熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題07坐標(biāo)法、極化恒等式在平面向量中的應(yīng)用

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01坐標(biāo)法.................................................................................1

題型02極化恒等式.............................................................................2

題型03平面向量中的最值（范圍）問題..........................................................4

o------------題型探析?明規(guī)律-----------*>

題型01坐標(biāo)法

【解題規(guī)律?提分快招】

1、建系的常見技巧

（1）前言

坐標(biāo)運(yùn)算能將問題從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題的目標(biāo)。對于條件中包含向量夾角與長

度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的。

（2）技巧

①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等;

②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30。、45。、60。、120。、135。等等。

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三下?四川攀枝花?階段練習(xí)）已知A,B,C是單位圓上不同的三點(diǎn)，AB=AC,則的

最小值為（）

A.0B.—C.—D.—1

42

2.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模）如圖，邊長為4的等邊VABC,動(dòng)點(diǎn)P在以為直徑的半圓上.若

AP=4AB+〃AC,則幾+；〃的取值范圍是（）

3.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）四邊形ABC。是邊長為4的正方形，點(diǎn)尸是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿

）^\AP+BP+CP+DP\=4,則|4尸|的最大值是（）

A.1+72B.72-1C.2A/2-1D.20+1

二、填空題

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段C。的三等分點(diǎn)，

1uuruiruim

CE=-DE,BE=ABA+juBC,則2+〃=；/為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則A尸.OG的最小值

5.（24-25高三上?青海西寧?期中）己知向量a,b,e滿足阿=2,忖=4,tan（a,6）=-右，（a-C）-伍-c）=2.

若|a-c|22恒成立，則九的最大值為.

6.（24-25高三上?湖南?階段練習(xí)）設(shè)e為單位向量，向量滿足％?6=人。=3,卜-川=4,則當(dāng)4與。的夾

角最大時(shí)，ab=.

7.（24-25高三上?天津河?xùn)|?期末）在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,E是腰8C的中點(diǎn)，

則AE.即的值為;若尸是腰AD上的動(dòng)點(diǎn)，則R網(wǎng)-尸C|的最小值為.

題型02極化恒等式

【解題規(guī)律?提分快招】

1、極化恒等式

設(shè)。，。是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有&/二;口口+人尸-團(tuán)-人）］

證明：（4+5）2=〃2+。2+2〃⑦，①（a-〃）2=〃2+。2一2〃.》，②

將兩式相減可得a-b=：［（“+6）2一（°一6）2］,這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式.

①幾何解釋1（平行四邊形模型）以48,AO為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABC。，AB=a,AD=b，則

AC=a+b,BD=b-a由=1［（。+6）--（。一萬）?］，AB-AD=-^AC^—BD^.

即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的

4

②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點(diǎn)，則由

43乂￡>=；（?^2-8￡）2）變形為43.4￡?=；（?^2_8￡）2）=:（4人”-43”），得AHAO=AM?_.2,

該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.

注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極

化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾

何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三下?山東日照?期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以

邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒

洛三角形中，已知AB=4,P為弧AC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則尸B.（BC-BP）的范圍為（）

A.[0,8]B.[1,8]C.[。,4百]D.[0,9]

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓0

的半徑為2,圓0的直徑CD,點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則尸的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

2

3.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）己知在VABC中，外是邊AB上一定點(diǎn)，滿足=且對于邊AB上

任意一點(diǎn)P,都有配.尸八四.環(huán)，則VABC是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.無法確定

二、填空題

4.（24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí)）已知棱長為2的正方體ABCD-4q和0,點(diǎn)尸是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，

該正方體內(nèi)切球的一條直徑是MN,則.PN的取值范圍是.

5.（2024.河南.模擬預(yù)測）如圖，已知AB,C。是圓。的兩條直徑，E是。4的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn)，若

FCFD+ECED=kOCOD，貝壯=.

