專題09初等數(shù)論與幾何背景下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：進(jìn)位制

題型二：數(shù)對(duì)序列

題型三：群論

題型四：平面幾何

題型五：置換

題型六：余數(shù)、約數(shù)

【典型例題】

題型一：進(jìn)位制

【典例1-1】（湖南省衡水金卷2023-2024學(xué)年高三二調(diào)數(shù)學(xué)試題）國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)

教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開(kāi)，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，

主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“

’是用中國(guó)古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3744,也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100,換算成

【典例1-2】（安徽省合肥市2024屆高三學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）通信編碼信號(hào)利用BEC信

道傳輸，如圖1，若信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同；若BEC信道傳輸失

敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以兩個(gè)信道為例，如圖

2）.

圖1圖2

華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以兩個(gè)相互獨(dú)立的BEC信

道傳輸信號(hào)為例)：如圖3,信號(hào)S直接從信道2傳輸；信號(hào)q在傳輸前先與4“異或”運(yùn)算得到信號(hào)X-

再?gòu)男诺?傳輸.接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)q或

力.

(注：“異或'是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算.兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0,兩個(gè)不同數(shù)字“異或”得到1,“異或”

運(yùn)算用符號(hào)“十"表不：0?0=0,1?1=0,1十0=1,。十1=1."異或”運(yùn)算性質(zhì)：A十5=C,則A=C十5).假

設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為"。<P<1).幾4=｛0』.

(1)在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)a和4均被成功接收”為事件A,求P(A)：

(2)對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)q被成功解碼(即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定S的值)的概率；

②若對(duì)輸入信號(hào)q賦值(如a=。)作為已知信號(hào)，接收端只解碼信號(hào)求信號(hào)6被成功解碼的概率.

【變式1-1](上海市十校2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考(文理)數(shù)學(xué)試題)規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,若存在數(shù)

列｛%｝和實(shí)數(shù)x(xwO),使4=q+火工+。3/+…+a“x"T’則稱A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：

A=x~(a1)(a2)(a3)---(an_1)(a7!)；如：A=2~(-1)(3)(-2)(1),表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且

A=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5；

(1)已知〃2=(1-2力(l+3d)(x*0),試將加表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式；

1-------------------------------22

(2)若數(shù)列｛〃“｝滿足％=2,ak+i=——,keN*,bn=2?(4)(%)3)…33neN*，求證：么=--；

1—77

(3)若常數(shù)f滿足F。且d“="(C：)?)?)…?求:叫黑?

Un+1

題型二：數(shù)對(duì)序列

【典例2-1】(北京市西城區(qū)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)給定正整數(shù)N23,已知項(xiàng)數(shù)為加且無(wú)重復(fù)項(xiàng)

的數(shù)對(duì)序列A：(玉,%),(尤2,%)，…，(%,，％,)滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①4》e｛l,2,…,N｝,且x產(chǎn)%。=1,2,…,加)；

@Xi+1=x-(Z=1,2,???,m-1)；③(p,q)與(q,p)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

(1)當(dāng)N=3,m=3時(shí)，寫出所有滿足%=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N=6時(shí)，證明：m<13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記機(jī)的最大值為T(N),求T(N).

【典例2-2](上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)對(duì)于四個(gè)正數(shù)根、瓜P、q,若

滿足“<利，則稱有序數(shù)對(duì)(〃?,〃)是(P，4)的"下位序列

⑴對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)(3,11)是(2,7)的“下位序列”嗎?請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

(2)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且(“⑷是(c,d)的“下位序列”，試判斷?、三、㈢之間的大小關(guān)系；

bab+a

⑶設(shè)正整數(shù)〃滿足條件:對(duì)集合｛加0<m<2021,根eN｝內(nèi)的每個(gè)m,總存在正整數(shù)人,使得(叫2021)是(左,〃)

的“下位序列”，且(左,〃)是(m+1,2022)的“下位序列”，求正整數(shù)〃的最小值.

題型三：群論

【典例3-1】(安徽省蕪湖市安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題)對(duì)稱變換在對(duì)稱

數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個(gè)平面圖形K在相(旋轉(zhuǎn)變換或反射變換)的作用下仍然與原圖形重合，

就稱K具有對(duì)稱性，并記機(jī)為K的一個(gè)對(duì)稱變換.例如，正三角形R在叫(繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn))的

作用下仍然與R重合(如圖1圖2所示)，所以町是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間

門23、

的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記叫=1[2；又如，氏在乙(關(guān)于對(duì)稱軸弓所在直線的反射)的作用下仍然與尺重合(如

「123、

圖1圖3所示)，所以4也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記4=132?記正三角形尺的所有對(duì)稱變換

構(gòu)成集合S.一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：

I.Va,bEG,aobeG、

ILPa,b,ceG,^aob)oc=ao^boc)；

III.3eeG,VawG,aoe=eoa=a.

