專(zhuān)題3函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型1面積與函數(shù)解析式

【例1】如圖，AABC中，NACB=90。，NA=30。，AB=16.點(diǎn)尸是斜邊的上一點(diǎn).過(guò)

點(diǎn)P作垂足為P,交邊AC（或邊CB）于點(diǎn)。，設(shè)AP=x,AAP。的面積為y,

求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

【例2】如圖，直線/的解析式為y=-x+4,它與x軸和y軸分別相交于A,3兩點(diǎn).平行

于直線/的直線機(jī)從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).它與x

軸和y軸分別相交于C,。兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<4）,以CD為斜邊作等腰直角三角

形CDE（E,O兩點(diǎn)分別在CD兩側(cè)）.若ACDE和鉆的重合部分的面積為S,求S與f之

間的函數(shù)關(guān)系.

【例3】已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段在AABC的邊鉆

上沿AB方向以1厘米/秒的速度向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到

達(dá)點(diǎn)3時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn)”、N分別作他邊的垂線，與AABC的其它邊交于尸、。兩

點(diǎn)，線段"N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

（1）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，f為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形并求出該矩形的面積;

(2)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,求四邊形MNQP

的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間f變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量f的取值范圍.

【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC,NDAB=45。，AB=Wait,CD=4cm.等

腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm,A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MV和AB在一條直線上，設(shè)

等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，

直到點(diǎn)N與點(diǎn)3重合為止.

(1)等腰直角三角形在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由形

變化為形；

(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿?dòng)x(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊

部分的面積為求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)①x=4(s),②x=8(s)時(shí)，求等腰直角三角形與等腰梯形ABCD重疊部分的

面積.

題型2代數(shù)幾何綜合

【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，M在無(wú)軸上，。點(diǎn)y軸上，NC=60。，BC=6,

3點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）.點(diǎn)對(duì)是邊AD上一點(diǎn)，且DM:AD=1:3.點(diǎn)E、尸分別從A、C同時(shí)

出發(fā)，以1厘米/秒的速度分別沿至、CB向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)口運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)E隨之

停止運(yùn)動(dòng)），EM、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，F(xiàn)P交4）于點(diǎn)Q.OE半徑為*,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

~一2

為x秒.

（1）求直線3c的解析式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PF1AD；

（3）在（2）問(wèn)條件下，OE與直線尸尸是否相切？如果相切，加以證明，并求出切點(diǎn)的坐

標(biāo)；如果不相切，說(shuō)明理由.

【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，

點(diǎn)C在第三象限，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-12,0）,OA^AB,ZOAB^9Q°,3C=10.點(diǎn)尸是線段

03上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)。、3重合），以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)3運(yùn)

動(dòng),過(guò)點(diǎn)尸與y軸平行的直線。交邊或邊于點(diǎn)Q,交邊OC或邊3C于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)產(chǎn)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，線段Q?的長(zhǎng)度為加.已知7=4時(shí)，直線。恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)；點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)0</<4時(shí)，求機(jī)關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)加=6時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出f的值;

（4）點(diǎn)P出發(fā)時(shí)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線30運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸

停止時(shí)點(diǎn)E也停止，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)=時(shí)，f的值____.

【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAO3為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（4拒,0）,點(diǎn)3在第一象限，AC是NQ4B的平分線，并且與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)M為直線

AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AAOM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與邊重合，得到AABD.

（1）求直線03的解析式；

（2）當(dāng)〃與點(diǎn)E重合時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)使AOMD的面積等于3百？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【例8】如圖，拋物線＞=。尤2+桁+°（。W0）與彳軸交于4（-3,0）、3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C（0,招）.當(dāng)x=-4和x=2時(shí)，二次函數(shù)丫=辦2+法+以。/0）的函數(shù)值y相等，連接AC,

BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷AA5c的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M、N同時(shí)從3點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿54、3c邊運(yùn)動(dòng)，

其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒時(shí)，連接MN,將ABM2V

沿MN翻折，3點(diǎn)恰好落在AC邊上的尸處，則f的值為—，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為一；

（4）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得AACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3

【例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=+9與x軸，y軸分別交

于B,C兩點(diǎn)，拋物線y=-工尤2+6x+c經(jīng)過(guò)3,c兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,動(dòng)

-4

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿帥以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為40<r<5）秒.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）以O(shè)C為直徑的°。與3C交于點(diǎn)當(dāng)f為何值時(shí)，P河與O。相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿C4以每秒2叵個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)

5

P相同.