題型03平面向量中的最值（范圍）問題

【解題規(guī)律?提分快招】

平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合.其

基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，

解題思路通常有兩種：

一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平

面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；

二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程

的有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來解決.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?天津河北?二模）VABC是等腰直角三角形，其中ABJ_AC,|AH=1,尸是VABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，

若CP=2CA+〃CB（2>0,//>0>2+2//=2）,則C4在CP上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.[孝[aC.[1,qD.[72,2]

2.（2024?四川瀘州?一模）已知平面向量但=4,煙=3,|困=1,0403=。，貝”。4+印的最小值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

2

3.（23-24高三下?山西?期末）已知。為VABC的外心，&AO=AAB+（1-A）AC.若向量胡在向量3。上

「34一

的投影向量為48C,其中〃￡,貝hosNAOC的取值范圍為（）

1313

B.

105205510

131_3

D.

而布5?5

4.（23-24高三下?廣東廣州?期末）已知平面向量〃，b，e，且口=1，口=2.已知向量〃與e所成的角為60。,

且卜-加上忸-4對任意實(shí)數(shù)/恒成立，則上+4+Z;的最小值為（）

A.6+1B.2gC.73+75D.245

5.（24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，

AB±BC,ZBCD=60°,ZADC=150°,BC=,CD=,點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，且5E=3EC,點(diǎn)夕是

33

線段AD上的一點(diǎn)，則P5?PE的最小值為（）

6.（24-25高三上糊北武漢?期中）已知。為VABC的外接圓圓心，BC=2,ZBAC=30%則AHOC的最大

值為（）

A.4B.6C.2月D.4A/3

7.（24-25高三上?吉林松原?期末）設(shè)向量的夾角為。，定義：a"=KMsin。.若平面內(nèi)互不相等的

兩個(gè)非零向量"）滿足：|a|=l,與匕的夾角為"，貝必@6的最大值為（）

116

A.2B.1+走C.6D.-

22

二、填空題

8.（23-24高三下?四川德陽?階段練習(xí)）邊長為4的正方形ABC。，點(diǎn)尸在正方形內(nèi)（含邊界），滿足

AP^xAB+yAD,當(dāng)點(diǎn)尸在線段即上時(shí)，則/+2丁的最小值為.

9.（24-25高三上?河北邢臺(tái)?開學(xué)考試）A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓。上運(yùn)動(dòng)，且ACL3C,M是圓。外

一點(diǎn)，OM=3,則|M4+〃B+2Mq的最大值是.

10.（24-25高三上?福建三明?階段練習(xí)）已知VABC是邊長為4代的正三角形，點(diǎn)尸是VABC所在平面內(nèi)的

一點(diǎn)，且滿足W+BP+C4=3,則網(wǎng)的最小值是.

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知OA+08與0c為相反向量，若|。4卜2,|。4+|。4=4,則（”，夾角

的余弦的最小值為.

12.（23-24高三上?全國?階段練習(xí)）已知.、6為單位向量，當(dāng)24-6與a夾角最大時(shí)，a-b=.

13.（23-24高三下?浙江?期中）已知平面向量a,。,c,其中a,b為單位向量.若=-：，a-d與》-c的夾

角為60。，記切為/（。=卜-切-（1-。6,€11）的最小值，則機(jī)的最大值是.

?>----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.（河南省部分校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔

圓錢，其形狀如圖所示.若圖中正方形4?。的邊長為2,圓。的半徑為3,正方形ABC。的中心與圓。的

圓心重合，動(dòng)點(diǎn)尸在圓。上，則PAP3的最小值為（）

2.（23-24高三下?河北保定?期中）在VA2C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3=30。，b=l,

則AB-AC的最小值為（）

1

A.-1B.C.D.

2

3.（2024?天津和平?二模）平面四邊形ABC￡>中，AB=2,AC=273,AC±AB,ZADC=—,貝

的最小值為（）

A.-73B.-2A/3C.-1D.-2

4.（23-24高三下?江蘇徐州?期中）如圖，已知正方形ABC。的邊長為2,若動(dòng)點(diǎn)P在以A8為直徑的半圓上

（正方形48C。內(nèi)部，含邊界），則PCP。的取值范圍為（）

C.(0,2)D.[0,2]

22

5.（24-25高三上?河北衡水?階段練習(xí)）過雙曲線上-匕=1的右支上一點(diǎn)P,分別向G：（x+4）2+V=3和

412

G：。—4）2+V=i作切線，切點(diǎn)分別為M,N,貝|J（PM+PN）?M0的最小值為（）

C.30D.32

6.（2024?湖北黃岡?一模）已知向量同=忖=4,4力=-8"=審，且|"-4|=1，則”與￡?夾角的最大值為（）

.兀r兀c兀c5兀

A.—B.—C.—D.—

64312

二、填空題

7.（23-24高三下?湖北.階段練習(xí)）若AB=（3,1）,AC=（7"-1M）,且上B4C為銳角，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是.