IV?VaGG,3cTxE.G,a。a1=a1oa=e.

對(duì)于一個(gè)群G,稱m中的e為群G的單位元，稱W中的小為〃在群G中的逆元.一個(gè)群G的一個(gè)非空子集

以叫做G的一個(gè)子群,假如以對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群.

ki3

圖1

(1)直接寫出集合s(用符號(hào)語(yǔ)言表示s中的元素)；

(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如

｛%,%，4｝=也也也｝=｛。1，。2，03｝=｛1,2,3｝.

①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；

②已知”是群G的一個(gè)子群，e,e'分別是G,X的單位元，aeH,a1,“分別是。在群G,群反中的

逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及q-,"之間的關(guān)系，并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

【典例3-2】(江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)將數(shù)列｛4｝按照一定的規(guī)則，依

順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為｛為｝的一個(gè)分群數(shù)列，｛(｝稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列.如

(q,生，…,可),(4+1C+2,…，4)…，…M")是｛""｝的~'個(gè)分群數(shù)列,其中第k個(gè)

括號(hào)稱為第左群.已知｛4｝的通項(xiàng)公式為4=2”-1.

(1)若｛q｝的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第％群的中間一項(xiàng)為4,求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公

式；

(2)若｛%｝的一個(gè)分群數(shù)列滿足第左群含有左項(xiàng)，4為該分群數(shù)列的第左群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)

M=｛m\ameAkMzn+7€&+?｝，求集合〃中所有元素的和.

【變式3-1]（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（九省聯(lián)考題型））對(duì)于非空集合G,定義其在某一

運(yùn)算（統(tǒng)稱乘法）“x”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”（G,x）,簡(jiǎn)記為G，.而判斷G*是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：

（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“x”運(yùn)算，對(duì)任意“,6eG,都須滿足axbeG；

（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“x”運(yùn)算，對(duì)任意a,b,ceG,都須滿足ax（bxc）=（axb）xc；

（恒等元）存在eeG,使得對(duì)任意aeG,exa=a;

（逆的存在性）對(duì)任意aeG,都存在Z?eG,使得axb=6xa=e.

記群G'所含的元素個(gè)數(shù)為〃，則群G，也稱作“"階群”.若群3）<的“'”運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意a,beG,

axb^bxa,我們稱G，為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）.

（1）證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群R+;

（2）記C為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“x”運(yùn)算使得C在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群C*,

并說(shuō)明理由；

（3）所有階數(shù)小于等于四的群G*是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型四：平面幾何

【典例4-11（河南省鄭州市名校教研聯(lián)盟2024屆高三學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷）平面幾何中有一個(gè)著名的塞

爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂

點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍.若點(diǎn)A,B,C都在圓E上，直線BC方程為無(wú)+>-2=0,且忸。=2疝L△ABC的垂

心G（2,2）在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【典例4-2】（江西省智慧上進(jìn)2024屆高三學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）如圖，直線/與AABC的邊8c的延

DjT）AF

長(zhǎng)線及邊AC,AB分別交于點(diǎn)。，E,F,則黑?笠?茨=1,該結(jié)論稱為門奈勞斯定理，若點(diǎn)C為的

DCEAFB

中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在A/RC中隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)尸在△AEF內(nèi)的概率為（）

【變式4-1]（多選題）（寧夏銀川市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷）“圓哥定理”是平面

幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分

成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，已知圓。的半徑為2,點(diǎn)尸是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且。尸=夜，弦AC,BD

均過(guò)點(diǎn)P,則下列說(shuō)法正確的是（）

B.況.玩的取值范圍是［T,。］

D.當(dāng)AC13D時(shí)，羽.而為定值

題型五：置換

【典例5-1】（浙江省名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三學(xué)期返?？荚嚁?shù)學(xué)試卷）置換是代數(shù)的基本模型，定義

域和值域都是集合A=｛1,2,…㈤,女N的函數(shù)稱為〃次置換.滿足對(duì)任意zeA/⑺=i的置換稱作恒等置換.

