專題04二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用60題專練

壓軸題密押

通用的解題思路：

從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下

的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意

義.

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次

函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量X的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)

的最值時(shí)，一定要注意自變量X的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的

討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到

平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題.

壓軸題預(yù)測

1.（2024?北侖區(qū)一模）周末，小明和同學(xué)們一起去長江路地鐵站坐地鐵.在等車的過程中，他驚嘆于地鐵

每次都能精準(zhǔn)的?？吭谕Ｖ咕€上.為什么每次地鐵停靠都那么準(zhǔn)呢？里面一定包含著數(shù)學(xué)知識(shí)!通過工作人

員幫助，小明獲得了地鐵剎車開始的時(shí)間f與地鐵到停止線的距離S之間的表格信息：

f（秒）04812162024

S（米）256196144100643616

當(dāng)小明拿到這些數(shù)據(jù)時(shí)，他作了如下的思考：

（1）依據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，小明需要將這些數(shù)據(jù)繪制在平面直角坐標(biāo)系中，并用平滑的曲線進(jìn)行連線，形成數(shù)據(jù)

所生成的圖象，請你在圖中落實(shí)他的想法；

（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)圖象（選填“一次”、“二次”或“反

比例”）.請你選擇合適的數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的表達(dá)式；

（3）地鐵從開始剎車到下次啟動(dòng)一共用時(shí)60秒.求地鐵的?？繒r(shí)間.

（?？繒r(shí)間指的是地鐵剎停后的靜止時(shí)間）

S

260

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

O48121620242832t

【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)，連線，畫出函數(shù)圖象即可求解;

（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解;

（3）將5=0代入，解方程即可求出，的值，再用60—即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）描點(diǎn)，連線，如圖:

（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的二次函數(shù),

^S=at2+bt+c,將點(diǎn)(0,256)代入得：c=256,

將(4,196),(8,144)代入8="2+次+256中,

/口「16。+46+256=196

得：《,,

64z—。+助+256=144

解得："a，

b=-\6

該函數(shù)的表達(dá)式為S=—x2-16x+256；

4

故答案為：二次；

（3）依題意，當(dāng)S=0時(shí)，-X2-16X+256=0,

4

解得：t\=t[=32,

60-32=28,

地鐵的?？繒r(shí)間為28秒.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?官渡區(qū)一模）“有一種叫云南的生活”融和了豐富的多元文化、多彩的自然風(fēng)光和獨(dú)特的民俗風(fēng)

情.在云南，風(fēng)里有花香，舌尖亦能有花香.“鮮花餅”是云南有名的特產(chǎn)，南屏街某商店銷售“鮮花餅”,

進(jìn)價(jià)為20元/盒，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該鮮花餅的銷售量y（盒）與銷售價(jià)x（元/盒）之間的關(guān)系如圖所示.規(guī)

定售價(jià)不低于成本，不高于成本的2.5倍.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）求銷售該鮮花餅獲得的利潤少的最大值.

【分析】（1）根據(jù)題意分2。,440和40<%50兩種情況，然后利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）設(shè)該店日獲利潤為少元，然后表示出平，利用二次函數(shù)的增減性求解即可.

【解答】解：（1）當(dāng)2Q,%,40時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為夕=履+6（后#0）,

20后+6=400

根據(jù)題意,

40左+6=200

后=一10

解得

6=600

y=-10x+600；

當(dāng)40<%，50時(shí)，y=200

,，,姐AR七34.f-10x+600（20<x<40）

故/與x的1V函數(shù)解析式為y=<；

-[200（40<x<50）

（2）設(shè)該店日獲利潤為少元，當(dāng)20,,西,40時(shí)，

FT=（x-20）（-10x+600）

=-10x2+800%-12000

=-10（X-40）2+4000,

v-10<0,

拋物線開口向下，

.?.當(dāng)x=40時(shí)，少有最大值，最大值為4000；

當(dāng)40<450時(shí)，F(xiàn)T=（x-20）x200=200x-4000,

?/200>0,

?沙隨X的增大而增大，

.?.當(dāng)x=50時(shí)取得最大值，最大值為6000,

綜上所述，銷售該鮮花餅獲得的利潤W的最大值為6000元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的

增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案，其中要注

意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）.

3.（2024?新吳區(qū)一模）天氣漸熱，某商家購進(jìn)一種冰鎮(zhèn)飲料，每瓶進(jìn)價(jià)是4元，并規(guī)定每瓶售價(jià)不得少于

6元，日銷售量不低于40瓶.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每瓶售價(jià)定為6元時(shí)，日銷售量為60瓶，每瓶售

價(jià)每提高1元，日銷售量減少5瓶.設(shè)每瓶售價(jià)為x元，日銷售量為p瓶.