8.（2025高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)耳,02為單位向量，非零向量6=加1+”2,尤，y為實(shí)數(shù)，若q?的夾角為

5兀1

不,則匯的最大值是

9.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知圓C:（x-3y+（y-4）2=9和兩點(diǎn)A?,0）、鞏f,0）。>0）,若圓C

上至少存在一點(diǎn)P,使得P4PB<0,則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

10.（23-24高三上?遼寧沈陽?期末）在等腰梯形A8C。中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,尸是腰A。

上的動(dòng)點(diǎn)，則|2尸2-尸C|的最小值為.

11.（23-24高三下?遼寧朝陽?階段練習(xí)）在VABC中，AB=3,AC=2,NBAC=60°,點(diǎn)尸是VABC內(nèi)一

點(diǎn)（含邊界），若AP=|AB+/L4C,則網(wǎng)的最大值為.

12.（23-24高三下■貴州?期中）在梯形ABCD中，AB//C￡>,AB=2CD=4,|^||3c|=）梯形ABCO外

接圓圓心為0,圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,求ACZAP的取值范圍________.

13.（2024?廣東?模擬預(yù)測）設(shè)A,B,C三點(diǎn)在棱長為2的正方體的表面上，則Afi.AC的最小值為.

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題07坐標(biāo)法、極化恒等式在平面向量中的應(yīng)用

?>-----------題型歸納?定方向------------?>

目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）

題型01坐標(biāo)法.................................................................................9

題型02極化恒等式............................................................................17

題型03平面向量中的最值（范圍）問題.........................................................21

-----------題型探析?明規(guī)律-----------o

題型01坐標(biāo)法

【解題規(guī)律?提分快招】

1、建系的常見技巧

（1）前言

坐標(biāo)運(yùn)算能將問題從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題的目標(biāo)。對于條件中包含向量夾角與長

度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的。

（2）技巧

①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等;

②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30。、45。、60。、120。、135。等等。

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三下?四川攀枝花.階段練習(xí)）已知A,B,C是單位圓上不同的三點(diǎn)，AB=AC,則Afi.AC的

最小值為（）

A.0B.--cD.-1

4-4

【答案】C

9/43

【分析】令41,0),B(cosasine),e￡(0,2W,進(jìn)而有C(cosa-sin。)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得即SC

=cos2。-2cos6+l-sir?。，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【詳解】不妨令41,0),B(cossin(0,2K),又AB=AC,則C(cos。,—sin。),

所以AB-AC=(cos^-1,sin0)-(cos0-1,-sin0)=(cos0-l)2-sin20

-cos20-2cos6+1—sin26=2(cos0——)2——,

22

當(dāng)cos(9=；時(shí)，的最小值為-g.

故選：C

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)如圖，邊長為4的等邊VABC,動(dòng)點(diǎn)P在以2C為直徑的半圓上.若

AP=/IAB+〃AC,則2+；〃的取值范圍是()

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得半圓弧BC的方程為：x2+/=4(y<0),設(shè)根據(jù)向量的坐

標(biāo)運(yùn)算法則算出2+；〃關(guān)于加，”的式子，利用三角換元與正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可以3C所在直線為x軸，3c的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

10/43

結(jié)合已知得A（0,2』），B（—2,0）,C（2,0）,

半圓弧BC的方程為：x2+/=4（y<0）,

設(shè)尸（m,"）,貝!!加,〃-2括），AB=（-2,-2^）,AC=（2,-273）,

m--22+2//

由AP=2A5+4AC得:

"2君=_2扇_2?