所有九次置換組成的集合記作S”.對(duì)于/⑺，我們可用列表法表示此置換：

（12…、

/㈤=［/（1）42）.?."〃）『記

口）=尸（。,/（〃力））=產(chǎn)。）"（產(chǎn)（。）"3（6..."（"（））="（,）代4人色

（\234、

⑴若“駐邑/⑺二^213｝計(jì)算/即）；

（2）證明：對(duì)任意/［卜邑，存在左eN+，使得/⑺為恒等置換；

（3）對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張

變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原

來(lái)的牌型？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【典例5-2】（山東省青島市2024屆高三學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）記集合S=｛｛??｝I無(wú)窮數(shù)列｛??｝中

存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*｝,對(duì)任意｛a.｝eS,設(shè)變換/（｛%｝）=q+%x+…+4x'T+…，xeR.定義運(yùn)

算必若｛%｝,｛2｝eS,則｛叫（8%｝eS,7'（｛%｝?也｝）=/（｛4｝”（也｝）.

（1）若｛?"｝區(qū)｛〃｝=｛%｝,用％,a2M3,。4,4也也也表示加4；

⑵證明:（如｝到6“｝）區(qū)匕卜也｝以上｝區(qū)匕｝）；

(n+1)+1/1丫°3f

,,--1——,l<n<100_—,l<?<500.7)r),1

⑶右為=<|n(n+l)，4=j(2j，{4}={%}?{2},證明：d200<-.

0,n>100[0,〃>500-

【變式5-1](江蘇省淮陰中學(xué)等四校2024屆高三學(xué)期期初測(cè)試聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系X。，中，

若在曲線用的方程p(x,y)=0中，以(尢0y)(/為非零的正實(shí)數(shù))代替(％y)得到曲線目的方程

F(2x,2^)=0,則稱曲線6、E?關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換(x,y)f(疝,辦)稱為“伸縮變換”，力稱為伸縮比.

221

⑴已知曲線用的方程為?=1,伸縮比彳=],求4關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線與的方程；

(2)射線/的方程y="r(x20),如果橢圓片:1+y=1經(jīng)"伸縮變換，，后得到橢圓召?，若射線/與橢圓片、

區(qū)分別交于兩點(diǎn)A3,且|42|=在，求橢圓反的方程；

113

2

(3)對(duì)拋物線耳：尤2=2">,作變換(4x，4y),得拋物線6x=2p2y；對(duì)當(dāng)作變換

(x,y)一(4x,4_y),得拋物線外：/=2。3，；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線紇：爐=2p“y作變換

(x,y)f(4x，4y),得拋物線紇H-=2p向y,.…若R=1，4,=2”,求數(shù)列E｝的通項(xiàng)公式P”.

【變式5-2](江蘇省徐州市2024屆高三學(xué)期新高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P：

%小…，冊(cè),定義變換工，刀將數(shù)列尸變換成數(shù)列公(尸)：n,ai-l,a2-l,-,an-i.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的

數(shù)列。:仇也，…也，定義s@=2("+也+...+哂)+廳+片+...+%定義變換72,4將數(shù)列。各項(xiàng)從大到小

排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列n(Q).

(1)若數(shù)列4為2,4,3,7,求S(7](4))的值；

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列玲，令加=(傳記))，左eN.

(i)探究S(7；(4))與s(《)的關(guān)系；

(ii)證明：s陽(yáng))MS⑻.

題型六：余數(shù)、約數(shù)

【典例6-1】約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)。除以整數(shù)機(jī)(7〃H0)除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，

我們就稱。為機(jī)的倍數(shù)，稱，"為。的約數(shù).設(shè)正整數(shù)。共有左個(gè)正約數(shù)，即為4，。2，「〃1，見(jiàn)(%<生<…<%).

(1)當(dāng)k=4時(shí)，若正整數(shù)。的％個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)。的值；

(2)當(dāng)宗24時(shí),若/-《嗎-見(jiàn)，…，&-%構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)

(3)記A=。四十---ak-iat>求證：A<a2.

【典例6-2】(河北省2024屆高三學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)(V)數(shù)學(xué)試題)設(shè)a,b為非負(fù)整數(shù)，比為

正整數(shù)，若。和6被機(jī)除得的余數(shù)相同，則稱a和6對(duì)模相同余，記為。三以mod〃z).

⑴求證：233+1三65(mod7)；

(2)若p是素?cái)?shù)，〃為不能被p整除的正整數(shù)，則臚T三l(modp),這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理.應(yīng)用費(fèi)馬小

定理解決下列問(wèn)題：

①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有-尤三0(mod546)；

②求方程9+X1-x3-x=0(mod35)的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).

