2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次根式

選擇題（共10小題）

月+何的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）

1.（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）估算同X、

A.6至!I7之間B.7至U8之間C.8到9之間D.9到10之間

2.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）當(dāng)xWl時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有意義的式子是（）

111,____

A.1----B.-----C.?D.7x—1

11-Xx2-l

3.(2025?方山縣一模)當(dāng)a=V^+l,b=/一1時(shí)，撩b_a鏟的值為（）

A.1B.2V2C.4V2D.4

4.（2025?鄭州模擬）下列運(yùn)算正確的是()

a+11

A.J(-2)2=—2B.-----——=a(aH0)

aa

C.2V3-V3=2D.(〃2)3=〃6

5.（2025?婁底模擬）下列計(jì)算正確的是()

A〃4.〃2=8B.(-Gb)3=-/戶

C.-(〃-/?)2=-〃2一2ab~廿D.=(Va)2(a>0)

6.（2025?重慶模擬）估計(jì)gx電+VIU+&的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）

A.2至U3之間B.3至IJ4之間C.4至1）5之間D.5至IJ6之間

.________V

7.（2025?徐州模擬）已知尸歸+店6+3'則泮值為（）

8.(2025?大東區(qū)模擬)下列計(jì)算正確的是()

A.a3+a5=tz6B.a64-a3=a2C.(-a)2=a2D.Va^=a

9.（2025?光山縣二模）已知一等腰三角形的周長(zhǎng)為12班，其中一邊長(zhǎng)24，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為

A.2V5B.5V5C.2b或5逐D.無(wú)法確定

10.（2025?重慶模擬）己知恒等式（百％-&）"=即尤"++與_2工"-2------1-arx+a0,其中n

為正整數(shù)，下列說(shuō)法：

①山＞1；

aO

②當(dāng)〃=4時(shí),1*1+1的1+\a2\+|a/=49+20V6；

2

③當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(ccn+ct-n-2+…+的)2—(an_1+an_3+…+a0)=1；

④當(dāng)W為偶數(shù)時(shí)，(斯+斯一2+-，+°0)*(碗-1+即一3+~，+41)<-24.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

填空題（共5小題）

11.（2025?方山縣一模）寫(xiě)出一個(gè)能與g合并的實(shí)數(shù)：.

12.（2025?蠡縣一模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)/表示實(shí)數(shù)標(biāo)、且標(biāo)與魚(yú)的積為有理數(shù)，則整數(shù)機(jī)的值為

????%一

-101234

13.（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）計(jì)算：V3XV6-V32=.

14.（2025?山東一模）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次根式,使它滿足只含有一個(gè)字母無(wú)，且當(dāng)

了22時(shí)有意義.

15.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）要使有意義,則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是.

x-2---------------

三.解答題（共5小題）

16.（2025?合肥一模）計(jì)算：|百一2|一（一|）。+或x限

17.（2025?陜西校級(jí)二模）計(jì)算：|2&一3|+（—》-3+乃X%.

18.（2025?西安二模）計(jì)算：（―x+（―—3|.

19.（2025?烏魯木齊模擬）化簡(jiǎn)或計(jì)算：

（1）4x—（2—V3）0+|4—V8|；

⑵（一鏟嚼一兒

20.（2025?交口縣一模）（1）計(jì)算：g-38X（|尸+J（-3）2.

（2）化簡(jiǎn)：（2m+n）（2m—n）—（2m—n）2+4mQ—n）.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次根式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案BBCDDCCCBB

選擇題（共10小題）

1.（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）估算聞xJI+癡的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）

A.6到7之間B.7到8之間C.8到9之間D.9到10之間

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；估算無(wú)理數(shù)的大小.

【專題】實(shí)數(shù)；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，再利用夾逼法估算無(wú)理數(shù)的大小即可.

【解答】解：V45xJ|+V20

=V9+V20

=3+720.

VVT6<V20<V25,

.?.4<V20<5,

.?.7<3+V20<8,

即估算同xJ|+回的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在7到8之間，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）當(dāng)XTM時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有意義的式子是（）

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.