（1）當(dāng)x=8時(shí)，。=50；

（2）當(dāng)每瓶售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤?（元）最大？最大利潤是多少？

（3）判斷命題：”日銷售額最大時(shí)，日銷售利潤不是最大”是—命題（填“真”或“假”），并說明理

由.

【分析】（1）根據(jù)每瓶售價(jià)每提高1元，日銷售量減少5瓶，當(dāng)x=8時(shí)，售價(jià)提高2元，則日銷售量減少

10瓶，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)每瓶利潤x日銷售量=總利潤，可得卬關(guān)于x的關(guān)系式，再根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，由

二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；

（3）設(shè)日銷售額為y元，根據(jù)日銷售額=銷售單價(jià)x銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出y取最

大值時(shí)X的值，再求出此時(shí)的利潤即可判斷.

【解答】解：(1)p=60-5x(8-6)=60-10=50,

故答案為：50；

(2)由題意可得，p=60—5(x—6)=—5x+90,

則w=(x-4)(一5x+90)=-5(x-11)2+245,

?.■每瓶售價(jià)不得少于6元，日銷售量不低于40瓶，

[x<6

"1-5x+90>40,

解得6,,AI,10,

?/-5<0,

.?.當(dāng)x=10時(shí)，w有最大值，最大利潤為240,

答：當(dāng)每瓶售價(jià)定為10元時(shí)，日銷售利潤w(元)最大，最大利潤是240元;

(3)設(shè)日銷售額為y元，

2

則了=x(-5x+90)=-5(x-9)+405,

-5<0,6?毛,10，

.?.當(dāng)x=9時(shí)，日銷售額y有最大值為405元，

而此時(shí)日銷售利潤w為225元，不是最大，

所以原命題是真命題，

故答案為：真.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是弄清題意，列出函數(shù)解析式并求出x的取值范

圍.

4.(2024?濱?？h校級模擬)綜合與實(shí)踐：

問題情境

小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價(jià)格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價(jià)，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近工,

B,C,D,￡五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價(jià)x與日銷售量y情況，記錄如下：

售價(jià)(元/盆)日銷售量(盆)

A2050

B3030

C1854

D2246

E2638

數(shù)據(jù)整理：

（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中:

售價(jià)（元/盆）

18

日銷售量（盆）

模型建立

（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，探究出日銷售量y與售價(jià)x之間的關(guān)系式.

拓廣應(yīng)用

（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中.

①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價(jià)？

②售價(jià)定為多少時(shí)，每天能夠獲得最大利潤？

【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)從小到大排列即可；

（2）用待定系數(shù)法求出日銷售量y與售價(jià)x之間的關(guān)系即可；

（3）①根據(jù)每天獲得400元的利潤，列出一元二次方程，解方程即可；

②設(shè)每天獲得的利潤為w元，依據(jù)題意得w=-2（x-30）2+450,依據(jù)一元二次方程的性質(zhì)分析即可.

【解答】解：（1）根據(jù)銷售單價(jià)從小到大排列得下表：

售價(jià)（元/盆）1820222630

日銷售量（盆）5450463830

故答案為:18,54；20,50；22,46；26,38；30,30；

（2）觀察表格可知銷售量是售價(jià)的一次函數(shù)；

設(shè)銷售量為y盆，售價(jià)為x元，y=kx+b,

把（18,54）,（20,50）代入得:

18左+6=54

20左+6=50

k=-2

解得:

b=90

/.y——2x+90；

（3）①?.?每天獲得400元的利潤,

(x-15)(-2x4-90)=400，

解得x=25或x=35,

：.要想每天獲得400元的利潤，定價(jià)為25元或35元;

②設(shè)每天獲得的利潤為w元.

根據(jù)題意得：w=(x-15)(-2%+90)=-2x+120x-l350=一2(x-30)2+450,

—2<0，

.?.當(dāng)x=30時(shí)，w取最大值450,

售價(jià)定為30元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤450元.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程和

一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?江陰市一模）某商店以30元/件的進(jìn)價(jià)購進(jìn)了某種商品，這種商品在60天內(nèi)的日銷售價(jià)（單位:

元/件）與時(shí)間x（單位：天）之間的關(guān)系如表格所示：

第X天（X為整數(shù)）1,X,4041X,60

日銷售價(jià)（元/件）60-0.5%40

x+20（1,x?40）

日銷售量V（單位：件）與時(shí)間X（單位：天）之間的函數(shù)表達(dá)式為y=I,其中X為整

--x+80（41,,x?60）

數(shù).

