2025屆湖南省郴州市高三三模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x|Ww3,xeN},5={-1,0,1,2,3,4},則中所有元素和為()

A.3B.5C.6D.9

2.已知復數(shù)z滿足z(l+2i)=2-i,則同=()

A.V3B.jC.3D.1

3.在平面直角坐標系xOy中，己知/(2,-1),5(1,1),OP=WA+(2-A)OB,若礪_L礪，

則力的值為()

A.4B.2C.-2D.-3

22

4.已知橢圓C：三+二=1的左、右焦點分別為片，與，點P在橢圓C上,

ab

若忸娟+|尸閭=4,橢圓C的離心率為，則橢圓C的焦距為()

A.1B.2C.V3D.273

cos?smf?-^=^

5.已知+貝卜。5(2。+^的值是()

I6J4

753百5

B.一D.

8

6.在V/5C中，角A,5,。所對的邊分別為。"，。，若4=],。=4,5。邊上的高4D=6,

貝!J6+c=()

A.2而B.4百C.8D.472

7.已知函數(shù)/(x)=/+2Hnx,若函數(shù)〃x)在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條斜率之積為-4的

切線，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

8.定義：在空間直角坐標系中尸(4嗎,%)、0(4也也)兩點的“網(wǎng)線距離”為

?(尸，0)=|q-4|+|%-4|+|。3-。3|.設/(。，。，。)、8(4,4,4)、p(x,y,z),其中x、八z均

試卷第1頁，共4頁

為整數(shù)，若滿足d(4尸)+"(尸,0=〃(40的點尸的個數(shù)為"，貝什的值為()

A.27B.64C.125D.216

二、多選題

9.某市為豐富市民的業(yè)余生活，春節(jié)前舉辦“迎春杯”歌手大獎賽，比賽分青年組、中年組

和老年組.每組由6位專業(yè)評委對演唱評分(滿分10分)，老年組的甲和乙參加比賽得分的

折線統(tǒng)計圖如下圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

十分數(shù)

。123456評委編號

一甲一乙

A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

10.已知定義在(0,+")上的函數(shù)/(x)的導數(shù)為/'(x),若"1)=1,且/'(x)+)>0,則下

列式子中一定成立的是()

A.B.1/■(：)>兀C./(log2e)>ln2D./(ln3)<log3e

11.已知正方體"CD-44CQ的表面積與體積的數(shù)值之比為3,P,。分別是棱3C,BB,

的中點，G是線段/口上一個動點，則下列結(jié)論正確的是()

A.AAX=3

23

B.多面體/Z04-尸。的體積為了

C.存在一點G,使得GG///P

D.若平面PQG,則平面尸。G截正方體-44GA的截面面積是

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知(1-2x)5=4+4]X+a2x2+。3%3+。4/,貝U。4=.

13.已知函數(shù)〃x)=sin，x-￡|,若〃x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞增，則實數(shù)機的取值范圍

為.

14.已知拋物線C：/=2加(0>0)的焦點為尸，點M(x0,2)在拋物線C上，且|〃F|=3,

點尸在直線/：V=-2(xw0)上，過尸向拋物線C引兩條切線P。，PR,切點分別為。，R,

過點40,4)引直線。尺的垂線，垂足為點則直線EH的斜率的取值范圍是.

四、解答題

15.已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩

個1號球，一個2號球和一個3號球；乙袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內(nèi)裝有三

個1號球，兩個2號球和一個3號球.

⑴從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機變量X為1號球的個數(shù)，求隨機變量X的分布列

和數(shù)學期望；

(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出1個球，若摸出的是1

號球放入甲袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋

子中再隨機摸出1個球.求第二次摸到的是3號球的概率.

16.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且。2=3,&+%+&=27.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵己知數(shù)列低｝的前〃項和為S“，且S〃=24-2,求數(shù)列也｝的通項公式；

(3)已知數(shù)列,“｝滿足：c“=a”也，求數(shù)列｛?！埃那啊表椇?/p>

17.已知函數(shù)/(x)=lnx-a尤-2.

