專題05立體幾何

考點(diǎn)01空間幾何體

1.（24-25高三上?河北唐山?期末）如圖，在三棱柱ABC-ABIG中，CC|_L平面ABC1，AB=BC^CA^2,

A.告B.V2C.2夜D.3夜

易錯(cuò)分析：求幾何體的體積時(shí)，若幾何體是規(guī)則圖形可直接利用公式求解，若幾何體是不

規(guī)則圖形，可考慮用“割補(bǔ)法”求解.

2.（24-25高三上?北京順義?期末）某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課中，用四塊板材制作了一個(gè)簸箕（如圖1）,其底面

擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直.簸箕

的造型可視為一個(gè)多面體（如圖2）.若A3=24cm,CD=30cm,AE=15cm,AB與CD之間的距離為28cm,

則該多面體的體積是（）

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）若在長方體ABC。-中，A8=3,8C=1,44,=4.則四面體

與四面體AG8。公共部分的體積為（）

A.AB.竺C.2D.1

13393

4.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖，這是正四棱臺被截去一個(gè)三棱錐后所留下的幾何體，其中

AB=AAi=4,皿=2,則該幾何體的體積為（）

C.26715D.26V14

33

5.（24-25高三上?吉林長春?期末）若圓臺上、下底的面積分別為兀，4兀，高為2,則圓臺的側(cè)面積為（）

易錯(cuò)分析：空間幾何體的面積問題要注意區(qū)分表面積和側(cè)面積的區(qū)別.

6.（24-25高三上?重慶?期末）在正四棱臺ABCD-AeGA中，A瓦=2,A8=4,且正四棱臺存在內(nèi)切球,

則此正四棱臺外接球的表面積為（）

A65049C657130n

A.—7iB.—7iC.----------7iD.8o兀

2224

7.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，圓臺內(nèi)有一個(gè)表面積為1的球。，該球與圓臺的側(cè)面和底面均

相切，則該圓臺的表面積的可能取值為（）

8.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓臺。。2的上、下底面圓的半徑分別為1和3,母線長為6,且

該圓臺上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.247rB.36兀C.48兀D.54兀

易錯(cuò)分析：空間幾何體的外接球問題要注意先確定球心位置，然后根據(jù)截面圓半徑、球半

徑'球心距組成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知三棱錐S-A5C的側(cè)棱長相等，且所有頂點(diǎn)都在球的球面上，

其中則球的表面積為（）

A.—B.16TIC.37rD.4兀

3

10.（24-25高三上?湖南株洲?期末）已知長方體的長，寬，高分別為4,6,3,連接其各面的中心，得到一個(gè)

八面體.已知該八面體的體積為8,則該長方體的表面積的最小值為.

11.（24-25高三上?山東淄博?期末）已知三棱錐ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面

S3C上的射影H是△SBC的垂心，三棱錐ABC的體積為6，則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

考點(diǎn)02點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知優(yōu)，/是兩條不同的直線，a,尸是兩個(gè)不同的平面，則c_L分的一

個(gè)充分條件是（）

A.mYl,mu/3,l1aB.ary/3=1,m（^a

C.mlII,mLa,IL/3D.IVa,ml/I,ml1/3

易錯(cuò)分析：利用空間中的平行、垂直問題時(shí)，一定要注意判定定理成立的前提條件.

2.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）設(shè)相，”是兩條不同的直線，d￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若mlla,mlI（3,則?！ㄊ珺.若加//a,。///?則機(jī)///?

C.若機(jī)_L〃，m_La,〃_L4,則aJ_/D.若a1[3,mlla、nlIf3,則m_L〃

易錯(cuò)分析：平行關(guān)系的辨析問題，容易忽略直線在平面內(nèi)這一特殊位置而致錯(cuò).