（1）求第30天的銷售利潤；

（2）該商品在第幾天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

日銷售利潤=（日銷售價(jià)-進(jìn)價(jià)）x日銷售量

【分析】（1）求出第30天的銷售價(jià)格和銷售量，用（銷售價(jià)格-成本）x銷售量求解即可；

（2）該商品的日銷售利潤為攻元，然后分%40和41,x,60兩種情況，由日銷售利潤=（日銷售價(jià)-進(jìn)

價(jià)）x日銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，最后比較即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）當(dāng)x=30時(shí)，日銷售價(jià)格為60-0.5x30=60-15=45（元），

日銷售量為30+20=50（件），

日銷售利潤為（45-30）x50=750（元），

答：第30天的銷售利潤為750元；

（2）該商品的日銷售利潤為w元，

當(dāng)t,X,40時(shí)，w=（60-0.5%-30）（%+20）--0.5x2+20%+600=-0.5（x-20）2+800,

v-0.5<0,

.?.當(dāng)x=20時(shí)，w有最大值，最大值為800；

當(dāng)41,%60時(shí)，w=（40-30）（-1x+80）=-5x+800,

-5<0,

.?.當(dāng)x=42時(shí)，取有最大值，最大值為590,

???800>590,

商品在第20天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是800元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵寫出日銷售利潤與銷售天數(shù)的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)解決最值問題.

6.（2024?嶗山區(qū)一模）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，每件玩具進(jìn)價(jià)是30元，并規(guī)定每件售價(jià)不得少于50元.根

據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件售價(jià)定為50元時(shí)，日銷售量為500件，每件售價(jià)每提高0.5元，日銷售量減

少5件.設(shè)每件售價(jià)為x元，日銷售量為y件.

（1）當(dāng)x=60時(shí)，v=400件:

（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤少（元）最大？最大利潤是多少？

（3）當(dāng)日銷售利潤不低于6000元時(shí)，求每件玩具售價(jià)x的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)“每件售價(jià)每提高0.5元，日銷售量減少5件”求解即可；

（2）根據(jù)“銷售利潤=（售價(jià)-成本）無銷量”列關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；

（3）先求出當(dāng)少=6000元時(shí)，x的值，再根據(jù)開口方向確定少>6000時(shí)，自變量x的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)x=60時(shí)，y=500-5x竺3=400（件），

0.5

故答案為：400；

-50

（2）根據(jù)題意得：y=500-5x-r-------=-10x+1000,

0.5

用=(x-30)j=(x-30)(-10x+1000)=—10f+1300x-30000=一10(x-65)2+12250，

.?.當(dāng)x<65時(shí)，少隨x的增大而增大，當(dāng)x>65時(shí)，/隨x的增大而減小,

x>50

由題意

-10%+1000>0

解得50”%100,

.?.當(dāng)x=65時(shí)，少取最大值，最大值為12250,

答：當(dāng)每件售價(jià)定為65元時(shí)，日銷售利潤少(元)最大，最大利潤是12250元；

(3)當(dāng)少=6000元時(shí),-10x2+1300%-30000=6000,

解得%=40,3=90，

vtz=-10<0,

二開口向下，

.?.當(dāng)4。,x,90時(shí)，W...6000,

又；50?%,100,

50?%,90,

答：當(dāng)日銷售利潤不低于6000元時(shí)，每件玩具售價(jià)x的取值范圍為50,,%,90.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式.

7.(2024?龍湖區(qū)校級一模)某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件成本是50元，為了合理定價(jià)，投成市場進(jìn)行

式銷，據(jù)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5伴,

但要求銷售單價(jià)不得低于成本.

設(shè)銷售單價(jià)x元，銷售利潤少元.

(1)求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(2)該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，求出銷售單價(jià)x的取值范圍？

【分析】(1)根據(jù)“利潤=(售價(jià)-成本)x銷售量”列出函數(shù)解析式，根據(jù)利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行

求解即可；

(2)令沙=4000,解方程求出x的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出銷售利潤不低于4000元時(shí)銷售單價(jià)x

的取值范圍.

【解答】解：⑴根據(jù)題意得：r=(x-50)[50+5(100-%)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5x2+800%-27500

=-5(X-80)2+4500,

?「Q=-5<0,

拋物線開口向下，

???50?1100,對稱軸是直線x=80,

.?.當(dāng)x=80時(shí)，唯大值=4500；

即銷售單價(jià)為80元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元；

（2）當(dāng)少=4000時(shí)，

-5（》-80）2+4500=4000,

解得X]=70,x2=90,

由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)70?%90時(shí)，每天的銷售利潤不低于4000元，

.?.銷售單價(jià)x的取值范圍為70,,蒼,90.