(1)當。=1時，求函數(shù)“X)的最值；

3

⑵若函數(shù)g(x)=x?/(x)有兩個不同極值點七/2,證明：xxx2>e.

18.如圖所示，在圓柱。。|中，矩形為圓柱OQ的軸截面，圓柱過點C的母線為CC「

點C,E為圓。上異于點A,B且在線段N3同側(cè)的兩點，魚OEHBC,點尸為線段4c的

試卷第3頁，共4頁

中點，AB=BB[=4.

Bi

B

(1)求證：EFU平面BCBX；

(2)若平面3c4與平面43c所成夾角的余弦值為等，求/R4C的大??；

(3)若AC=26,平面。經(jīng)過點C,且直線CG與平面&所成的角為30。，過￡點作平面&的

垂線G。(垂足為。)，求直線與直線C。所成角的范圍.

fV2

19.已知雙曲線E：5_胃=1(。>0,b>0)的左、右焦點分別為片，片，離心率為2,

過月的直線/與雙曲線E交于尸，。兩點，當直線/垂直于x軸時，△尸。片的周長為16.

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)與x軸不重合的直線/，過點"(%,0)(不彳0),雙曲線E上存在兩點A,3關于對稱，且

的中點M的橫坐標為與，.

(i)若%=2/，，求實數(shù)力的值；

(ii)若A,B為雙曲線E右支上兩個不同的點，/，過點C(0,4),求//C2的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆湖南省郴州77高三三彳慎數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案CDABBADCABDAC

題號11

答案BD

1.c

【分析】先求出集合/,再求出NcB,即可求出中所有元素之和.

【詳解】因為集合/={x||x|V3,xeN},得/={0,1,2,3},

又集合8={T0,1,2,3,4},所以/c8={0,1,2,3},

所以NcB中所有元素之和為0+l+2+3=6.

故選：C.

2.D

【分析】先化簡，求出復數(shù)，得到共飄復數(shù)，最后根據(jù)模長公式計算即可.

2-i(2-i)(l-2i)2-5i+2i2

【詳解】z滿足z(l+2i)=2-i,則z=r==—；—=?，則彳=i.則

1+21([1+2二1)(1-2<1)5

同=1.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)向量的坐標運算，可求出05=(2,-1),05=(1,1),OP=(2+2,2-22),再根

據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求解.

【詳解】因為4(2,-1),5(1.1),所以±5=(2,-1),OS=(1,1),

XOP=204+(2-2)08,得加=4(2,-1)+(2-2)(1/)=(2+4,2-22),

又而,方，所以麗.麗=0，BP(2+2)xl+(2-2A)xl=4-2=0,解得2=4.

故選A.

4.B

【分析】根據(jù)橢圓的定義、離心率等知識列方程，求得。，進而求得橢圓的焦距.

'附|+|P閭=2a=4

【詳解】依題意￡_,，解得a=2,c=l,

2

答案第1頁，共15頁

所以焦距2c=2.

故選：B

5.B

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識求得正確答案.

【詳解】依題意，coscr+=亨，

V3.1V3.1.(it、6

C0S6Z+——sma一一cosa=——cosa=sina4—=—,

2222l。4

所以cos(2a+三)=1-2sin21a+力=1-2x［乎］=(-

故選：B

6.A

【分析】根據(jù)三角形面積公式求出be的值，再利用余弦定理求出(b+c)2的值，進而求出b+c

的值.

【詳解圮知2。邊上的高40=6,。=4,根據(jù)三角形面積公式S%c=；a，4D=gbcsin/.

將/==,a=4,/Z>=6代入可得：-x4xV3=-Z>csin-,2V3=-/?cx—,be=8.

322322

jr

由余弦定理/=Z>2+。2-26ccosZ,可得：42^b2+c2-2bccos-,BP16=b2+c2-be,

可得：16=(b+c)2-26c-6c,即16=(6+c)2—36c,把6c=8代入上式可得：

16=(6+c)2—3x8,即(6+C)2=16+24=40.

