關(guān)于x的方程生+▲=/中，分母中含未知數(shù)，是分式方程；

x2

關(guān)于X的方程工一=6中，分母中含未知數(shù)，是分式方程；

x+3V2-x

4I-----

關(guān)于X的方程之+月白中，分母中含未知數(shù)，是分式方程.

X

故選：C.

2.下列方程有實(shí)數(shù)根的是（）

A.------=-------B.747+1+1=0C.Jx—3+j3—x=lD.缶一5.Jx-2=0

x—3x—3

解：由題意，對(duì)于N,去分母得，x=3,又x=3時(shí)，分母無意義，

二.此時(shí)原方程無解，故工不合題意.

對(duì)于8,方程左邊是非負(fù)數(shù)+1,不可能為0,故此時(shí)方程無解，不合題意.

對(duì)于C,由X-3...0,且3-乂..0,故x=3,方程左邊=0w右邊=1,故此時(shí)方程無解，不合題意.

對(duì)于。，由題意，2x-5=0或x-2=0,又2x-5...O,故x=2.5,（x=2不合題意，舍去），故此時(shí)方程

有實(shí)數(shù)根x=2.5.

故選：D.

3.用換元法解關(guān)于方程二土-受=+3=0,如果設(shè)上=/,那么原方程可化為（）

x-1XX-1

A.2/-5/+3=0B.2r2+3^-5=0C.t2+3t-5=0D.t2-5t+3=0

-5-

解：由題意，方程可化為2/-9+3=0,

t

/.2t2+3/-5—0.

故選：B.

4.如果平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是8和12,那么它的邊長(zhǎng)不能是（）

A.10B.8C.7D.6

解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得對(duì)角線的一半分別是4和6.

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得2<x<10.

故它的邊長(zhǎng)不能是10.

故選：A.

5.如圖，在口45CD中，45=4,BC=10,4。的垂直平分線交4。于點(diǎn)￡,則△CDE的周長(zhǎng)是（）

A.9B.10C.13D.14

解：?.?四邊形/5CD是平行四邊形，45=4,BC=10,

CD=AB=4,AD=BC=10,

???AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,

CE=AE,

DE+CE=DE+AE=AD=10,

:.CD+DE+CE=4+10=14,

「.△CQE的周長(zhǎng)是14,

6.下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

①關(guān)于x的方程辦=6的解是x=2；

-6-

②關(guān)于X的方程/=_/+1無解；

③關(guān)于X的方程(/+l)x=6有唯一解；

④關(guān)于X的方程/=25的根是X=±5.

A.1B.2C.3D.4

解:①方程女=8，當(dāng)。=0時(shí)，若方程左邊恒為0,右邊不為0,方程無解；若6=0,方程變?yōu)?/p>

0x=0,此時(shí)此時(shí)x可以取任意實(shí)數(shù)，只有當(dāng)。片0時(shí)，方程的解才是x=2,故①錯(cuò)誤，①符合題意；

a

②方程％2=_/+1,因?yàn)?..0,所以0,—/+1,,],當(dāng)—a1+1...0,即一1”Q"1時(shí)，x=±\Jl-a2,方

程有解；當(dāng)-1+1<()時(shí)，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，故②錯(cuò)誤，②符合題意；

③因?yàn)椤?0,所以/+1>0,對(duì)于方程(/+l)x=b,兩邊同時(shí)除以/+1,可得x=/~,有唯一解，

U+1

故③正確，③不符合題意；

④對(duì)于方程/=25,可變形為(%2)2=25,貝U=5(/=-5舍去,因?yàn)閷?shí)數(shù)范圍內(nèi)平方數(shù)非負(fù))，所以x=土下,

而不是x=±5,故④錯(cuò)誤，④符合題意；

由此正確的是①②④.

故選：C.

二、填空題(每題3分，共36分)

7.方程/一64=0的根是_x=4_.

解:x3-64=0,

x3=64,

貝!]x=4,

故答案為：x=4.

8.方程2jx-3=x-6的根是_x=12__.