3.（24-25高三上?天津河北?期末）已知a,￡是兩個(gè)平面，I,m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是

（）

A.若加〃a,I.La,則加〃/B.專m//a,aLf3,則根_L/

C.若m_La,/±m(xù),貝!J/〃aD.若。〃/?,mVa,則m

4.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知名方是空間中的兩個(gè)不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若加匚°,〃匚°,/_1m,/_1〃，則/_LaB.若加（=。,〃（=夕,機(jī)_1〃，則6Z_L/7

C.若IIlnt,mua,則///aD.若11lm,mlln,l【a,則〃_La

5.（2024.山東?模擬預(yù)測）設(shè)。是空間中的一個(gè)平面，/,私〃是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真

命題的是（）

A.^m（zcr,Mczcr,Z±m(xù),Z±n,則/J_a

B.若/_La,/_!_相則機(jī)//a

C.若,貝

D.若IIIm,mlIn,/_La,則〃_La

6.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習(xí)）已知。，廠是兩個(gè)互相平行的平面，I,加，〃是不重合的三條直線,

且/J_a,mua,“u/,則（）

A.ILnB.m±nC.1/InD.mlln

7.（24-25高三上?天津和平?期末）已知加，〃為兩條不同的直線，a,夕為兩個(gè)不同的平面，則下列說法

中正確的是（）

A.若〃z//e,〃ua,則機(jī)//〃B.若〃z_La,ml//3,則

C.若力_zL（z,m±n,則〃〃aD.若mlla,a!Ip,則加//￡

8.（24-25高三上?山東?階段練習(xí)）已知名〃為兩個(gè)不同的平面，/,加為兩條不同的直線，則“7」月的一個(gè)

充分不必要條件可以是（）

A.機(jī)與￡內(nèi)所有的直線都垂直B.aVp,a（y13=l,m±l

C.機(jī)與夕內(nèi)無數(shù)條直線垂直D./_La,/_L￡,

9.（24-25高三上?河北張家口?期末）已知a是一個(gè)平面，a,b是兩條不同的直線，b（^a,p:aLa,q\aLb,

則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（24-25高三上?天津河西?期末）設(shè)也〃是兩條不同的直線，d￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確

的是（）

A.若機(jī)//a,mnp,則a//夕

B.若〃2_La,/n_L〃，則”_Lcr

C.若eJ_#,桃_La,則加///

D.若mlajn//0,則a_L/?

11.（2025?上海?模擬預(yù)測）如圖，438-4瓦￡2是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是（）.

A.AB和G2；B.AA和Cq；C.BQ和耳D；D.AR和

12.（2025高三?全國?專題練習(xí)）在正方體A3CD-A耳CQ中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.A片與2c異面B.用0AAG

C.平面AC2〃平面ABGD.平面4RC

考點(diǎn)03空間角

1.（24-25高三上?甘肅白銀?期末）若ABCD-A畫CQ為正方體,則異面直線BCX與CD,所成角的大小為（）

A.-B.-C.-D.-

3428

易錯(cuò)分析：求異面直線所成角的方法一般有兩種：一是幾何法，即平移作角、通過解三角

形求解；二是向量法，即通過空間向量進(jìn)行求解，無論何種方法都要注意異面直線所成角的范

圍為恒.

2.（23-24高三上?江蘇南京?期中）已知矩形ABCD中，AB=l,BC=e,E是邊BC的中點(diǎn).AE和交于

點(diǎn)將AABE沿AE折起，在翻折過程中當(dāng)AB與垂直時(shí)，異面直線54和C。所成角的余弦值為（）

A.-B.-C.—D.-

64123

3.（24-25高三上?吉林?期末）正三棱臺ABC-DEF中，AB=2AD=2DE,G,H分別為AB,DE的中點(diǎn)，

則異面直線GH,環(huán)所成角的余弦值為（）

DF

4.（2024?四川綿陽?一模）三棱柱ABC-A4G，底面邊長和側(cè)棱長都相等.ZBAA,=ZCAA,=60°,則異面

直線ABX與8G所成角的余弦值為（）

A.@B.|C.逅D.逅

2236

5.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，平面平面ABCAPAB是邊長為2相的

等邊三角形，VABC是直角三角形，且AC=3C,則上4與BC所成角的余弦值為（）

6.（24-25高三上?四川宜賓?階段練習(xí)）在平行六面體ABCD-ABG2中,

TT

ZDAB=AAlAB=ZAiAD=-,AAi=3,AB=AD=2,則AQ與平面ABC。所成角的正弦值為（）

A.&B.叵C.叵D.逅

11112233

rn?n—?―

易錯(cuò)分析：利用空間向量求線面角的公式是5116=可距,〃是異面直線的方向向量，不

要誤認(rèn)為公式求出的是余弦值.