因為。、。為三角形的邊，可得：b+c=a=.

故選：A.

7.D

【分析】利用導數(shù)的幾何意義結(jié)合導函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

【詳解】由/(x)=/+2alnrnf'^x^=2x+—(x>0),

不妨設這兩條相互垂直的切線的切點為(國,/(%)),(%，/(%)),且/'(X)/'(X2)=-4

若。20,則/'(x)>0恒成立，不符合題意，可排除A項.

答案第2頁，共15頁

所以aVO,此時y=/'（x）在（o,+8）上單調(diào)遞增,

/,（l）=2+2a<0

依題意需使，〃2）=4+。>0,解得ae（-3,-2）.

r（l）r（2）=（2+2?）（4+a）<-4

故選：D

8.C

【分析】利用三角不等式可得出當d（4尸）+"（P,B）=d（43）時,X、八ze{0,1,2,3,4},

結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】因為“（0,0,0）、8（4,4,4）、P（x,y,z）,則d（45）=12,

由三角不等式可得|x|+|x-4閆x-（x-4）|=4,當且僅當尤（尤-4）40時，即當0VxV4時，等

號成立，

同理可得例+卜一4性4,回+忸一4性4,當且僅當八ze[0,4]時，等號成立，

又因為〃（42）+1（尸,8）="（48）=12,

即|尤|+|了|+匕|+|x—4|+|y_4卜匕—4|=12,可得x、y、ze[0,4],

又因為X、八Z都是整數(shù)，則X、八ZG{0,1,2,3,4},

故滿足條件的點P的個數(shù)為53=125個.

故選：C.

9.ABD

【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差、上四分位數(shù)和方差的定義及計算公式，分別計算甲、乙得分的

相應統(tǒng)計量，再對各選項進行判斷.

【詳解】將甲的得分從小到大排列為：7.0,8.3,8,9,8.9,9.2,9.3.

因為數(shù)據(jù)個數(shù)"=6為偶數(shù)，所以甲得分的中位數(shù)為:=8.9.

2

將乙的得分從小到大排列為：8.1,8.5,8,6,8.6,8,7,9.1.

同理，乙得分的中位數(shù)為86：86=8.6.

由于8.9>8.6,所以甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，A選項正確.

甲得分的最大值是9.3,最小值是7.0,則甲得分的極差為9.3-7.0=2.3.

乙得分的最大值是9.1,最小值是8.1,則乙得分的極差為9.1-8.1=1.

答案第3頁，共15頁

因為2.3>1,所以甲得分的極差大于乙得分的極差，B選項正確.

n=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2>8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項錯誤.

n=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2>8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項錯誤.

計算甲得分的平均數(shù)高：

——7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.951.6

漏=------------；------------=W6,

66

甲得分的方差：

2222

=1[(7.0-8.6)+(9.3-8.6)+(8.3-8.6)+(9.2-8.6)+(8.9-8.6")+(8.9-8.6j]

6

=-[(-1.6)2+0.72+(-0.3)2+0.62+0.32+0.32-

6

=((2.56+0.49+0.09+0.36+0.09+0.09)

3.68八一

=-----?0.61.

6

計算乙得分的平均數(shù)至：

——8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.651.60「

x7=-------------------------------------=-----=8.6,

乙66

乙得分的方差：

222s

=1[(8J_86)2+(9.1-8.6)+(8.5-8.6)+(8.6-8.6)+(8.7-8.6}+(8.6-8.6)]

6

=-[(-0.5)2+0.52+(-0.1)2+02+0.12+02J

6

=1(0.25+0.25+0.01+0+0.01+0)

=—?0.09.

6

因為0.61>0.09,所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D選項正確.

故選：ABD

10.AC

【分析】因為當x>0時，/(x)+*>0,可構(gòu)造g(x)=〃x)-：,進而可得g'G)>0,所

答案第4頁，共15頁

以g(x)在(0,+⑹上單調(diào)遞增，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，逐項判斷即可.

