專(zhuān)題07計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)01計(jì)數(shù)原理

1.（24-25高三上?河北邢臺(tái)?期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個(gè)場(chǎng)地參加志

愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.72B.96C.114D.124

易錯(cuò)分析：分組分配問(wèn)題中均分組問(wèn)題要注意做到不重不漏，一般是先分組再分配.

2.（24-25高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試）今年暑期檔，全國(guó)各大院線(xiàn)推出多部精彩影片，其中比較熱門(mén)的有

《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華

兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵

探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

3.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來(lái)了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們

分配到高一年級(jí)的1,2,3三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來(lái)到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3

個(gè)5A級(jí)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5

名游客不同的選擇方案種數(shù)為（）

A.52B.72C.76D.100

5.（25-26高三上?上海?單元測(cè)試）如題圖所示是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

A.240種

B.300種

C.360種

D.420種

易錯(cuò)分析：涂色問(wèn)題一般是綜合考查兩個(gè)原理的應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題要注意合理的分步分類(lèi),

一般可以從哪些部分可以同色入手分析.

6.（23-24高三下?山東濟(jì)寧?期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”.后人稱(chēng)其為

“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色

不相同.記事件A：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”，事件B：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則P（3|A）=（）

7.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知（［,■）”的展開(kāi)式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大

的項(xiàng)是（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

易錯(cuò)分析：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是=Cran-rbr,注意通項(xiàng)公式是表示展開(kāi)式的第什1

項(xiàng).

8.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）已知（。＞0）的展開(kāi)式中的第7項(xiàng)為7,則實(shí)數(shù)。的值為（)

A.1B.3C.7D.-2

1x

9.（24-25高三上?湖南株洲?期末）若（1=+￡）"展開(kāi)式中的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)相等，則〃的值為（）

A.6B.7C.8D.9

10.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?期末）已知卜+jj的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于

72,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

易錯(cuò)分析：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的不同.

11.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在［1-1）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）

A.8B.-8C.28D.-28

12.（23-24高三下?湖北?階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)

用數(shù)字作答）.

易錯(cuò)分析：要注意“隔板法”僅適用于相同元素的分配問(wèn)題.

13.（2024?湖北?二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,則方程x+y+z=10的解的組數(shù)為.

14.（23-24高三下.山東青島?階段練習(xí)）x+y+z+t=6的非負(fù)整數(shù)解有組.

考點(diǎn)02統(tǒng)計(jì)

1.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類(lèi)文明的

結(jié)晶和最寶貴的共同財(cái)富.某校為了解學(xué)生對(duì)當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進(jìn)

行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為4:3:2,若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取36人進(jìn)

行調(diào)查，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

易錯(cuò)分析：處理分層抽樣問(wèn)題的關(guān)鍵是“等比”這一特征.

2.（23-24高三下?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）某學(xué)校高二年級(jí)選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人

數(shù)分別為240,90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查研究，貝V史地政”組合中選出

的同學(xué)人數(shù)為（）

A.8B.12C.16D.6

3.（2024?河南?三模）國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該

制造企業(yè)內(nèi)的某車(chē)間有兩條生產(chǎn)線(xiàn)，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰

電池.質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能

量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）.

A.325個(gè)B.300個(gè)C.225個(gè)D.175個(gè)

4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某市安踏專(zhuān)賣(mài)店為了了解某日旅游鞋的銷(xiāo)售情況，抽取了部分顧客所購(gòu)旅

游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,第4

小組與第5小組的頻率分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10,則第5小組的頻數(shù)是（）

八頻率/組距

0.15-----------------------I

0.05-----------------------------------

LA^__I-------------1----------------1------------------------------------------------------------

o355375395415435455尺寸

A.4B.5

C.8D.10

易錯(cuò)分析：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率與組距的比，每個(gè)小矩形的面積才是各組中的

頻率.