解：21x-3=x—6

4(x-3)=x2-12x+36

整理得爐-16X+48=0

解得：X1=4,x2=12

代入x-3>0,當(dāng)x=4時(shí)，等式右邊為負(fù)數(shù),

所以原方程的解為x=12.

-7-

故答案為：x=12.

=口fx=3\x=5

9.方程組《'的解是—或《

[xy=15[?=5。=3

解：由題意，?Ji",

[孫=15

，x,歹可以看作是方程Z2-8Z+15=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

又???方程n?-8z+15=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為z=3或z=5,

，方程組=8的解是1=3或[x=5.

[盯=15[y=51y=3

L/,、Jfx—3「[x=5

故答案為：\或＜.

[y=5b=3

10.關(guān)于x的分式方程一2_+————有增根，則7〃的值是-3或9.

x-2(x+1)(%-2)x+1

解：將分式方程兩邊都乘以(尤+1)(工-2)得，

2(x+1)+mx=3(x-2),

即(1-m)x=8,

???原分式方程有增根，

(x+l)(x-2)=0,

x=2或x=-1,

當(dāng)尤=2時(shí)，(1一機(jī))x2=8,所以旭=-3,

當(dāng)x=-l時(shí)，(l-〃z)x(-l)=8,所以心=9,

：.m的值是-3或9.

故答案為：-3或9.

11.關(guān)于'的分式方程土二="+2的根是正實(shí)數(shù)，則用的取值范圍是機(jī)＜3且加

x-2x-2~~

衣刀x-1m_

W：------=-------+2,

x—2x—2

去分母得：x-l=m+2(x-2),

去括號(hào)得：x-l=m+2x-A,

-8-

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=3-m,

???分式方程的解為正實(shí)數(shù)，

二.x>0且％-2。0,

3—機(jī)>03—in—2。0,

解得：機(jī)<3且加w1.

故答案為：機(jī)<3且加wl.

12.甲乙兩人同時(shí)從某地出發(fā)，步行5千米來到游樂園，已知甲比乙每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比乙早到15

分鐘，問甲乙兩人每小時(shí)各走多少千米，若設(shè)甲每小時(shí)走X千米，則可列方程：——--=-.

一x-lx4~

解：?.?甲比乙每小時(shí)多走1千米，且設(shè)甲每小時(shí)走x千米，

，乙每小時(shí)走(x-l)千米.

根據(jù)題意得：—--,

x-1x60

即2---=

x—1x4

故答案為：

x-1x4

13.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角度數(shù)都是40。，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和度數(shù)是_1260。_.

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為"，

依題意得：nx40°=360°,

解得：〃=9,

這個(gè)多邊形的內(nèi)角和度數(shù)是：(9-2)x180°=1260°.

故答案為：1260°.

14.若wlBCZ)的周長(zhǎng)為40厘米，△BCD的周長(zhǎng)是25厘米，則對(duì)角線AD的長(zhǎng)為5厘米.

解：?.?四邊形/BCD是平行四邊形，它的周長(zhǎng)為40厘米，

AB=CD,AD=CB,且AS+C3+CD+NO=40厘米，

2cD+2C8=40厘米，

.?.CZ)+CB=20厘米，

???△BCD的周長(zhǎng)是25厘米，

.?.BZ)+CD+C8=25厘米，

BD=25-(CD+CS)=25-20=5(厘米)，

-9-

故答案為：5.

15.如圖，平行四邊形48cA中，NBAD=120。,E、尸分別在CD和2c的延長(zhǎng)線上，AEUBD,

EF±BC,EF=36,則AB的長(zhǎng)是3.

解：?.?四邊形/8CZ1是平行四邊形，

AB//DC,AB=CD,

■：AE//BD,

四邊形ABDE是平行四邊形，

/.AB-DE,

/.AB=DE=CD,

即。為CE中點(diǎn)，

???EFLBC,

ZEFC=90°,

???ZBAD=\20°,

/BCD=120。,

ZECF=60°,

故設(shè)C￡=2x,CF=x,

在RtACEF中有：CE2=EF2+CF2,

(3A/3)2+X2=(2X)2,

解得％=3(負(fù)值舍去)，

CE=6,

z.AB=-CE=3,

2

故答案為：3.

