2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、復(fù)數(shù)》專項(xiàng)

測(cè)試卷及答案

（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若集合A={x|無(wú)<2},5={#-1）2<4},則入8=（）

A.|x|x<21B.|x|-l<x<2}

C.{x|x<3}D.|x|-l<x<3}

2,已知集合4={兀區(qū)=4左,左€2|,3={x|x=4加+1,加ez},C=\x\x=4n+2,neZ\,￡）={.X=4f+3J€Z},

若aeB,beC,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a+beAB.a+beBC.a+beCD.a+beD

3.已知向量a=（2-f,3）力=?』），則是％與匕的夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.“不等式6?+26-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.-l<a<0B.a<0C.-l<a<0D.-l<a<0

5.設(shè)x>0,則函數(shù)y=2Y+x+2_）的最小值為（）

2x+l2

13

A.0B.-C.-1D.-

22

6.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（i+i）z=o+i,其中aeR.p："復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”，則

下列條件是"的充分不必要條件的是（）

A.a>-lB.a<1C.-1<（7<1D.0<a<l

x2-2x-8>0

7.已知關(guān)于X的不等式組2,,僅有一個(gè)整數(shù)解，貝心的取值范圍為（）

27+（2左+7）犬+7左<0

A.（-5,3）J（4,5）B.[-5,3）1（4,5]

C.（-5,3][4,5）D.[-5,3]i1[4,5]

第1頁(yè)共18頁(yè)

8.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的有abeS,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若八V是

Z的兩個(gè)沒有公共元素的非空子集，TuV=Z.若任意的a,b,ceT,有abceT,同時(shí)，任意的x,y,zeV,

有孫zeV,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.T、V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T、V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.T、V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T、V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知Z⑷表示集合A的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合股=卜|犬-9x<10},N={x|lg(x-l)<l}()

A.Z(M)=10B.MN={x|lvxvH}

C.Z(N)=9D.A^={x|10<x<ll}

10.下列結(jié)論正確的是()

A.若a,為正實(shí)數(shù)，a〉b,貝！14>々28+。/

B.若a,b,機(jī)為正實(shí)數(shù)，a<b,則:十加

b+mb

c.若a,bwR,貝I]“a>5>0”是"《〈尹的充分不必要條件

11「14一

D.不等式|工-，司<1成立的充分不必要條件是￡<X<K，則根的取值范圍是一5,弓

32L2J-

11.設(shè)4,z2,4是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.若Z/2=0,則Z]=O或Zz=OB.若Z]Z?=2仔3且Z]WO，則Z?=Z3

C.若㈤=區(qū)|,則Z/Z]=Z2.Z2D.若㈤=㈤，則Z；=Z；

12.若a>0,b>0,且勿+/?=1,則下列說(shuō)法正確的是()

A.而有最大值。B.瘍+后有最大值2

0

C.工+；有最小值4D.4k+廿有最小值比

ab2

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)命題"：3xeR,加―x+i<o.寫出一個(gè)實(shí)數(shù)力,使得"為真命題.

14.“生命在于運(yùn)動(dòng)”，某學(xué)校教師在普及程度比較高的三個(gè)體育項(xiàng)目一乒乓球、羽毛球、籃球中，會(huì)打乒

乓球的教師人數(shù)為30,會(huì)打羽毛球的教師人數(shù)為60,會(huì)打籃球的教師人數(shù)為20,若會(huì)至少其中一個(gè)體育項(xiàng)

第2頁(yè)共18頁(yè)

目的教師人數(shù)為80,且三個(gè)體育項(xiàng)目都會(huì)的教師人數(shù)為5,則會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為

2

15.若復(fù)數(shù)z滿足Z+*￡R,則|z+i|的最小值為

Z

16.已知正實(shí)數(shù)。，}滿足/+/=i,貝++的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.(10分)

設(shè)命題P：“對(duì)任意％〉1,%2—(4+1)%+。+1之0恒成立且命題P為真命題.

⑴求實(shí)數(shù)，的取值集合A；

⑵在⑴的條件下，設(shè)非空集合8={XM+1WXV1-1},若“XeB”是“XeA”的充分條件，求實(shí)數(shù)力的

取值范圍.