【專題】分式；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分別解答判斷即可.

【解答】解：A、若1-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無(wú)?0,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、若二一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則1-xWO,即故此選項(xiàng)符合題意；

1-x

1

C、若^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則/-1W0,即xW±l,故此選項(xiàng)不符合題意；

x2-l

D、若正二T在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤-1N0,即故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?方山縣一模)當(dāng)&=/+1,6=/—1時(shí)，窟匕-a/的值為()

A.1B.2V2C.4V2D.4

【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

33

【分析】先對(duì)ab-ab因式分解，提取公因式ab得ab-/),再用平方差公式進(jìn)一步分解為ab(a

-b)(a+b).接著代入a=魚(yú)+Lb=y/2—1,分別計(jì)算(a+6),(a-b),ab的值，最后相乘得出結(jié)

果.

【解答】解：：a=&+l,b=V2-1,

ab=(V2+1)(V2—1)=1,a+b—V2+1+V2—1=2V2,a-b—(V2+1)-(V2-1)=2,

a%-ab3

=ab(a2-b2),

=ab(a+b)(a-b),

當(dāng)a=V2+1,b=V2—1時(shí)，

原式=1X2V2X2=4vL

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?鄭州模擬)下列運(yùn)算正確的是()

I--------Cl+l1

A.J(-2)2=-2B.------——=a(aW0)

aa

C.2V3-V3=2D.(a2)3=a6

【考點(diǎn)】二次根式的加減法；塞的乘方與積的乘方；分式的加減法；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

【專題】整式；分式；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減法則，分式的加減法，募的乘方逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：正可=2,則A不符合題意；

——--="I1=-=1(aWO),貝I]B不符合題意；

aaaa

2g-g=百，則C不符合題意；

(C?2)3=“6,則￡)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減，分式的加減法，幕的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵.

5.(2025?婁底模擬)下列計(jì)算正確的是()

4,28253

A.flci=aB.(-?Z?)3=-ab

C.-(a-b)2=-cr-2ab-b1D.=(Va)2(a>0)

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；同底數(shù)塞的乘法；暴的乘方與積的乘方；完全平方公式；二次根式的性質(zhì)

與化簡(jiǎn).

【專題】計(jì)算題.

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)暴的乘法，暴的乘方，完全平方公式，二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答】解：A、。4./=/+2=/，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、(-^b)3=-心/，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、-(a-6)2=-(a2-2ab-b2)--a2+2ab-b2,原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、=(Va)2(a>0),原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方，完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

6.(2025?重慶模擬)估計(jì)屆xJ|+VTU+魚(yú)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在()

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；估算無(wú)理數(shù)的大小.

【專題】計(jì)算題.

【答案】C

【分析】先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：原式=2舊X號(hào)+VTU+魚(yú)=2+遮=2+2.236=4.236,故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí)一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的

形式后再運(yùn)算.最后估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小.

7.（2025?徐州模擬）已知y=斤兆+V^^+3,則一的值為（）

x

4A33

A.—B.--QC.—D.--7

3344

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出X、y的值，計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得，4-x20,x-420,

解得x=4,

貝！1y=3,

,y3

則一=一，

X4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件,掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?大東區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）

35663222

A.a+a=aB.a4-?=aC.（-a）=ciD.=a

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)塞的除法.

【專題】計(jì)算題.

【答案】C

【分析】根據(jù)這些運(yùn)算法則依次判斷即可.

【解答】解：A、/與/不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a6-^a3=a3,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（-a）2=a2,選項(xiàng)正確，符合題意；

。、=a,當(dāng)a20時(shí)，V^=a,當(dāng)a<0時(shí)，，次=—a,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)暴的除法、積的乘方運(yùn)算、二次根式的化簡(jiǎn)，掌握以上性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?光山縣二模）已知一等腰三角形的周長(zhǎng)為12百，其中一邊長(zhǎng)2西，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為

（）

A.2V5B.5V5C.2有或5有D.無(wú)法確定

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】由題意知，分一邊長(zhǎng)2擊為腰，一邊長(zhǎng)2愿為底邊兩種情況求解，然后對(duì)兩種情況進(jìn)行判斷作

答即可.

