2025年九年級中考數(shù)學三輪沖刺訓練高頻考點突破

圓的切線的證明及圓中銳角三角函數(shù)綜合

1.如圖，在△ABC中，AC^BC,90°,經(jīng)過A、C兩點，交AB于點D,CO

的延長線交A3于點RDE〃CF交BC于點、E.

(1)求證：為O。的切線；

(2)若AC=4,tanNCFZ)=2,求。。的半徑.

2.如圖，在。。中，是直徑，AE是弦，點P是在上一點，AF=BE,AE,BF交于點、

C,點。為8尸延長線上一點，且NCAD=NCD4.

(1)求證：AD是。。的切線.

(2)若8E=4,AD=2?求。。的半徑長.

3.如圖，是的直徑，AC是一條弦，點O是數(shù)的中點，OVLAB于點E,交AC于

點、F,連結交AC于點G.

(1)求證：AF^DF-,

(2)延長GO至點使。M=Z)G,連結AM.

①求證：AM是O。的切線；

②若。G=6,DF=5,求O。的半徑.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，42為。。的直徑，過點。作。尸，2C,交BC的延長

線于點R交BA的延長線于點￡,連接2D若/胡。+/8。尸=180°.

(1)求證：為。。的切線.

9

(2)若BE=10,sinZBDC=j,求。。的半徑.

5.如圖，CD是。。的直徑，弦ABLC。，垂足為點R點尸是C。延長線上一點，DEL

AP,垂足為點E,ZEAD=ZFAD.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若E4=4,PD=2,求O。的半徑和。E的長.

6.如圖，AB為。。的直徑，E為。。上一點，點C為防的中點，過點C作COLAE,交

AE的延長線于點D延長。C交的延長線于點?

(1)求證：C。是O。的切線；

(2)若DE=1,￡>C=2,求O。的半徑長.

7.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,NA4c的平分線AO交2C于點。，NAOC的平

分線。E交AC于點E.以上的點。為圓心，。。為半徑作O。，恰好過點E.

Cl)求證：AC是o。的切線；

(2)若CZ)=12,tan/ABC=I求。。的半徑.

q

8.如圖，己知OO的圓心。在△ABC的邊AC上，與AC相交于A、E兩點，且與邊BC相

切于點。，連結DE.

(1)若BA=BD,求證：AB是O。的切線；

(2)若C￡>=4,CE=2,求O。的半徑.

9.如圖，以△ABC的邊A3為直徑作。。，分別交AC,BC于點、D,E,點尸在BC上，Z

CDF=/ABD.

(1)求證：。/是O。的切線；

(2)若屋=電tanZCZ)F=1,BC^V10,求。。的半徑.

10.如圖，AB是。。的直徑，點E,C在。。上，點C是防的中點，AE垂直于過C點的

直線。C,垂足為。，AB的延長線交直線。C于點?

(1)求證：DC是。0的切線；

(2)若AE=2,sinZAFD=

①求O。的半徑；

②求線段DE的長.

11.如圖，。。是△ABC的外接圓，為O。的直徑，點E為。。上一點，EF//ACAB

的延長線于點CE與48交于點。，連接BE,^ZBCE=^ZABC.

(1)求證：所是O。的切線.

(2)若BF=2,sinZBEC=求。。的半徑.

12.如圖，。。是△ABC的外接圓，A3是直徑，連接AD,ZADO^ZBOC,

AC與。。相交于點E.

(1)求證：AD是。。的切線；

1Q

(2)若tan/OAC=*,AD=求。。的半徑.

13.如圖，在。。中，AB為。O的直徑，點E在。0上，￡＞為助的中點，連接AE,BD并

延長交于點C.連接O。，在。。的延長線上取一點R連接使/CBF=±NBAC.

(1)求證：8尸為OO的切線；

Q

(2)若AE=4,。尸=2，求。。的半徑.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，過點C作CEL4O交AD的延長

線于點E,延長EC,AB交于點RZECD=ZBCF.

(1)求證：CE為0O的切線；

(2)若。E=l,CD=3,求O。的半徑.

15.如圖，點C在以A8為直徑的。。上，點。是8C的中點，連接。。并延長交。。于點

E,作NEBP=NEBC,8尸交0E的延長線于點P.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)若AC=2,PD=6,求O。的半徑.

