第7章綜合素質(zhì)評價

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.[2024高郵校級模擬]RaABC中，NC=90°,AC=1,BC=2,sinA的值為（）

A1口或c型n2

2.MBC中,ZA,ZB,NC的對邊分另U為a,b,c.已知a=3,6=4,c=5，貝！J

cosA的值為（）

3344

A.gB.4C.gD.g

3."兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙管"，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏.已

知風(fēng)箏拉線長100m且拉線與地面夾角為65。（如圖所示,假設(shè)拉線是直的,

小明身高忽略不計），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）

1（）

A.lOOsin65°B.lOOcos65°C.lOOtan65°D.°n

sin65

4g一地面

（第3題）

4.在AA5C中,ZC=90°,AB=y[6,BC=y[3，貝UNA的度數(shù)為（）

A.30°B,45°C,60°D.75°

5.在AABC中，NA,N3都是銳角，且sinA=],cos3=,貝!]的形狀是

（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

6.[2024深圳]如圖,為了測量某電子廠AB的高度，小明用高1.8m的測量儀

ER測得頂端A的仰角為45。，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀

CD測得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度為

1

參考數(shù)據(jù)：sin53°-^,cos53°-1,tan53°*§()

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

A

FDB

（第6題）（第8題）

7.[2024常州江寧區(qū)模擬]如圖,在RWLBC中zZACB=90°,CD為A5邊上的

高線，設(shè)NA,ZB,NAC5所對的邊分別為〃，6,c,則（）

A.c=bcosA+asinBB.c=bsinA+asmB

C.c=Z?sinA+acosBD.c=bcosA+acosB

8.如圖，在矩形ABCD中，A3=6,3C=8,點E在。C上，把MDE沿AE折疊,

點D恰好落在BC邊上的點R處，則cosNCER的值為（）

A亞B亞D5

a.4D.3J4

二、填空題（每小題3分，共30分）

9.若2cosA=1,則銳角NA=°.

10.[2024江陰校級期中]在Rt^ABC中，"=90°,AB=2BC，則cosA的值為

11.在RMA3C中，ZC=90°,cosA=^,AC=/，貝！J3C的長為.

12.[2024南通通州區(qū)月考]如圖,在RtMBC中,CD是斜邊AB上的中線,已

2

A

知CD=2,AC=3，貝UsinB的值是.（第12題）

13.[2024蘇州高新區(qū)模擬]已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為小，則正六邊形的周

長為

14.在MBC中，A3=AC=2,3。是AC邊上的高，且3D=/，貝！JNACB的度數(shù)

是

15.圖①為《天工開物》記載的用于舂（ch6ng）搗谷物的工具—"碓（dui）"的結(jié)

構(gòu)簡圖，圖②為其平面示意圖.已知AB±CD于點B,AB與水平線I相交于

點0,OE_L/.若BC=4分米,OB=12分米，ZBOE=60°,則點C到水平線I

的距離為.分米.（結(jié)果用含根號的式子表示）

①②

（第15題）

16.[2024鹽城模擬]如圖,在4x4的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,點A,

_ZADC

B,。均在格點上,。是A3與網(wǎng)格線的交點，則sin/—的值是.

17.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為。，以CD為直徑的

3

。0交BC于點E,連接AE,交。。于點F,連接DF.已知tanZDFE=,CE

=4,貝!]AC=

18.定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍

3

角三角形".若"BC是"倍角三角形"，NA=90°,AC=^，則AB的長為

三、解答題（共66分）

19.（8分）計算:

（1）[2024鹽城]|TT-3|+2sin30°-（小-2）0;

sin60°-tan45°__

（2）-----------------------小cos30°+V2sin45

tan60°-2tan45°

20.（8分）［2024蘇州工業(yè)園區(qū)校級月考］在RQABC中,ZA,ZB,NC所對的邊

分另！J為a,入c.已知NC=90°,N3=60°,a+c=12,求a,b,c的值及NA

的度數(shù).

21.（8分）如圖,在AABC中,BC=y[6+y[2,ZC=45°,AB=y[2AC,求AC的

4

長.

22.（8分）如圖，在三角板ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AC=6,將三角板

ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當起始位置時的點B恰好落在邊AiB上時，求AiB

的長.

23.（8分）［2024東海一模］如圖①是一個手機支架,圖②是其側(cè)面示意圖.AB,

BC可分別繞點A,3轉(zhuǎn)動，經(jīng)測量，3C=8cm,A3=16cm.當AB,BC轉(zhuǎn)動

5

至!JN8AE=60°,NABC=50。時,求點C到AE的距離.（結(jié)果保留小數(shù)點后一

位,參考數(shù)據(jù)：sin70°-0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,小之1.73,sin50°

-0.77,cos50°?0.64,tan50—1.19)

24.（8分）［2024山東］【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P

之間的距離.

6

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具.

【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點3.測量A,B

兩點間的距離以及N必3和NP3A，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB=60m,

APAB=79°,NPA4=64。.畫出示意圖，如圖①.

【問題解決】（D計算A,P兩點間的距離.

（參考數(shù)據(jù):sin64°-0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°

?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖②,選擇合適的點。，E,R,使得點A,D,E在同一條直線上,且AD

=DE/DEF=/DAP,當點、F,D,P在同一條直線上時,只需測量EF即可.

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況

選擇可實施的方案.

25.（8分）［2024大慶］如圖,AABC為。。的內(nèi)接三角形，A3為。。的直徑,將4

ABC沿直線AB翻折到AABD，點。在。。上.連接CD,交A3于點E,延長

BD,CA相交于點P,過點A作。。的切線交BP于點G.

7

⑴求證：AGWCD；

(2)求證：PA2=PGPB；

(3)若sinZAPD=g,PG=6.求tanZAGB的值.

