題型必刷?小題限時卷

小題限時卷08（A組+B組+C組）

0----------------A組?鞏固提升-----------*>

（模式：8+3+3滿分：73分限時：50分鐘）

一、單選題

1.（2025?遼寧?模擬預(yù)測）已知集合4=卜產(chǎn)一5x-6<0},B={y|y=2sinx},則A8=（）

A.[-2,3）B.（-3,2]C.（-6,2]D.[-2,6）

2.（2025?新疆?一模）己知復(fù)數(shù)z滿足|z-（l+2i）|=0,其中i是虛數(shù)單位，則|z|=（）

A.5B.75C.1D.2

3.（24-25高三上?河南安陽?期中）設(shè)非零向量a,6的夾角為。，若同=1,忖=2,則“0為鈍角”是“卜-/卜君

的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

且51!1<2+035￡=3（：0501311<2,則sin[（/+的值為（）

4.（2025?山東日照?一模）已知a是第一象限角,

A.一叵B.-拽C.下2A/5

-------UN,---------

5555

5.（2025?山西?一模）定義：各位數(shù)字之和為5的四位數(shù)叫“吉祥數(shù)”，例如“1022,3110",則所有“吉祥數(shù)”

的個數(shù)是（）

A.35B.32C.29D.20

6.（24-25高三上?江蘇蘇州?期末）設(shè)等比數(shù)列{%}的前展項和為%且白=*=2,則。2.=（）

26

A.，就B.2C.2025D.22024

7.（2025?陜西榆林?二模）育德中學(xué)在3D打印社團實踐活動中，要將一個正方體放置在一個母線長為2,

底面半徑為1的圓錐內(nèi)（忽略錐面厚度），使其能自由（任意方向）旋轉(zhuǎn)，則該正方體棱長的最大值為（）

A.—B.■-C.—D.1

323

/、/、PAJ2

8.（2025?四川德陽?二模）已知在平面直角坐標(biāo)系如丁中，A（-2,l）,B（-2,2）,動點P滿足再■=芋，點。為

拋物線C:/=4x上一動點，且點Q在直線x=-2上的投影為R,則歸9+0|尸。|+四|QR|的最小值為（）

A.回B.26C.2A/5+A/2D.2M

二、多選題

7T

9.（23-24高三下?西藏拉薩?期末）已知函數(shù)/（x）=Acos（0x+°）（A>0,。>0,1夕1<萬）的部分圖象如

圖所示，則下列說法錯誤的是（）

TT

A.函數(shù)/（x）的最小正周期是兀，A=2,a>=1,9=一§

B.函數(shù)f（x）的對稱中心為（竺+J,O）?eZ

26

C.函數(shù)/（尤）的圖像可由函數(shù)y=2cos2x的圖像向右平移m個單位長度得到

D.函數(shù)/（x）的圖像可由函數(shù)y=2cos2x的圖像向右平移芻個單位長度得到

6

10.（24-25高三上?山東濟南?期末）已知函數(shù)“X）的定義域為R,且滿足/（X-y）=/（x）+〃y）+2Ay,則

（）

A./（1）=-1

B./（2）=-4

C.y=/（x）+f既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

2024

D.^/（0=2024

i=l

n.（2025?山西?一模）已知/（九）=，一九"，其中1〉0,且awl,x>0,若/（力之。恒成立，則（）

A.〃=eB.%=e是/（%）的極小值點

C.在（0,e）上單調(diào)遞減D.在（e,+8）上單調(diào)遞增

三、填空題

12.（2025?四川內(nèi)江?一模）若函數(shù)〃x）=:詈-cosx為奇函數(shù)，則實數(shù)機的值為一.

13.（24-25高三上?浙江紹興?期中）已知實數(shù)x>0,y>0，」v+—則x+2y的最小值是________.

x+1y+1

22

14.（2025?遼寧?模擬預(yù)測）已知橢圓C:++七=1（。>6>0）的右焦點為為C上兩個不同的點，

ab

MF+NF=2OF（。為坐標(biāo)原點），MF-NF=^S^

MNF=||OF|2,則C的離心率為.