【點(diǎn)評】此題題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.

8.（2024?撫州一模）如圖，要建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直放置一根水管，在水管的頂端/安裝一個(gè)

噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為3根處達(dá)到最高，高度為5小，水柱落地處離池中

心8m.

（1）求水管CM的長度；

（2）若在噴水池中豎直放置一盞高為1.8%的景觀射燈跖，且景觀射燈的頂端尸恰好碰到水柱，求景觀射

燈EF與OA之間的水平距離；

（3）現(xiàn)計(jì)劃擴(kuò)建噴水池，升高水管，使落水點(diǎn)與水管之間的距離為10機(jī)，已知水管升高后，噴水頭噴出的

水柱形狀和對稱軸不變，則水管ON要升高多少？

【分析】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,5）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,0）.用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線的解析式，把點(diǎn)8

的坐標(biāo)代入可得二次項(xiàng)的系數(shù)，即可得到拋物線的解析式，取x=0,求得y的值即為水管ON的長度；

（2）取y=1.8,代入（1）得到的拋物線解析式，求得x合適的值，即可求得景觀射燈跖與。/之間的水

平距離；

(3)根據(jù)噴水頭噴出的水柱形狀和對稱軸不變，可得新的拋物線的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，對稱軸與(1)

中的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)和對稱軸完全相同，進(jìn)而把(10,0)代入可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).取x=0,求得水管

頂端與y軸的交點(diǎn)，減去3.2即為水管04要升高的長度.

【解答】解：(1)由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(8,0).

.?.設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-3)2+5(。*0).

把點(diǎn)3的坐標(biāo)代入得：25a+5=0.

解得：a=—0.2.

:.y=-0.2(x-3)2+5.

當(dāng)x=0時(shí)，y=3.2.

水管。4的長度為3.2加；

(2)當(dāng)y=L8時(shí)，1.8=-0.2(無一3爐+5.

0.2(^-3)2-5-1.8.

(無T=16.

解得：%]=7,x2=—1(不合題意，舍去).

景觀射燈EF與ON之間的水平距離為7m.

答：景觀射燈EF與04之間的水平距離為7m.

(3)設(shè)升高水管后，水柱所在的拋物線的解析式為了=-0.2(》-3)2+肌

經(jīng)過點(diǎn)(10,0),

二.-0.2x49+〃=0.

角牟得：h=9.8.

/.y=—0.2(x—3)2+9.8.

當(dāng)x=0時(shí)，y=8.

.0.8-3.2=4.8(m).

答：水管04要升高4.8冽.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：若所求的二次函數(shù)中有最高點(diǎn)(最低點(diǎn))，一般設(shè)函

數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，求解析式計(jì)算比較簡便.

9.（2024?黔南州一模）如圖1是某公園噴水頭噴出的水柱.如圖2是其示意圖，點(diǎn)。處有一個(gè)噴水頭，距

離噴水頭8加的"處有一棵高度是2.3加的樹，距離這棵樹10加的N處有一面高2.2加的圍墻（點(diǎn)。，M,N

在同一直線上）.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知澆灌時(shí)，噴水頭噴出的水柱的豎直高度>（單位:

加）與水平距離x（單位：加）近似滿足函數(shù)關(guān)系>+6x+c（a<0）.

某次噴水澆灌時(shí)，測得x與y的幾組數(shù)據(jù)如下:

X02610121416

y00.882.162.802.882.802.56

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系式.

（2）判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹，并請說明理由.

（3）在另一次噴水澆灌時(shí)，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系

了=-0.04/+法.假設(shè)噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，求出6所滿足的關(guān)系式.

【分析】（1）依據(jù)題意，由表格中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）依據(jù)題意，把x=8代入（1）中解析式求出y的值與2.3比較即可；

（3）根據(jù)題意可知當(dāng)x=8時(shí)y>2.3,當(dāng)x=18時(shí)y<2.2以及對稱軸直線x<9即可求出6的范圍.

【解答】解：（1）由題意，根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為了="2+法，

4。+2b=0.88

把x=2,y=0.88和x=6,y=2.16代入了=辦2+6x得:

36。+66=2.16

a=—0.02

解得

b=0.48

拋物線解析式為v=-0.02x2+0.48%；

(2)由題意，當(dāng)x=8時(shí)，>=-0.02x82+0.48x8=2.56.