16.如圖，在平行四邊形45CO中，用直尺和圓規(guī)作的平分線4G,若4。=5,DE=6,則/G的

-10-

長(zhǎng)是」

由題意/G垂直平分線線段?！?

DH=EH=3,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.CD!IAB,

NAGD=NGAB,

ZDAG=ZGAB,

ZDAG=ZDGA,

DA=DG,-.■DEYAG,

AH=GH,

在RtAADH中，AH=^AD2-DH2=V52-32=4,

:.AG=2AH=8.

故答案為8.

17.我們把對(duì)角線與一邊垂直的平行四邊形叫做“優(yōu)美平行四邊形”.如果一個(gè)“優(yōu)美平行四邊形”的一

組鄰邊長(zhǎng)為2亞和4,那么它的較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為_2斤一

解：如圖，aABCD+，AC±AB,AB=272,BC=4,

ABAC=90°,

AC=yjBC--AB2=2V2,

四邊形42C。是平行四邊形，

:.AO=-AC=42,BD=2OB,

2

-11-

,：0B7AB2+AC>2=Vio,

BD=2OB=2VT0.

平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為2&U.

故答案為：2斤.

18.如圖，在口N8CD中，AB=6,BC=4,ZABC=60°,點(diǎn)E是N2上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊CD上一點(diǎn),

將平行四邊形ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGC,點(diǎn)、A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,則

的長(zhǎng)度為--

~2~

(---------,D

//

解：如圖，作CK_L48于K,過￡1點(diǎn)作￡尸_15c于尸.

NABC=60°,BC=4,

ZBCK=30°,

BK=2,CK=5-2?=2百,

vC到AB的距離和E到CD的距離都是平行線AB、CD間的距離,

.?.點(diǎn)E到CD的距離是28，

?.?四邊形48CD是平行四邊形，

AD=BC,ND=NABC,ZA=ABCD,

-12-

由折疊可知，AD=CG,/D=/G,ZA=ZECG,

BC=GC,AABC=NG,/BCD=ZECG,

/BCE=ZGCF,

在△BCE和△GC尸中，

'/ABC=ZG

</BCE=ZGCF,

BC=GC

△BCE二△GCF(ASA)；

CE=CF,

?/AABC=60°,ZEPB=90°,

/./BEP=30°,

:.BE=2BP,

設(shè)BP=m,貝UBE=2m,

EP=yjBE2-BP2=V3m,

由折疊可知，AE=CE,

'：AB=6,

AE=CE=6—2m,

???BC=4,

PC=4—m,

在無△￡(7尸中，

由勾股定理得(4-m)2+(V3m)2=(6-2m)2,

解得m=—,

4

57

...EC=6-2m=6-2x-=-,

42

7

CF=EC=-.

2

故答案為：

2

三、解方程(組)(每題5分，共20分)

-13-

去分母，方程的兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x-2),

4-2(x2-4)=(3-x)(x+2),

4-2x2+8=-x~+6+3x-2x,

—―龍+6=0,

(x-2)(x+3)=0,

=2,x2

經(jīng)檢驗(yàn)：x=-3是原分式方程的解，x=2不是原分式方程的解,

x=—3

x2+xy-2y2=0①

20.解方程組:

x2-6xy+9y2=25②

■②，由②得:—=5或f=一5

解:

x=3y+5或x=3/-5,

當(dāng)x=3y+5時(shí)，代入①中,

得(3y+5)2+(3y+5)y_2/=0,

解得：y=或y=_1；

止匕時(shí)對(duì)應(yīng)'值為x=—9或x=2；

2

當(dāng)x=3y-5時(shí)，代入①中,

得(3y-5)2+(3y-5)y-2y2=0,

解得：）=1■或）=1;

此時(shí)對(duì)應(yīng)X值為x=*或x=-2；

2

55

x=-x=—

?如x=-2-x=2

.?.方程組的解為：2或或

55y=lJ=T

y=-y=—

22

-14-

21.解方程：Jx+8+，2-x-4=0.