【變式6-1】(湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)2024屆高三學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，

原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問(wèn)

物幾何？”問(wèn)題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)x被

，"除余人我們可以寫作x三廠(mod〃z).它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍

求一術(shù)(也稱作“中國(guó)剩余定理”)是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到

大依次排序.中國(guó)剩余定理：假設(shè)整數(shù)犯，機(jī)2,…，叫，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：4，4,…，/方程

x=rx(mod??!!)

x=r(modm)

組””一定有解，并且通解為X=++…+*此，其中左為任意整數(shù),

x=rn(modm”)

M=■■■mn,=一，6為整數(shù)，且滿足加力=l(mod/).

（1）求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第"個(gè)滿足條件的正整數(shù)；

（2）在不超過(guò)4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和.（提示：可以用首尾進(jìn)行相加）.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

1.（多選題）（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試

題）圓塞定理是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理，經(jīng)過(guò)圓內(nèi)

一點(diǎn)引兩條弦被這點(diǎn)所分成的兩線段長(zhǎng)的積相等，已知圓的半徑為5,點(diǎn)P是圓。內(nèi)的一定點(diǎn)，且|。尸|=3,

過(guò)點(diǎn)尸引兩條弦AC,BD,則下列說(shuō)法正確的是（）

B.礪.歷的取值范圍為[-25,-7]

C.當(dāng)AC13。時(shí)，如圖以。為原點(diǎn)，OP為x軸，則A8中點(diǎn)M的軌跡方程為Y+-8=0

D.當(dāng)AC13。時(shí)，四邊形A8C。面積的最大值為40

2.（重慶市南開(kāi)中學(xué)高2023-2024學(xué)年高一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)測(cè)試題）對(duì)于四個(gè)正數(shù)相、小P、4,若滿

足7的＜/卯，則稱有序數(shù)對(duì)（m,〃）是（0,q）的“下位序列”.

（1）對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)（3,11）是（2,7）的“下位序歹廣嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

（2）設(shè)a、b、a、d均為正數(shù)，且（。力）是（c,d）的“下位序列”，試判斷?裔之間的大小關(guān)系.

3.（上海市12校2024屆高三學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）我們規(guī)定:對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,若存在數(shù)列｛4｝和實(shí)數(shù)x（x*0）,

2

使得A=a,+a2x+a3x+.??+,則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：

A=x~（q）（%）（%）…（。鵬）（。）如：A=2?（一1）⑶（一2）⑴.則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且

A=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5.

(1)已知根=(1-2可(1+3尤2)(其中xwO),試將機(jī)表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式.

⑵若數(shù)列｛q｝滿足G=2,ak+1=——，4eN*,2=2~(aj(⑴(%)…(％,-2乂%“-J(%,)，("eN*),是否存在

實(shí)常數(shù)P和4,對(duì)于任意的〃eN*,2,=p8'+q總成立？若存在，求出P和q；若不存在，說(shuō)明理由.

(3)若常數(shù)，滿足上。且"-1&=/~(。卜；)(。計(jì)..(端)(禺),求理彥：

4.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題)若”、。、6均為正整數(shù)，且〃=。+6,P為一素?cái)?shù)，〃、

SSS

a、6的。進(jìn)制表示分別為〃=￡%。'，。=￡生。'，5=8/,其中，0V4、q、4Wp-l(i=O,l,…,s).證明:

z=0z=0z=0

⑴若〃=刃/(42。"=。，1，…,s),且對(duì)整數(shù)J(0</<s)均有Z4"Z(pT)。'，則4=力,*,

1=0I<7i<j\_PJi=j

其中，[可表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最大整數(shù).

(2)P“一0，=|日4+偽>“(i=0,l,…,s))],其中，⑶表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，

5.(湖南省衡陽(yáng)市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用.所有大于1

的正整數(shù)”都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式："=川黑…琮(左為〃的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，P,為質(zhì)數(shù)，

在1"=1,2,…,k),例如：90=2x32x5,對(duì)應(yīng)笈=3，P]=2,p?=3,夕3=54=1,4=2,g=1.現(xiàn)對(duì)任意〃eN*,

=1

定義莫比烏斯函數(shù)〃(〃)=<一琰"=4=???=〃=1

0,存在々>1

⑴求〃(78),〃(375)；

⑵若正整數(shù)羽y互質(zhì)，證明：〃(孫)=〃(x)〃(y)；

⑶若〃>i且〃(〃)=1，記〃的所有真因數(shù)(除了1和"以外的因數(shù))依次為%的，…證明：

M《)+M%)+…+〃&)=-2?