?>--------------B組?能力強化----------O

（模式：4+2+1滿分：37分限時：25分鐘）

一、單選題

1.（2024.北京海淀?三模）已知直線/：履-y+l-左=0和圓iO:x2+/=r2（r>0）,則“廠=也”是“存在唯一

上使得直線/與。相切”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高三下?湖南?階段練習(xí)）已知3cos（?+^）=cosacos^,則tan（a+/?）的最小值

是（）

A.2/B.275C.2nD.2不

3.（2025?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為1,取正方形各邊的四等分點4,當(dāng)了2,2,得到

第2個正方形上星CzA,再取正方形482GA各邊的四等分點A,,B3，C3,2，得到第3個正方形A333c3。3，

依此方法一直進行下去，若從第％個正方形開始它的面積小于第1個正方形面積的熱，貝心=（）（參考

數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

A.8B.9C.10D.Il

4.（2025?四川德陽?二模）在三棱錐尸-ABC中，平面PA5,平面ABC”為等腰三角形，且/APB=120,

A3=2若,AC=4,NBAC=90,則三棱錐P—ABC外接球的表面積為（）

A.32兀B.64兀C.8071D.128兀

二、多選題

5.（24-25高三上?安徽?階段練習(xí)）樣本數(shù)據(jù)占,吃,吃，匕，毛,毛的平均數(shù)是"方差是S2,極差為R,則下列

判斷正確的是（）

A.若了=1,則1+如,1+/?%2，〃+6%3,1+6火4，。+6比5，〃+人工6的平均數(shù)為。+〃

B.若/=0,貝U〃+/?冗1，〃+/?冗2,。+6X3，〃+6%4，〃+人工5,1+°無6的方差為0

C.若玉,2%,3X3,4%,5%,6%的極差是R,則R>R

D.若須＜%＜退＜%＜當(dāng)＜/，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是土產(chǎn)

6.(24-25高三上.山東濟南?期末)已知函數(shù)〃x)與其導(dǎo)函數(shù)g(無)的定義域均為R,且/(x+1)為奇函數(shù),

g(x)+g(l-x)=4,貝！|()

A./(x)+/(2-x)=0B.g(x)+g(x+l)=。

C.g(-3)+g(-4)=4D./(x)-/(l-x)=4x

三、填空題

7.(24-25高三上?廣西?期中)己知函數(shù)〃x)=(尤+1)1,過點M(lj)可作2條與曲線y=f(x)相切的直線,

則實數(shù)f的取值范圍是.

o-----------c組?高分突破-----------?＞

(模式：1+1+1滿分：16分限時：15分鐘)

一、單選題

22

1.(2025?遼寧?模擬預(yù)測)已知A為雙曲線C:?-2=1(4＞02＞0)的右頂點，尸為C上一點，P關(guān)于y軸

的對稱點為。，APLAQ,ZAPQ=60°,ZVIP。的面積為，則C的焦距為()

A.6B.V6C.2#＞D.2"

二、多選題

2.(2025?四川內(nèi)江?一模)函數(shù)/(x)=2xlnx+o?_x,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)。＞0時,/(X)在(0,內(nèi))上是增函數(shù)

Q

B.當(dāng)4=2時，y(x)在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為|

C./(x)在(0,+。)上為減函數(shù)，則。《_屋9

D.當(dāng)a＜0時，尸(x)=/(x)+or有且只有一個零點，則

三、填空題

3.(2025?四川德陽?二模)若關(guān)于a的方程上082^士"應(yīng)吟=叫凹在區(qū)間(0,：］上有且僅有一個實數(shù)

mcosla+m-sinlacosa\)

解，則實數(shù)7〃=.

題型必刷?小題限時卷

?■J__________________________________________________________

小題限時卷08(A組+B組+C組)

?>---------A組?鞏固提升----------令

(模式：8+3+3滿分：73分限時：50分鐘)

一、單選題

1.(2025?遼寧?模擬預(yù)測)已知集合4={無產(chǎn)一5X-6<。},B={y|y=2sinx},則A3=()

A.[-2,3)B.(-3,2]C.(-6,2]D.[-2,6)

【答案】D

【分析】分別求出集合A,B,再根據(jù)并集的定義即可得解.