―葉旦+工

4122

解得：,

4122

所以丸+工4=--m

2尸4

因?yàn)樵贐C上，所以>+*=4（〃40）,

又（2cos8）2+（2sin8）2—4,

貝!I可設(shè)根=2cos。,n=2sm0,TI<0<2TI9

將機(jī)=2cos0,〃=2sin。代入（*）整理得：

.11^31.J吟3

Z+—z/=——cos"------sin〃+—=——sin〃+—+—,

24442<6j4

由兀ve?2兀得一<e+-<——,

666

所以-"［。+髀，*如/+。+冷，

故％的取值范圍是口.

故選：D.

3.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）四邊形ABC。是邊長為4的正方形，點(diǎn)尸是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿

S:\AP+BP+CP+DP\=4,則|AP|的最大值是（）

11/43

A.1+V2B.V2-1C.25/2-lD.20+1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),寫出A,民C,。坐標(biāo)，可得點(diǎn)尸的軌跡方程，進(jìn)而可求出|4尸|

的最大值.

【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y),A(0,0),5(4,0),C(4,4),￡>(0,4).

所以AP=(x,y),3P=(x-4,y),CP=(x-4,y-4),￡>P=(x,y—4),

所以AP+3P+CP+DP=(4;c-8,4y-8),

因?yàn)镮AP+BP+CP+OP卜,J(4x-8)2+(4y-8)2=4,

BP(%-2)2+(y-2)2=l,

故點(diǎn)P在以點(diǎn)(2,2)為圓心，半徑為r=l的圓周上運(yùn)動(dòng)，

所以IAPI的最大值為1+廠=后01=2夜+1.

故選：D.

二、填空題

4.(2024高三?全國?專題練習(xí))在邊長為1的正方形ABC。中，點(diǎn)E為線段的三等分點(diǎn)，

1uuruiruim

CE=-DE,BE=ABA+nBC,則％+〃=；尸為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則AQDG的最小值

【分析】解法一：以｛(朋,BC\］為基底向量,根據(jù)向量的線性運(yùn)算求3E,即可得4+M,設(shè)取uum■=后UU跖1，求AuuFm,DUUUG，

12/43

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AFDG的最小值;

/\1UUUULU1

解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求3E,即可得彳+〃，設(shè)*a,-3a),ae--,0,求AF,DG，結(jié)

合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求AFDG的最小值.

【詳解】解法一：以｛&1,BC\為基底向量,根據(jù)向量的線性運(yùn)算求BE,即可得彳+〃，設(shè)8尸=,求AFQG，

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AQOG的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求BE,即可得2+〃，

,、1UUUULU

設(shè)尸(a,-3a),ae--,0,求AF,￡)G，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求A尸.OG的最小值.

1uur21X11uuruunuuriuuruim

解法一：因?yàn)镃E=—OS,^CE=-BA則5E=5C+CE=—5A+5C,

2393

i4

可得2=g〃=l,所以4+〃=?；

。J

IUUHIIUITIuiruum

由題意可知：卜l,B4BC=0,

uunuuriuiruun

因?yàn)槭瑸榫€段BE上的動(dòng)點(diǎn)，^BF=kBE=-kBA+kBC,ke[O,l],

貝!|AF=AB+BF=AB+kBE=^k-l^BA+kBC,

uuiruunuumuuniuuni(\Auir<i、uun

又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則OG=ZM+AG=—5C+5A/—13A+萬人—1BC,

mmuun(iAuiruun

可得A尸DG=\-k-l\BA+kBC-IIBA+IIBC

又因?yàn)樯峡芍寒?dāng)左=1時(shí)，A尸QG取到最小值-工；

lo

解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(-i,o),B(o,o),c(o/),r>(T,i)WT，i

13/43

uuruunuur<iA

可得5A=(—l,O),5C=(O,l),5E=—,

fi1

UULUUUUUL—4=--A

因?yàn)锽E=X3A+〃BC=(—X,〃)，貝!3,所以4+〃=—；

〃=13

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段BE：y=-3尤,xe-1,0上，設(shè)歹(a,-3a),ae-1,0,