5.（24-25高三上?天津河?xùn)|?期末）某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績(jī)進(jìn)行賦分，目的是為了更好地對(duì)新高

考改革中不同選科學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋?jīng)過(guò)對(duì)全校300名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的

頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù)為（）

A.270B.240C.180D.150

6.（23-24高三上?天津?階段練習(xí)）為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，對(duì)所得的體重?cái)?shù)據(jù)

（單位：kg）進(jìn)行分組，區(qū)間為[50,55）,[55,60）,[60,65）,[65,70）,[70,75],將其按從左到右的順序分別編號(hào)

為第一組，第二組，……，第五組.畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的

頻率之比為1:2:3,且第一組的頻數(shù)為6,則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（）

A.48B.5C.54D.60

7.（24-25高三上?天津西青?期末）樹(shù)人中學(xué)舉行主題為“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，傳承中華美德”的演講比賽，現(xiàn)隨

機(jī)抽選10名參賽選手，獲得他們出場(chǎng)順序的數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?,5,6,8,14,15,

16,17,18,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的（，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.12

8.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某老年健康活動(dòng)中心隨機(jī)抽取了6位老年人的收縮壓（單位：mmHg）數(shù)

據(jù)，分別為96,120,146,153,112,136,則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）

A.112B.120C.128D.136

易錯(cuò)分析：求總體百分?jǐn)?shù)時(shí)一定要先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后再根據(jù)規(guī)則求解.

9.（24-25高三上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）某市為了了解全市10萬(wàn)名高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，抽取了該市

某個(gè)區(qū)的15000名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)試（百分制），并將這些學(xué)生的成績(jī)整理成如圖所示的頻率分布直

方圖、根據(jù)頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A.圖中a的值為0.15

B.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85

C.用樣本可以估計(jì)全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試不及格（低于60分）的人數(shù)為5000

D.用樣本可以估計(jì)全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試的平均分約為81.5分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表）

10.（24-25高三上?河北?期中）某企業(yè)五個(gè)部門(mén)2024年第三季度的營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)如下表

所示：

第一部門(mén)第二部門(mén)第三部門(mén)第四部門(mén)第五部門(mén)

營(yíng)業(yè)收入占比48.4%15.8%18.2%10.8%6.8%

凈利潤(rùn)占比62.8%-3.3%15.5%20.2%4.8%

若該企業(yè)本季度的總營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為32.5%（營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率是凈利潤(rùn)占營(yíng)業(yè)收入的百分比），則（）

A.各部門(mén)營(yíng)業(yè)收入占比的極差為41.6

B.各部門(mén)營(yíng)業(yè)收入占比的第75百分位數(shù)為10.8%

C.第二部門(mén)本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為正

D.第三部門(mén)本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率大約為27.68%

11.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）有一組數(shù)據(jù)24,29,x,25,22,x+1,20,24,28,25.若該組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)與眾數(shù)相等，則平均數(shù)為（）

A.24.4B.25.8C.24.4或25.8D.24.4或24.8

考點(diǎn)03概率

1.（24-25高三上?江蘇蘇州?期末）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五張卡片，甲、乙兩人隨機(jī)依次從中各抽

取兩張，則僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為（）

易錯(cuò)分析：古典概型概率問(wèn)題必須要滿(mǎn)足基本事件的等可能性.

2.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）近年來(lái)，國(guó)內(nèi)中、短途旅游人數(shù)增長(zhǎng)顯著，2024年上半年旅游人數(shù)更創(chuàng)新

高，充分展示了國(guó)內(nèi)文旅消費(fèi)潛力.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)打算去北京、成都、貴陽(yáng)三個(gè)地方旅游，每

位同學(xué)只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

3183672

3.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）從3名男生和2名女生中任選3人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則選出的3人中

既有男生又有女生的概率為（）

1r3c9

AA.—B.—C.—D.—

1010510

4.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）有相（根＞4）件產(chǎn)品，其中有3件次品，其余均為正品，從中任取2

件產(chǎn)品，2件產(chǎn)品等次不同的概率為則取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率為（）

A.|B.—C.-D.-

21234

5.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

那么這2個(gè)球同色的概率為（）

25

易錯(cuò)分析：抽樣問(wèn)題中的概率問(wèn)題要注意區(qū)分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.

6.不透明的口袋里有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，這6個(gè)球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個(gè)球，則

抽出的2個(gè)球均為白球的概率為（）

4721

A.—B.—C.—D.—

915518

7.（2024?上海徐匯?一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次

將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的

頻率穩(wěn)定在01左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）

A.40個(gè)B.45個(gè)C.50個(gè)D.55個(gè)

8.（24-25高三上?浙江?期中）某袋子中有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放

回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）

A.AB.iC.』D.工

15553

9.（2024?上海虹口.一模）己知事件A和事件3滿(mǎn)足&口臺(tái)=0，則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.事件A和事件B獨(dú)立B.事件A和事件8互斥

C.事件A和事件8對(duì)立D.事件4和事件與互斥

易錯(cuò)分析：熟記互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義，并能進(jìn)行正確的區(qū)分判斷.