7.（24-25高三上?云南昆明?期中）在正方體ABC。-ABG2中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.AD.1A.CB.AR與3D所成角為方

C.A，//平面D.與平面ACG所成角為三

8.（2024.河南.模擬預(yù)測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時(shí)搭建城市共建共享平

臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點(diǎn)位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上

一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知A3和C￡＞是圓。的兩條互相垂直的直徑，將平

面ABC沿AB翻折至平面使得平面ABC'，平面ABD（如圖2）此時(shí)直線A8與平面所成角的

正弦值為（）

圖1圖2

1口6-a八A/3

—￡>.C.U.

3322

9.（2023?河北保定二模）如圖，在長方體A3CD-A用￡2中，AB=BC=1AA}=2,對角線BQ與平面

A2G交于E點(diǎn).則AE與面A41A。所成角的余弦值為（）

A.-B.BC.-D.好

3333

10.（24-25高三上?北京朝陽?期末）如圖，在五面體中，平面ABC。，ADLCD,AB//CD,

PQ//CD,AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分別為BQ,AP的中點(diǎn)，連接OG,EG,CE.

⑴求證：API平面。CE；

⑵求直線CP與平面。CE所成角的正弦值；

⑶線段BC上是否存在點(diǎn)M,使得CP〃平面DGM?若存在，求槳的值；若不存在，說明理由.

11.（24-25高三上?吉林長春?期末）如圖四邊形A3CD是邊長為出的菱形，ZADC=60°,平面ABC。外的

點(diǎn)、E,尸滿足E,F,B,。四點(diǎn)共面，且FD_L底面ABCD,EF^FD.

⑴證明：AE=CE；

⑵若FD=1,EF=4,求EF與平面ACE所成的角的余弦值.

12.（24-25高三上?天津和平?期末）如圖，已知四邊形ABC。是矩形，AB=2BC=2,三角形PC。是正三

角形，且平面ABCDL平面PCD.

(1)若。是CD的中點(diǎn)，證明上4；

(2)求二面角R4-O的正弦值；

(3)在線段CP上是否存在點(diǎn)Q,使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為增，若存在，確定點(diǎn)Q的位置，

若不存在，請說明理由

13.(2024?江西新余?模擬預(yù)測)如圖，在平面圖形甲中，2AD=2CB=2CD=AB,CD//AB,ADCF與.BCE

分別為以。斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將該圖形沿8,向上翻折使CE、CF邊重合(區(qū)P重合于

￡),連AE.圖乙中，M為EB中點(diǎn).

⑴求證：CE_L平面ABCD；

⑵求證：CM〃平面ADE；

(3)求平面DWC與平面ABD夾角的正弦值.

14.(24-25高三上?天津西青?期末)如圖，在三棱錐P-ABC中,PA，平面ABC,AC1AB,AB^1,PA^AC^2,

點(diǎn)。在棱AC上，且AC=3AO,“為棱尸C的中點(diǎn).

⑵求平面ABM與平面DBM夾角的余弦值；

(3)在線段AP上是否存在點(diǎn)H滿足直線3"與平面所成角的正弦值為叵？若存在，求出的值，若

10

不存在，請說明理由.

易錯(cuò)分析：二面角與平面法向量所成角的關(guān)系是相等或互補(bǔ)的關(guān)系，求解過程中要注意區(qū)

分.

15.（24-25高三上?江蘇常州?期末）在直三棱柱ABC-A與G中，。，E分別為明，AC的中點(diǎn)，且AB=3C=1,

A4,=AC=6

⑴求證：BE±AQ；

⑵求二面角5-CO-A的正弦值.

16.（24-25高三上?廣東汕頭?期末）如圖，平面四邊形ABC3中，AB=8,AD=5y/3,

Cr>=3,/8Ar>=3（y,2Ar）C=90。，點(diǎn)尸為中點(diǎn)，F(xiàn)EJLAD于E,將△AEF沿砂翻折至！尸跖，使得

PC=45

（1）證明：CD_L平面FED；

（2）求平面與平面的夾角的余弦值.

專題05立體幾何

考點(diǎn)01空間幾何體

1.（24-25高三上?河北唐山?期末）如圖，在三棱柱中，CQ，平面ABC-AB=3C=C4=2,

cqf,則三棱柱ABC-A4G的體積為（）

A.與B.41C.20D.3及

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求出AABG的面積，把求三棱錐￡-ABC的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐C-A2G的體積，再根

據(jù)匕棱ttABC-A4G=3咚棱錐G-MC的關(guān)系進(jìn)行求解.