且G為AF中點(diǎn)，則G1一,一］〃J,

uumuuir(〃+］3、

可得Ab=(〃+1,-3〃),。6=虧,-5“-1,

UUEUUU-f/7+1V(Q、(7A2Q

貝(IA尸?OG=^^-+(—3a“一；a—l)=5a+t),

且-1,0,所以當(dāng)〃=一：時(shí)，人小^^取到最小值為-工；

_3318

45

故答案為：—;

Jlo

5.(24-25高三上?青海西寧?期中)已知向量4,b,c滿足同=2,忖=4,tan(a,Z?)=-73,(fl-c).(^-c)=2.

若|a-c|2,恒成立，則2的最大值為.

【答案】3-V7/-V7+3

【分析】根據(jù)tan卜,弓=-g可得k,6)=120。，即可建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得C在以

M(0,6)為圓心，r=3為半徑的圓上，即可根據(jù)共線求解.

【詳解】因?yàn)閠an,,可=-石，結(jié)合@方》［0,兀］,所以卜,司=120。.

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

使得a=Q4=(2,0),b=(-2,2吟.

令d=OC=(x,y),貝！Ja—c=(2-x,-y),b-c=(^-2-x,2y/i-,

代入(a-c)?僅-c)=2,整理得尤2+(y-6y=9,

14/43

所以點(diǎn)C在以M(。,為圓心，r=3為半徑的圓上.

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M內(nèi)，所以-夜，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在的延長線上時(shí)，等號(hào)成立.

若［°-耳2/1恒成立，則彳43-所以力的最大值為3-".

故答案為：3-77

6.(24-25高三上?湖南?階段練習(xí))設(shè)e為單位向量，向量處6滿足無6=人@=3,卜-6卜4,則當(dāng)4與。的夾

角最大時(shí)，ab=.

【答案】5

【分析】a=0A=(3,m),b=OB=(3,m-4),3e=0C=(3,0),a涉=。€(0,兀)，利用余弦定理及向量模長的

坐標(biāo)表示得cos8>0,即6e(0卷)，再由等面積法、向量數(shù)量積定義有。與b的夾角最大，即6最小，進(jìn)

而由=(帆-2>+5,即可求值.

【詳解】因?yàn)閑為單位向量，向量4,6滿足。?&=6-0=3,卜-6卜4,

所以可令”=OA=(3,ni),^=OB=(3,機(jī)一4),3e=OC=(3,0),如下圖示，

易知AB_LOC,若=9e(0,兀)，故cos6=1'"+也?——,

2\a\\b\

而|a|2-16=9+m2+9+(m-4)2-16=2(m-2)2+10>0,BPcos0>0,

所以9e(0為,又!|a||6|sine=!x3x4=>|"|=2，

222sinM

12

所以a?=|a||b|cos(9=-要"與。的夾角最大，即tan。最大，即分6最小，

tan。

由°力=|a||b|cos?=m2-4m+9=(m-2)2+5>5,當(dāng)且僅當(dāng)"2=2時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)。與。的夾角最大時(shí)，a-b=5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正余弦定理及向量模長的坐標(biāo)表示、及數(shù)量積的定義確定。與。的夾角最大，即

a?/?最小為關(guān)鍵.

7.(24-25高三上?天津河?xùn)|?期末)在等腰梯形A3CO中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,E是腰8C的中點(diǎn)，

15/43

則A￡.即的值為;若尸是腰AD上的動(dòng)點(diǎn)，則|2PB-PC|的最小值為.

【答案】-83A/3

【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標(biāo)系，得到E1*#）,求出ED=-8,設(shè)AP=mAD,

0<m<l,故尸（根一1,同），求出2尸2-尸。=（5-根，一如一回）,故12PB-尸C|=j4（加一gJ+27,從而得

到最小值.