【詳解】由題意得4=卜產(chǎn)-5x-6<o}=1.x|—1<X<6J,3={y|y=2sinx}={引-2VyV2},

所以AB=[-2,6).

故選：D.

2.(2025?新疆?一模)己知復(fù)數(shù)z滿足|z-(l+2i)|=0,其中i是虛數(shù)單位，則忖=()

A.5B.V5C.1D.2

【答案】B

【分析】求出復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得忖的值.

【詳解】因為|z-(l+2i)|=0,則z=l+2i,故國="+為=氐

故選：B.

3.(24-25高三上?河南安陽?期中)設(shè)非零向量a,6的夾角為。，若同=刑=2,則“0為鈍角”是“卜-可

的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積和模長關(guān)系分析可知卜卜君等價于cos，<0,進而結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因為同=1,忖=2,

貝！)\a-b^=yja2+b2-2a-b=，5-4cos6>也,解得cos，<0,

即\a-b^>A/5等價于COS，<0,

若6為鈍角，貝!|cos9<。，即充分性成立;

5/21

若cosOvO,則。為鈍角或平角，即必要性不成立；

綜上所述：“。為鈍角”是“卜-〃卜石”的充分不必要條件.

故選：C.

4.（2025?山東日照?一模）已知a是第一象限角，且$111<2+035。=38501311<2,則sin1a+T的值為（）

A.一在B.-型C.立D.至

5555

【答案】D

【分析】先應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系計算，最后應(yīng)用誘導(dǎo)公式計算即可.

【詳解】因為sina+COS6Z=3cosatana,

所以sina+cosa=3sina,所以cosa=2sina,左右兩側(cè)平方得cos2cif=4sin26f=4（1-cos?。）,

所以5cos2a=4,又因為a是第一象限角，所以cose=也，

5

貝!Jsin（a+S=cosa=2g.

故選：D.

5.（2025?山西?一模）定義：各位數(shù)字之和為5的四位數(shù)叫“吉祥數(shù)”，例如“1022,3110”，則所有“吉祥數(shù)”

的個數(shù)是（）

A.35B.32C.29D.20

【答案】A

【分析】根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義，按首位數(shù)字分別計算，再由分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】各位數(shù)字之和為5的四位數(shù)叫“吉祥數(shù)”，按首位數(shù)字分別計算,

當(dāng)首位數(shù)字為5時，則剩余三位數(shù)分別是0,0,0,共有1個“吉祥數(shù)”;

當(dāng)首位數(shù)字為4時，則剩余三位數(shù)分別是1,0,0,共有3個“吉祥數(shù)”；

當(dāng)首位數(shù)字為3時，則剩余三位數(shù)分別是1,1,0或2,0,0,共有3+3=6個“吉祥數(shù)”;

當(dāng)首位數(shù)字為2時，剩余三位數(shù)分別是2,1,0或3,0,0或1,1,1,共有A；+3+1=10個“吉祥數(shù)”；

當(dāng)首位數(shù)字為1時，則剩余三位數(shù)分別是3,1,0或4,0,0或1,1,2或2,2,0,共有A；+3+3+3=15

個“吉祥數(shù)”，

則共有1+3+6+10+15=35個“吉祥數(shù)”.

故選：A.

6.（24-25高三上?江蘇蘇州?期末）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,且當(dāng)=*=2,則吸=（）

26

A.擊B.2C.2025D.22024

6/21

【答案】B

【分析】分gw1和q=l兩種情況求解即可.

【詳解】因為於=￡=2,則洋＞4,s6=n,

2o

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q（qwO）,

$2=fdlz￡)

\—n=4

當(dāng)#1時，，,、，整理得/+42=0,

q(j)：12

$6=

i—q

即(二+2)d-1)=0,解得4=1(舍)或4=一1,

若q=—l,S2=ax+a2=ax+axq=0^4,所以gw-l；

[5=2a=4

當(dāng)4=1時，；J日解得q=2,所以。2必=。|/°24=2,

[七=6%=12

綜上，“2025=2.

故選：B.