【詳解】V平面ABC-

cq±ACpCq_LBG，

?：AB^BC=CA=2,?=夜，

.-.AC1=BC；=74^2=A/2,

.”AG8是等腰直角三角形，

=]AC「13€\=3乂正又母=\，

一咚棱雛G-A8C=咚棱雒C-ABG=]XCC],S?A8G=~X^/^xl=,

所以丫三棱柱ABC-A0G=3咚棱能G-ABC=3x*=0,

故選：B.

易錯(cuò)分析：求幾何體的體積時(shí)，若幾何體是規(guī)則圖形可直接利用公式求解，若幾何體是不

規(guī)則圖形，可考慮用“割補(bǔ)法”求解.

2.（24-25高三上?北京順義?期末）某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課中，用四塊板材制作了一個(gè)簸箕（如圖1）,其底面

擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直.簸箕

的造型可視為一個(gè)多面體（如圖2）.若A3=24cm,CD=30cm,A￡=15cm,AB與CD之間的距離為28cm,

則該多面體的體積是（）

圖1

A.5040cm3B.5250cm3

C.5460cm3D.5670cm3

【答案】C

【分析】將幾何體的體積轉(zhuǎn)化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)樗倪呅问癁榫匦危识矫嫫矫鍭BCD,

平面ABFEpI平面=,AEu平面A5正，

故AE_L平面ABCD,

在平面ABC。中過A作AS_LDC,垂足為S,則AS_LAB,

同理可證AS_L平面ABFE,

3

而AS=28,故VE_ACD=|xl5x1x28x30=2100cm,

1,

V-=—x28x24xl5=3360cm3,

CrADRFCF3

故幾何體的體積為546001?,

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）若在長方體AB。-A瓦G2中，A3=3,BC=1,44,=4.則四面體

與四面體AGBD公共部分的體積為（）

【答案】C

【分析】先確定兩個(gè)四面體的公共部分，再利用錐體的體積公式求體積.

【詳解】如圖：

取4月與AB的交點(diǎn)為E,取3。中點(diǎn)G,連接AG,交AG于點(diǎn)尸,

則三棱錐E-BFC,即為四面體ABB?與四面體4c建。的公共部分.

因?yàn)?1X3XV1+16=^1^.

AFAG11?23、/F7/—

又FC[=AC]=5'所以SABF=§SAABG，所以S’B",='"ABG=「x2」=厲.

過耳作于點(diǎn)"，

因?yàn)锳B,平面3CCe，印Wu平面BCC4,所以

因?yàn)锳B,BGu平面ABC一所以印WL平面ABC1.

所以為B1到平面ABC,的距離，其值為-^==口=誓

717?后17

點(diǎn)E為A片的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面ABG的距離為：工義生叵=2叵.

21717

所以/BFC=-xV17x^l=-.

E-BFC'3173

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何圖形的公共部分和體積計(jì)算：通過分析兩個(gè)幾何體公共部分的幾何位置，逐步構(gòu)

造關(guān)鍵點(diǎn)，利用三角形面積和錐體體積公式，最終得出公共部分的體積，此方法清晰有效，能充分展示邏

輯推理與代數(shù)運(yùn)算等解題技巧.

4.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖，這是正四棱臺被截去一個(gè)三棱錐后所留下的幾何體，其中

AB=AAl=4,AA=2,則該幾何體的體積為（）

C.26715D.26V14

【答案】A

【分析】由正四棱臺的性質(zhì)，可求得正四棱臺的高，從而可得正四棱臺的體積.補(bǔ)全圖中幾何體可知截去的

三棱錐的底面為三角形A耳G，高為正四棱臺的高4E,從而可得截去的三棱錐的體積.兩者做差即可得到

題目中幾何體的體積.

【詳解】

因?yàn)锳5=A4,=4,A"=2,根據(jù)正四棱臺性質(zhì)，其高為

2

MO=AlE=yjAA^-AE=-{AO-=J16-（2啦-應(yīng)了=舊，

則該正四棱臺的體積為V=；（S上+S下+Js上S下）〃=|（4+16+44x16b714=空普.

又由圖可知截去三棱錐底面積為山4G=；X2X2=2,

所以三棱錐體積為15.SC-AE=1x2x714=巫,

3A/i|O|C|133

即所求幾何體體積為竺叵-2叵=迎旦.