18.(12分)

已知復(fù)數(shù)2=苫+儀，(xeR,yeR),其中i為虛數(shù)單位，且滿足口=2,且1一1為純虛數(shù).

(1)若復(fù)數(shù)Z=x+，i,(xeR,?ER)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；

(2)求立+△；

Z

⑶若在(1)中條件下的復(fù)數(shù)Z是關(guān)于X的方程x2+zx+"=O(，","eR)的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)優(yōu)，W的直

19.(12分)

第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在四川成都舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活

動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.

(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品

每件定價(jià)最多為多少元？

(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和

第3頁(yè)共18頁(yè)

營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到X元.公司擬投入，(無(wú)2-600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳

費(fèi)用，投入1萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能

使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

20.(12分)

已知關(guān)于X的不等式加_3x+2>0的解集為{x|x<l或x>b}.

⑴求。，的值；

ab

⑵當(dāng)X>0,>>0且滿足一+—=1時(shí)，有2五+12尸+及+2恒成立，求上的取值范圍.

xy

21.(12分)

已知函數(shù)y=(m+l)x2—mx+m—l(wieR).

(i)若不等式y(tǒng)<o的解集是空集，求機(jī)的取值范圍；

(2)當(dāng)機(jī)>一2時(shí)，解不等式

(3)若不等式y(tǒng)20的解集為，若［-1,1］三求相的取值范圍.

22.(12分)

已知集合A的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若aeA,則咎eA.

1-a

(1)若a=-3,求出A中其它所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)aeA,再求出A中的所有元素?

第4頁(yè)共18頁(yè)

⑶根據(jù)（1）（2）,你能得出什么結(jié)論.

參考答案

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若集合A={X|X<2},B=H（X-1）2<4},則AU3=（）

A.{x|x<2}B.{x[T<x<2}

C.{x|x<3}D.{%|-l<x<3}

【答案】C

【解析】因?yàn)?={小<2},3=何-1<》<3},所以={上<3}.

故選：C

2.已知集合4={乂龍=4左,左€2|,B=^x\x=4m+l,m&Z^,C=\x\x=4n+2,neZ|,￡>={x[x=4t+3,teZ},

若aeB,bwC,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a+bGAB.a+bGBC.a+beCD.a+beD

【答案】D

【解析】因?yàn)閍eB,beC,

則由題意可設(shè)a=4m+l,b=4n+2,其中〃2eZ,“eZ,

貝[]a+b=4（〃z+”）+3,且〃z+“eZ,

故a+6e￡）,

故選：D.

3.已知向量。=（2T,3）,6=&1）,則是“0與6的夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

第5頁(yè)共18頁(yè)

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若￡與b的夾角為銳角，則且a與6不共線,

（2-%）E+lx3〉0

所以《，解得—1</<3且rw-,

（2-/）xl-3/wO2

所以"-1</<3”是“2與b的夾角為銳角”的必要不充分條件.

故選：B.

4.“不等式訴2+2辦-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.—l<a<0B.tz<0C.-l<a<0D.-l<a<0

【答案】D

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，-1<0恒成立，

a<0

當(dāng)。片0時(shí)，則4/+4a<0'解得T<a<°，

綜上所述，不等式辦2+2以—1<0恒成立時(shí)，-lva<0,

所以選項(xiàng)中“不等式加+26-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是-l<a<0.

故選：D.

5.設(shè)x>0,則函數(shù)y=2/+x+2二的最小值為（）

2x+l2

0-I

A.0B-IC.-1

【答案】C

【解析】設(shè)2x+l=f,z>l,貝1］工=號(hào)

『+2

2

2x?+x+25

——---------=-+--3>2.

2x+l2~~t22t

t2

當(dāng)且僅當(dāng)2=7,即,=2時(shí)等號(hào)成立.

故選：C.

