2025屆中考復(fù)習專題10:二次函數(shù)中的存在性問題

總覽1題型解讀

解題策略梳理模塊三角的存在性問題

模塊一三角形存在性問題【題型9】轉(zhuǎn)化為相似或全等三角形

【題型1】等腰直角三角形【題型10］轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題

【題型2】等腰三角形存在性問題【題型11］化為正切值或斜率

【題型3】直角三角形存在性問題【題型12］角的存在性問題之與特殊角結(jié)合

【題型4】相似三角形存在性問題【題型13］角的存在性問題之2倍角與半角

模塊二特殊四邊形存在性問題【題型14］頂點是動點——構(gòu)造圓

【題型5】平行四邊形存在性問題

【題型6】正方形存在性問題

【題型7】矩形存在性問題

【題型8】菱形存在性問題

題型匯編

/核心?技巧/

解題策略梳理

一、等腰三角形的存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解

【問題描述】

如圖，點A坐標為（1,1）,點8坐標為（4,3）,在無軸上取點C使得△ABC是等腰三角形.

八y

B

*

A

A

~OX

【幾何法】“兩圓一線”得坐標

(1)以點A為圓心，A8為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C,有AB=AC；

(2)以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C,有BA=BC；

(3)作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C,有C4=CB.

【注意】若有三點共線的情況，則需排除.

作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來,可通過勾股或者三角函數(shù)來求.

A。=AB=7(4-l)2+(3-l)2=713

作AHL:軸于H點，AH=1

C1H=C2H=7134=273

0(1-24,0)C2(1+24,0)

Cpa同理可求，下求C5.

顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、2均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0）,

點B坐標為（4,2）時，可構(gòu)造直角三角形勾股解：

AH=3,BH=2

設(shè)ACs=x,貝!!BC5=X,C5H=3-X

(3-X)2+22=X2

13

解得：x=~

o

19

故C5坐標為(W，0)

而對于本題的C5,或許代數(shù)法更好用一些.

二、直角三角形存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解

【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1）,點5坐標為（5,3）,在X軸上找一

點C使得△△3c是直角三角形，求點C坐標.

【幾何法】兩線一圓得坐標

（1）若NA為直角，過點A作A3的垂線，與x軸的交點即為所求點C；

（2）若為直角，過點3作A5的垂線，與x軸的交點即為所求點C；

（3）若NC為直角，以為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C（直徑所對的圓周角為直角）

重點還是如何求得點坐標，%G求法相同，以C?為例:

【構(gòu)造三垂直】

易證△AMBMBNCz

AMMB

BN~NC2

由A、B坐標得AM=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN、

13

故C2坐標為（5，0）

C3,C4求法相同，以C3為例:

AMMC3

易證△AMC3-'2\C3NB，=

C3/VIND

由A、2坐標得AM=1,BN=3,設(shè)MC3=a,C3N=b

1a、

代入得：一=一，即出?=3,又a+b=4,故a=l或3

b3

故C3坐標為（2,0）,坐標為（4,0）

構(gòu)造三垂直步驟：

第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；

第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似.

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股

還剩下G待求，不妨來求下G：

(1)表示點:設(shè)a坐標為(機，0),又A(1,1)、B(5,3)；

（2）表示線段：AB=2y[5,Achlf+f,BCi=d（m_5『+32；

(3)分類討論：當ABAC,為直角時，AB-+AC,2=BC；；

2222

(4)代入得方程：20+(77I-l)+l=(m-5)+3,解得：m=|.

三、等腰直角三角形在性問題方法突破

【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題.

【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtAABC,ZACB=90°,將斜邊4B繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AD,過點。

作。E_LAC于點E,可以推理得到△ABC四△ZME,進而得到AC=OE,BC=AE.

我們把這個數(shù)學模型成為“K型”.

推理過程如下：

EAc

【模型遷移】

【蘭州中考(刪減)】二次函數(shù)〉=加+云+2的圖像交x軸于點A(-1,0),B(4,0)兩點，交y軸

于點C.動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MNLx軸交

直線3c于點N,交拋物線于點D,連接AC,設(shè)運動的時間為f秒.

(1)求二次函數(shù)y=o^+bx+2的表達式；

(2)在直線跖V上存在一點P,當AP3C是以N3PC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的

坐標.

【分析】

iQ

(1)y=——x2+—x+2；

22

(2)本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作

水平線，得三垂直全等.

設(shè)HP=a,PQ=b,則BQ=a,CH=b,

\a+b=4-a=1

由圖可知：Lfl=2；解得:

b=3

故D點坐標為(1,3).

同理可求此時。點坐標為(3,2).