10.（24-25高三上?上海?期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件人“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件3：“出現(xiàn)3

點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與事件8的關(guān)系為（）

A.是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件

C.既是相互獨(dú)立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互獨(dú)立事件

11.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠

色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（X,y）表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E：x+y=8；事件/：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件G:X>4；

事件8:y<4.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件E與事件歹為互斥事件B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件以相互獨(dú)立

12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A="出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，事件8="出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與3

的關(guān)系為（）

A.相互獨(dú)立事件B.相互互斥事件

C.即相互獨(dú)立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互獨(dú)立事件

13.（24-25高三上?江蘇?期末）第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年11月12日至17日在珠海舉行.本

屆航展規(guī)?？涨埃状未蛟臁翱?、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量.航展共開(kāi)辟了

三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無(wú)人系統(tǒng)演示區(qū).甲、乙、丙、丁四人相約去參

觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū).在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同

一觀展區(qū)的概率為（）

32

14.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為:，甲、乙兩人中至少有一人去

43

北京旅游的概率為3,且甲是否去北京旅游對(duì)乙去北京旅游有■定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去

北京旅游的概率為（）

A-7B-iD-

易錯(cuò)分析：條件概率的求解主要有兩種方法，一是公式法「（3|加=哭萼，二是縮小樣

P（A）

n(AB)

本空間法P（3|A）=

〃(A)

15.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí)）質(zhì)監(jiān)部門(mén)對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)此建筑構(gòu)件實(shí)

施打擊，該構(gòu)件有兩個(gè)易損部位，每次打擊后，A部位損壞的概率為2，8部位損壞的概率為:，則

在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮45兩個(gè)易損部分）的條件下，A3兩個(gè)部位都損壞的概率是（）

3-5-17

A.—B.—C.—D.—

13132020

16.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是：2：4：3，且三人通關(guān)

與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中恰有兩人通關(guān)的條件下，甲通關(guān)的概率為（）

A.-B.-C.—D.—

531313

17.（2024?四川內(nèi)江?一模）已知一批產(chǎn)品中有90%是合格品，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品

的概率為0。5,一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為0.01.任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率

為（）

A.0.855B.0.856C.0.86D.0.865

考點(diǎn)04隨機(jī)變量及其分布列

1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則4=（）

B.]-立C.1+變D.1土也

22-2

易錯(cuò)分析：根據(jù)隨機(jī)變量的分布列求值時(shí)要注意分布列的性質(zhì)，即

2.已知離散型隨機(jī)變量自的分布列為

0123

42

Pmn

99

若E0)=l,則￡>0+1)=()

A.2B.3C.6D.7

3.若隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.10.30.10.2

則當(dāng)P（X<a）=0.7時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-8,2]B.[1,2]

C.（1,2]D.（1,2）

4.（25-26高三上?上海?單元測(cè)試）設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的

期望為（）

易錯(cuò)分析：概率分布問(wèn)題要注意區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布：（1）抽樣情況不同：二項(xiàng)

分布：有放回抽?。í?dú)立重復(fù)），每次抽取不影響后續(xù)抽??；超幾何分布：不放回抽取，每次

抽取都會(huì)減少總體中特定元素的數(shù)量；（2）計(jì)算方法不同：二項(xiàng)分布：概率計(jì)算涉及事件獨(dú)

立性的乘積；超幾何分布：概率計(jì)算涉及組合排列，因?yàn)榭傮w的元素?cái)?shù)量在抽取過(guò)程中會(huì)發(fā)生

變化；（3）所需信息不同：二項(xiàng)分布：無(wú)需知道總體的容量；超幾何分布：需要知道總體的

容量和特定元素的數(shù)量。

5.袋中有5個(gè)形狀相同的乒乓球，其中3個(gè)黃色2個(gè)白色，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，則恰好有2個(gè)黃色

乒乓球的概率是（）

1313

A.—B.—C.-D.一

101055

6.（小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒(méi)投中得0分，

總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B.E（X）=4.8C.D（X）=0.48D.D（X）=0.96

7.（2024.山西呂梁.三模）如圖所示，己知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率

為:，向右移動(dòng)的概率為;.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置，

44

貝I]尸（X>0）=（）

I]111111111A

-4-3-2-10123456%

、50-17-53-17

24351251281

8.根據(jù)分類(lèi)變量x與y的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/=2.974.依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.89710.828

A.變量x與y不獨(dú)立

B.變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05

C.變量X與y獨(dú)立

D.變量X與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05

易錯(cuò)分析:獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題要注意卡方值的應(yīng)用，如何和參考數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和如何下結(jié)論.