6.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=a+i,其中aeR.〃：“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”，則

下列條件是P的充分不必要條件的是（）

A.a>—1B.a<\C.—1<<1D.0<?<1

第6頁(yè)共18頁(yè)

【答案】D

【解析】因?yàn)椋╨+i）z=a+i,則i=（a+i）（j）二"l+"i,

''1+i222

（a+1>0

若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，C，解得

[1-67>0

即P：

因?yàn)檫x項(xiàng)中只有為｛。|一1<〃<1｝的真子集，

所以選項(xiàng)中只有OV4V1是夕的充分不必要條件.

故選：D.

r2-?x-8>0

7.已知關(guān)于x的不等式組C2r”，c僅有一個(gè)整數(shù)解，則上的取值范圍為（）

2_r+（2左+7）》+7左<0

A.（-5,3）IJ（4,5）B.r-5,3）IJ（4,5]

C.（-5,3]J[4,5）D.[-5,3]Ur4,5]

【答案】B

【解析】由尤2-2尤-8>0,可得尤>4或x<-2,

7

由2x?+（2%+7）x+7k=0,即（2x+7）（x+左）=0,得玉=-^,x2=-k,

777

=ik>—,lip—k<——H'f,不等式2x~+（2左+7）x+7上<0的角牢為一％<x<—5,

[x2—2%—8>07

此時(shí)不等式組c,cr八的解集為

[2X2+（2左+7）尤+7左<02

又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個(gè)整數(shù)解，

貝l|—5V—左<T,解得4〈左V5；

777

當(dāng)上<5,Bp—k>——,不等式2犬2+（2后+7）x+7左<0的解為一/<無(wú)<—%,

又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個(gè)整數(shù)解，

貝1|一3〈一左W5,解得一5V4<3；

綜上所述，%的取值范圍為[-5,3）10,5].

故選：B.

8.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的。力eS,有MeS,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T、V是

Z的兩個(gè)沒有公共元素的非空子集，TuV=Z.若任意的。，"ceT,有abceT,同時(shí)，任意的x,y,zek,

第7頁(yè)共18頁(yè)

有沖zeV,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.T、V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T、V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.7、V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T、V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

【答案】A

【解析】若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時(shí)T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；

若T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時(shí)只有V關(guān)于乘法是封閉的，排除D；

從而可得T、V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的，A正確.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知Z(A)表示集合A的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合M={x|尤2-9尤<10},N={尤|lg(x-l)<l}()

A.Z(M)=10B.MA^={A|1<X<11}

C.Z(N)=9D.N={x|10W尤<11}

【答案】ACD

【解析】由*一9了<10=(%一10)(%+1)<。=-1<%<1。，

因止匕M={x|x?-9x<10}=(-1,10),

,.[x—1>0

因此N={x|lg(x-D<l}=(l,ll).

A：因?yàn)榧螹中的整數(shù)有0」,2,3,9,共10個(gè)，

所以Z(M)=10,因此本選項(xiàng)正確；

B：因?yàn)镸N={x|-1<尤<11},

所以本選項(xiàng)不正確；

C：因?yàn)榧螻中的整數(shù)有2,3-,10,共9個(gè)，

所以Z(N)=9,因此本選項(xiàng)正確；

D：因?yàn)镸=(—L10),所以QM=(7),-L][10,+w),

第8頁(yè)共18頁(yè)

因?yàn)镹=(l/l),所以&V)^={x|10<x<ll),因此本選項(xiàng)正確,

故選：ACD

10.下列結(jié)論正確的是()

A.若Z?為正實(shí)數(shù)，a>b,則〃3+。3A/O+Q/

B.若a,6,為正實(shí)數(shù)，a<b,則竺竺<￡

b+mb

C.若a,6eR,則“a>6>0"是“上<的充分不必要條件

ab

D.不等式k-同<1成立的充分不必要條件是：<》<；,則根的取值范圍是

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?。，b為正實(shí)數(shù),a>b,

22222

所以d+-(ab+ab)=a(a-b)+b(b-a)=(a-b)(a^b)>0,所以d+分>/)十加,故A正確;

a+ma_b(a+m)-a(b+m)_m(b-a)

對(duì)于B,因?yàn)椤?，b,加為正實(shí)數(shù)，所以>o,所以巴4g

b+mbb(b+m)b(b+m)b+mb

故B錯(cuò)誤;

b-ab<a[b>a

對(duì)于C,<0,可得或"故由a>6>?？?<小

abab>Q

但是呆杯一定得到a>b>0,故“a>b>?！笔?今的充分不必要條件，故C正確;