【詳解】因為當x>0時，/(x)+:>0,

令g(x)=/("-：,可得g〈x)=/(x)+J>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因為〃1)=1,可得g⑴=〃1)-1=0,

對于A,因為g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增，所以g][<g⑴，即化

簡可得了(1<3,故A正確；

對于B,因為g(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，所以g]￡|<g⑴，gpg[l]=/[i]-T<0,化

71

簡可得故B錯誤；

對于C,因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以g(log2e)>g(l),即

g(log2e)=/(log2e)-昌辛>0,化簡可得/(Iog2e)>ln2,故C正確；

對于D,因為g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,所以g(ln3)>g⑴，即g(ln3)=〃ln3)-白>0,

化簡可得f(ln3)>log3e,故D錯誤;

故選：AC.

11.BD

【分析】由正方體的表面積、體積公式，棱錐的體積公式、異面直線的判斷、及正方體截面

的結(jié)構(gòu)逐項判斷即可.

【詳解】

對于A,因為正方體的表面積與體積之比為3,

答案第5頁，共15頁

6AA,,,

所以馬^=3,解得144b2,故A錯誤；

IMI

對于B,因為四面體48尸0的體積為憶=:S.B經(jīng)28=：＞＜］乂1'1X2=:，

3323

1?3

所以多面體-PQ4GC的體積為％-小陽=8-7w,正確；

對于c,設eq的中點為天，連接網(wǎng)，則收///2，因為/尸在平面/尸尺。內(nèi)，而G是線

段上一個動點，即點G在平面/尸尺2內(nèi)，點。在平面/尸尺2外，所以GG，/P為異面

直線，故c錯誤；

對于D,在正方體中，連接3G，易得工BC，

又結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特點易證AB1B、C,

/BIG是平面/8G內(nèi)的兩條相交直線，

所以4C,平面/8G，又NG在平面/8G內(nèi)，

所以用C,同理可證

B\C,DXC是平面3c2內(nèi)兩條相交直線，

所以平面片C2,又平面PQG,

所以平面耳CD"/平面PQG,

又尸，。分別是棱8C,B片的中點，

所以平面PQG截正方體的截面分別交棱8,DM，/￡的中點￡〃,//,

所以截面為正六邊形尸加又PQ=6,所以截面面積為6x'x⑷16,故D正

確，

故選：BD

12.80

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.

【詳解】依題意，4=C"-2)4=80.

故答案為：80

答案第6頁，共15頁

【分析】求得/1尤)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)題目要求求得加的取值范圍.

ITIT7T7T17T

【詳解】由2E——<2x——K2E+—角畢得向i——<x<kjt+——,keZ,

24288

令k=Q,n--<x<—,

88

依題意，〃x)在區(qū)間(0,加)上單調(diào)遞增，

則實數(shù)機的取值范圍為

故答案為：

14.(-co,-V3]o[V3,+<z>)

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而得到直線R。的方程為"X=2。-2),進

而得到點X的軌跡為以為直徑的圓，得到方程。〃“2+(y-3)2=1,過點尸與圓。〃相

切的直線的斜率為左，結(jié)合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解.

【詳解】因為中=2+片3,所以2=2,所以拋物線C：f=4.v；

設尸(九-2),0(國,%)，及(%2，%),不妨設占<0,々>0,

由f=4y,可得y=可得/=；X,則y'Lf=；W，

可得切線尸。的方程為y-必=；X|(x-xJ

因為點尸(見-2)在直線尸。上，可得加網(wǎng)=2(乂-2),

同理可得：加工2=2(%-2),

所以直線尺。的方程為mx=2(y-2),可得直線RQ過定點/0,2),

又因為2(0,4)在直線尺。上的射影為H,可得|/即=4且,瓦7,

所以點H的軌跡為以AB為直徑的圓,其方程為。〃:￡+(y-3)2=1,

當切與。〃相切時，

由拋物線f=4y,可得尸(0,1),設過點尸與圓08相切的直線的斜率為左，

1-3+11

可得切線方程為>=丘+1,則"(二)2與，解得上=百或左=-6，

答案第7頁，共15頁

所以實數(shù)上的范圍為（-8,-^］。必,+動.