①記ABPQ的面積為S,當(dāng)f為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？

②是否存在AACQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應(yīng)的“直；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3講答案

1.如圖，AABC中，NACB=90。，NA=30。，AB=16.點(diǎn)尸是斜邊AB上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作

PQ-LAB,垂足為尸，交邊AC（或邊C5）于點(diǎn)Q,設(shè)=AAP。的面積為y,求y與

x之間的函數(shù)關(guān)系.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，

?.?NA=30。，AP=x,

PQ=xtan30°=~~~x，

/.y=—xAPxPQ=-xxx^-x=^-x1

2236

當(dāng)點(diǎn)。在BC上時(shí)，如下圖所示：

\-AP=x,AB=16,ZA=30°,

.\BP=16-x,ZB=60°,

/.Pg=BPtan60°=6(16-x).

/.y=—xAPx

2

2.如圖，直線/的解析式為y=-x+4,它與x軸和y軸分別相交于A,3兩點(diǎn).平行于直

線/的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).它與x軸和

y軸分別相交于C,。兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0<t<4）,以CD為斜邊作等腰直角三角形。E（E,

。兩點(diǎn)分別在CD兩側(cè)）.若ACDE和AOAB的重合部分的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)

系.

【解答】解：當(dāng)0<t<2時(shí)，S=-t2,

2

113

當(dāng)2<4<4時(shí)，S=-t2一一⑵一4)2=一一產(chǎn)+&-8,

222

3.已知:等邊三角形A5C的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在AABC的邊至上沿的

方向以1厘米/秒的速度向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)A/與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)3時(shí)

運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn)M、N分別作鉆邊的垂線，與AABC的其它邊交于尸、。兩點(diǎn)，線

段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

（1）線段在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，f為何值時(shí)，四邊形MNQ尸恰為矩形并求出該矩形的面積；

（2）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,求四邊形MNQP

的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間f變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量f的取值范圍.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD_LAB,垂足為D,則AD=2,

當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CD垂直平分時(shí)，四邊形尸是矩形，

即當(dāng)40=2時(shí)，四邊形MNQP是矩形，

2

.」二萬(wàn)秒時(shí)，四邊形尸是矩形，

???PM=AMtan60°=-A/3,

2

PQ=MN=AB-2AM=4-3=1,

§四邊形"NQP二PM,PQ--A/3；

(2)①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)？、。都在AC上，并且四邊形尸MNQ為直角梯形,

在RtAAMP中，

PM

???NA=60。，AM=t,tanZA=——，

AM

PM=tan60°xAM=6AM=8,

在RtAANQ中，

而AN=AM+MN=t+1,

:.QN=^AN=^(t+l),

S四邊形s=+QN)MN=苴的+同+1)]=柢+*；

②當(dāng)i<r<2時(shí)，

點(diǎn)尸在AC上，點(diǎn)。在3C上，

PM=4it,

BN=AB-AM-MN=4-l-t=3-t,

在RtABNQ中，

QN=6BN=64T),

S四邊形MM0P=g(PM+QN)MN=g[回+?一川xl=g#；

③當(dāng)2/<3時(shí)，點(diǎn)P、。都在3c上,

BM=4—1,BN=3—1,

:.PM=0BM<(4T),QN=6BN=64T),

?為邊形3=杷”+回也=；［聞3t)+同4一川=第一概.

綜上所述：當(dāng)0<f”l時(shí)，S四邊形MNOP=+'；當(dāng)1</<2時(shí)，S四近彤MNQP=3#；

當(dāng)2?，<3時(shí)，S四邊彤MNQP=3#-#t?(10分)

4.如圖，在等腰梯形43co中，AB//DC,ZZMB=45°,AB=10cm,CD=4cm.等腰

直角三角形PMV的斜邊MN=10c"z,A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和鉆在一條直線上，設(shè)等

腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形取W沿AB所在直線以lea/s的速度向右移動(dòng)，直

到點(diǎn)N與點(diǎn)8重合為止.