【詳解】過點(diǎn)。作DOWLAS于點(diǎn)。，

因?yàn)榈妊菪蜛3。中，AB/!DC,AB=4,BC=CD=2,

4_2,___________

所以4。=三二=1,由勾股定理得DO=JAD2_AO2=百,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，O8,OD所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

故A（-L0）,D（0,g）,B（3,0）,C（2,^）,

E是腰BC的中點(diǎn)，故石，彳-）

m0君）（5035

所以AE-ED——,—?—,—=---+-=-8,

（22只22）44

^AP=mADf0<m<l,P（s/）,

則（s+Li"），故仁￡，]；：二m—1

=y[3m'

2PB-PC=PB+（PB-PC）=PB+CB=（4-m,->/3mj+^1,-y/3）

=（5-m,~\/3—y/3iTi^,

故2PB—PC\=J（5-m）2+（-73-VS/nY=dm2-10m+25+3m2+6m+3

=《4/-4m+28=+27,

故當(dāng)機(jī)=；時(shí)，2尸8-尸+27取得最小值,最小值為3省.

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題型02極化恒等式

【解題規(guī)律?提分快招】

1、極化恒等式

設(shè)。，6是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有。/njRa+by-m-b），

證明：（Q+/?）2=[2+/+2〃.。，①（〃一。）2=〃+/一2〃.》，②

將兩式相減可得ab=+6）2一5一6）2],這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式.

①幾何解釋1（平行四邊形模型）以AB,AO為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD,AB=a,AD=b，則

AC=a+b,BD=b-a由=1[（a+6）2-（a—6）[,AB-AD=—（^AC2—BD^.

即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的g”.

4

②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點(diǎn)，則由

AB-AD=^（AC2-BD2）^^jAB-AD=^（AC2-BD2）=^（4AM2-4BM2）,AB-AD=AM2-BM2>

該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.

注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極

17/43

化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾

何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.

【典例訓(xùn)練】

—■、單選題

1.（23-24高三下?山東日照?期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以

邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒

洛三角形中，已知AB=4,尸為弧AC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（）

C.[0,473]D.[0,9]

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合|PO|e[2,2若]即可求解.

【詳解】取3C中點(diǎn)為。，連接P。，顯然|PO|e[2,26],

^]^PB(BC-BP)=PBPC=(PO+OB)(PO+OC)=(PO+OB)(PO-OB)

.2.2.2

=P（f—OK=PO-4e[0,8]

故選：A

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。

的半徑為2,圓。的直徑CD,點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則PMVN的最小值為（）

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A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)尸加.利=尸。2-4,結(jié)合正六邊形的性質(zhì)求解|「。|的范圍即可.

【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，△OAB,△OBC,OCD,ODE,OEF,OE4均

是邊長為4的等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)尸位于正六邊形ABCQ班的頂點(diǎn)時(shí)，|尸。|取最大值4,

當(dāng)點(diǎn)尸為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，,。|取最小值，即，4mhi=4sin]=2A,

所以|尸。卜[2石,4].

所以PM.PN=(P0+0M).(P0+0N)=(P0+0M).(P0-0M)=P02—4e[8,12],

即PM-PN的最小值為8.

故選：D

.2

3.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知在VABC中，外是邊AB上一定點(diǎn)，滿足=且對于邊A8上

任意一點(diǎn)P,都有PB.尸七C,則VA3C是()

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.無法確定

【答案】A

【分析】取的中點(diǎn)。，DC的中點(diǎn)E,連接用。，AE,根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算向量耳氏與C并計(jì)算

P0BP0C,同理計(jì)算尸8.尸C,

根據(jù)不等關(guān)系可得出對于邊回上任意一點(diǎn)尸都有|尸"21%",從而確定乙。，A3,從而得到結(jié)果.

【詳解】取3c的中點(diǎn)。，DC的中點(diǎn)E,連接耳。，AE(如圖所示)，

貝0424c=（%。+DB）\P0D+DC）

19/43

22

=^POD+DB）（POD-DB^=POD-DB,

同理PB?PC=PD1-DB2>

^^PBPC>P0BP0C,所以PD?-。/之兄爐一/）/,

即PD>P0D,所以對于邊AB上任意一點(diǎn)P都有|尸4>,4

因此用A3,

.2-

又凡B=§AB,D為BC中點(diǎn),E為DC中點(diǎn),

所以迎=型2

所以

入ABBE3

BPZBAE=90°,所以NBAC>90。，即VABC為鈍角三角形.