333

故選：A

5.（24-25高三上?吉林長春?期末）若圓臺上、下底的面積分別為兀，4兀，高為2,則圓臺的側(cè)面積為（）

A.-7TB.—C,3&D.

332

【答案】C

【分析】利用給定條件結(jié)合圓臺側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閳A臺上、下底的面積分別為兀，471,設(shè)上底半徑為人下底半徑為

所以叫2=兀，跖2=4兀，解得4=1,弓=2（負(fù)根舍去）,

設(shè)圓臺母線為/,由勾股定理得/了=石，且設(shè)圓臺側(cè)面積為S,

故5=0兀(1+2)=3氐，故C正確.

故選：C

易錯(cuò)分析：空間幾何體的面積問題要注意區(qū)分表面積和側(cè)面積的區(qū)別.

6.(24-25高三上?重慶?期末)在正四棱臺ABC。-A耳G2中，其4=2,AB=4,且正四棱臺存在內(nèi)切球，

則此正四棱臺外接球的表面積為()

.65049.65A/1306。

A.71B.71C.----------7TD.8兀

2224

【答案】A

【分析】由內(nèi)切球切點(diǎn)的截面性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而結(jié)合勾股定理得四棱臺的高度，再由

外接球幾何性質(zhì)建立關(guān)系得外接球的半徑，從而得所求.

【詳解】因?yàn)檎睦馀_內(nèi)切球存在時(shí)，內(nèi)切球大圓是圖中梯形〃LN的內(nèi)切圓，圓心為E,

設(shè)上下底面的中心分別為a，a.

過E作EF_LNL于尸，連接EN,EL,

由圖可知OiE=￡^=EQ,

則NL=NF+FL=OXN+O2L=1（W+JL）=1x（2+4）=3,

過N作腔_LJL于K,Op=NK=JNZ?_就=g/上閆=2夜,

即四棱臺的高為20,

設(shè)外接球球心為0,設(shè)外接球的半徑為R,

22

則002=。。+0。2=7A0-40I+Jo?-AO；

=JR2_(0)2+JR2—(2碼2=2a,

解得R2=詈，

o

則外接球表面積為4兀4=手

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于正四棱臺的內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是要通過截面法確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而

轉(zhuǎn)換為幾何體的內(nèi)切球，由幾何性質(zhì)確定正四棱臺的高度，從而再根據(jù)外接球的性質(zhì)求解外接球半徑，即

可得所求。

7.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，圓臺內(nèi)有一個(gè)表面積為1的球。，該球與圓臺的側(cè)面和底面均

相切，則該圓臺的表面積的可能取值為（）

【答案】A

【分析】設(shè)圓臺的下底面半徑為N上底面半徑為2,球。的半徑為R,根據(jù)幾何體的特征可得發(fā)=斗々,

根據(jù)基本不等式可得國＞：3邑=：3,從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】不妨設(shè)圓臺的下底面半徑為心上底面半徑為2,球。的半徑為R,

如圖，作出圓臺的軸截面ABCD,過點(diǎn)。作。尸，3C于點(diǎn)尸，

由題意知圓。與梯形ABCD的四條邊均相切，則OC=。0=弓+4，

A。2D

O}FC

又。C=y]DF2+CF2={4上+5_琦，

故即+化一爐=4+毛,化簡可得收=和,

設(shè)圓臺與球的表面積分別為岳，邑,

則縣=無在+弓+a：2）s+幻］+住＞幽=3,（（＞2,故取不至I」等號）

S24成22代2桃2一

故51＞；3邑=3：.由于3:，7：1，4?都不大于3：7，r］＞3：,故圓臺的表面積的可能取值為兀g.

222332222

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決幾何體與球相切問題的基本邏輯是找空間關(guān)系或找一個(gè)特殊截面，將問題轉(zhuǎn)化為

平面問題進(jìn)行解決.求內(nèi)切球半徑的兩種方法：①等體積法，先將幾何體的內(nèi)切球球心與幾何體各個(gè)頂點(diǎn)

用線段連接，運(yùn)用等體積法就有丫=［5/+可邑廠+…（H，Sz，…為幾何體各表面的面積），于是就有廠=毛，

其中「為幾何體內(nèi)切球的半徑，v為幾何體的體積，S為幾何體的表面積；②平面化，通過找特殊截面（一

般為球的截面剛好與幾何體截面相切的截面），將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而通過求得某幾何圖形

的內(nèi)切圓半徑，求出原問題中內(nèi)切球的半徑.