【解答】解：由題意知，分一邊長(zhǎng)2聲為腰，一邊長(zhǎng)2遍為底邊兩種情況求解；

①當(dāng)一邊長(zhǎng)2曲為腰時(shí)，則底邊長(zhǎng)為124一2x2時(shí)=8西，

2有+2逐=4V5<8V5,

此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去；

②當(dāng)一邊長(zhǎng)2代為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為I?"2近=5?；

綜上所述，腰長(zhǎng)為5代，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握二次根式

的加減運(yùn)算，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?重慶模擬）已知恒等式（遮光—魚(yú)尸=a/"+cin-i久"T+與_2--2H----Fa1x+a0,其中n

為正整數(shù)，下列說(shuō)法：

①幺>1；

aO

a

②當(dāng)n=4時(shí),|a4|+1的1+\2\+|%J=49+20V6；

③當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（a九+an-2+…+%.）2—（%i-i+a九一3+…+劭產(chǎn)=1;

④當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，（〃〃+〃〃-2+…+”（））?（〃〃-1+劭-3+…+〃1）<-24.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】利用整式的乘法法則，當(dāng)〃=1時(shí)，ar=V3/a0=-V2,—=—<1,可判斷①錯(cuò)誤；當(dāng)

〃=4時(shí)，(8％-企尸=9/一12e工3+36/一8乃1+4,經(jīng)過(guò)計(jì)算，可判斷②錯(cuò)誤；

nnnn

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令1=1,則(遍%-V2)=(V3-V2),(V3x+V2)=(V3+V2),得(an

nn

。1)2—(cin_i4~<xn-3+…+a。)?=(V3—V2)(V3+V2)=1,可判斷③正確；

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)〃=2時(shí)，

A-

(cin+ccn-2+…+口。),(。九一1+。九-3+…+。1)=(3+2),(―2/^)=10V6V—24；

當(dāng)九=4時(shí)，(<1rl+ccn-2+…+口。),(。九一1+a九一3+…+%)=(9+36+4),(―12V6—8V6)=—980V6；

-980V6<-24,依此類推，可判斷④正確；即可判斷出有幾個(gè)正確的.

【解答】解：①當(dāng)n=\時(shí)，的=V3/a=—V2,—=-7=<1，

0a?！猇2

故①錯(cuò)誤，不符合題意；

②當(dāng)〃=4時(shí)，(8％-V2)4=9x4-12V6%3+36x2-8V6x+4,

4—

a4=(V3)=9,%=12V6,〃2=36,%=-8A/6,〃o=4,

I(I41+1^31+\^21+l^iI=9+12A/6+36+8A/6=45+20V6,

故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令x=l,

則(遮工—魚(yú)尸

nn-2

=anx+a九_(tái)1%九_(tái)1+an_2x4---Farx+a0

=(V3-V2)n,

(V3x+V2)n

nn=2

=anx++an_2x4----F+a0

=l+〃〃-2+…+QI+QO

=(V3+V2)n,

(an+an-2■1----1-al)2一(an-l+an-3---a0)2

=(即+〃〃-1+即一2+…+Q1+40)(an-an-l+an-2-…+m-40)

=(V3-V2)n(V3+V2)n

=1,

故③正確，符合題意；

④當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)”=2時(shí)，（舊一企）2=3—2乃+2,

=

((ln+Un-2+…+Go),(Gn-1+^-n-3+…+口1)(3+2),(—2^/6)——10V6<-24;

當(dāng)〃=4時(shí)，(值一企)4=9-12巡+36-8乃+4,

(an+an_2+…+QQ),(fin-1+^n-3+…+cii)=(9+36+4),(-12>/6—8'\/6)=-980V6；

-980V6<-24,

依此類推，

(tzw+o/j-2+-+ao)?(-1+a?-3+-+?i)<-24,

故④正確，符合題意；

故答案為：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的乘法的應(yīng)用及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，熟練掌握以

上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?方山縣一模)寫(xiě)出一個(gè)能與合并的實(shí)數(shù)：W(答案不唯一)..