9.（2024?山東荷澤.二模）足球是一項(xiàng)大眾喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)，為了解喜愛(ài)足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人

進(jìn)行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍,男性喜愛(ài)足球的人數(shù)占男性人數(shù)的g，女性喜愛(ài)足球的人數(shù)占女性人

O

數(shù)的g,若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查

的男性至少有（）人

2n^ad-bc^

“(〃+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8415.6357.87910.828

A.10B.11C.12D.13

專(zhuān)題07計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)01計(jì)數(shù)原理

1.（24-25高三上?河北邢臺(tái)?期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個(gè)場(chǎng)地參加志

愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.72B.96C.114D.124

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個(gè)場(chǎng)地，再計(jì)算得出甲乙不在同一個(gè)場(chǎng)地的情況即可求

解.

【詳解】將5名志愿者分為1,2,2,且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，

c2c2

則不同的安排方法有c*卡A；+C；C；A；=72種.

將5名志愿者分為1,1,3,且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，

則不同的安排方法有A；+C；C；A；=42種.

故不同的安排方法共有72+42=114種.

故答案為：C.

易錯(cuò)分析：分組分配問(wèn)題中均分組問(wèn)題要注意做到不重不漏，一般是先分組再分配.

2.（24-25高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試）今年暑期檔，全國(guó)各大院線(xiàn)推出多部精彩影片，其中比較熱門(mén)的有

《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華

兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵

探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

【答案】D

【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是《名偵探柯南》

相同，分別計(jì)算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.

【詳解】若兩人所選影片均不同，此時(shí)小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，

小華從剩余的3部中選擇兩部，此時(shí)共有C；C；=12種方案，

若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有Aj=12種方案,

若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有C：種選擇，

再給小華從剩余3部中選擇一部，有C；種選擇，故共有C；C；=12種方案，

綜上，共有12+12+12=36種方案.

故選：D

3.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來(lái)了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們

分配到高一年級(jí)的1,2,3三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

【答案】B

【分析】先把5名大學(xué)生按照1:2:2分成三組，再將三個(gè)組分到3個(gè)班，計(jì)算可得答案.

【詳解】將5名大學(xué)生分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，

c2c2

則將5名大學(xué)生分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有安=15種方法，

再將3組分到3個(gè)班，共有15?A；=90種不同的分配方案，

故選：B.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來(lái)到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3

個(gè)5A級(jí)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5

名游客不同的選擇方案種數(shù)為（）

A.52B.72C.76D.100

【答案】D

【分析】分類(lèi)討論與甲為一組的人數(shù)情況，結(jié)合分組分配問(wèn)題的解法即可得解.

【詳解】若甲1個(gè)人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1,3或2,2,

則不同的選擇方案有C；（C：A；+C；）=2x（4x2+6）=28種；

若甲和另外1個(gè)人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1,2,

則不同的選擇方案有C：C；C；A；=4x2x3x2=48種；

若甲和另外2個(gè)人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1,1,

則不同的選擇方案有A；=6x2x2=24種：

所以共有28+48+24=100種選擇方案.

故選：D.

5.（25-26高三上?上海?單元測(cè)試）如題圖所示是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

B.300種

C.360種

D.420種

【答案】D

【分析】先安排中心區(qū)域A,再?gòu)?開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行布置四周的區(qū)域，分。與2選用同一種和選用

不同種類(lèi)菊花兩種情況，結(jié)合計(jì)數(shù)原理得到答案.

【詳解】先布置中心區(qū)域A共有5種方法，從2開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行布置四周的區(qū)域，

則B有4種布置方法，C有3種布置方法.

如果。與3選用同一種菊花，則E有3種布置方法；

如果。與B選用不同種類(lèi)菊花，則〃有2種布置方法，E有2種布置方法.