對(duì)于D,由<1可得+l,由于成立的充分不必要條件是：<x<g,

1I

m-1<—m-1<—

314

所以解得-jW根故D正確.

m+l>—m+1>—

22

故選：ACD

11.設(shè)4，z2,Z3是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.若Z[Z2=0,則4=0或Z2=0B.若Z[Z2=Z]Z3且Z1片0,則z?=

C.若聞=[,則Z]-Z]=Z2-Z2D.若㈤=閡，則z；=z；

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A：乎2=0,則|砧|=|訃國(guó)=0,則㈤=0或閭=0,

第9頁(yè)共18頁(yè)

即4=?；騔2=0,故A正確；

對(duì)于B：ZiZ2=ZiZ3,=z1（z2-z3）=0,且

所以Z2—Z3=。，，Z2=Z3，故B正確;

對(duì)于C：設(shè)Z=1+歷,Q,Z?￡R,則，=〃_歷，

2222

:.Z'Z=a+b=|z|,「.4?Z]=㈤2=|z2|=z2-z2,故C正確；

對(duì)于D,取4=l+i,z2=l-i,貝也4|=%|=&，但z；=（l+i『=2i,z；=（l—曠=—2i,

則z；wz；,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.若a>0,b>0,且2a+Z?=l,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.他有最大值1B.瘍+而有最大值2

O

C.'+：有最小值4D.44+。2有最小值YZ

ab2

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,ab=-x2ab<-x^a+b^

2248

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=；時(shí)取等號(hào)，

所以必有最大值:，故A正確；

O

對(duì)于B,因?yàn)?4+bN222",所以2（2〃+Z?）22〃+/?+2A/^^=（7^+物）,

所以而+6工12（2〃+方）=0,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=；時(shí)取等號(hào)，

所以伍'+揚(yáng)有最大值&,故B錯(cuò)誤；

j-r-1a2a+bababa,

對(duì)于C,-+-=--------+-=2+-+->2+2J------=4,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=?,即a=6=：時(shí)取等號(hào)，

ab3

所以工+:有最小值4,故C正確；

ab

第10頁(yè)共18頁(yè)

對(duì)于D,因?yàn)?a2+/22x2a。，^flU2（4（22+Z?2）＞4?2+Z?2+2x26zZ7=（2tz+Z?）2,

所以病+/廠+^J,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=《時(shí)取等號(hào)，

~222

所以4a2+〃有最小值故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)命題。：3xeR,加-X+1V0.寫出一個(gè)實(shí)數(shù)”,使得。為真命題.

【答案】。（答案不唯一）

【解析】若。正確，。=0時(shí)「x+IWO有解，

ftz>0、

時(shí)，則〈或〃<0,

[A>0

所以〃（—00,0）,

綜上，?真，貝即a中任取一個(gè)值都可以.

44

故答案為：0（答案不唯一）

14.“生命在于運(yùn)動(dòng)”，某學(xué)校教師在普及程度比較高的三個(gè)體育項(xiàng)目——乒乓球、羽毛球、籃球中，會(huì)打乒

乓球的教師人數(shù)為30,會(huì)打羽毛球的教師人數(shù)為60,會(huì)打籃球的教師人數(shù)為20,若會(huì)至少其中一個(gè)體育項(xiàng)

目的教師人數(shù)為80,且三個(gè)體育項(xiàng)目都會(huì)的教師人數(shù)為5,則會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為

【答案】20

【解析】首先設(shè)A=｛x|x是會(huì)打乒乓球的教師｝,8=卜區(qū)是會(huì)打羽毛球球的教師｝,

C=｛x|尤是會(huì)打藍(lán)球的教師｝,

根據(jù)題意得card（A）=30,card（B）=60,card（C）=20,card（AuBuC）=80,card（AnBnC）=5,

再使用三元容斥原理得：

card（AuBuC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（AnB）-card（BnC）-card（CnA）+card（AnBnC）,

有card（AnB）+card（BnC）+card（CnA）=35,

而card（AcB）+card（8cC）+card（CcA）中把AcBcC的區(qū)域計(jì)算了3次，

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于是要減掉這3次，才能得到會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù).