6.(2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試(九省聯(lián)考)數(shù)學(xué)試題)離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中

有重要的應(yīng)用.設(shè)。是素?cái)?shù)，集合X={1,2,…，。-1},若〃,記a(8)v為MV除以2的余數(shù)，優(yōu)豁為

“除以。的余數(shù)；設(shè)aeX,1./,?,…,標(biāo)-2回兩兩不同，若…,0-2}),則稱"是以。為底

b的離散對(duì)數(shù),記為"=log(P)〃

⑴若。=11,“=2,求產(chǎn)巴

⑵對(duì)飛，”與e{0,1,…,p-2},記/十:%為叫除以p-1的余數(shù)(當(dāng)班+必能被2-1整除時(shí)，

/十機(jī)2=。).證明：log(°L。位c)=log(p)/十log(p)“c,其中6,cwX；

⑶已知〃=log(P)M.對(duì)xeX水e{l,2,…,°一2},令證明：x=%③乂?)'，

(1)當(dāng)夕=；時(shí)，求四邊形O4C8的周長(zhǎng);

(2)克羅狄斯?托勒密(H〃e陽(yáng))所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊

形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則

當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求DAOC.

(3)問(wèn)：8在什么位置時(shí)，四邊形O4C8的面積最大，并求出面積的最大值.

如圖，在凸四邊形A3C。中,

AA

⑴若AB="JBC=1,ZA8=5AC=CD（圖1）,求線段8。長(zhǎng)度的最大值；

（2）若AB=2,8C=6,AD=CD=4（圖2）,求四邊形A8CD面積取得最大值時(shí)角A的大小，并求出四邊形ABC。

面積的最大值.

7.（江蘇省南通市如東縣等2地2023-2024學(xué)年高一學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，半圓0的直徑為2cm,

A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，Q4=2cm,3為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形A3C.設(shè)NAQB=a.

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值；

（2）克羅狄斯?托勒密利）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四

邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，

則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求/AOC.

8.（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如果一個(gè)正多面體的所有面都是全等

的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體叫做正多面體.有趣的是只有正四面

體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體五種正多面體，現(xiàn)將它們的體積依次記為，匕,乂,匕,乙,

正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體

（正方體）

（1）利用金屬板分別制作正多面體模型各一個(gè)，假設(shè)制作每個(gè)模型的外殼用料（即表面積）均等于24j§cm2,

分別求出匕和％的值；并猜想％與匕。的大小關(guān)系（猜想不需證明）

（2）多面體的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)/、棱數(shù)E與頂點(diǎn)數(shù)V滿足：V+b-E=2.已知正多面體都是簡(jiǎn)

單多面體，設(shè)某個(gè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)為機(jī)，每個(gè)面的邊數(shù)為“，求〃￡滿足的關(guān)系式；并

嘗試據(jù)此說(shuō)明正多面體僅有五種.

9.（2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）近些年來(lái)，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了

數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲

率，用曲率來(lái)刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和

的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的

曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面

角，每個(gè)面角是g,所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為2/-3xg=g,故其總曲率為4萬(wàn).

222

⑴求四棱錐的總曲率；

（2）表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面

體的頂點(diǎn)數(shù)為。，棱數(shù)為L(zhǎng),面數(shù)為則有：O-L+M=2.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是

常數(shù).

10.（北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)2024屆高三學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)陣出,其中

a

~2122）

0nMi2,41，%2e{1,2,3,4,5,6}.^S={e1,e2,---,e;}c{l,2,3,4,5,6},其中4<e?<L<e”/eN*且/w6.定義變

換處為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有左或-人則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以-1;若其中沒(méi)有左且沒(méi)有-%,

則這一行中所有數(shù)均保持不變”(無(wú)=^，/，…，弓)./(4)表示“將A)經(jīng)過(guò)外變換得到A,再將4經(jīng)過(guò)外變換得

到4,…以此類推，最后將A-經(jīng)過(guò)/變換得到4.記數(shù)陣4中四個(gè)數(shù)的和為4(4).

⑴若&=：；),s={i,3},寫出4經(jīng)過(guò)份變換后得到的數(shù)陣4,并求4(4)的值；

⑵若4:],$=憶勺?},求4(4)的所有可能取值的和；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：4(4)的所有可能取值的和不超過(guò)T.

11.(北京市人大附中2024屆高三10月質(zhì)量檢測(cè)練習(xí)數(shù)學(xué)試題)如圖，T是3行3列的數(shù)表，用陽(yáng)化/=1,2,3)

表示位于第，行第j列的數(shù)，且滿足％近0,1}.