7.（2025?陜西榆林?二模）育德中學(xué)在3D打印社團實踐活動中，要將一個正方體放置在一個母線長為2,

底面半徑為1的圓錐內(nèi)（忽略錐面厚度），使其能自由（任意方向）旋轉(zhuǎn)，則該正方體棱長的最大值為（）

A.-B.!C.-D.1

323

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的內(nèi)切球即為正方體的外接球計算求解即可.

【詳解】如圖1所示，要使得正方體能在圓錐內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)且該正方體的邊長得到最大，

則該正方體的外接球為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,圓錐的軸截面如圖2所示，

為正三角形且上4=2,此時內(nèi)切球的截面圓與一上4B內(nèi)切，

R=PHtan%=lx?=?,設(shè)正方體邊長為。，由圖3得，（27?）2=3?2,得0=氈/?=2.

8.（2025?四川德陽?二模）已知在平面直角坐標(biāo)系如丁中，A（-2,l）,B（-2,2）,動點尸滿足"最=一，點。為

rD2

7/21

拋物線C：V=4x上一動點，且點。在直線x=-2上的投影為R,則|即+血怛。|+虛|。園的最小值為()

A.MB.2逐C.275+V2D.2M

【答案】C

【分析】根據(jù)題干的條件即可求得A(-2,1),3(-2,2)滿足的軌跡方程為圓，再利用距離最小即A,P,Q,尸四

點共線時，即可求得最小值.

【詳解】

,、J(x+2)+(y-l)J29

設(shè)尸,則亍一，兩邊同時平方整理得：(彳+2)。產(chǎn)=2,

J(x+2)I，('-2『”2

即點P的軌跡是以(-2,0)為圓心，以及為半徑的圓；

因為點Q在直線x=-2上的投影為R,又拋物線上的點到焦點F(l,0)的距離與到準(zhǔn)線x=-l的距離相等,

故|。囚=|?。|+1,

故|P@+0|PQ|+忘|QR|=亞1PA|+亞|Pa+g(|QT+l)=0(|PA|+|PQ|+但Q|)+0

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,Q,P四點共線時，|R4|+|PQ|+|FQ|取得最小值，

最小值為14刊=J(-2—1)2+(1—0)2=A/U),

故|P@+0|PQ|+及依風(fēng)2夜XM+0=2A/^+亞，

故選：C

二、多選題

7T

9.(23-24高三下?西藏拉薩?期末)已知函數(shù)f(x)=Acos(0x+°)(A>0,。>0,|^|<-)的部分圖象如

圖所示，則下列說法錯誤的是()

8/21

jr

A.函數(shù)/Xx)的最小正周期是兀，A=2,s=2,(p="

B.函數(shù)/'(x)的對稱中心為(竺+J,O)#eZ

2o

C.函數(shù)/(X)的圖像可由函數(shù)y=2COS2X的圖像向右平移三個單位長度得到

D.函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)y=2cos2x的圖像向右平移B7T個單位長度得到

6

【答案】BC

【分析】根據(jù)圖象的最值、特殊點坐標(biāo)、周期待定系數(shù)可求出解析式為y=2cos(21一三],

故A正確；B

項利用整體角求解對稱中心可得；CD項，根據(jù)平移分別求解函數(shù)解析式與/(x)比較可得.

【詳解】根據(jù)圖象可得A=2,周期7=4(|^-e]=兀，

2兀

又切>0,則幻=于=2,所以/(x)=2cos(2%+0),

2cos]+e[=2,貝!]0+5=也，攵EZ,

解得°=也一因為|?|<]，則°=一三，

所以函數(shù)的解析式為y=2cos(2彳-5),

TT

A項，函數(shù)/(x)的最小正周期是兀，A=2,8=2,都正確，故A正確；

B項，由2x-壬=^+E#eZ,解得片型+期，kwZ.

32122

得函數(shù)/(X)的對稱中心為底+凈)，keZ,故B錯誤；

C項，由函數(shù)y=2cos2x的圖像向右平移1個單位長度得到y(tǒng)=2cos

即y=2cos(2xT],并非函數(shù)y=2cos(2xf,故C錯誤；

9/21

D項，由函數(shù)y=2cos2x的圖像向右平移2個單位長度得到y(tǒng)=2cos

6

即y=2cos(2x—,故D正確.

故選：BC.