因此會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為35-3x5=20.

故答案為：20.

7

15.若復(fù)數(shù)z滿足z+*eR,則|z+i|的最小值為

Z

【答案】V2-1/-1+V2

【解析】設(shè)z=a+bi,（。力不同時(shí)為0）,

la)L2bY

z+—=a+bi+------7=。+歷+—〃+

za+bia+b

2b

由題意可知6-二0,得Z?=0或/+加=2,

a2+b2

當(dāng)人=0時(shí)，z的軌跡是x軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)|z+i|的幾何意義表示復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)和（0,-1）的距離，此時(shí)

|z+i|>1,

當(dāng)/+廿=2時(shí)，復(fù)數(shù)z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，也為半徑的圓，如圖,

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z+i|的幾何意義是圓上的點(diǎn)到（0,-1）的距離，如圖可知,

|z+i|的最小值是點(diǎn)A與（0,-1）的距離V2-1.

故答案為：V2-1.

則I，"*[J]47+的最小值為.

16.已知正實(shí)數(shù)。，萬(wàn)滿足/+尸=1

【答案】12

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，b滿足1+62=1,

故。＜隆?j當(dāng)且僅當(dāng)“時(shí)等號(hào)成立,

“7I2a2b

故|4a+I6abH---------1-------1-----

4abba

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12(d5+Z?)99^

二16abd----1——-------二16abd---->2,116ab----=12，

4abab4abv4次？

Q3

當(dāng)且僅當(dāng)16〃。=」，即加=三時(shí)取等號(hào)，符合題意，

4ab8

故I，"+I114"+(%勺最小值為⑵

故答案為：12

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.(10分)

設(shè)命題?：“對(duì)任意%>1，—(〃+l)x+〃+l20恒成立”.且命題?為真命題.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值集合A；

⑵在⑴的條件下，設(shè)非空集合8={3〃+14無(wú)4后-1},若"％w3”是A”的充分條件，求實(shí)數(shù)加的

取值范圍.

2

【解析】(1)對(duì)任意%>1,-(〃+l)x+a+120恒成立，BPx-x+l>a(x-l)f

尤2_V-_i_1

即對(duì)任意冗>1恒成立,

x-1

-7-11八44x2—x+lX2—2x+l+X—l+lI

而X>l,n即n無(wú)一l>0,故r-------=-----------------=x-l+---+1

x—1X—1X—1

22打1>±+1=3'

當(dāng)且僅當(dāng).一1=工，即無(wú)=2時(shí)取等號(hào)，

x-1

故aM3,則實(shí)數(shù)。的取值集合。=(-力,3].

(2)W?2—l>m+l,BPm2—m—2>0>得〃z22或機(jī)4—1,

由于“彳eB”是“;Ie4”的充分條件,故

Um2-1<3,即一2VmV2,

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍為{"z|m=2或-2WmW-l}.

18.(12分)

已知復(fù)數(shù)2=工+M，(xeR,yeR),其中i為虛數(shù)單位，且滿足忖=2,且為純虛數(shù).

(1)若復(fù)數(shù)z=x+yi,(xeR,yeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；

(2)求百+21；

Z

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(3)若在(1)中條件下的復(fù)數(shù)z是關(guān)于尤的方程*+"優(yōu)+〃=0(機(jī),〃€町的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)相，〃的值.

【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)2=工+其，(xeR,yeR),所以W-l=x-l-yi,

又為純虛數(shù)，所以x=L

又目二次+產(chǎn)=2,所以y=±g,

又因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，

所以y=石，故z=l+拒i.

(2)由(1)可知z=l土石

>/3+2i6+2i_(6+2i)(l-何_0-3i+2i+2百_地_j_.