【考點(diǎn)】同類二次根式.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】V3(答案不唯一).

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出答案即可.

【解答】解：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同

類二次根式，同類二次根式才能合并.

VV12=2V3,

，能與g合并的實(shí)數(shù)可以為舊，

故答案為：V3(答案不唯一).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，能熟記同類二次根式的定義(幾個(gè)二次

根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式)是解此題的關(guān)

鍵.

12.(2025?蠡縣一模)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)M表示實(shí)數(shù)標(biāo)、且標(biāo)與魚(yú)的積為有理數(shù),則整數(shù)m的值為8.

???.一

-101234

【考點(diǎn)】分母有理化；實(shí)數(shù)與數(shù)軸；二次根式的乘除法.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】8.

【分析】先求出4＜機(jī)＜9,再根據(jù)標(biāo)與魚(yú)的積為有理數(shù)求解即可.

【解答】解：由條件可知2V標(biāo)＜3,

：.4＜m＜9,

:標(biāo)與魚(yú)的積為有理數(shù)，且2企又聲=8,

??加=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸及二次根式

的乘法運(yùn)算.

13.（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）計(jì)算：V3xV6-V32--V2.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】-迎.

【分析】先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答.

【解答】解：V3xV6—V32

=3V2-4V2

=—V2,

故答案為：-五.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?山東一模）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次根式VI（答案不唯一），使它滿足只含有一個(gè)字母羽且

當(dāng)x22時(shí)有意義.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；二次根式的定義.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：A/7^2（答案不唯一）滿足條件，

故答案為：/口（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件、二次根式的定義，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

?Vx4~1

15.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）要使一丁有意義，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是12-1且122.

X-2-------------

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.

【專題】分式；二次根式；符號(hào)意識(shí).

【答案】X2-1且XW2.

【分析】直接利用二次根式有意義則被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，再利用分式有意義的條件，其分母不為零，進(jìn)

而得出答案.

【解答】解：要使在g有意義，貝h+1>0且X-2W0,

X-2

解得：X，-1且xW2.

故答案為：X2-1且％W2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，注意分式有意義的條件是解題

關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?合肥一模）計(jì)算：|百一2|一（一|）。+&*用

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)幕.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】1+V3.

【分析】先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)累的意義和二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后合并即可.

【解答】解：原式=2-W-\+聲,x短xW

=2-V3-1+2V3

=1+V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和零指數(shù)募

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.（2025?陜西校級(jí)二模）計(jì)算:|2V2-3|++V6XV3.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)累.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】V2-5.

【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值、計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)塞和二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的加減法即可得.

【解答】解：原式=3—2A/2+（—8）+V18

=3-2V2-8+3V2

=V2—5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、二次根式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

-1

18.(2025?西安二模)計(jì)算：(-V8)XV3+(-i)-2-|V6-3|.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】一連+1.

【分析】先化簡(jiǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值，然后算乘法，最后算加減.

【解答】解：原式=一2在+(—2》一(3-n)

=-2V6+4—3+V6

=-V6+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及二次根式的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)累及實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，掌握相關(guān)

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?烏魯木齊模擬)化簡(jiǎn)或計(jì)算：

(1)4XJ|-(2-V3)°+|4-V8|:

⑵(一鏟一/一?

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；分式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)3；

3

(2)-b.

【分析】(1)先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)先算乘方，再算除法，后算加減，即可解答.

【解答】解：(1)4xJj-(2-V3)°+|4-V8|

=4x^-l+4-2V2

=2V2-1+4-2V2

=3；

（2）r--V上空一°

a25b3

=F-7—匕

b22a2

Sb,

=-2~b

=%

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

20.(2025?交口縣一模)(1)計(jì)算：g-3百x(|)T+5(一3)2.