10.(24-25高三上?山東濟南?期末)已知函數(shù)的定義域為R,且滿足/(x-y)=〃x)+〃y)+2?,則

()

A./(1)=-1

B."2)7

C.y=/(x)+f既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

2024

D.￡/(/)=2024

4=1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)賦值法可求解AB,根據(jù)賦值法可得g(x)=0,進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷C,由

f(x)=-x2,即可判斷D.

【詳解】令x=〉=0,得/(0)=0；令無=y=l,貝?。?(0)=2/(1)+2=0,得=A正確；

令無=y=2,則/(0)=2〃2)+8=0,得〃2)=T,B正確；

由于“x-y)+(x—y)2=/(彳)+f+/()0+/，

令g(x)=/(x)+尤2，貝Ug(x-y)=g(x)+g(y)，令x=y=。，得g(0)=0,令y=x,貝！jg(x)=。，所以

2024

g(x)=/(x)+x2既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，且〃X)=T2,則￡/"?)22024,c正確D錯誤，

1=1

故選：ABC.

11.(2025?山西?一模)已知〃耳=，一一,其中。>0,且"1,x>0,若〃x)Z0恒成立，則()

A.a=eB.X=e是/(x)的極小值點

C.在(0,e)上單調(diào)遞減D."力在(e,+8)上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】由〃x)20可得出"2x",變形得出一2—,令g(x)="，其中x>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)

的單調(diào)性與極值，可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)7■(%)的單調(diào)性，可判斷CD選項；利用函數(shù)極值點與

導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項.

【詳解】對于A選項，由題優(yōu)2尤"，x\na>a\nx,—,

ax

10/21

記g(x)=F，其中x>0,g,(x)=1

當(dāng)0<x<e時，g'(x)>0；當(dāng)x>e時，g'(x)<0,

故g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+e)上單調(diào)遞減，

又g(a)2g⑺，故。=6,故A正確；

(婷

對于BCD選項，f(x)=ex-xe,貝！］廣(x)=e-e尤e—=e，1一\

<e

當(dāng)0<x<e-1時,〃(x)<0,即函數(shù)/?(%)在(0,e—1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>e-1時，〃(力>0,即函數(shù)網(wǎng)力在(eT,+e)上單調(diào)遞增，

又〃(0)=1,//(e)=/i(l)=0,

當(dāng)0cxe1或x>e時，/,(x)>0；

當(dāng)l<x<e時，/?(x)<0,r(x)<。，

故在(0,1)、(e,+。)上單調(diào)遞增，在(l,e)上單調(diào)遞減，

所以，x=e為函數(shù)/⑺的極小值點，且函數(shù)〃尤)在(0,e)上不單調(diào)，故BD正確C錯誤.

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：

(1)求函數(shù)“X)的定義域；

(2)求導(dǎo)；

(3)解方程(&)=0,當(dāng)尸(&)=0；

(4)列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：

①如果在飛附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)>0,那么/伉)是極小值；

②如果在與附近的左側(cè)尸(x)>0,右側(cè)/'(無)<0,那么/小)是極大值.

三、填空題

12.(2025?四川內(nèi)江?一模)若函數(shù)〃到=彳注-8次為奇函數(shù)，則實數(shù)相的值為一.

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，應(yīng)用/(。)=。計算求參.

【詳解】函數(shù)〃x)=:管-cosx為定義在R上的奇函數(shù),

11/21

所以〃。）=笨?-所以”"

故答案為：2.

13.（243高三上?浙江紹興?期中）已知實數(shù)、＞°，y＞。，匕+《=】,則x+2y的最小值是--------.

【答案】2&

【分析】表示x+2y=（x+l）+2（y+l）-3,再利用1的代換解出最小值即可.

【詳解】由題意可得x+2y=[（x+l）+2（y+l）-3]-3

x+12（y+l）五1.生±1）=2忘,

=1+——+-^—^+2-3>2

y+1x+1y+1x+1

x+1_2（y+l）

當(dāng)且僅當(dāng)y+]"I時,即犬=&,丫=正時，等號成立,

2

—+—=i

x+1y+1

則尤+2y的最小值是2VL

故答案為：2也

22

14.（2025?遼寧?模擬預(yù)測）已知橢圓C:=+2=1（。＞6＞0）的右焦點為EKN為C上兩個不同的點,

ab

MF+NF=2OF（。為坐標(biāo)原點），MF-NF^^3-S=OF2,則C的離心率為_____.