2.56>2.3,

噴水頭噴出的水柱能越過這棵樹;

(3)???噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹,

.?.當(dāng)x=8時(shí)，y>2.3,

即-0.04x82+86>2.3，

400

???噴水頭噴出的水柱不會(huì)澆到墻外,

.,.當(dāng)x=18時(shí)，y<2.2,

解-0.04x18?+186<2.2，

450

b

拋物線對稱軸為工=------

2x(-0.04)2x0.04

???噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外,

二.對稱軸所在直線在圍墻與噴水頭中點(diǎn)的左側(cè).

b3=9,

2x0.04

,6<身.

25

，空＜6〈竺.

40025

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

10.(2024?衢州一模)綜合與實(shí)踐

矩形種植園最大面積探究

情境實(shí)踐基地有一長為12米的墻MN,研究小M中N

BA

組想利用墻MN和長為40米的籬笆，在前

面的空地圍出一、個(gè)面積最大的矩形種植

-------------------ID

園.假設(shè)矩形一邊C〃=x,矩形種值園的面c?

圖1

積為S.

____________________________________B(M)NA

分析要探究面積s的最大值，首先應(yīng)將另一邊：：

3c用含x的代數(shù)式表示，從而得到S關(guān)于:：

CD

x的函數(shù)表達(dá)式，同時(shí)求出自變量的取值范圖2

圍，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出最值.

探究思考一：將墻的一部分用來替代籬笆

按圖1的方案圍成矩形種植園（邊為墻

的一部分）

思考二：將墻"N的全部用來替代籬笆

按圖2的方案圍成矩形種植園（墻為邊

AB的一部分）

解決問題（1）根據(jù)分析，分別求出兩種方案中的S的最大值：比較并判斷矩形種植園的面積最

大值為多少.

類比應(yīng)用（2）若“情境”中籬笆長為20米，其余條件不變，請畫出矩形種植園面積最大的方案

示意圖（標(biāo)注邊長）.

【分析】（1）按兩種思路，由矩形面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，然后比較即可;

（2）按兩種思路，由矩形面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，然后比較即可.

【解答】解：(1)思路1：設(shè)CD=x,則3C=竺二土，

2

40-r11

:.S=x---------=——x2+20%=——(x-20)2+200,

222

<0?0<12,

.?.當(dāng)x=12時(shí)，Smax=16S；

40-I-1?-?r

思路2：T§：AB=CD=X,貝ijAD=BC=-^----------=26-x,

2

S=x(26-x)=-x2+26x=—(X-13)2+169,

??,121,大,26,

.?.當(dāng)x=13時(shí)，Ss=169,

???169>168,

.?.矩形種植園面積最大為169/；

（2）圖示如下：

5m

C\__________________D

10m

同(1)可分別求得：

思路l：???C0=x,則5C=AD=--------,

2

.?.S=x.^^=--x2+10x=--(x-10)2+50，

222

,/0<x,,12,

.?.當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，最大值為50；

思路2：■,■CD=x,則3C=AD=---------=16-x,

2

，S=x-(16r)=f2+i6x=-(x—8)2+64,

v-1<0?12,x,16,

.?.當(dāng)x=12時(shí)，S有最大值，最大值為48,

50>48,

矩形種植園面積最大為50加，此時(shí)CD=10加，AD=BC=5m.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

11.（2024?湖北模擬）如圖1,公園草坪的地面。處有一根直立水管，噴水口可上下移動(dòng)，噴出的拋物線形

水線也隨之上下平移，圖2是其示意圖.開始噴水后，若噴水口在。處，水線落地點(diǎn)為/,OA=4m；若

噴水口上升1.5加到尸處，水線落地點(diǎn)為8,OB=6m.

圖1圖2

（1）求水線最高點(diǎn)與點(diǎn)3之間的水平距離；

（2）當(dāng)噴水口在尸處時(shí)，

①求水線的最大高度；

②身高1.5加的小紅要從水線下某點(diǎn)經(jīng)過，為了不被水噴到，該點(diǎn)與。的水平距離應(yīng)滿足什么條件？請說明

理由.

【分析】(1)以08所在的直線為X軸，OP所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.易得噴水口在。處的

拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(4,0),那么可得拋物線的對稱軸，結(jié)合點(diǎn)2的坐標(biāo)可得水線最高點(diǎn)與點(diǎn)B之間的水平

距離；

(2)①根據(jù)拋物線上下平移，對稱軸不變以及經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)3求得當(dāng)噴水口在尸處時(shí)的水線所在的拋物線

的解析式，水線的最大高度即為對稱軸與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)到x軸的距離；

②取y=L5,代入①得到的拋物線解析式，求得對應(yīng)的x的值，即可判斷出為了不被水噴到，該點(diǎn)與。的

水平距離應(yīng)滿足什么條件.