當(dāng)z=l+?時(shí),啟正網(wǎng)1

Z1+V3i-(1+444

當(dāng)z=l-后時(shí)，9=9=(")(1+后)=一與耳

z1-6i444

(3)法一：由(1)可知z=l+g,是關(guān)于x的方程/+的+〃=O(m/￡R)的一個(gè)根,

所以才巴z=1+若，，代入%之+^^+〃=0得(1+Gi)+機(jī)?(1+V§i)+〃=O,

彳七簡(jiǎn)彳尋機(jī)+〃-2++2*x/^)i=0,

m+n-2=0

即《r-，解得：m=-2,n=4

J3m+2j3r=0

法二：由(1)可知2=1+石，是關(guān)于x的方程/+如+〃=0(九〃R)的一個(gè)根,

z+z=-m=2

所以此方程的另一根為：z=l-V3i,則

z-z=n=4

解得：m=—2,n—4

19.(12分)

第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在四川成都舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活

動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.

(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品

每件定價(jià)最多為多少元？

(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和

營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入((爐-600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳

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費(fèi)用，投入上萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使

改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

【解析】⑴設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得(8-三至x0.24225x8,

整理得/-65f+1000<0,

解得25W40.

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.

(2)依題意知當(dāng)尤>25時(shí)，不等式依N25x8+50+((x2-600)+gx有解，

等價(jià)于x>25時(shí)，?>—++

x65

由于空+'xL=10,當(dāng)且僅當(dāng)空=^x,即x=3O時(shí)等號(hào)成立，所以“210.2.

x6\x6x6

故當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，

才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.

20.（12分）

已知關(guān)于x的不等式/一3x+2>0的解集為{x|x<l或x>6}.

(1)求a,8的值；

ab

(2)當(dāng)x>0,，>。且滿足一+—=1時(shí)，有2x+y?公+左+2恒成立，求上的取值范圍.

xy

【解析】(1)因?yàn)椴坏仁郊?3x+2>0的解集為或x>b},

所以1和b是方程*—3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a>0,

1+6=3r

所以；，解得；一。，

、a

即a=1,b=2.

=112

(2)由(1)知7于是有一+—=1,

[b=2xy

故2x+y=（2x+y）工+2]=4+）+把24+24=8,

y）xy

v4x12fx=2,

當(dāng)且僅當(dāng)上=一,結(jié)合一+—=1,即.“時(shí)，等號(hào)成立,

xyxy[y=4

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依題意有(Zx+y*。2/+左+2,即82公+左+2,

得公+%-6<0,BP-3<k<2,

所以上的取值范圍為卜3,2］.

21.(12分)

已知函數(shù)y=(m+1)^2—inx+m-l(meR).

(1)若不等式y(tǒng)<。的解集是空集，求機(jī)的取值范圍；

(2)當(dāng)機(jī)>-2時(shí)，解不等式相；

⑶若不等式y(tǒng)'O的解集為。，若［-M］屋。，求〃，的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)m+1=0時(shí)，即％=-1,則由〃x)=x-2<0,得x<2,不合題意,

當(dāng)m+lwO,即7"片-1時(shí)，由不等式〃力<0的解集為。得

fm+1>0,入Q

［A=m2-4(m+l)(m-l)<0,解得心亍’

所以加的取值范圍為1—^,+8；

(2)因?yàn)槎?、相，所?根+1)12—如一1力。，gp［(m+l)x+l］(x-1)>0,

當(dāng)m+1=0,即機(jī)=-1時(shí)，解得光21,所以不等式的解集為［1,+oo),

當(dāng)加+1>0,即zn>—1時(shí)，\x-\----|(x-l)>0,

Im+lj

因?yàn)橐灰欢?lt;。，所以不等式的解集為1-8,-一，］川，+⑹，

m+1<m+l_

當(dāng)m+lvO,即一2<機(jī)<—1時(shí)，|x+—^―-|(x-l)<0,

(m+1)

因?yàn)橐?<相<—1,所以一IVM+IVO,所以----->1,

m+1

所以不等式的解集為［,——1］,

綜上，當(dāng)，〃=-!,不等式的解集為工+?)；

當(dāng)加>-1時(shí)，不等式的解集為1-%-一［1,+8)；

當(dāng)-2<加<-1時(shí)，不等式的解集為1,--二：

m+1

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(3