8.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓臺。。2的上、下底面圓的半徑分別為1和3,母線長為6,且

該圓臺上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.24TIB.36兀C.4871D.54兀

【答案】D

【分析】求出圓臺的高，球心在上、下底圓心的連線上，利用勾股定理建立等量關(guān)系，求出球心位置，即

可得到球的半徑，從而解出球的表面積.

【詳解】取圓臺。02的一條母線AB,連接4。1、B02,

過點(diǎn)A在平面AB。?。內(nèi)作AE_LBO2,垂足為點(diǎn)E,如圖:

由題意可知，四邊形為直角梯形，且AQ=1,BO2=3,AB=6,

因?yàn)锳O1必。2，AE1BO2,OXO21BO2,

所以四邊形AE。。1為矩形，所以。*=4。=1,則3E=Ba-QE=3-l=2,

所以AEWGRE?=五一展=4夜,

設(shè)OQ=x,貝I」。。?=4啦-彳,

因?yàn)閳A臺的上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

5A/2

所以X----，

2

則球的半徑為3V6

故該球的表面積為S=4兀尸=4兀=54兀.

故選：D.

易錯(cuò)分析：空間幾何體的外接球問題要注意先確定球心位置，然后根據(jù)截面圓半徑、球半

徑、球心距組成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知三棱錐S-ABC的側(cè)棱長相等，且所有頂點(diǎn)都在球的球面上，

其中&4=2,42=1,47=2,-8/^7=60。，則球的表面積為（）

A.”工B.1671C.3兀D.4元

3

【答案】A

【分析】由三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，結(jié)合余弦定理可得3c的長，從而得ABL3C,

于是可得VABC截球。所得的圓。|的半徑/，由此能求出球。的半徑，從而能求出球。的表面積.

【詳解】

如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，

AB=1,AC=2,ABAC=60°,

由余弦定理得BC=^AC2+AB--2AC-AB-cos60°=小4+1一2x2xlxg=73,

:.AB2+BC2=AC2,貝ljAB_L3C,

：.AABC截球。所得的圓。|的圓心。|為AC的中點(diǎn)，半徑r=；AC=1,

由于三棱錐ABC的側(cè)棱長相等，所以。,。,5共線，且SO］，AC,

SO,=y/SA2-AO^=V4^1=V3.

設(shè)球的半徑為H,由斤=(人田2+/得：R=*

球。的表面積S=4nR2=史烏.

3

故選：A.

10.(24-25高三上?湖南株洲?期末)已知長方體的長，寬，高分別為。,43,連接其各面的中心，得到一個(gè)

八面體.已知該八面體的體積為8,則該長方體的表面積的最小值為.

【答案】80

【分析】由已知條件作出示意圖，可以把八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐，并且得出四棱錐的底面積和

高與長方體的關(guān)系，，從而可求得仍=16,再由長方體表面積公式，利用基本不等式，即可求得長方體表面

積的最小值.

【詳解】

如上圖所示，

八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐&-02。3。4。5和四棱錐。6-。2。3。4。5，

所以%-。必。皿=%-。必。4。5=gv=gx8=4,

因?yàn)樗睦忮F。的底面面積是長方體底面面積的一半，高是長方體高的一半，

113

所以％「0必。4=3*(6湖)*5=4，化簡得：ab=16,

所以長方體的表面積為：

S=2(ab+3Z?+3a)=2x[16+3(a+/?)]=32+6(a+))>32+6x=32+12x^/16=80

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=4時(shí)，取等號，所以長方體的表面積的最小值為80.

故答案為：80.

11.(24-25高三上?山東淄博?期末)已知三棱錐S-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面

SBC上的射影〃是ASBC的垂心,三棱錐S-ABC的體積為6，則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

【答案】弓31

lo

【分析】做輔助線，根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可證3CLAG,同理可得AC，BG,AB，CG,可知點(diǎn)G為VABC

的垂心，即可知點(diǎn)G為VABC的中心，根據(jù)體積可得PG=3,結(jié)合外接球的性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】延長S”交BC于點(diǎn)。，連接AD,

