11.3乘法公式第11章整式的乘除知識(shí)點(diǎn)兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差知1－講11.平方差公式

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方差，這個(gè)公式叫做兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘法公式，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為平方差公式.用字母表示為(a+b)(a-b)=a2-b2.知1－講2.平方差公式的幾種常見(jiàn)變化及應(yīng)用變化形式應(yīng)用舉例位置變化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2符號(hào)變化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2系數(shù)變化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2指數(shù)變化(a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4增項(xiàng)變化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2連用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4知1－講特別解讀1.公式的特征：等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差.2.字母a，b

的意義：平方差公式中的a，b既可代表一個(gè)單項(xiàng)式，也可代表一個(gè)多項(xiàng)式.例1

解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據(jù)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2進(jìn)行計(jì)算.知1－練

知1－練知1－練解法提醒：運(yùn)用平方差公式計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵步驟：第1步，利用加法的交換律調(diào)整兩個(gè)二項(xiàng)式中項(xiàng)的位置，使之與公式左邊相對(duì)應(yīng)，已對(duì)應(yīng)的就不需調(diào)整，如(1)(2)不需調(diào)整，(3)(4)需要調(diào)整.第2步,找準(zhǔn)公式中的a，b分別代表哪個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.第3步，套用公式計(jì)算，注意將底數(shù)帶上括號(hào).如(1)中(5m)2

不能寫(xiě)成5m2.知1－練變式訓(xùn)練1-1.若(2-x)(2+x)·(4+x2)=16-xn，則n

的值等于()A.6B.4

C.3D.21-2.[中考·益陽(yáng)]已知m，n

同時(shí)滿足2m+n=3與2m-n=1，

則4m2-n2的值是________.B3知1－練1-3.計(jì)算：(1)(2a-3b)(2a+3b)；(2)(-2a-1)(-1+2a)；解：原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.解：原式＝(－1－2a)(－1＋2a)＝(－1)2－(2a)2＝1－4a2.知1－練

解：原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a.計(jì)算：(1)10.3×9.7；(2)2025×2027-20262.例2解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.知1－練知1－練解：(1)10.3×9.7=(10+0.3)×(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91.(2)2025×2027-20262=(2026-1)×(2026+1)-20262=20262-1-20262=-1.~~10.3與9.7的平均數(shù)為10.~~~~~2025與2027的平均數(shù)為2026.~~~~~~~知1－練變式訓(xùn)練2-1.[月考·周口淮陽(yáng)區(qū)]運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)9.8×10.2；(2)1007×993；(3)129×127-1282.解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96.解：原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝1000000－49＝999951.解：原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1.知2－講知識(shí)點(diǎn)兩數(shù)和（差）的平方21.兩數(shù)和(差)的平方公式(也稱完全平方公式)兩數(shù)和(差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)它們的積的2倍.用字母表示為(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.知2－講

知2－講特別解讀1.公式的特征：公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，公式的右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，包括左邊二項(xiàng)式的各項(xiàng)的平方和和這兩項(xiàng)的乘積的2倍.2.字母a，b

的意義：公式中的字母a，b

可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.例3計(jì)算：(1)(x+7y)2；

(2)(-4a+5b)2；(3)(-2m-n)2；

(4)(2x+3y)(-2x-3y).解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.知2－練知2－練解：(1)(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2.(2)(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2.括號(hào)不能漏掉.~~知2－練(3)(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2.(4)(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-［(2x)2+2·2x·3y+(3y)2］=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，則用平方差公式計(jì)算；若兩項(xiàng)都相同或都互為相反數(shù)，則用完全平方公式計(jì)算.~~~~~~~~~~~~~知2－練變式訓(xùn)練3-1.[中考·懷化]下列計(jì)算正確的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-2xy-y2C.(x+1)(x-1)=x2-1D.(x-1)2=x2-1C知2－練3-2.計(jì)算：(1)(2y-1)2；(2)(3a+2b)2；(3)(-x+2y)2；(4)(-2xy-1)2.解：原式＝(2y)2－2·2y·1＋12＝4y2－4y＋1.解：原式＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2＝9a2＋12ab＋4b2.解：原式＝(－x)2＋2·(－x)·2y＋(2y)2＝x2－4xy＋4y2.解：原式＝(2xy＋1)2＝(2xy)2＋2·2xy·1＋12＝4x2y2＋4xy＋1.

例4解題秘方：將原數(shù)轉(zhuǎn)化成符