思路2:等腰直角的一半還是等腰直角.

如圖，取BC中點M點，以3M為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點.根據(jù)B點

和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2,故尸點坐標易求.

P點橫坐標同D點，故可求得。點坐標.

四、平行四邊形存在性問題方法突破

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對應(yīng)邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中:

(1)對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：/一/二%一”

[%-yB=yD-yc

xA+xcxB+xD

(2)對角線互相平分轉(zhuǎn)化為:22

yA+ycyB+yD

2-2

可以理解為AC的中點也是BD的中點.

【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一:

尤A_XB=X"-尤c-+無B

-yB=yD-yc1%+yc=yD+yB

xA+xcxB+xD

-

22\xA+xc=xB+xD

%+先=力+切1%+/=%+%

2-2

當AC和為對角線時，結(jié)果可簡記為：A+C=B+D(各個點對應(yīng)的橫縱坐標相加)

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若

坐標系中的4個點A、B、C、。滿足“A+C=8+Z>”，則四邊形ABC。是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因為“四邊形A5C。是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價

的轉(zhuǎn)化，故存在反例.

雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形A3C。是平行四邊形：AC,一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

【題型分類】

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標系內(nèi)確定點O使得以A、B、C、。四個點為頂點的四

邊形是平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論：

設(shè)。點坐標為(tn,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+4=[-4-

(1)3C為對角線時，”「、，可得A(7,6)；

3+5=2+及

115m

(2)AC為對角線時，，;，解得3(-1,4)；

[2+5=3+及

f1-L—3-1-FF7

(3)45為對角線時，-.二，解得2(3,0).

2+3=5+〃

當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,￡>3=A+8-(此處特指點的橫縱坐標相加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點C在x軸上，點。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是

平行四邊形，求C、。坐標.

【分析】

設(shè)C點坐標為(機，0),。點坐標為(0,又A(1,1)、B(3,2).

1+3=m+

(1)當A5為對角線時，|°,解得['"=4,故c(4,0)、D(0,3)；

[1+2=0+〃[n=3

⑵當"為對角線時，；二；二，解得二故C⑵。)、?！?/p>

[1-LQ—3-1-TY1[vyi~—D

⑶當4。為對角線時，"二2+屋解得故9，。）、。（。，】）.

【動點綜述】

“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐

標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直

線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”.

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標.若把一個

字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未

知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

（1）對邊平行且相等；

（2）對角線互相平分.

但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：[4+xc=xB+xD（

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在

2個未知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題.

五、矩形的存在性問題方法突破

矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；

（2）對角線相等的平行四邊形；

（3）有三個角為直角的四邊形.

【題型分析】

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形,

坐標系中的矩形滿足以下3個等式：

xA+xc=xB+xD

（AC為對角線時）

%+%=%+yD

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個.

題型如下:

（1）2個定點+1個半動點+1個全動點;

（2）1個定點+3個半動點.

【解析思路】

思路1：先直角，再矩形

在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造

直角三角形，再確定第4個點.對“2定+1半動+1全動”尤其適用.

引例：已知A（1,1）、B（4,2）,點C在無軸上，點。在平面中，且以A、B、C、。為頂點的四

邊形是矩形，求。點坐標.

【分析】

點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有c[g,0}

C2[y,oL。3（2,0）、C4（3,0）

在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標.

【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求。點坐標,

也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此.

思路2：先平行，再矩形

當AC為對角線時，A、B、C、。滿足以下3個等式，則為矩形:

xA+xc=xB+xD

%+>c=%+yD

~XD)+(力

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形.表示出點坐標后，代入點坐標解方

程即可.

無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次

方程組.

引例：己知A(1,1)、B(4,2),點C在x軸上，點。在坐標系中，且以A、B、C、。為頂點的

四邊形是矩形，求。點坐標.

y

?B

【分析】

設(shè)。點坐標為(〃，0),。點坐標為(。，c),又A(1,1)、B(4,2).

先考慮平行四邊形存在性：

[1-LZL—/7+7?

(DAB為對角線時‘i+2],+?！瘽M足此條件的。使得以A、B、C、0為頂點的四邊形是平

行四邊形，另外48=。，得：,("if+(2—1)2=JU+(0_c)2,

a=3a=2

綜合以上可解：<6=2或<6=3.故C(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

(2)AC為對角線時，]；；；：；；；，另外AC=BD,得"+(0-行=w-4)2+(c—2)2,綜

14

CI——

3

停。)、嗚T

合以上可解得：＜b=-故C

3

c=-1

I；］；：；，另外AD=BC，得，色-I1+(c-l)2=,("4)2+(0-2)2

(3)4。為對角線時，

4A

d=-

3

'號,故喂‘°)、

綜合以上可解得：＜

C-1

【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事.