按照分步乘法與分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，

貝U全部的布置方法有5X4X3X（1X3+2X2）=420（種）.

故選：D.

易錯(cuò)分析：涂色問(wèn)題一般是綜合考查兩個(gè)原理的應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題要注意合理的分步分類(lèi)，

一般可以從哪些部分可以同色入手分析.

6.（23-24高三下?山東濟(jì)寧?期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”.后人稱(chēng)其為

“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色

不相同.記事件A：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”，事件8：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則尸（3|A）=（）

1

4

A-IB-t—D-I

【答案】c

【分析】由已知，結(jié)合條件概率公式求解即可.

【詳解】事件A：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”即從5種顏色選出兩種放入?yún)^(qū)域2和區(qū)域4,

再?gòu)氖Ｓ嗟?種顏色選出一種放入?yún)^(qū)域5,剩余的區(qū)域1和區(qū)域3分別都有兩種選擇，

即有A；C；C；C；=240種,

事件有A；=120種,

所以「(例⑷=匕部1201

2402

故選：C.

7.(24-25高三上?黑龍江?期末)已知的展開(kāi)式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大

的項(xiàng)是()

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

【答案】C

【分析】先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)(+1=(-1)’2,,從而依據(jù)展開(kāi)式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)得到"=10,再

依據(jù)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值大于或等于第廠(chǎng)+2項(xiàng)且大于或等于第r項(xiàng)列不等式組即可求得.

丫2_1丫2r21r2n-—2r

【詳解】由題意，二項(xiàng)式嘮-x2)"展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+l=c;(^-y-(-xy=(-iy(-rc；x,

因?yàn)檎归_(kāi)式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，故2~gx8=0,解得〃=10,

故第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值為§)6,C；。.

/咱飛優(yōu),①

設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則有

Cfo嗎yy，②

由①可得:—X-----------------------2---------------------------------

2r!-(10-r)!(r+1)!-(9-r)!

10!、110!11122

由②可得:，即解得「士三.

r!-(10-r)l2(r-l)!.(ll-r)!

即一WrW三，又因?yàn)閞wN*,故r=7,即第8項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大.

33

故選：C.

易錯(cuò)分析：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是IM=Cran-rbr,注意通項(xiàng)公式是表示展開(kāi)式的第什1

8.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）已知（“>0）的展開(kāi)式中的第7項(xiàng)為7,則實(shí)數(shù)“的值為（

D.-2

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件求解即可.

【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（包=C；

令r=6,則Q1=（_a）6.C〉x2"T4=7,即“=7,

則（一a『-C；=7,即4=1,又。>0,貝lja=l.

故選：A.

9.（24-25高三上?湖南株洲?期末）若（；+$”展開(kāi)式中的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)相等，則〃的值為（）

x'xJ

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)，列式計(jì)算得解.

【詳解】二項(xiàng)式（》+學(xué)"的展開(kāi)式第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為C：x；，Cxg）2,

依題意，C：x；=C：x（；）2,即%=勺辿，整理得〃2一7〃=0,而〃eN*,所以"=7.

故選：B

10.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?期末）己知心+工丫的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于

72,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，列式求出九，再求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而求出暴指數(shù)為0的項(xiàng)即可.

【詳解】依題意，C：+C：2=72,即4"-1）=72,而"為正整數(shù)，解得"=9,

由9-3左=0,解得左=3,

所以該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為[g；C；=.

故選：A.

易錯(cuò)分析：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的不同.

11.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）

A.8B.-8C.28D.-28

【答案】C

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的意義求解即可.

【詳解】第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=^-4=28.

2x1

故選：C.

12.（23-24高三下?湖北?階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)

用數(shù)字作答）.

【答案】56

【分析】轉(zhuǎn)化為隔板法，解決問(wèn)題.

【詳解】設(shè)％,%,生，的對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則%eN*,qeN[=l,2,3）

且4+%+/+4=6,相當(dāng)于6個(gè)相同的球排成一?排，每個(gè)球表示1,

先拿一個(gè)球裝入處,轉(zhuǎn)化為5個(gè)球裝入4個(gè)盒子，每盒可空，等價(jià)于9個(gè)球用3個(gè)隔板分成4組（各組不

可為空），

故共有C；=56種.

故答案為：56.

易錯(cuò)分析：要注意“隔板法”僅適用于相同元素的分配問(wèn)題.