%3

。12

“21%2“23

〃31“33

數(shù)表中有公共邊的兩項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)，例如上表中對(duì)的相鄰項(xiàng)僅有陽(yáng)和對(duì)于數(shù)表T，定義操作以為將

該數(shù)表中的為以及%的相鄰項(xiàng)從無(wú)變?yōu)?-%,其他項(xiàng)不變，并將操作的結(jié)果記為"(T).已知數(shù)表4滿足

%=0,i,je{1,2,3}.記變換中為〃個(gè)連續(xù)的上述操作，即乎：如,%&，…,力,,使得

4=%(幻,豈=頰(功,…￡=%(%),并記北=*(4)

⑴給定變換乎：如，為，。33,直接寫出4=+(4)?

⑵若7滿足%=%=/2=出3=1，其他項(xiàng)均為0.乎是含〃次操作的變換且有「=+("),求〃的最小值.

(3)若變換中中每個(gè)操作仍至多只出現(xiàn)一次，則稱變換中是一個(gè)“優(yōu)變換”，證明：任給一個(gè)數(shù)表

T:(陽(yáng))，陽(yáng)€{0,1}/,六{1,2,3},存在唯一的一個(gè)“優(yōu)變換”中，使得7=%(幻.

12.(北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)對(duì)于三維向量

%=(4，%心)(4，%—eN,左=0,1,2,…),定義"尸變換"：ak+i=F[a^,其中

Z+i=民一刈,yk+l=屏一z3'z3^\zk-xk\.記@)=xkykzk'忖|=+%+.

⑴若7=(3,1,2),求㈤及同;

(2)證明：對(duì)于任意2,經(jīng)過(guò)若干次廠變換后，必存在KeN*,使(耳)=0；

⑶已知Z=(P，2,q)(qZp),同=2024,將1再經(jīng)過(guò)機(jī)次/變換后，同最小，求機(jī)的最小值.

13.(北京市西城區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)給定奇數(shù)“23,設(shè)&是"〃的數(shù)陣.與表示數(shù)陣第i行第，

[1或_]iW7

列的數(shù)，%=二.‘且％=%(i=l,2,L,〃"=l,2,LM.定義變換?為“將數(shù)陣中第f行和第/列的數(shù)都

[0,z=j

乘以-1”,其中，e{l,2,L川.設(shè)7=(3』⑷",e{l,2,L,〃},r=l,2,L,s(seN*).將以經(jīng)過(guò)外變換得到A，A

經(jīng)過(guò)外變換得到4,L,AT經(jīng)過(guò)外變換得到4.記數(shù)陣4中1的個(gè)數(shù)為〃(「).

'01-1、

⑴當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)4=101,7=(1,3),寫出并求〃⑴,〃(2)；

1oj

⑵當(dāng)〃=5,SN2時(shí)，對(duì)給定的數(shù)陣4,證明：〃⑵-〃⑴是4的倍數(shù)；

(3)證明：對(duì)給定的數(shù)陣4，總存在T,使得i

14.(北京市平谷區(qū)2024屆高三學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列4：%、出、L、

%,定義變換工，4將數(shù)列A變換成數(shù)列4(A)：“、%-1、的T、L、a?-l.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的

數(shù)列小仿、為、L、bm,定義變換心，心將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列

((B);又定義S(3)=2(4+?2+…+〃吃)+廳+用+…+/.設(shè)4是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令

4M刃(北(4》(左=o，L2,…).

⑴如果數(shù)列4為5、1、3,寫出數(shù)列4、4；

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明S(7](A))=S(A)；

(3)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列存在正整數(shù)K,當(dāng)上?K時(shí)，s(4+J=s(4).

15.（海南省海口市2024屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）將數(shù)列｛%｝按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一

個(gè)以組為單位的序列稱為數(shù)列｛?！ǎ囊粋€(gè)分群數(shù)列，｛%｝稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列汝口（小名,…9）,

（5,聯(lián)…，4），（-，,“），L，（5+14+2,…M”），L是數(shù)列｛q,｝的一個(gè)分群數(shù)列，其中第左個(gè)括號(hào)稱為

第％群.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=2/7.

（1）若數(shù)列僅“｝的一個(gè)分群數(shù)列每個(gè)群都含有3項(xiàng)，該分群數(shù)列第左群的最后一項(xiàng)為4,求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公

式.

（2）若數(shù)列｛七｝的一個(gè)分群數(shù)列滿足第％群含有左項(xiàng)，4為｛%｝的該分群數(shù)列第％群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)

M=｛rn\am&Ak,am^e4｝,求集合“中所有元素的和.