故選：A.

二、填空題

4.（24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí)）已知棱長為2的正方體ABC。-ABC',點(diǎn)尸是其表面上的動(dòng)點(diǎn),

該正方體內(nèi)切球的一條直徑是MN,則PMPN的取值范圍是.

【答案】[0,2]

【分析】利用極化恒等式化尸MPN為尸O2_OM:從而轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)聞到正方體中心的最大與最小距離問

題，從而即可求解.

【詳解】

AB

設(shè)內(nèi)切球的球心為。,

由PM.PN=（PO+OM）.（PO+ON）=（PO+OM>（PO-OM）=PO2-O/,

已知正方體AZ?a>-ABiG2的棱長為2,所以內(nèi)切球的直徑MN=2,

所以PMPN=PO-l>由于點(diǎn)P是正方體ABCZ）-AB|G2表面上的動(dòng)點(diǎn),

可知：POe[l,V3],即PM.PN=PO2-l?0,2],

故答案為：[0,2].

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5.（2024.河南.模擬預(yù)測）如圖，已知AB,CD是圓。的兩條直徑，E是。4的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn)，若

【分析】利用極化恒等式將FCFD+EC.即化簡成含有半徑R的式子，即可轉(zhuǎn)化成OC。。的形式，可得

結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓。的半徑為R,

由題意得FC.如=（/O+OC＞（FO+OD）=（FO+OC＞（/O-OC）

=W。『-理＞用-

且EC.Er＞=（E0+0C）.（E0+0D）=（E0+0C）.（E0-0C）=,01-|0C『

2

Ji）OCOD=-R,

IQIQ1Q

所以FC-F￡＞+EC-EO=--R2=—OCOD,所以％

1616lo

19

故答案為：—

lo

題型03平面向量中的最值（范圍）問題

【解題規(guī)律?提分快招】

平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合.其

基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，

解題思路通常有兩種：

一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平

面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；

二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程

的有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來解決.

【典例訓(xùn)練】

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一、單選題

1.（2024?天津河北?二模）VABC是等腰直角三角形，其中A8，AC』AB|=1,尸是VABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

若CP=2CA+〃CB（220,420且彳+2〃=2）,則C4在CP上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.］o,曰［&［I」］C■qD.［點(diǎn),2］

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】設(shè)CQ=2CA,CP=ACA+juCB（220,〃20且4+2〃=2）,

貝!JCP=,CQ+〃C3（/>0,〃20且,+〃=1）,

則P在線段QB上，如圖所示，

當(dāng)尸與。重合時(shí)，CA在CP上的投影向量的長度取得最大值，最大值為|CA|=1；

當(dāng)尸與B重合時(shí)，CA在CP上的投影向量的長度取得最小值，最小值為"C2|=走；

22

則CA在CP上的投影向量的長度的取值范圍是［￥，4.

故選：B.

2.（2024.四川瀘州?一模）已知平面向量|。4|=4,|0q=3,|。4=1,0402=0,貝U|CA+C@的最小值是（）

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】D

【分析】由題設(shè)A,5,C分別在以。為原點(diǎn)，半徑為4,3,1的圓上運(yùn)動(dòng)，且數(shù)形結(jié)合及向量加法的

幾何意義確定|CA+C@的范圍，即可得答案.

【詳解】由題設(shè)，A,民C分別在以。為原點(diǎn)，半徑為4,3,1的圓上運(yùn)動(dòng)，且0403=0，

所以。4,08,若。是的中點(diǎn)，則|OD|=jAB|=|,而|OC|=1,如下圖示，

22/43

由圖知，|c4+cq=2,q,而|O0-|oc|w|cr)|W|O0+|oci,即|qcr)|4〈.

所以|C4+C@的最小值是3.

故選：D.

3.(23-24高三下.山西?期末)已知。為VABC的外心，KAO=2AB+(1-2)AC.若向量明在向量8C上

"34"一

的投影向量為〃BC,其中〃e,貝UcosNAOC的取值范圍為()

一

_3_--13

A.B.-----

_10,20__5'10

J_±~-13-

C.D.—