【解答】解：以03所在的直線為x軸，OP所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

.,.點(diǎn)O坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)/坐標(biāo)為(4,0).

，所得拋物線的對稱軸為：直線x=2.

OB=6,

.?.點(diǎn)3的坐標(biāo)為(6,0).

水線最高點(diǎn)與點(diǎn)B之間的水平距離為：6-2=4(/〃)；

(2)①設(shè)噴水口在尸處時(shí)，噴出的拋物線形水線的解析式為了=辦2+隊(duì)+以。W0).

V經(jīng)過點(diǎn)尸(0,1.5),5(6,0),對稱軸與過點(diǎn)0的拋物線的對稱軸相同，

c=1.5

-2=2.

2a

36a+6b+c=0

解得：＜6=」.

2

c=1.5

,11-

..y=—x2H—x+1.5.

82

.,.當(dāng)％=2時(shí)，y=2.

答：水線的最大高度為2次；

②當(dāng)歹=1.5時(shí)，

1.5=--x2+-X+1.5.

82

—x2-—X=0.

82

-4）=0.

..石—0,%2=4.

為了不被水噴到，該點(diǎn)與。的水平距離尤應(yīng)滿足0<x<4.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：在同一個(gè)拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x-y）,（x2,

y）,那么該拋物線的對稱軸為：直線》=五七三；拋物線上下平移，對稱軸不變.

2

12.（2024?碑林區(qū)校級模擬）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦讓更多的人參與到了冰雪運(yùn)動(dòng)中來！

如圖①是某處滑雪大跳臺(tái)的實(shí)景圖，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，其中。C段可以近似的看作拋物線:

y=X，6）的一部分，AD//x軸，點(diǎn)3在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，且8。=1.某滑雪愛好

者在一次滑雪比賽中沿斜坡加速至8處騰空而起，近似地沿拋物線8跖運(yùn)動(dòng)，在空中完成翻滾動(dòng)作，

著陸在DC段上，已知當(dāng)他運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)，達(dá)到離地面的最大高度為9米.

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_（0,5）_；

（2）求該滑雪愛好者騰空后的拋物線（8旗）的表達(dá)式；

（3）若此次滑雪評分細(xì)則規(guī)定：當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度與。C段之間的豎直最大距離不少于6米時(shí)，則該運(yùn)

動(dòng)員在“騰空高度分”就可以給滿分.請通過計(jì)算說明該滑雪愛好者的“騰空高度分”是否能得到滿

1^?圖②

【分析】（1）先求出。點(diǎn)坐標(biāo)，再求出B點(diǎn)坐標(biāo);

（2）用待定系數(shù)法求解析式即可;

(3)設(shè)拋物線(BEb)上一點(diǎn)P,作PQ//y軸，交拋物線(DC)于。，設(shè)P(",-〃/+4加+5),則

從而得出尸0=-^(小-1>+罟，由函數(shù)性質(zhì)求出P0的最大值與6比較即可.

【解答】解：(1)BD=\,

.,.當(dāng)x=l時(shí)，j^=—xl2-—xl+—=5,

-555

..0(1,5),

則3(0,5),

故答案為：(0,5)；

(2)由題意知，頂點(diǎn)E為(2,9),

設(shè)拋物線(BEF)的表達(dá)式為y=a(x-2)2+9,

把8(0,5)代入了=°(；1一2)2+9得，5=ax(0-2>+9,

解得a=-l,

拋物線(B￡F)的表達(dá)式為y=-(x-2)2+9=+4x+5；

(3)設(shè)拋物線(3即)上一點(diǎn)尸，作P。//〉軸，交拋物線(DC)于0,

1102二

設(shè)P(冽，一加2+4加+5),貝!J°(加■冽之一《刃+工_),

s―21236632116/8$57

/.PQ=-m+4m+5——mHm---=——m2H-----m---=——(m——)H-----,

555555539

當(dāng)加=?時(shí)，PQ最大,最大值為“，

39

工6,

9

.?.該滑雪愛好者的“騰空高度分”能得到滿分.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是關(guān)鍵.

13.(2024?蘭州模擬)如圖1,從遠(yuǎn)處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上,

它采用疊合梁拱橋方案設(shè)計(jì).深安黃河大橋主拱形。/8呈拋物線狀，從上垂下若干個(gè)吊桿，與橋面相連.如

圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，吊桿CD到原點(diǎn)。的水平距離OC=26加，吊桿昉到原點(diǎn)。的水平距離

0￡=134/7?,且C0=M,主拱形離橋面的距離與水平距離x（〃?）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系

y=-0,006(%-hf+k,其對稱軸為直線x=h.