因?yàn)辄c(diǎn)H是ASBC的垂心，則SDL3C,

又因?yàn)槠矫鍿BC,BCu平面SBC,則AHLBC,

且SZHAH=H,SD,A8u平面SAD,可得3CL平面&4D,

由SA,ADu平面&4D,可得3C_L5A,BC±AD,

且底面ABC是邊長為2的正三角形，則點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

過點(diǎn)S作SGL平面ABC,垂足為點(diǎn)G,

且BCu平面ABC,可得SGL3C,

且ASISG=S,AS,SGu平面1sAG,可得3C_L平面&4G,

由AGu平面5AG,可得8C_LAG,

同理可得AC±BG,ABLCG,可知點(diǎn)G為YABC的垂心，

因?yàn)閂ABC為等邊三角形，可知點(diǎn)G為VABC的中心，

則GeAZ),且AG=2AZ)=￡^,

33

因?yàn)槿忮FS-A3c的體積為;SGxgx2x^=百，可得SG=3,

可知三棱錐S-ABC的外接球的球心OeSG,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,

4931

則R?=+(3—R),解得7?=^,

3lo

所以外接球的半徑為弓31.

lo

31

故答案為：--.

lo

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把

空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

2.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

3.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長；

4.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

考點(diǎn)02點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知/是兩條不同的直線，a,。是兩個(gè)不同的平面，則的一

個(gè)充分條件是（）

A.mil,mu/3,B.mLl,ar>/3=1,m（^a

C.mlH,mA.a,110D./mlH,ml1/3

【答案】D

【分析】對A,a與夕相交或平行；對B,a與夕可能相交但不垂直；對C,可推出a〃氏對D,可得租」a,

結(jié)合加〃?，得到答案.

【詳解】對于A,由加，/,mu/3,11a,則1與￡相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對于B,由m_U,a。夕=/,〃zua,則a與￡可能相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；

對于C,由機(jī)///,〃z_La,I工P,則a//,故C錯(cuò)誤；

對于D,由/_La,mlH,則又機(jī)//力，則a_L￡,故D正確.

故選：D.

易錯(cuò)分析：利用空間中的平行、垂直問題時(shí)，一定要注意判定定理成立的前提條件.

2.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）設(shè)相，”是兩條不同的直線，d￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若mlla,ml10,則?！?B.若〃”/tz,cr〃尸則

C.若機(jī)則a_L力D.若aq,加〃/”//月，則加_1_〃

【答案】C

【分析】利用空間中線線，面面的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A：若mllajn",當(dāng)加，"都平行于名〃的交線時(shí).滿足條件，此時(shí)兩個(gè)平面相交.故

A錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)B：若加///夕//尸，則有可能機(jī)u",故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C：若m則〃//&或wua,又因?yàn)?，如果〃ua根據(jù)面面垂直的判定定理可得

aV/3.如果“〃。，假設(shè)過w作平面7與a相交于直線/,由〃〃a,可得〃///,因?yàn)椤ǎ?，所?/p>

而/ua,根據(jù)面面垂直判定定理即可得到a故C正確

對于選項(xiàng)D：若a，回根///〃///?,則機(jī)，〃可能平行或異面.故D錯(cuò)誤.

故選：C

易錯(cuò)分析：平行關(guān)系的辨析問題，容易忽略直線在平面內(nèi)這一特殊位置而致錯(cuò).

3.（24-25高三上?天津河北?期末）已知a,￡是兩個(gè)平面，/,根是兩條不同的直線，則下列說法正確的是

（）

A.若"z〃ar,/±?,則帆〃/B.若〃?〃￡,aA.（3,則

C.若機(jī)_La,IA.m,則/〃aD.若a〃6，mYa,則〃_zL￡

【答案】D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】對選項(xiàng)A,若mJla,ILa,則m故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B,若mJla,aL/3,則加〃/，mua,或加與a相交，故B錯(cuò)誤；

對于C,若〃z_l_c,Um,貝iJ/〃?；?ua,故C錯(cuò)誤；

對于D,若a〃4，mA.a,則■方，

即一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)，D正確.

故選：D

4.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知名〃是空間中的兩個(gè)不同的平面，/,相，”是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若mua,nua,/工mJ工n,則/_LaB.若mua,〃u尸，相_L〃，則a_L#

C.若I//m,mua,貝。/〃tzD.若〃/私，篦〃"，/_La,則“_La

【答案】D

【分析】對于A：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷；對于C：

根據(jù)線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據(jù)平行關(guān)系可知〃歷，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需保證小，〃相交，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證/U。，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：若II,則〃/",

且/所以〃JLor,故D正確；

故選：D.