3A△MNNFi-2|1?|-------

【答案】述

5

【分析】設(shè)片為C的左焦點，連接碼,科，由MF+NF=2OF，可知四邊形片加網(wǎng)為平行四邊形，根據(jù)

已知條件結(jié)合平面向量數(shù)量積和三角形面積公式化簡求得1回/加次=石，所以NMEV=60。,在MFtF中，

由余弦定理結(jié)合板.詆=/1||。_可_|2求解即可.

【詳解】如圖，

設(shè)K為C的左焦點，連接班,NK，

由MF+NF=2OF,可知四邊形尸為平行四邊形,

12/21

由MF-NF=S^MNF，得|AfF||^F|cosZMF^=x||MF|-^NF^smZMFN,

整理得tan/MWV=g,所以NM/W=60。，AFMFX=120°.

設(shè)|7WF；|=?n,\MF\=n,\OF\=c,

在“百廠中，由余弦定理得4c?=加2+/_2帆〃cosl20。，即/+"+加幾=4(?①,

又加+〃=2〃②，所以由①②得如7=4",

因為AmNF='c2,所以加〃.cos60°=L，，即/=4〃，

22

所以e2=[=絡(luò)，，所以e=￥.

a5b55

故答案為：撞.

5

?>--------------B組?能力強化----------O

（模式：4+2+1滿分：37分限時：25分鐘）

一、單選題

1.（2024?北京海淀?三模）已知直線/：依-y+1-左=0和圓O:x2+y2=r2（r>0）,則“廠=也”是“存在唯一

左使得直線/與。相切”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先由r=應(yīng)，點到直線距離公式列出方程，求出此時/=-1,充分性成立；求出/：履->+1-左=0

所過定點，再由存在唯一k使得直線1與。相切”，得到廠=1或定點在圓上，得到方程，求出相應(yīng)的答案，

必要性不成立.

【詳解】一拒時，/:履->+1-左=。到O：尤2+y=2的距離為^^=血,

故1-2左+左2=2+2/,解得左=-1,

滿足存在唯一k使得直線I與。相切”，充分性成立,

/:—y+—=0經(jīng)過定點

若r=l,eO:x2+y2=l,若/=0,此時直線/：y=l,

直線/:y=l與：。相切，另一條切線斜率不存在，

故滿足存在唯一k使得直線1與。相切”，

當(dāng)”（1,1）在0:，+丁=/（廠>0）上，滿足存在唯一k使得直線1與：。相切,

故/=1+1=2，

又廠>0，解得廠=0，必要性不成立,

13/21

故”=0”是“存在唯一k使得直線1與。相切”的充分不必要條件.

故選：A

2.(23-24高三下?湖南?階段練習(xí))己知。€(0,鼻，3cos(?+/?)=cosacosj3,則tan(a+0的最小值

是()

A.2A/3B.2行C.2A/6D.2擊

【答案】C

【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得tanatan6的值，再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.

【詳解】由3cos(a+/)=3cosacos萬一3sinsin，=cosacos(3,

得2cos0cos尸=3sinasin分,

2

因為a,4,所以tanatan/?=§,且tana〉0,tan/7>0,

tan(&+')=:皿。+tanJ_3^tan?+tan)>3-2Jtanatan/3=2A/6,

當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan￡=，取等號.

故選：C.

3.(2025?遼寧?模擬預(yù)測)如圖，正方形4與G2的邊長為1,取正方形各邊的四等分點4，員,。2，。2,得到

第2個正方形4層。2。2,再取正方形4層G3各邊的四等分點A，員,。3，。3，得到第3個正方形4員。3。3，

依此方法一直進行下去，若從第％個正方形開始它的面積小于第1個正方形面積的貝心=()(參考

數(shù)據(jù)：lg2=0.3)

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】易知正方形的邊長成等比數(shù)列，其公比為典，設(shè)第〃個正方形的面積為％,得到

)求得為

="wN2,再由為求解.