【分析】（1）分析可知隨機變量X的可能取值為0,1,2,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望;

（2）設相應事件，根據(jù)題意可得相應概率，利用全概率公式圓求解.

【詳解】（1）由題意可知：隨機變量X的可能取值為0,12,則有:

尸（x=0）=坐■=LRX=I）=空=-=-,7（x=2=C；C；1

"cf7，

可得隨機變量X的分布列為

X012

121

P---

636

121

所以隨機變量X的期望E（X）=0x；+lx彳+2x：=l.

636

（2）記第一次從甲袋中隨機摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為事件4,4,4,

第二次摸到的是3號球為事件B,

71112

則尸（4）="尸（出）=尸（4）=了，尸例4）=『，尸自14A“尸例4>7一,

〃,一小A21111229

+X--HX-4-X-=—.

所以尸（為=尸（4）尸（川4）+A4）HB\4）'到'1^444447112

16.（l）a?=2?-1

⑵"=2"

⑶此=（2〃-3）-2川+6

答案第8頁，共15頁

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出名，進而可求得數(shù)列｛g｝的公差，進而可求得數(shù)列｛a?｝

的通項公式；

(2)當〃=1時，可求出4的值，當〃上2時，由5,=2，-2得5,7=261-2,兩式作差可

推導出數(shù)列也｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可得出數(shù)列也｝的通項公式；

(3)利用錯位相減法可求出

【詳解】(1)因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則為+%+。6=%5=27,可得。5=9,

所以，數(shù)列包｝的公差為〃=等/===2,

5—23

dn—6?2+(〃-2)d=3+2(〃-2)=2〃-1.

(2)當”=1時，bf=2b「2,解得4=2,

當〃22且〃wN*時，由S“=24-2得S“7=2b時「2,

上述兩個等式作差可得b,=2b,-Zb-,可得b?=24T,

所以，數(shù)列｛2｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列，故"=2X2"T=2".

(3)由(1)(2)可得

123,,

所以，=1-2+3.2+5-2+---+(2?-1)-2)

則2四"=1?22+3?23+…+(2〃-3)2"+(2〃-l)2"%

上述兩個等式作差得-峪=2+2"+2m+…+22-(2〃-1)-2向

23(1-2,'-1)

7,,+1,,+1

=2+2-(2?-1)-2=-6+(3-2?)-2，

整理得監(jiān)=(2〃-3>2加+6.

17.(l)/(x)的最大值為-3,無最小值.

⑵證明見解析

【分析】(1)對函數(shù)〃x)求導，根據(jù)函數(shù)與導數(shù)的關系判斷即可求出最值；

(2)利用極值點條件，結(jié)合對數(shù)運算和不等式證明乘積下限.

【詳解】(1)當。=1時，〃x)=lnx-x-2,對函數(shù)“X)求導可得八無)='-1.

X

答案第9頁，共15頁

令八x)=0,解得x=l.

當0<x<l時，r(x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增;

當x>l時，r(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減；

因此，/(x)在x=l處取得最大值，最大值為〃1)=山1-1-2=-3,無最小直

(2)=x-f(x)=x(lnx-ax-2)=x\nx-ax2-2x,對g(x)求導可得

g'(x)=Inx-lax-1,

令g'(x)=O,得至!Jinx—2辦一1=0.

設看,％2是g'(x)=°的兩個根，貝！JIn%-2G1-1=0①，Inx2-2ax2-1=0(2)

n

①-②得1再一In4=24(占一%)③；①+②得ln%i+lnx2-2=2a(x1+xj④.

]nx+lnx-2_玉+x

③?④得x22

2X|

gp1nxi+lnx2-2=石+?(江項-1nx2)="—h—,

xl-x2x2-X]項

%1+X|

不妨設0<x.<x2,令強=/>1,則ln$+lnx2-2=Int,

Xjtxx-再

BPIn+Inx-2=Int.