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等

(1)表示點：設(shè)點。5坐標為(相，。)，又A點坐標(1,1)>5點坐標(4,3),

2222

(2)表示線段：AC5=^-1)+(0-1),BC5=^(m-4)+(O-3)

(3)分類討論：根據(jù)AC5=8CS，可得：7(m-1)2+12=7(m-4)2+32-

(4)求解得答案：解得：機=亮，故C5坐標為片,01

【小結(jié)】

幾何法：(1)“兩圓一線”作出點；

(2)利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標.

代數(shù)法：(1)表示出三個點坐標A、B、C；

(2)由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；

(3)根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、?AC=BC；

(4)列出方程求解.

問題總結(jié)：

(1)兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；

(2)一定兩動：兩動點必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；

(3)三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口.

六、菱形的存在性問題方法突破

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形:

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四邊都相等的四邊形是菱形.

坐標系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相

垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形A8CD是菱形，則其4個點坐標需滿足:

XA+%=XB+~

%+%=%+yD

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標的3個等式，

故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：

（1）2個定點+1個半動點+1個全動點

（2）1個定點+3個半動點

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1：先平四，再菱形

設(shè)點坐標，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、8。為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相

等，得到方程組.

思路2：先等腰，再菱形

在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3

個點，再確定第4個點.

1.看個例子：

如圖，在坐標系中，A點坐標（1,1）,2點坐標為（5,4）,點C在x軸上，點。在平面中，求。點

坐標，使得以A、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.

八y

*B

A

*

思路1:先平四，再菱形

設(shè)C點坐標為（m,0）,。點坐標為（p,q）.

（1）當AB為對角線時，由題意得：（A8和CD互相平分及AC=BC）

1+5=m+p

,,9

<l+4=0+q，解得：\P=~

8

(m-I)2+(O-l)2=(m-5)2+(0-4)2

q=5

(2)當AC為對角線時，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）

1+m=5+pm=2m=8

<1+0=4+^解得：p=-2或Wp=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=-3

(3)當A。為對角線時，由題意得：

1+p=5+mm=l+2y/6m=l-2A/6

<1+4=4+0,解得：＜p=5+2C或卜=5-2幾

(1-5)2+(1-4)2=(l-m)2+(l-0)24=34=3

思路2：先等腰，再菱形

先求點C,點C滿足由A、B,C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定

C,再確定。點.

(1)當。時，

C點坐標為(1+2施0),對應(yīng)。點坐標為(5+2瓜3)；

C點坐標為(1-26,0),對應(yīng)D點坐標為(5-2A/6,3).

(2)當ft4=2C時，

C點坐標為(8,0),對應(yīng)。點坐標為(4,-3)；

C點坐標為(2,0),對應(yīng)。點坐標為(-2,-3).

(3)AC=BC時，

C點坐標為［晉。點坐標為《,5).

以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便

的方法.

七、正方形的存在性問題方法突破

作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標系中的正方形存在性問題變化

更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：

（1）有一個角為直角的菱形；

（2）有一組鄰邊相等的矩形；

（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.

依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ纯纱_定所求的點坐標.

從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性

質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）.

比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在

某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解.

從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：

（1）2個定點+2個全動點；

（2）1個定點+2個半動點+1個全動點；

甚至可以有：（3）4個半動點.

不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！

常用處理方法：

思路1：從判定出發(fā)

若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；

若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；

若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2：構(gòu)造三垂直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等

腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點.

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判

定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.

正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主.

例：在平面直角坐標系中，A(1,1),B(4,3),在平面中求C、。使得以A、B、C、。為頂點的四

邊形是正方形.

A

y

?B

A

*

O

如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形.

至于具體求點坐標，以G為例，構(gòu)造即可求得G坐標.至于像C$、Cf這兩個點

的坐標，不難發(fā)現(xiàn)，C5是AC3或BG的中點，Cf是BC?或的中點.

題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路.

八、相似三角形存在性問題

【模型解讀】

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性

問題

【相似判定】

判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?

解決問題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙

動點”兩類問題.

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定

2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；

思路2：還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮

思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

九、角的存在性問題

方法突破

除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的

不同的條件，選擇恰當?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵.

回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：

（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；

（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；

（3）等腰三角形：等邊對等角；

（4）全等（相似）三角形：對應(yīng)角相等；

（5）三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；

（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角.

角平分線：Z1=Z2等腰三角形：Z1=Z2

圓周角定理：N1=N2

三角函數(shù)：若tanNl=tan/2,貝!J/1=N2

想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在

以上6種方案當中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角.