14/21

【詳解】由已知得正方形的邊長成等比數(shù)列，第二個正方形的邊長為乎,

所以其公比為乎.

設(shè)第〃個正方形的面積為%,則a=（（?>2）,

%I4J8、

當(dāng)〃=1時,

所以

oJU

即…尚=5==8.5,

所以”>9.5,所以左=10.

故選：C.

4.（2025?四川德陽?二模）在三棱錐尸-45c中，平面2鉆，平面ABC,.尸AB為等腰三角形，且NAPB=120,

AB=273,AC=4,ABAC=90,則三棱錐尸一ABC外接球的表面積為（）

A.32兀B.64兀C.80TID.128兀

【答案】A

【分析】取的中點E,BC的中點D,連接DE,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，過。作。尸，PE

交PE延長線于點產(chǎn)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)在RtAOP尸中可求出三棱錐尸-ABC的外接球的半徑，從而可求

出外接球的表面積.

【詳解】如圖取AB的中點E,BC的中點。，連接。E,則。E=；AC=2,

因為皿為等腰三角形，所以PELAB,

因為平面尸AB_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,PEu平面

所以PEL平面ABC,

因為￡>Eu平面ABC,所以PELDE,

因為VABC為直角三角形，且NBAC=90,所以。為VABC的外心，

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，則OD，平面ABC,

所以PEIIOD,

在等腰一RIB中，ZAPB=120,AB=26,

貝!J8E=AE=g,/PBE=30,二RW的外心在夕卜，

15/21

所以尸E=BEtan30=73x^-=l,

3

在VABC中，AB=2y[3,AC=4,ABAC=90,則3C=癡^+.〉=疝五=24,

所以即=占

設(shè)三棱錐尸-ABC的外接球的半徑為R,則ODAM-BD?=在-7，

過。作O產(chǎn)，PE交PE延長線于點尸，則如=跖，OF=DE

在RtAOP產(chǎn)中，OP2=OF2+PF-,貝！J

R。=2。+Q+尿二5）。，解得R2=8,

所以三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為4無&=32元.

故選:A.

二、多選題

5.（24-25高三上?安徽?階段練習(xí)）樣本數(shù)據(jù)為,馬，三，匕，三,毛的平均數(shù)是"方差是S2,極差為R，則下列

判斷正確的是（）

A.若元=1,則〃+/?%,〃+/?%2，。+人比3，〃+人工4，〃+6%5，〃+人火6的平均數(shù)為1+〃

B.若/=0,貝|〃+/?%,〃+6%2,1+〃彳3，〃+6%4，〃+人尤5,1+6冗6的方差為0

C.若再,2尤2,3。,4尤4,5尤5,6尤6的極差是用1則R＞R

D.若占＜當(dāng)＜演＜匕＜當(dāng)＜無6,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是玉產(chǎn)

【答案】AB

【分析】由平均數(shù)以及方差的性質(zhì)即可判斷AB,結(jié)合極差的定義，舉出反例，即可判斷C,由百分位數(shù)的

計算公式，即可判斷D.

【詳解】對于A,由原數(shù)據(jù)百，%2，%，，4，，5，%的平均數(shù)元=1,

可得新數(shù)據(jù)。+6%，。+6%，。+6尤3，。+6匕，。+6%，。+6尤6的平均數(shù)為4+6；=。+。，

故A正確；

對于B,由原數(shù)據(jù)為，X?，X3，工4，，5，“6的方差是1=0,

可得新數(shù)據(jù)。+如,。+如，。+如,。+如,。+如,。+如的方差為62s2=0,

故B正確；

16/21

對于C,若樣本數(shù)據(jù)為-10,-4,-3,-2,-1,0,則其極差為R=10,

此時數(shù)據(jù)工］,2工2,3工3,445%,6%為-10,-8,-9,-8,-5,0,則其極差R=10,

即尺=",故C錯誤；

對于D,由6義75%=4.5,所以數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是4，故D錯誤；

故選：AB

6.(24-25高三上.山東濟南.期末)已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R,且/(x+1)為奇函數(shù),

g(x)+g(l-x)=4,貝!|()

A./(%)+/(2-x)=0B.g(x)+g(x+l)=。

C.g(-3)+g(-4)=4D./(x)-/(l-x)=4x

【答案】AC

【分析】A.由〃龍+1)為奇函數(shù)判斷；BC.由+l)+/(x+l)=。求導(dǎo)判斷；D.由g(x)+g(l-x)=4還原

原函數(shù)判斷.