專題09初等數(shù)論與幾何背景下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：進(jìn)位制

題型二：數(shù)對(duì)序列

題型三：群論

題型四：平面幾何

題型五：置換

題型六：余數(shù)、約數(shù)

【典型例題】

題型一：進(jìn)位制

【典例1-1】（湖南省衡水金卷2023-2024學(xué)年高三二調(diào)數(shù)學(xué)試題）國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)

教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開(kāi)，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，

主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“

”是用中國(guó)古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3744,也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100,換算成

【解析】V11111100100=1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+0x24+0x23+1X22+0x2'+0x2°=2020.

〃=2020,

/.(1+i產(chǎn)=[(1+i)2J=(2i)2020=22020i2020=22020,

【典例1-2】（安徽省合肥市2024屆高三學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）通信編碼信號(hào)利用BEC信

道傳輸，如圖1，若3EC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同；若BEC信道傳輸失

敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以兩個(gè)信道為例，如圖

2）.

17/59

圖1圖2

華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以兩個(gè)相互獨(dú)立的BEC信

道傳輸信號(hào)為例）：如圖3,信號(hào)S直接從信道2傳輸；信號(hào)■在傳輸前先與S“異或”運(yùn)算得到信號(hào)X-

再?gòu)男诺?傳輸.接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)4或

（注：“異或'是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算.兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0,兩個(gè)不同數(shù)字“異或”得到1,“異或”

運(yùn)算用符號(hào)“十”表示：0?0=0,1?1=0,1十0=1,。十1=1.“異或，運(yùn)算性質(zhì)：A十3=C,則A=C十3）.假

設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為P（0<p<l）.U，&=｛。，1｝.

（1）在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)■和4均被成功接收”為事件A,求P（A）：

⑵對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)G被成功解碼（即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定Q的值）的概率；

②若對(duì)輸入信號(hào)■賦值（如G=0）作為己知信號(hào)，接收端只解碼信號(hào)求信號(hào)4被成功解碼的概率.

【解析】（1）設(shè)“信號(hào)q和心均被成功接收”為事件A,則尸（A）=p.p=p2；

⑵①?.乜十。2=乂，：.U｝=U2?Xx.

當(dāng)且僅當(dāng)信道1、信道2都傳輸成功時(shí)，由a、X］的值可確定q的值，所以信號(hào)q被成功解碼的概率為P2；

②若信道2傳輸成功，則信號(hào)/被成功解碼，概率為P；

若信道2傳輸失敗、信道1傳輸成功，則4=■十X-因?yàn)椤鰹榧褐盘?hào)，信號(hào)％仍然可以被成功解碼，

此時(shí)U2被成功解碼的概率為（I-p）p；

若信道2、信道1都傳輸失敗，此時(shí)信號(hào)無(wú)法成功解碼；

綜上可得，信號(hào)被成功解碼的概率為p+P（1-P）=20-p2.

【變式1-1］（上海市十校2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考（文理）數(shù)學(xué)試題）規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,若存在數(shù)

列｛%｝和實(shí)數(shù)尤（**°），使4=q+出了+。3/+…+為尤"T，則稱A可以表示成X進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：

A=x~（4）（4）3）…；如：A=2?（一1）（3）（-2）⑴，表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且

A=-1+3X2+（-2）X22+1X23=5；

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（1）已知能=（1-2同（1+3/）（刀20）,試將加表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式;

]--------------------------------2n2

(2)若數(shù)列｛〃〃｝滿足4=2,ak+l=-——,ksN*,=2?…3〃)，neN*，求證：bn=-8--；

1—〃女77

(3)若常數(shù)/滿足卷。且f>T,d,=”?)?)?)…?T)(c：),求!吧黑.

Un+1

【解析】(1)m=(l-2x)(l+3x2)=l-2x+3x2-6x3,

則/?=%~(1)(-2)(3)(-6).

匚二=尸^=""（"'、*）,知｛七｝是周期為3的數(shù)列,

貝U2=2~（4）（生）（。3）...（4”-2）（%,-1）（%.）-

=[2+(-1)X2+1X22]+[2X23+(-1)X24+1X25]+...