13.（2024?湖北?二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,則方程x+y+z=10的解的組數(shù)為.

【答案】15

【分析】問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，

利用隔板法求解即可.

【詳解】由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的

方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有C；=1"==15種方法，

即方程無(wú)+y+z=io的解的組數(shù)為15.

故答案為：15

14.（23-24高三下?山東青島?階段練習(xí)）x+y+z+t=6的非負(fù)整數(shù)解有組.

【答案】84

【分析】把方程的解轉(zhuǎn)化為將6個(gè)相同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同

的方法？按照相同元素的排列問(wèn)題進(jìn)行求解即可.

【詳解】本問(wèn)題等價(jià)于將6個(gè)相同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同的方

法？

因此我們將6個(gè)小球排成一排，用3個(gè)隔板將小球隔成4段，

因?yàn)楹凶涌梢詾榭?，因此隔板可以相鄰，將?23,4段放入x,y,zj這四個(gè)盒子中即可，

因?yàn)樾∏驔](méi)有區(qū)別，隔板也沒(méi)有區(qū)別，因此等價(jià)于將6個(gè)小球和3個(gè)隔板排成一列，則共有C；=84種方法，

故答案為：84.

考點(diǎn)02統(tǒng)計(jì)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類(lèi)文明的

結(jié)晶和最寶貴的共同財(cái)富.某校為了解學(xué)生對(duì)當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進(jìn)

行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為4:3:2,若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取36人進(jìn)

行調(diào)查，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

【答案】C

【分析】根據(jù)比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，計(jì)算出抽取的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)和高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)，做差即可.

4

【詳解】由題意，采用分層抽樣的方法，應(yīng)從高一年級(jí)抽取36x，..=16人,

4+3+2

2

從高三年級(jí)抽取36x,/c=8人,則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多16-8=8人.

故選：C

易錯(cuò)分析：處理分層抽樣問(wèn)題的關(guān)鍵是“等比”這一特征.

2.（23-24高三下?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）某學(xué)校高二年級(jí)選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人

數(shù)分別為240,90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出

的同學(xué)人數(shù)為（）

A.8B.12C.16D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義列出式子，進(jìn)行求解.

【詳解】由題意得，史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為30x./120=8.

240+90+120

故選：A

3.（2024?河南?三模）國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該

制造企業(yè)內(nèi)的某車(chē)間有兩條生產(chǎn)線(xiàn)，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰

電池.質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能

量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）.

A.325個(gè)B.300個(gè)C.225個(gè)D.175個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

on_

【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為400x%*=225（個(gè)）.

故選：c

4.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）某市安踏專(zhuān)賣(mài)店為了了解某日旅游鞋的銷(xiāo)售情況，抽取了部分顧客所購(gòu)旅

游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,第4

小組與第5小組的頻率分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10,則第5小組的頻數(shù)是（）

八頻率/組距

0.15-----------------------I

0.05-----------------------------------

LA^__I-------------1----------------1------------------------------------------------------------

o355375395415435455尺寸

A.4B.5

C.8D.10

【答案】B

【分析】先設(shè)從左到右前3個(gè)小組的頻率分別為x,2x,3x,第5小組的頻數(shù)是y,由頻率之和為1結(jié)合題

設(shè)列出關(guān)于尤，y的方程組求出x，V即可得解.

【詳解】設(shè)從左到右前3個(gè)小組的頻率分別為x,2x,3x,第5小組的頻數(shù)是y,

x+2x+3x+0.15x2+0.05x2=1

x=0.1

則,10_y，解得

J=5

、2x0.05x2

故選：B.

易錯(cuò)分析：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率與組距的比，每個(gè)小矩形的面積才是各組中的

頻率.

5.（24-25高三上?天津河?xùn)|?期末）某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績(jī)進(jìn)行賦分，目的是為了更好地對(duì)新高

考改革中不同選科學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，?jīng)過(guò)對(duì)全校300名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的

頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù)為（）

A.270B.240C.180D.150

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出機(jī)=0.005,進(jìn)而求出物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù).

【詳解】10(〃z+2機(jī)+0.015+0.020x2+0.030)=1,解得根=0.005,

故物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù)為300X[1_10X（0.005+0.015）]=240.

故選：B.

6.（23-24高三上.天津?階段練習(xí)）為了