【詳解】解：因為〃x+1)為奇函數(shù)，所以x+l)+〃x+l)=0,所以/(x)+/(2r)=0,A正確;

由A可知，求導(dǎo)數(shù)，g(x)-g(2r)=0,所以g(x)關(guān)于直線x=l對稱，

又g(x)+g(l-x)=4,所以g(2-x)+g(l—x)=4,即g(x)+g(x+l)=4,故B錯誤，C正確

因為8(彳)+8(1-彳)=4,所以"(無)一〃1-同］=8(%)+8(1一尤)=4,

所以/(x)-/(lr)=4x+c，D錯誤.

故選：AC

三、填空題

7.(24-25高三上?廣西?期中)已知函數(shù)/'(尤)=a+1)1,過點兇(1,力可作2條與曲線口=〃尤)相切的直線,

則實數(shù)f的取值范圍是.

【答案】［0,2e)0卜

【分析】求出切線方程為yTa+l)e"=(a+2)e"(x-a),代入點M的坐標(biāo)化簡可得f=(3-6封，設(shè)

g⑷=(3-/并，依題意，直線y=t與g(a)=(3-02)e"的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(。)的性質(zhì),

進而作出草圖，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】r(x)=(x+2)e)設(shè)切點為(a,(a+l)e“)，

則切線方程為y-(。+De"=(a+2)e"(x-a),

將點M(1J)代入切線方程得，f-(a+l)e"=(a+2)(l-a)e",化簡得”(3-/)e。，

設(shè)g(o)=(3-a2)ea,貝！］g'(a)=-2aea+(3-a2)e"=-(a2+2a-3)efl=-{a+3)(a-l)efl,

17/21

令g'(a)>0,解得一3<。<1,令g'(a)<0,解得。<-3或。>1,

；.g⑷在(1,+◎上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且g(-3)=f,g⑴

作出函數(shù)g(a)的大致圖象如下圖所示，

由圖象可知，要使直線、=/與g(a)=(3-/)e。的圖象有兩個交點，貝

故答案為：［0,2e)口卜

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到

方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，

數(shù)形結(jié)合求解即可.

?>--------------C組.高分突破------------<>

(模式：1+1+1滿分：16分限時：15分鐘)

一、單選題

22

1.(2025?遼寧?模擬預(yù)測)已知A為雙曲線C:\-%=l(a>0,b>0)的右頂點，尸為C上一點，尸關(guān)于，軸

的對稱點為Q,AP1AQ,NAPQ=60。，△AP。的面積為66，則C的焦距為()

A.y/3B.76C.2/D.2A/6

【答案】D

【分析】先設(shè)P(工,%),再根據(jù)平行得出斜率，進而應(yīng)用面積計算得a=6，最后點在雙曲線上得出A=a,

計算得出2c即可.

【詳解】因為4尸。=60。，所以點P在C的右支上，由對稱性設(shè)P在第一象限，

設(shè)Xo>0,y0>0,則。(-%,%),由A尸_LA。，ZAP。=60。，

18/21

所以S^APQ=/x2/o%=%0yo=2A/^Q2=66，所以6=3,即〃=有,

因為p(%%)在C的右支上，所以(2療(A)

/b2

所以加=/=3,

設(shè)C的半焦距為。(。＞0),貝般2=〃+/=6,即‘=而，所以焦距為2#.

故選:D.

二、多選題

2.(2025?四川內(nèi)江?一模)函數(shù)/(x)=2xlnx+加-x,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)a＞0時，在(0,+oo)上是增函數(shù)

B.當(dāng)。=2時，/(x)在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為|

C./(x)在(0,+e)上為減函數(shù)，則

D.當(dāng)。＜0時，尸(x)=/(x)+ox有且只有一個零點，則

【答案】BD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負得出單調(diào)區(qū)間判斷A,應(yīng)