5.（2024.山東.模擬預(yù)測）設(shè)。是空間中的一個(gè)平面，/，私〃是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真

命題的是（）

A.若"zua,”u（Z,/_1_%,/_1_〃，則/_La

B.若/J_a,/_1_機(jī)則機(jī)〃tz

C.^1//m,m±a,n±a,貝!J/”

D.若11lm,ml/n,ILa,則〃_La

【答案】D

【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A；結(jié)合線面垂直與線線垂直的性質(zhì)分析可判斷B；由線面垂直性質(zhì)

可判斷C、D.

【詳解】對于A,由根utz,“uor,l±m(xù),l±n,只有直線機(jī)與，相交時(shí)，可得/_La,故A錯(cuò)誤；

對于B,由/_La,知機(jī)〃a或〃zua,故B錯(cuò)誤；

對于C,由///〃?,7w_Lc,〃_La,貝故C錯(cuò)誤；

對于D,由可得機(jī)_La,又因?yàn)榧印?所以"_Lor,故D正確.

故選：D.

6.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習(xí)）已知a,夕是兩個(gè)互相平行的平面，I,根,，是不重合的三條直線，

且/_La,〃zue,"u。，貝。（）

A.I1nB.m±nC.11InD.mlln

【答案】A

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)判定、性質(zhì)定理，可得正確結(jié)論.

【詳解】因?yàn)镸/6，所以

又nu/3,所以/_L〃？，ILn,

m,n平行或異面.

故選：A

7.（24-25高三上?天津和平?期末）已知機(jī)，〃為兩條不同的直線，a,夕為兩個(gè)不同的平面，則下列說法

中正確的是（）

A.若〃ua,則mllnB.若〃7_La,ml1/3,則

C.若租_Ltz,m±n,則〃〃aD.若mlla,a!Ip,則彳九//尸

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】對于A：若ml/a,"ua,則就/〃或加與,異面，故A錯(cuò)誤；

對于B：在月內(nèi)任取一點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P與直線機(jī)確定一個(gè)平面/,且6cy=A,

由山〃尸，由線面平行的性質(zhì)定理，可得m//k,

因?yàn)椤▃_La,所以上_La,因?yàn)樽髐/7,所以a_L〃，故B正確；

對于C：若機(jī)且”2_1_〃，則"http://?或〃在a內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對于D：若加//。，?//7?,則相〃〃或加u-,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

8.（24-25高三上?山東?階段練習(xí)）已知a,〃為兩個(gè)不同的平面，/,加為兩條不同的直線，則機(jī)，刀的一個(gè)

充分不必要條件可以是（）

A.加與尸內(nèi)所有的直線都垂直B.a，/3,aC\/3=l,mLl

C.小與￡內(nèi)無數(shù)條直線垂直D.ILa,1^-0,mA.a

【答案】D

【分析】A項(xiàng)由線面垂直定義可知；BC項(xiàng)在長方體中舉反例可知；D項(xiàng)由推證可得充分性，必要性顯然不

成立.

【詳解】A項(xiàng)，由直線與平面垂直的定義可知加與￡內(nèi)所有的直線都垂直是〃7的充要條件，選項(xiàng)A錯(cuò)；

B項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件mua,

如圖長方體ABCD-4片￡2中，

設(shè)平面4瓦。2為平面。，設(shè)平面A為平面夕，直線A4為機(jī)，

則an/=4R=/,滿足aJ■6，=□￡=/,m±l,

但〃?u￡,不與平面夕垂直，故不能推出

故條件a^p=l,根，/”也不是加，尸的充分不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)；

C項(xiàng)，如圖長方體A3CD-A耳GA中,

設(shè)平面A冉G2為平面P,直線BC為m,

則直線機(jī)與平面。內(nèi)無數(shù)條與4a垂直的直線都垂直，但根//尸，不與平面夕垂直,

故由機(jī)與月內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能推出加」尸，所以不是相，￡的充分不必要條件，選項(xiàng)C錯(cuò);

又因?yàn)樗詸C(jī)_L￡；

反之，由“7J-月推不出/J_a,/±/?,m1a,

所以/_La,加_La是機(jī)~L6的一個(gè)充分不必要條件，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

9.（24-25高三上?河北張家口?期末）已知a是一個(gè)平面，是兩條不同的直線，bzza,p:aLa,q:aYb,

則P是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理及空間中直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分條