模塊一三角形存在性問題

【題型1】等腰直角三角形

【例題1】如圖，拋物線爾+&+2交X軸于點A(-3,0)和點3(1,0),交y軸于點C.

(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式.

(2)點。的坐標為(-1,0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大

值.

(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點N,使AMZVO為等腰直角三角形，

且4CVO為直角？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【例題2】如圖，拋物線y=V+bx+c過點A(-I,o)、點8(5,0),交y軸于點C.

(1)求b,c的值.

(2)點「優(yōu),%)(0＜毛＜5)是拋物線上的動點，過點尸作PELx軸，交BC于點、E,再過點尸作所〃x

軸，交拋物線于點F連接所，問：是否存在點尸，使！PEF為等腰直角三角形？若存在，請求出

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

[_鞏固練習/

【鞏固練習1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線+c與％軸交于A、B兩點，點B

2

(3,0),經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為C(4,g),與y軸交點為。，點尸是直線AC下

方的拋物線上的一個動點(不與點A、C重合).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)點。在拋物線的對稱軸上運動，當AOPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫

出符合條件的點尸的坐標.

【鞏固練習2】如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)、=辦2+原+4的圖象與無軸交于點

A(—2,0),3(4,0),與>軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知E為拋物線上一點，f為拋物線對稱軸/上一點，以8,E,尸為頂點的三角形是等腰直角

三角形，且NBFE=90°,求出點尸的坐標；

【鞏固練習3】(2024?四川眉山?中考真題)如圖，拋物線y=-f+6x+c與x軸交于點A(-3,0)和點8,

與y軸交于點C(0,3),點。在拋物線上.

(2)當點。在第二象限內(nèi)，且AACD的面積為3時，求點。的坐標；

(3)在直線2C上是否存在點尸，使△。叫是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點

尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【題型2】等腰三角形存在性問題

【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a/+6x+c交x軸于點A(T,O)、3(2,0),交y

軸于點C(0,6),在y軸上有一點頤0,-2),連接

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求AADE面積的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點尸，使AAEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，

若不存在請說明理由.

【例題2](2024?四川達州?中考真題)如圖1,拋物線>="2+履_3與無軸交于點4(-3,0)和點3。，。)，

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點若點P是直線AC上方拋物線上一

點，且SAPMC=2sADMC，求點尸的坐標；

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等

腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【鞏固練習。如圖，拋物線丁=加+法+4交x軸于A(-3,0),3(4,0)兩點，與y軸交于點C,連

接AC,3c.點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點尸的橫坐標為".

(1)求此拋物線的表達式；

(2)過點P作尸河_Lx軸，垂足為點V,交BC于點。.試探究點P在運動過程中，是否存

在這樣的點。，使得以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點Q

的坐標，若不存在，請說明理由；

【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=-1/+法+0經(jīng)過點A(-5,0)和點8(1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)如圖，連接相)、點M在線段AB上(不與A、3重合)，作ZDMN=ZDBA,MN交

線段4)于點N,是否存在這樣點使得ADMN為等腰三角形？若存在，求出4V的長；

若不存在，請說明理由.

【鞏固練習3】如圖，已知二次函數(shù)y=af+?+c的圖像與x軸相交于4-1,0),8(3,0)兩點，與y

軸相交于點C(0,-3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若「是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點H,與線段3c交于點

連接尸C.當APCM是以尸M為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標.

【鞏固練習4】(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知

直線y=：x-2與x軸交于點A,與y軸交于點C,過A,C兩點的拋物線y=依?+bx+c(a彳0)與x

軸的另一個交點為點B(T，。)，點尸是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸

的平行線，分別交直線AC于點E,點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。是x軸上的任意一點，若AACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標.

【鞏固練習5】(2024?四川雅安?中考真題)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)，=依2+法+3的圖象與

無軸交于4(1,0),8(3,0)兩點，與y軸交于點C.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵如圖①，若點P是線段BC上的一個動點(不與點8,C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線

于點。，當線段尸。的長度最大時，求點。的坐標；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點。的直線與拋物線交于點。，且/CQE?=2NOCQ.在y軸上是

否存在點E,使得ABDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【題型3】直角三角形存在性問題

【例題1】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題.

【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtAABC,ZACB=90°,將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AO,過點。

作。E_LAC于點E,可以推理得到△ABCgZYDAE,進而得到AC=DE,BC=AE.

我們把這個數(shù)學模型成為“K型”.