參考答案

1.【解答】(1)證明：連接O。，

\'AC=BC,ZACB=90°,

...△ACB為等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,

AZCOD=2ZCAB=90°,

'：DE//CF,

AZCOD+ZEDC)=180",

NEDO=9Q°

...￡>￡為O。的切線；

(2)解：過點C作CHLA8于點H,

???△ACB為等腰直角三角形，AC=4,

；.CH=AH=^AB=2&,

：tan/CB￡?=方=2,

：.FH=V2,

在CFH中，由勾股定理得C/2=CH2+FH2,

:.CF=VTo,

?-wr1_°D_0D-0D_o

?tanz_\^rD—cl—T-I八「一i—2,

OFCF-OC710-OD

故。。的半徑為2，^.

2.【解答】(1)證明：：而=曲，

/ABF=NBAE,

,：ZCAD+ZBAE+ZCDA+ZABF^180°,且NCAD=NCZM,

ZCAD+ZBAE+ZCAD+ZBAE^180°,

：.ZOAD^ZCAD+ZBAE^90°,

是O。的半徑，且ADLO4,

是O。的切線.

(2)解：連接AB,

'：AF=BE,BE=4,AD=2遍,

：.AF^BE^4,

是。。的直徑，

ZAFD^ZAFB^90°,

：.DF=y/AD2-AF2=J(2遮尸-42=2,

,：ZBAD^ZAFD=9Q°,

：.AD=%B,

OA=%2=&。=2后

?..（DO的半徑長為2代.

3.【解答】（1）證明：連接A。，設。。交AC于點/,

：00=04

J.ZODA^ZOAD,

:點。是女的中點，

???0O，AC于點/,

???￡W_LAB于點E,

：.ZOED=ZOIA=90°,

：.ZODF=ZOAF=90°-ZAODf

：.ZODA-ZODF=ZOAD-AOAF,

:.ZFDA=ZFAD9

：.AF=DF.

（2）①證明：???A3是。。的直徑，DM=DG,

：.ZADB=90°,

二?AZ）垂直平分GM,

：.AM=AGf

：.ZMAD=ZCADf

VAD=CD,

：.ZB=ZCAD.

：.ZMAD=ZB,

：.ZOAM=ZBAD+ZMAD=ZBAD+ZB=90°,

?:04是。。的半徑，且AM_LQA,

???AM是。0的切線.

②解：VZFDG+ZFDA=90°,ZFG￡>+ZMD=90°,且//

:./FDG=/FGD,

：.GF=DF=AF=5,

???AG=2A尸=10,

???QG=6,

：.AD=y/AG2-DG2=V102-62=8,

VZAID=ZADG=90°,

AIAD

—=—=cosZDAG,

ADAG

.AD28232

"/=幅=而=虧’

DI=VXD2—Al2=J8?—（等尸=曾，

2424

VZOM=90°,OI=OD-^=OA-^f

222

???OI+AI=OAf

222

（OA一餐）+（Y）=OAf

解得0A=冬

20

???。0的半徑長為三■.

4.【解答】（1）證明：連接0。，如圖：

:A3為。。的直徑，

ZACB=90°,

'：DF±BC,

.'.ZF=90°,

9：ZEAD-^ZBDF=1SO°.

???ZBDF=/BAD,

：.ZABD=ZDBF,

???OB=OD,

：.NABD=NODB,

：.ZODB=ZDBF,

J.OD//BF,

?；BF_LEF,

：.ODLEF,

0。是半徑，

???E/為O。的切線.

(2)解:連接AG如圖，

TAB為。。的直徑，

AZADB=90°,

?；DFLBC,

：.AC//EF,

：.ZE=ZBAC=ZBDC,

設半徑為「，貝！JOE=10-r,

在RtZXEOO中，

2r2

sinE=smZBDC=^即----=一，

310-r3

解得r=4,

經(jīng)檢驗，r=4是原方程的解，

???。0的半徑為4.

5?【解答】(1)證明：連接。4,如圖：

VAB±C￡),

；?NAFD=90°,

：.ZFAD+ZADF=90°,

U：OA=OD,

：.ZOAD=ZADF,

：.ZFAD+ZOAD=90°,

'：ZEAD=ZFADf

：.ZEAD+ZOAD=90°,即NOAE=90°,

：.OA.LAEf

??,O4是。。半徑，

???AE是。。的切線；

(2)解：連接AC,A0,如圖：

TC。為。0直徑，

：.ZCAD=90°,

：.ZC+ZADC=90°,

VZE4Z)+ZAZ)C=90o,

：.ZC=ZFAD.