（1）求OH的長度；

（2）求主拱形到橋面的最大高度的長.

圖1圖2

【分析】（1）因?yàn)?c=26加，OE=134m,且CD=EF,所以其對稱軸為直線x=型包，可得的長;

2

（2）將（1）求得〃的值代入該二次函數(shù)，已知對稱軸，可得2點(diǎn)坐標(biāo)，將3點(diǎn)代入該二次函數(shù)，解得左的

值，可得該二次函數(shù)的表達(dá)式，可得主拱形到橋面的最大高度的長.

【解答】解：（1）由題意得，其對稱軸為直線x=134+26=go,即〃=80,OH=80m,

2

答：07/的長度為80〃？；

(2)?.?/?=80,

y=—0.006(%—80)~+k,

?.?直線x=80是其對稱軸，

.-.5(160,0),

將8點(diǎn)代入函數(shù)V=-0.006(X-80)2+k,

得，一0.006(160-80)2+笈=0,

解得：k=38.4,

.?.y=-0.006(x-80)2+38.4,

^(80,38.4),即4H=38.43,

答：主拱形到橋面的最大高度/〃的長為38.4加.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對稱軸.

14.（2024?安陽模擬）大學(xué)生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進(jìn)價(jià)為30元/件,

經(jīng)過一段時(shí)間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會(huì)因售價(jià)的調(diào)整而不同.若設(shè)每月的銷售量為y件，售價(jià)為x元

/件，每月的總利潤為。元.

（1）當(dāng)售價(jià)在40-50元/件時(shí)，每月的銷售量都為60件，則此時(shí)每月的總利潤最多是多少元？

（2）當(dāng)售價(jià)在50-70元/件時(shí)，每月的銷售量與售價(jià)的關(guān)系如圖所示.小麗決定每賣出一件商品就向福利

院捐贈(zèng)加（加為整數(shù)）元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計(jì)算機(jī)的最小值是多少，

【分析】（1）根據(jù)總利潤=單件的利潤x銷售量求解即可；

（2）首先求出當(dāng)售價(jià)在50,,%70元時(shí)每月銷售量與售價(jià)的關(guān)系式，再根據(jù)小麗每月獲利仍隨x的增大而增

大，求出加的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【解答】解：（1）當(dāng)售價(jià)在40,,為50元時(shí)，總利潤。=60（x-30）=60x-1800,

60>0,

.?.當(dāng)x=50時(shí)，總利潤最多，為60x50—1800=1200（元），

每月的總利潤最多是1200兀；

（2）當(dāng)售價(jià)在50”4,70元時(shí)，設(shè)每月銷售量>=履+6,

]50左+6=60

70左+6=20'

二.每月銷售量y=-2x+160（50,,70）,

.?.每月的總利潤

口=(%-30-m)(-2x+160)=-2x2+220x-4800+2mx-160m=-2x2+(220+2m)x-4800-160m,

，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-220+2〃，=55+-,

2x(-2)2

???-2<0,且要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大,

YYI

55H—...70t

2

解得防..30，

：.m的最小值是30,

止匕時(shí)co=-2x2+280x-9600=-2(x-70)2+200,

.?.當(dāng)x=70時(shí)，。取得最大值，最大值為200元，

??.加的最小值是30,此時(shí)售價(jià)為70元時(shí)，她每月獲利最大.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題意，列出函數(shù)關(guān)系式.

15.(2024?許昌一模)如圖，某市青少年活動(dòng)中心的截面由拋物線的一部分和矩形組成，其中04=20米，

OC=7米，最高點(diǎn)尸離地面的距離為9米，以地面O/所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角

坐標(biāo)系.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)暑期來臨之際，該活動(dòng)中心工作人員設(shè)計(jì)了6米長的豎狀條幅從頂棚拋物線部分懸掛下來(條幅的寬

可忽略不計(jì))，為了安全起見，條幅最低處不能低于地面上方2米.設(shè)條幅與OC的水平距離為小米，求出加

的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出3，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求

出函數(shù)解析式即可；

(2)求出>=8時(shí)的x的值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?矩形CM5C,。4=20米，。。=7米，

.?./2=7米，3c=20米，

C(0,7),5(20,7),

二.拋物線的對稱軸為X=上3=10，

2

/.尸(10,9),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-10)2+9,把C(0,7)代入，得：?(0-10)2+9=7,