(1)等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由」E

直角三角形變化為形；

(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MV移動(dòng)x(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊

部分的面積為y(c"),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)①x=4(s),②x=8(s)時(shí)，求等腰直角三角形與等腰梯形ABC。重疊部分的

面積.

【解答】解：(1)等腰直角APMV,

ZDAB=45°,

ZPNM=ZDAB=45°,

ZAEN=180°-45°-45°=90°,

.?.AAEN是等腰直角三角形，

如圖②OC//AB,ZDAB=NPNM=45°,

四邊形DEN4是等腰梯形，

故答案為：等腰直角三角，等腰梯.

(2)可分為以下兩種情況：

①當(dāng)0<%,6時(shí)，重疊部分的形狀為等腰直角三角形E4N(如圖①),

此時(shí)AN=x(cm),

過(guò)點(diǎn)E作EHLAB于點(diǎn)“，則E”平分4V,

:.EH=-AN=-x,

22

y—S,——AN?EH=一x?—x=一x~?

，MAWMEP2224

②當(dāng)6<%,10時(shí)，重疊部分的形狀是等腰梯形4VED(如圖②),

止匕時(shí)，AN—x(cm),

可求得CE=3N=10—x,DE=4-(10-x)=x-6,

過(guò)點(diǎn)D作七*_LAB于尸，過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB于G,

則AF=3G,DF=AF=1(10-4)=3,

=S^ANED=1(O￡+A\r)-DF=1(x-6+x)x3=3x-9.

答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=—x2(0<x,,6)或y=3x-9(6<x,10).

-4

(3)①當(dāng)x=4(s)時(shí)，

y=—x2=—x42=4,

-44

②當(dāng)x=8(s)時(shí)，

y=3x-9=3x8-9=15,

答：①當(dāng)元=4(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4c/,②

當(dāng)x=8(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是ISC”/.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，鉆在x軸上，。點(diǎn)y軸上，NC=60。，BC=6,B點(diǎn)、

坐標(biāo)為(4,0).點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM:A￡)=1:3.點(diǎn)E、尸分別從A、C同時(shí)出發(fā)，

以1厘米/秒的速度分別沿AB、CB向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)廠運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)

動(dòng))，EM、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,FP交加于點(diǎn)Q.QE半徑為9,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

~2

(1)求直線BC的解析式;

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，PF±AD；

(3)在(2)問(wèn)條件下，0石與直線尸尸是否相切？如果相切，加以證明，并求出切點(diǎn)的坐

標(biāo)；如果不相切，說(shuō)明理由.

【解答】解：(1))=岳—4百.

(2)\PFLAD,AD//BC

:.PF±BC

???NC=60。，

.-.ZCPF=30°

...CF=-PC,

2

又〈APDMSAEAM,且DA1:AD=1:3,

:.PD:AE=1:2,

又AE=x，

二.PD=—x9

2

?.?。。=AB=Q4+Q6=3+4=7,

PC=—x+79

2

又???CF=%,

?.x=-(-x+7)

22

14

x——

3

「。＜十6

14

.?.當(dāng)x一時(shí)，PFYAD.

3

(3)相切,

過(guò)E作PF的垂線，設(shè)垂足為G,延長(zhǎng)PF交x軸于過(guò)尸作PN//D4交x軸于N,由

于PN11AD,AD±PF,因此NP_L尸產(chǎn)，在直角三角形PM"中，ZPMN=30°,因此

1414

MN=2PN=12,EM=12-PD-AE=n------------=5,那么在直角三角形EGM中,

63

NPMN=30°,EM=5,因此￡G=2.5=r,由此可得出PF與0萬(wàn)相切?