ZEAD=ZFAD9

：.ZC=ZEAD,

VZP=ZP,

???AADP^ACAP,

.AP_PD_

??—,

CPAP

VB4=4,PD=2,

.42

??—―,

CP4

解得。尸=8,

：.CD=CP-PD=S-2=6,

???。0的半徑為3；

：.OA=3=ODf

：.0P=0D+PD=5,

'：ZOAP=90°=/DEP,NP=NP,

：.AOAP^/\DEP,

DEPDDE2

—=—,BP—=一,

OAOP35

：.DE=I，

??.(DO的半徑為3,OE的長為，.

6.【解答】(1)證明：連接OC,

;點C為筋的中點，

：.EC=BC,

：./EAC=ZBAC,

：OA=OC,

J.ZBAC^ZOCA,

J.ZEAC^ZOCA,

C.AE//OC,

：.ZADC^ZOCF,

,：CD1AE,

：.ZA￡)C=90°,

：.ZOCF=90°,

即OC±DF,

又OC為。。的半徑，

CO是。。的切線；

(2)解：連接CE,BC,

由(1)知CD是。。的切線，

：.CD2=DE'AD,

;DE=1,DC=2,

：.AD=4,

在Rt^AOC中，由勾股定理得AC=<AD2+CD2=V42+22=2V5,

在RtZXDCE中，由勾股定理得CE='CD?+DE2=7k+/=逐,

:點C是麗的中點，

：.EC=BC,

:.EC=BC=V5,

,：AB為O。的直徑，

ZACB=90°,

由勾股定理得4B='AC?+BC2=］（2通方+（遮＞=5,

，0。的半徑長是2.5.

7.【解答】（1）證明：連接。E,：0D=0E,

：.N0ED=N0DE,

E平分/AOC,

：.NCDE=NODE,

；.N0ED=NCDE,

：.OE//CD,

VZACB=90°,

ZA￡0=90°,

OELAC,

；.AC是。。的切線；

（2）解：過。作。F_LAB,

平分/3AC,DFLAB,NAC3=90°,

：.CD=DF,

3

V0）=12,tanZABC=7,

4

：.BD=VDF2+BF2=20,

:?BC=CD+BD=32,

AC—BC*tanZABC=24,

：.AD=y/AC2+CD2=12V5,

?：0E〃CD,

：.AAEO^AACZ）,

.E0_AO

??—,

CDAD

.E012V5-OD12V5-EO

"12~12V5-12V5，

解得EO=15-3V5,

，（DO的半徑為15-3代.

8.【解答】（1）證明：連接。。，則。。=04,

：.Z0AD=Z0DA,

：O。的圓心。在AC上，且與邊BC相切于點。,

C.BCL0D,

；./ODB=90°,

:BA=BD,

：.ZBAD=ZBDA,

：.ZOAB=ZOAD+ZBAD=ZODA+ZBDA=ZODB=90°,

??,。4是。。的半徑，且ABLO4,

???A3是。。的切線.

(2)解：?：OD=OE,

：.ZODE=ZOED,

TAE是。。的直徑，

；?/ADE=90°,

：.ZCAD+ZOED=90°,

?：NCDE+NODE=NODC=9U°,

：.ZCDE=ZCAD,

???NC=NC,

.??△CDEsfAD,

.CD_CE

?.=，

CACD

：?CE?CA=CD2,

VCZ)=4,CE=2,OE=OA,

：.2(2+2OE)=42,

解得OE=3,

???OO的半徑長為3.

9.【解答】(1)證明：如圖，連接0。，

TAB是的直徑，

AZADB=90°,

：.ZBDC=90°,

；?NBDF+NCDF=9U°,

9：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

VZCDF=NABD,

：.NODB=/CDF,

：.ZODB+ZBDF=90°,

：.ZODF=90°,

C.DFLOD,

??,0O是。。的半徑，

；?DF是OO的切線；

(2)解：如圖，連接AE,

■:陸=DE,

：.ZBAE=ZCAE,

TAB是的直徑，

AZAEB=90°,

ZAEC=90°,

NAEB=ZAEC,

'：AE=AE,

：.AAEB^AAEC(ASA),

：.AB=AC,

4

???tanZCZ)F=ZCDF=ZABD,

4

tanZABD=可

4,AD4

在RtZ\A5O中，一=一，

BD3

設AZ)=4x,貝lj5D=3x,

.*.AB=J(4%)2+(3%)2=5x,

.,.AC=5x,

CD=x,

在RtZXB。。中，BD1+CD1=BC1,

(3x)2+^=(VTo)2,

??x=1,

??5x=5，

：.AB=5,

AOA=|,

???。0的半徑為|.