+[2x23"-3+(-l)x23"-2+|x23"-']

=[2+(-l)x2+ix22]x(l+23+26+...+23"-3)

1-8"22

=2x---O----

1-877

22

即：匕=*8"，

77

(3)d”=C：+C*+C#+C：H..+c；fi

[C；+0+C"+中+…+C：”-1(1+r)“1

111

-----,I+/>I

所以hm-f-=hm-———-I+/

〃-8〃-8(1+0-1

l,0<l+r<l

即lim&=—,t>0

I+/

00//

Un+\l,—I</<0

題型二：數(shù)對(duì)序列

19/59

【典例2-1】（北京市西城區(qū)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）給定正整數(shù)NN3,己知項(xiàng)數(shù)為“且無(wú)重復(fù)項(xiàng)

的數(shù)對(duì)序列A：（%,%）,仁,%），…，（%>，%）滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①2,…,N｝,且x產(chǎn)*[=1,2,…,租）；

==③（0,4）與（%p）不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

⑴當(dāng)N=3,機(jī)=3時(shí)，寫出所有滿足國(guó)=1的數(shù)對(duì)序列A；

（2）當(dāng)N=6時(shí)，證明：m<13；

（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記，"的最大值為T（N）,求T（N）.

【解析】（1）依題意，當(dāng)N=3,機(jī)=3時(shí)有：

A:（1,2）,（2,3）,（3,1）或A:（1,3卜（3,2卜（2,1）.

（2）當(dāng)N=6時(shí)，

因?yàn)椋?,4）與（4,0）不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，

所以根VC；=15,所以123,4,5,6每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)5次，

又因?yàn)?+i=乂[=1,2,…,冽一1）,

所以只有％,%,對(duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)5次，

所以“ZV：x（4x4+2x5）=13.

（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，先證明T（N+2）=T（N）+2N+1.

因?yàn)椋≒，4）與（4，P）不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，

所以r（N）4C；=：N（N—l）,

當(dāng)N=3時(shí)，構(gòu)造4（1,2）,（2,3）,（3,1）恰有。；項(xiàng)，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1.

對(duì)奇數(shù)N,如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有Cj項(xiàng)的序列A,且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1,

那么多奇數(shù)N+2而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列A：

首先，對(duì)于如下2N+1個(gè)數(shù)對(duì)集合：

｛（1,N+1）,（N+1,1）｝,｛（1,N+2）,（N+2,1）｝,

｛（2,N+l）,（N+l,2）｝,｛（2,N+2）,（N+2,2）｝,

｛（N,N+1）,（N+1,N）｝,｛（N,N+2）,（N+2,N）｝,

｛（N+1,N+2）,（N+2,N+1）｝,

每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列A中，

所以T（N+2）WT（N）+2N+1,

其次，對(duì)每個(gè)不大于N的偶數(shù)論｛2,4,6,.-?,^-1｝,

20/59

將如下4個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：

（N+l,，）,?,N+2）,（N+2,i+l）,（i+l,N+l）,

共得到組，將這片」組對(duì)數(shù)以及（LN+1）,（N+1,N+2）,（N+2,1）,

按如下方式補(bǔ)充到A的后面，

即A（l,N+l）,（N+l,2）,（2,N+2）,（N+2,3）,（3,〃+l）,…，

（N+1,N—1）,（N-1,N+2）,（N+2,N）,（N,N+1）,（N+1,N+2）,（N+2,1）.

此時(shí)恰有T（N）+2N+1項(xiàng)，所以T（N+2）=T（N）+2N+1.

綜上，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，

T（N）=（T（N）—T（N—2））+（T（N—2）—T（N—4））+~+（T（5）—T（3））+T（3）

=（2（//-2）+l）+（2（^-4）+l）+---+（2x3+l）+3

=（2（N-2）+l）+（2（^-4）+l）+---+（2x3+l）+（2xl+l）

=（2N-3）+（2N-7）+…+7+3

=2AL-3±3xN-2±l=l

222v7

【典例2-2】（上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對(duì)于四個(gè)正數(shù)根、小P、q,若

滿足“<利，則稱有序數(shù)對(duì)（見(jiàn)〃）是（P，4）的"下位序列

⑴對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)（3,11）是（2,7）的“下位序列”嗎?請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

（2）設(shè)b、c、d均為正數(shù)，且（“⑷是（c,d）的“下位序列”，試判斷：、三、;±1之間的大小關(guān)系；

⑶設(shè)正整數(shù)〃滿足條件:對(duì)集合｛/0<加<2021,根eN｝內(nèi)的每個(gè)優(yōu)，總存在正整數(shù)%,使得（以2021）是（匕〃）

的“下位序列”，且（左,〃）是（祖+1,2022）的“下位序列”，求正整數(shù)〃的最小值.

【解析】（1）v3x7<llx2

.?.（3,11）是（2,7）的"下位序列"

（2）???（。㈤是（c,d）的“下位序列”

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