求切點(diǎn)即G點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過(guò)G作x軸的垂線GRLBE

?.?NC=ZD4O=60°,BC=AD=6,

AO=3,

,\OE=--3=-

33

\-EG±PF,

:.AD!IGEIIBC,

.\ZGER=60°,

:.ER=-EG^~,

24

.「A

4

5535

OR=—+-

4312

切點(diǎn)G的坐標(biāo)為后,

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形CMBC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)

C在第三象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-12,0),OA=AB,ZOAB=90°,3c=10.點(diǎn)P是線段03

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)。、3重合)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng),

過(guò)點(diǎn)P與y軸平行的直線。交邊Q4或邊AB于點(diǎn)。，交邊OC或邊3c于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為f秒，線段QR的長(zhǎng)度為機(jī).已知r=4時(shí)，直線。恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)—(-6,6)—；點(diǎn)C的坐標(biāo)

(2)當(dāng)0<r<4時(shí)，求m關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)祖=6時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出f的值；

(4)點(diǎn)P出發(fā)時(shí)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線30運(yùn)動(dòng).點(diǎn)產(chǎn)

停止時(shí)點(diǎn)E也停止，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)NQEP=/O3C時(shí)，r的值____.

【解答】解：（1）如圖1中，作必_LO5于K.

\-AB=AO,ZBAO=90。,AK^OB,

:.BK=OK,

??.AK=BK=OK=6,

A(-6,6),

由題意PO=4,BP=OB-OP=12-4=8,

vZBPC=90°,BC=10,

PC=^BC2-PB1=V102-82=6,

C(-4,-6).

故答案為(-6,6),(-4,-6).

(2)如圖2中，當(dāng)0<r<4時(shí)，作CH工OB于H.

在RtAOPQ中，vZOPQ=90°,ZPOQ=45°,

OP=PQ=t,

???PR工OB,CHLOB,

:.PR//CH,

OPPR

OHCH

PR

46

3

:.PR=-t,

2

35

m=RQ=PQ+PR=t+3t=31(0<t<4).

(3)①當(dāng)0<f<4時(shí)，m=6,則有9f=6,

2

解得Y

②如圖3中，當(dāng)6<f<12時(shí),

3

/.12-r+-(12-r)=6,

解得”竺，

7

綜上所述，滿足條件的f的值為絲或

57

(4)①如圖4—1中，當(dāng)點(diǎn)。在。4上時(shí),

???/QEP=NOBC,

3

/.tanNQEP=tanAOBC=—,

.QP_3

..=一，

EP4

t3

12-3^-4

解得:西

13

②如圖4-2中，當(dāng)點(diǎn)。在上時(shí),

?.?/QEP=/OBC,

3

/.tanZ-QEP=tanZ.OBC=—,

.QP_3

..——f

EP4

?12-2_3

"3.-12一"

解得”班.

13

綜上所述，滿足條件的》的值為史或怛.

1313

故答案為史或膽.

1313

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（46，

0）,點(diǎn)3在第一象限，AC是NQ4B的平分線，并且與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)/為直線AC上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AAOM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與邊至重合，得到AABD.

（1）求直線05的解析式;

（2）當(dāng)M與點(diǎn)E重合時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

（3）是否存在點(diǎn)拉，使AOMD的面積等于36？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

Ay

【解答】解：（1）BQ6,6）；?：＞=氐；

(2)如圖1,由題意QB_LB4,NEAO=44/5=30度,

止匕時(shí)。4=4石=阜=8,即點(diǎn)D(4百，8)；

出

2

(3)過(guò)M■作肱VJ_x軸，設(shè)MN=a,

如圖2,當(dāng)〃在x軸上方時(shí)，

由NO4M=30°,

.".MA-2a,NA=s[3a,

S&OMD=S^oMN+S梯形MNAD-t^OAD

=；(4\/3—'J3d)?a+g(a+—g?4^/5?2a=3A/3,

解得o=3,

當(dāng)?shù)萂在?！醯南路綍r(shí),

可得：-.4A/3.2O--.(473---<a+2a)=3^3，

222

方程無(wú)解.

如圖3,當(dāng)M在x軸下方時(shí)，由/附Af=30。，

/.MA=2a，NA=下>a,

S^OMD=$bAOD+S梯形yDvW-^AOMN

=—*4^/3*2tz+—(a+——?(4,\/3+y/3ci)啕=3y/3,

解得a=1,

:.M[(6，3),M2(56-1).