26.(10分)定義：sin(a+/3)=sin(Xos￡+cosasin￡,sin(6T-/3)=sin(Xos(3

-cos然in0,

cos(6T+(3)=cos(Xos[3-sinOSin￡,

cos(6T-=cos(Xos/3+sin然in￡.

8

.1A/3A/31

例如：cos30°=cos(60°-30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°=2X2+2X2

一2?

(l)cos150=,sin900=,sin2x=；

(2)如圖，在RMABC中，ZC=90°,BC=a,AB=c,AC=6.求證tanA=——；

COSAT

tan0(+tanB

(3)利用(2)中的結(jié)論證明：tan(a+B)--------------tanOtan,cosacos

1-tanOtan￡

時0).

9

10

答案

一、l.C2.C3.A4.B5.B6.A7.D8.A

二、9.6010.坐11.112(13.12

14.30°或60°15.(6-2^3)16坐17.y

18.小或1或3點撥：?「△ABC是"倍角三角形"，，分四種情況討論：當NA=2

N3=90°時,ZB=45°,：.^ABC是等腰直角三角開鄉(xiāng).：.AB=AC=\[3；當NA

=2NC=90。時，同理可得A3=AC=6；當N3=2NC時，???NA=90°,「.NB

+Z.C-90°..-.ZC=30°,Z.B=60°.1.'AC=小,-'.AB==興=1；當NC=2

ZB時，?.,NA=90°,.,.N3+NC=90°..,.N3=30°,zC=60°...AB=y[3AC=3.

綜上所述,AB的長為小或1或3.

三、19.解：⑴原式=TT-3+2X|-1=TT-3+1-1=TT-3.

近-1

(2)原式=J-小x坐+&x孚=0.

yJ3-2x1乙乙

20.解：..在RaABC中，NC=90°,=60°,

「.zA=30°.「.c=2〃.

又+c=12,.,3a-=4./.c=8.

=yjc2-a2=^82-42=45.

21.解：作ADLBC于點。，貝U/AOC=NAD5=90°.

?.ZC=45°,/.ZZ)AC=45O./.ZC=ZDAC..,.AD=CR

設(shè)AC=xz：AD=AC-sinC=^AC,

A/2~

..AD=CD=x-

.AB=\[2AC=y[2x,

11

-BD=-^AB2-AD2=j=坐x.

又:BC=BD+CD,BC=\[6+y[2,

:坐x+曰x=~\[6+\[2,解得x=2.

，AC的長為2.

22.解：?.?在三角板ABC中,AACB=90°,ZA=30°,AC=6,

：.ZABC=60°,BC=2y/3,AB=4^3.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知N31=AABC=60°,BiC=BC=2y[3,AiBi=AB=44，

??.△BCBi是等邊三角形.

：.BBi=BC=2小.，BAi=AiBi-BiB=4小-2小=2小.

23.解：如圖，過點C作CN1AE,垂足為N,過點3作BM±AE,垂足為M,

過點C作CD工BM,垂足為D,

二四邊形CDMN是矩形.

：.CN=DM.

在Rt^ABM中，NBAM=60°,

AB=16cm,

..BM=AB-sm60°=16x^=8^3(?11),ZABM=9O°-ZA=30°.

又,「NABC=50°,：.ACBD=NABC-ZABM=20°.

12

又"DC=90°,

"BCD=90°-ZCBD=70°.

在Rt^BDC中,BC=8cm,

：.BD=BC-sin70°?8x0.94=7.52(cm).

：.DM=BM-BD*8事-7.52?6.3(cm).

.1.CN=DM~6.3cm.

答：點C到AE的距離約為6.3cm.

24.解:⑴如圖,過點5作3HL4P于點H.

.AB=60m,APAB=79°,

.'.AH=AB-cos79-60x0.19=11.4(m),

BH=AB-sin79°?60x0.98=58.8(m).

■.APAB=79°,NPBA=64°,

：.AAPB=180°-79°-64°=37°.

BH

二由

.tanZAPB=tan37°rrL7ao.75.

588

=78.4(m).

：.AP=AH+PH^11.4+78.4=89.8(m),

即A,P兩點間的距離約為89.8m.

(2)(2)點撥：：AD=DE,ADEF=ZDAP,

13

：.々ADP=NEDF.：4ADP在AEDF(ASA).

-AP=ER.,.只需測量EF即可得到AP的長度.

，乙小組的方案用到了三角形全等.

25.⑴證明：?「將MBC沿直線A3翻折到必出)，點。在。。上,

..ABYCD.

■AB為。。的直徑，AG是。。的切線，.,/G_LAB

「.AGIICD.

(2)證明：.AB為。。的直徑,：.AADB=90°,

：.AABD=90°-ZDAB=ZGAD.

,由折疊可得NABD=NA3C,

；.ZCBD=2ZABD.

,??四邊形AD3C是。。的內(nèi)接四邊形，

：.APAD=180°-ACAD=ZDBC=2ZABD.

：.APAG=APAD-ZGAD=2ZABD-NABD=ZABD.

y.：AAPG=ABPA,：.^APG-^BPA.

Ap

?麗=/，即必2=PGPB.

AD1

懈--Ap%

-A二3Q-

3)ip

：.PD=y)AP2-AD2=2\[2a.

,ncAD〃啦

"A如而=礪=4.

由折疊可得AC=AD=a,

..PC=PA+AC=3a+a=4a.

-AB為。。的直徑,：.ZACB=90°.

14

在RtAPCB中，tanZCPB=器=乎,

?.CB=乎PC=\[2a.

由折疊可得二5。，

..BD=y[2a.

\AD±BD,GA,LAB,

：.^AGB=90°