推理過程如下：

EAc

【模型遷移】二次函數(shù)y=a尤?+法+2的圖像交X軸于點A3(4,0)兩點，交y軸于點C.動

點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點/作MN_Lx軸交直線3c于

點N,交拋物線于點。，連接AC,設(shè)運動的時間為f秒.

(1)求二次函數(shù)>=公2+云+2的表達式；

(2)在直線上存在一點P,當APBC是以N3PC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的

坐標.

【例題2］如圖，已知拋物線y=ox2+6x+c(aw0)的對稱軸為直線x=-l,且拋物線與x軸交于A、

3兩點，與y軸交于C點，其中A(1,O),C(0,3).

(1)若直線y=”經(jīng)過3、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-l上找一點使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出

點M的坐標；

(3)設(shè)點尸為拋物線的對稱軸x=-l上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P坐標.

【例題3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞="d+2x+c與x軸交于A(-l,0),3(3,0)兩點，

與y軸交于點C,點。是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)請在y軸上找一點使的周長最小，求出點M的坐標；

(3)試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊的三角形是直

角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【鞏固練習1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=工/+"+。與X軸交于A、B兩點，點B

2

(3,0),經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為C(4,』)，與y軸交點為。，點P是直線AC下

方的拋物線上的一個動點(不與點A、C重合).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)點。在拋物線的對稱軸上運動，當AOPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫

出符合條件的點尸的坐標.

【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6x+c與無軸交于3(4,0),C(-2,0)兩

點.與y軸交于點4(0,-2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得人1/18是以為一條直角邊的直角三角形:若存在,

請求出點〃的坐標，若不存在，請說明理由.

【鞏固練習3】(2024.四川遂寧.中考真題)二次函數(shù)、=/+云+。(。片0)的圖象與x軸分別交于點

A(-l,0),8(3,0),與>軸交于點C(0,-3),P,Q為拋物線上的兩點.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)當尸，C兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點。的坐

標

4/、

【鞏固練習4](2024.山東泰安.中考真題)如圖，拋物線G:y=依2+§x-4的圖象經(jīng)過點￡>(1,-1),

(1)求拋物線的表達式；

(2)將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線G，求拋物線C2的表達式，并

判斷點。是否在拋物線G上；

(3)在x軸上方的拋物線Q上，是否存在點尸，使是等腰直角三角形.若存在，請求出點尸的

坐標；若不存在，請說明理由.

【題型4】相似三角形存在性問題

【例題1】如圖，拋物線y=af+bx+c與x軸交于點4(-1,0),點8(3,0),與y軸交于點C,

且過點。(2,-3).點。是拋物線>=依2+a+。上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線與線段BC相交于點E,當△OBE與AABC相似時，求點。的坐標.

【例題2】如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=x-l與拋物線、=-/+法+。交于4B兩點，其

中A(/TV,0)、B(4,〃)，該拋物線與y軸交于點C,與x軸交于另一點D

(1)求小、”的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3。、CD,在線段CD上是否存在點。，使得以A、D、。為頂點的三角形與△

A3。相似，若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【例題3］如圖，已知拋物線>=加-2尤+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A(0,1),點2(9,

10),AC〃無軸.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)求tan/ABC的值；

(3)若點。為拋物線的頂點，點￡是直線AC上一點，當△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標.

與x軸交于點A,與y軸交于點5,拋物線^=-/+以+，經(jīng)過A、3兩點，在第一象限的拋物線上

取一點￡),過點。作。CLx軸于點C,交于點E.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)是否存在點。，使得/組和“小相似？若存在，請求出點￡>的坐標，若不存在，請說明理由.

【鞏固練習2】（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)

廣加+法+c（4W0）的圖像經(jīng)過原點和點4（4,0）.經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點3。，3），

與y軸交于點C.

4

JNx

（1）求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；

（2）點尸是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當點尸在直線A3上方時，過點尸作PELx軸于點E,與直

線A3交于點。，設(shè)點尸的橫坐標為加.

①加為何值時線段尸。的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,使得此叫與△AOC相似.若存在，請求出點尸坐標；若不存在，請說明理由.

【鞏固練習3】如圖，拋物線>=工/一9彳+4與無軸交于A、B兩點（A點在3點左側(cè)），與y軸交

于點C.動直線跖（E/7/x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分別交

y軸、線段BC于E、/兩點，動點尸同時從點8出發(fā)，在線段上以每秒2個單位的速度向原點

。運動.是否存在K使得△BPF與△ABC相似.若存在，試求出/的值；若不存在，請說明理由.

【鞏固練習4】如圖，已知拋物線>="2+樂+3(。20)的圖像與工軸交于41,0),3(4,0)兩點，與y

軸交于點C