8.綜合與探究

如圖，拋物線>=加+桁+°(分0)與x軸交于A(-3,0)、3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C(0,A/3).當(dāng)尤=^和》=2時(shí)，二次函數(shù)>=。無(wú)2+6x+c(a*0)的函數(shù)值y相等，連接AC,

BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷AASC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)Af、N同時(shí)從5點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿54、3c邊運(yùn)動(dòng)，

其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒時(shí)，連接MN,將ABMZV

4

沿翻折，5點(diǎn)恰好落在AC邊上的尸處，則f的值為-，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

一3一

(4)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得AACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo).

【解答】解：(1)1,在拋物線>=方2+bx+c中，當(dāng)x=T■和x=2時(shí)，二次函數(shù)y=o%2+bx+c

的函數(shù)值y相等，

-4+21

.?.拋物線的對(duì)稱軸為％=--------=-1,

2

又???拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于A(—3,0)、5兩點(diǎn)，

由對(duì)稱性可知5(1,0),

???可設(shè)拋物線的解析式為y=。(4+3)(X-1),

將C(0,6)代入y=a(x+3)(x-1),

得，—3a=A/3,

解得，a=_B,

3

.?.此拋物線的解析式為y=-^x+3)(無(wú)一1)=一冬2一W天+5

(2)AABC為直角三角形，理由如下：

?.?A(-3,0),B(l,0),C(0,技，

；Q=3,OB=1,OC=-j3,

:.AB=OA+OB=4,AC=y/OA2+OC2=2A/3,BC=y/OB2+OC2=2,

-.-AC2+BC2=16,AB2=16,

:.AC2+BC2=AB2,

.?.AABC是直角三角形；

(3)?點(diǎn)A/、N同時(shí)從3點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿54、8c邊運(yùn)動(dòng),

：.BM=BN=t,

由翻折知，ABMN=APMN,

:.BM=PM=BN=PN=t,

/.四邊形尸MBN是菱形，

:.PN//AB,

..ACPN^ACAB,設(shè)尸M與y軸交于”,

.PNCNCH

^B~~CB~~CO"

t2—tCH

即Hn一二——=〒，

4273

解得，t=—iCH=，

33

:.OH=OC-CH=s/3--=—,

33

2A/3

??力=,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+6,

將點(diǎn)A(-3,0)代入y=kx+j3,

得，k=@,

3

直線AC的解析式為y=gx+退,

將yP=代入y=與x+yj3,

(4)設(shè)直線BC的解析式為>=丘+石,

將點(diǎn)2(1,0)代入y=fcc+后，

得，k.=-y/3,

：.直線BC的解析式為y=-73%+也,

由(2)知AABC為直角三角形，ZACB=90°,

如圖2,當(dāng)NACF=90。時(shí)，

點(diǎn)、B,C,歹在一條直線上，

在、=一氐+6中，當(dāng)x=-l時(shí)，J=2A/3,

二耳(-1,2⑨；

當(dāng)NC4F=90°時(shí)，AF//BC,

：.可設(shè)直線AF的解析式為y=-氐+n,

將點(diǎn)A(—3,0)代入y=sfix+n,

得，n=-3A/3,

直線AF的解析式為y=-瓜-3A/3,

在y=-垂＞x-35/3中，當(dāng)x=T時(shí)，y=-2^/3,

:.F式-1,-2幣);

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為￡（-1,20,g（-1,-2石）.

圖1

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-；x+9與無(wú)軸，y軸分別交于3,

C兩點(diǎn)，拋物線>=-1*2+汝+。經(jīng)過(guò)3,。兩點(diǎn)，與無(wú)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)P從

4

點(diǎn)A出發(fā)沿他以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為</<5)秒.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)以O(shè)C為直徑的與3c交于點(diǎn)當(dāng)/為何值時(shí)，與。。相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿C4以每秒理個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)

P相同.

①記ABP。的面積為S,當(dāng)f為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？

②是否存在NVCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應(yīng)的，值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

【解答】解：⑴在丁=-三%+9

4

中，令兀=0,得y=9；令y=0,得x=12.

/.C(0,9),5(12,0).

c=9b)

又拋物線經(jīng)過(guò)5