解:由題意，VVx+8+V2-x-4=0,

二.Jx+8=4—-x.

x+8=16—8A/2—x+2-x.

/.8A/2—x—10-2x.

64(2-x)=4(5-x)2.

x2+6x-7=0.

(x+7)(x-1)=0.

x=-7或x=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，X=-7或》=1是原方程的解.

22.解方程：X1+3x+A/X2+3X=6

解：設(shè)y=Jx，+3x,則原方程為y2+了=6,

整理，得/+了_6=0,

解得y=-3或2.

當(dāng)y=-3時(shí)，Jx2+3x=—3,此方程無解；

當(dāng)y=2時(shí)，Nx2+3x=2,解得x=—4或1.

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解.

故原方程的解是x=1或-4.

四、解答題(第23題8分，第24題8分，共16分)

23.在行駛完某段全程600千米的高速公路時(shí)，李師傅對(duì)張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時(shí)比我

多跑20千米，比我少用1.5小時(shí)就跑完了全程.”

(1)已知這段高速公路全程限速110千米/小時(shí)，如果兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請(qǐng)說

明理由；

(2)張師傅所行駛的車內(nèi)油箱余油量y(升)與行駛時(shí)間小時(shí))的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)張師傅行駛

完這段高速公路時(shí)，求油箱里的剩余油量.

-15-

、y（升）

44

°\8t（小時(shí)）

解：（1）張師傅沒有超速，

理由：設(shè)張師傅的速度為x千米/時(shí)，

600,匚600

——+1.5=--------.

x%-20

xY=—80（舍去）,x2=100.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原分式方程的解.

v100<110,

.??張師傅沒有超速.

（2）由函數(shù)圖象可得，張師傅每小時(shí)耗油量為：44+8=5.5（升）,

.?.行駛完這段高速公路，張師傅至少需要：—x5.5=33（升）.

100

即行駛完這段高速公路，他至少需要33升.

,當(dāng)張師傅行駛完這段高速公路時(shí)，油箱里的剩余油量=44-33=11（升）.

24.如圖，在中，BE、OG分別平分乙48C、ZADC,交/C于點(diǎn)E、G.

(1)求證：AAGD^ACEB?,

（2）過點(diǎn)E作垂足為尸.若平行四邊形48c?的周長(zhǎng)為48,EF=8,求口48c〃的面積.

B

【解答】(1)證明：???BE、DG分別平分N4BC、ZADC,交NC于點(diǎn)￡、G,

ZADG=-ZADC,ZCBE=-ZABC,

22

-16-

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

/ADC=/ABC,AD//CB,AD=CB,

/ADG=ZCBE,/DAG=ZBCE,

在△4G。和△CEB中，

"/ADG=ZCBE

<AD=CB,

NDAG=/BCE

△AGD=△CEB(ASA).

(2)解：作EH工BC于點(diǎn)H,

???BE分別平分N45C,EFtAB于點(diǎn)、F,

EH=EF=8,

vAB=CD,BC=DA,且平行四邊形45CQ的周長(zhǎng)為48,

2AB+2BC=48,

AB+BC=24,

:.SAR「=SARF+SrRP=-AB-EF+-BC^EH=-x8(AB+BC)=-x8x24=96,

在△NBC和△cr%中，

AB=CD

<BC=DA,

AC=CA

/.△ABC=△CDA(SSS),

…?°sAABC=S2As4=96',

SABCD~SABC+SCDA=96+96=192，

.?q/HCD的面積是192.

-17-

五、綜合題

25.如圖，直線4B:y=ax+5與坐標(biāo)軸交于/、2兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)/關(guān)于y軸對(duì)稱.CDLx軸與直線48

交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)/和點(diǎn)3的坐標(biāo)；