3

(2)化簡(jiǎn)：(2m+n)(2m—n)—(2m—n)2+4m(^—n).

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)哥.

【專題】整式；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)3；

(2)3m-2M2.

【分析】(1)利用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞計(jì)算即可；

(2)利用完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開(kāi)后再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：⑴原式=2b-3遍X,+3

=2V3-2V3+3

=3；

(2)原式=4渥--(4m2-4mn+n2)+3m-4mn

=4m2-n2-4m2+4mn-n2+3m-4mn

=3m-2幾2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是

在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

2.估算無(wú)理數(shù)的大小

估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值.

3.合并同類項(xiàng)

(1)定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).

(2)合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

(3)合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化

簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)

不變.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)

的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)

量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

(2)利用方程解決問(wèn)題.當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為無(wú)，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)

出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)累的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am-an=am+n（m,”是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an-aP=am+n+P（加，n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)幕的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/廬）3與（/廬）%（x-y）2

與（x-y）3等；②?？梢允菃雾?xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；③按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)

相加.

（3）概括整合：同底數(shù)暴的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運(yùn)算的關(guān)鍵.在運(yùn)用時(shí)要抓

住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變形為同底數(shù)幕.

6.易的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

n=0nm（m,〃是正整數(shù)）

注意：①暴的乘方的底數(shù)指的是累的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是暴的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這

里注意與同底數(shù)幕的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

（加〃=4%"（力是正整數(shù)）

注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)

算出最后的結(jié)果.

7.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)累的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am^an=amn（a^O,m,〃是正整數(shù)，機(jī)＞〃）

①底數(shù)aWO,因?yàn)?不能做除數(shù)；

②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什

么.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±6）2=a2±2ab+b2'.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個(gè)特征：①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)

分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號(hào)與左邊的運(yùn)算符號(hào)相同.

(3)應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的a,6可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②對(duì)形如兩數(shù)和(或

差)的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方

公式.

9.整式的混合運(yùn)算

(1)有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順

序相似.

(2)“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見(jiàn)，適時(shí)采用整體思想可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并且迅速地解決相關(guān)問(wèn)題，

此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來(lái).

10.分式有意義的條件

(1)分式有意義的條件是分母不等于零.

(2)分式無(wú)意義的條件是分母等于零.

(3)分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào).

(4)分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào).

11.分式的加減法

(1)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

(2)異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異

分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說(shuō)明：

①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把

分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式;

通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的.

12.分式的混合運(yùn)算

(1)分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，

有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

(2)最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

(3)分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活

運(yùn)算.

【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問(wèn)題

1.注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

2.注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分

式或整式.

3.注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法

的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

13.零指數(shù)塞

零指數(shù)幕：a°=lQWO）

由+或"小心=心一，"=/可推出J=1（a#0）

注意：O°W1.

14.負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

負(fù)整數(shù)指數(shù)暴：ap=^（aWO,p為正整數(shù)）

注意：①a#。；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)累時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）2=（-3）X（-2）

的錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

15.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如6QN0）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號(hào)

②a（a》0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

學(xué)習(xí)要求：

理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被

開(kāi)方數(shù)中的字母取值范圍.

16.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如仿（a》0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.VHQ20）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.

【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是

非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

17.二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

?Va>0；心0（雙重非負(fù)性）.

②（迎）2=。QN0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式）.

a（a>0）

0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

{—a（a<0）

（2）二次根式的化簡(jiǎn)：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

Vab=(a20,620)6>0)

（3）化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①把被開(kāi)方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)

得盡方的因數(shù)（或因式）都開(kāi)出來(lái)；③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都

小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡(jiǎn)求值的常見(jiàn)題型及方法

1.常見(jiàn)題型：與分式的化簡(jiǎn)求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡(jiǎn)分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡(jiǎn).

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式或整式.

18.二次根式的乘除法

(1)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va-b=Va9Vb(〃20,Z?NO)

(2