2t—1

要證再/>。'，即證InxL=山毛+In%>Ind=3,

/+1t—1t—1

即證如石+In%2—2>1,即證一lnZ>l(Z>l),即證In”——,即證Inf------->0(/>1).

t—1，+1/+1

t-i

設他)=ln/-------(Z>1),對〃⑷求導可得

t+\

h'Q)=---^-r=“包="=>°恒成立，故M)在/>i上單調(diào)遞增,

gph(t)>h(l)=0,故In/-1―->0(/>1)成立，即石馬成立.

/+1一

18.(1)證明見解析

TT

(2)ZBAC的大小為:

6

TTjr

(3)線NQ與直線cq所成角的范圍為

63

【分析】(1)在平面與內(nèi)找到一條與物平行的直線，由線線平行去證明線面平行即可;

(2)建立坐標系，將45坐標分別用e表示出來，再根據(jù)平面BC區(qū)與平面4與。所成夾角

的余弦值為誣列出方程求解3；

19

答案第10頁，共15頁

(3)由所給的條件分析出。點的軌跡，再去利用向量數(shù)量積公式去求解夾角余弦值的取值

范圍，從而得到夾角的取值范圍.

【詳解】(1)證明：

延長交于點。，連接』G，0G，

因為OEHBC,。是A8中點，所以是的中位線，則點E是中點,

又因為74,CG,3片是圓柱的母線，所以44〉CG,平行且相等，

所以易得NG，C4相交與點尸，尸是NG的中點，則在中，EFWQQ,

又因因為CGM耳，。在8C延長線上，所以可得GOU平面BCB、,而EF不在平面BCB1內(nèi),

由題意可知面，且因為43直徑，所以/CL8C貝U，C4c民CG三線兩兩垂直,

則建立如圖所示空間直角坐標系C-平，

又因為28=84=4,所以設/8/C=e,貝I|/C=4cos0,5c=4sin0,

可得點坐標為C(0,0,0),5(0,4sin0,0),4(4cos0,0,4),4(0,4sin6,4),

貝1]a=(4(：0540,4),西=(0,45苗44),

由題意平面8C4在yCz平面內(nèi)，所以平面BCBX的法向量為*=(1,0,0),

答案第11頁，共15頁

設平面43jC的法向量為%=(x,y,z),

n,CA,=014xcos6+4z=0

則二,，即，.",八,

n1CBl=014ysm6?+4z=0

令z=-l,則解得x=」/,y=—1,所以后H，」力-1],

cos。sm61cos"sm")

又因為平面8c與與平面44C所成夾角的余弦值

且因為。<女，貝hos0=9,即/氏4C=8=色.

226

(3)因為過點C的平面a與直線C。所成的角為30。，又因為過G點作平面a的垂線C?

(垂足為。)

7T1JT

所以ACCQ為直角三角形，且60=。6<11:=4'二=2,/。60=:，

所以點。是繞CG旋轉(zhuǎn)的圓，且半徑,"ZsinguVL圓心距離點G的長度為G0cosm=1

所以設點°(xj,3)且/+/=3,又因為點A為(26,0,0),所以而=(x-2G,y,3),

而巒=(。,。,1),所以一5」+32=6-4氐：12+/+9,

又因為八八3,所以*冠西b6一4后二+69=西七'

j

且因為xe卜五司，所以cos(而，西”,

7TJT

所以直線N0與直線C￡所成角的范圍為.

63

19.⑴/一匕=i

3

⑵⑴4；(ii)彳]

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得Ac,從而求得雙曲線E的標準方程.

(2)(i)利用點差法列方程，化簡求得正確答案.

答案第12頁，共15頁

(ii)設出直線NB的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，由%LKB=T，

結(jié)合弦長公式以及tan//CM=島\A來M\求得正確答案.

\CM\

22J2

【詳解】(1)因為當直線I垂直無軸時，將x=c代入，-彳=1(°>0,6>0)彳導〉=±幺，

aba

所以因I=\Q^\=J，所以附I=I時=，+2“，

因為雙曲線E的離心率為2,AP。片的周長為16,