10.【解答】(I)證明：連接oc,

'：AD±DF,

：.ZD=90°,

??,點C是曲的中點，

：.CE=CB,

：.ZDAC=ZCAB,

：.OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA.

J.AD//OC,

：.ZOCF=ZD=9Q°,

??,OC是。。的半徑，

???DC是。。的切線；

(2)解：①過點。作。GLAE,垂足為G,

：.AG=EG=^AE=1,

'：OG_LA。，

ZAGO=ZDGO=9Q°,

'：ZD=ZAGO=9Q°,

???OG//DF,

：.ZAFD=ZAOG,

1

VsinZAFZ)=j,

1

sinZAOG=sinZAFD=可

1

3

在中，---

RtZkAGOAO=.^nr1

-

sinZ-AOG3

???。0的半徑為3；

②???NOCF=90°，

：.ZOCD=1SQ°-ZOCF=90°,

'：Z0GE=ZD=9Q°,

???四邊形OGDC是矩形，

???OC=OG=3,

VGE=1,

:?DE=DG-GE=3-1=2,

???線段。片的長為2.

11.【解答】(1)證明：連接02

11

,.?ZBCE=寺/ABC,ZBCE=寺NBOE,

：.ZABC=NBOE,

J.OE//BC,

：.Z0ED=ZBCD,

'：EF//ACf

：./FEC=NACE,

：?N0ED+NFEC=ZBCD-^-ZACE,

即NFE0=NACB

TAB是直徑，

AZACB=90°,

：.ZFEO=90°,

：.FELE0,

???石。是。。的半徑，

???E尸是。。的切線.

(2)解：VEF/7AC,

:?△FEOs^ACB,

?E0_FO

BCAB

3

■:BF=2,sinZBEC=

設。。的半徑為r,

：.FO^1+r,AB=2r,BC=

.r2+r

**|r-2r'

解得:r=3,

檢驗得：r=3是原分式方程的解，

，O。的半徑為3.

12.【解答】(1)證明：：。。，。。，

：.ZCOD=90°,

：.ZB0C+ZA0D^18Q0-90°=90°,

又?:NADO=NBOC,

：.ZADO+ZAOD=90°,

：.ZOAD=18Q°-90°=90°,

即OA±AD,

??,O4是半徑,

???AO是。。的切線；

(2)解：9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

iOF

tanZOAC=q=tanZOCA=近，

9：AB是直徑，

ZACB=90°=ZOAD,即NOC3+NOG4=90°=ZOAC+ZDAE,

:?NDAE=/OCB,

又「NADO=NBOC,

；?NDEA=NB,

?：OB=OC,

；?NOBC=NOCB,

：.ZDAE=NDEA,

3

：.AD=DE=I，

設半徑為r,則OE=%,OD=

在R”\AOO中，由勾股定理得，

AZ)2+OA2=OD2,

即(-)2+於=(-r+1)2,

222

解得r=2或r=0(舍去)，

即半徑為2.

13.【解答】(1)證明：如圖，連接A。，

A5是圓的直徑，則NAD3=90°,

。為降的中點，則/BAO=NCW=^/BAC,

1

?:乙CBF="BAC,

：.ZCBF=ZBAD,

'：ZBAD-^ZABD=90°,

???ZABF=ZABD+ZCBF=90°,

：.AB±BF,

??,0B是。。的半徑，

???3尸是OO的切線；

(2)解：如圖，連接BE,

A5是圓的直徑，則NA防=90°,

'：ZBOD=2ZBAD,ZBAC=2ZBAD,

：.ZBOD=ZBACf

又；NA8P=NAEB=90°,

.,.△OBFsAAEB,

JOB：AE=OF：AB,

：.0B；4=~WB,0^2=9,

OB>0,貝！|02=3,

???O。的半徑為3.

14.【解答】（1）證明：如