解得：a=---,

50

1,

y=——(X-10)2+9；

50

(2)由題意，當(dāng)>=6+2=8時(shí)：—10)2+9=8,

解得:x,=10+572,%2=10-572,

當(dāng)y..8時(shí)，10-5及VxVlO+5夜，

.-.10-5V2<m<10+5V2.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

16.(2024?合肥模擬)為了豐富學(xué)生的課余生活，加強(qiáng)同學(xué)們戶外鍛煉的意識(shí)，學(xué)校舉辦了排球賽.如圖,

已知學(xué)校排球場的長度。。為18米，位于球場中線處球網(wǎng)的高度N8為2.24米，一隊(duì)員站在點(diǎn)。處發(fā)球，

排球從點(diǎn)。的正上方1.7米的點(diǎn)C向正前方做拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)排球運(yùn)行至離點(diǎn)。的水平距離OE為5米時(shí)，

到達(dá)最高點(diǎn)G,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)這名隊(duì)員發(fā)球后，當(dāng)球上升的最大高度為3.7米時(shí)，他此次發(fā)球是否會(huì)過網(wǎng)？請說明理由；

(2)在(1)的條件下，對方距球網(wǎng)1米的點(diǎn)尸處站有一隊(duì)員，她起跳后夠到的最大高度為2.02米，則這

次她是否可以攔網(wǎng)成功(假設(shè)她夠到球一定攔網(wǎng)成功)？請通過計(jì)算說明.

Ay(米)

G

C：

----------------!——1-1----------1---------->

°EAFD米)

【分析】(1)根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3.7),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)2+3.7,把C(0,1.7)代

入解析式計(jì)算即可.

(2)根據(jù)題意，當(dāng)x=9+l=10時(shí)，求對應(yīng)的函數(shù)值,與在2.02米比較，計(jì)算解答即可.

【解答】解：(1)他此次發(fā)球會(huì)過網(wǎng)，理由如下：

根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3.7),

設(shè)拋物線的解析式為y^a(x-5)2+3.7,

把C(0,1.7)代入解析式，得1.7=。(0-5)2+3.7,

解得”—稅.

25

2

y=—-—(x-5)~+3.7.

OD=18,點(diǎn)/為。。中點(diǎn)，

OA=9.

將X=9代入解析式得，7=-—(9-5)2+3.7=2.42.

2.42>2.24,

他此次發(fā)球會(huì)過網(wǎng).

(2)這次她可以攔網(wǎng)成功；理由如下：

OF=OA+AF=9+\=\0(米).

2

把x=9+l=10代入>=-石(工一5)2+3.7,

得y=1.7,

??-2.02>1.7,

故她可以攔網(wǎng)成功.

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的應(yīng)用，熟練掌握頂點(diǎn)式拋物線解析式的確定，把生活問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大

小比較是解題的關(guān)鍵.

17.(2024?焦作一模)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

素材2為迎接龍年春節(jié)，擬在圖1正□

門拋物線形拱上懸掛直徑為

加的燈籠，如圖3.為了美觀，

圖3

要求懸掛燈籠的數(shù)量為雙數(shù)，

且平均分布，間隔在

0.8-1.5機(jī)之間.

問題解決

任務(wù)1確定拋物線形拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表

達(dá)式.

任務(wù)2探究懸掛數(shù)量給出符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量.

任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)你建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的

橫坐標(biāo).

【分析】任務(wù)1.以3C所在的直線為x軸，8c的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為:

y=ax2+k(a^O),把點(diǎn)￡、。的坐標(biāo)代入可得a和后的值，即可得到拋物線的解析式；

任務(wù)2.若有x盞燈籠，則有(x+1)個(gè)間隔，根據(jù)間隔的總長度列出不等式，即可求得x的取值范圍，進(jìn)而

可得x的值；

任務(wù)3.最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)=點(diǎn)/的橫坐標(biāo)+燈籠之間的間隔+燈籠的半徑長，把相關(guān)數(shù)值代

入計(jì)算即可得到最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【解答】解：任務(wù)1.如圖，以3c所在的直線為x軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

A

E______

AMD

12cm

^1<0c

10cm

??,正門是由一個(gè)矩形和一個(gè)拋物線形拱組成的軸對稱圖形，矩形的寬為10羽,高為12優(yōu)，拋物線形拱的高為

2m.

二.拱頂E的坐標(biāo)為(0,14),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,12).

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+k(a0).

卜=14

-125。+左二12?

'__2_

解得：?="25.

左二14

22

..y-.......x+1144；

25

任務(wù)2.

設(shè)燈籠數(shù)量有x盞，那么間隔有(x+l)個(gè).

0.8(%+1)?10-x?1.5(x+l).

解得：31?X,,5：.

???懸掛燈籠的數(shù)量為雙數(shù)，

燈籠數(shù)量為4個(gè)；

任務(wù)3.

?.?燈籠數(shù)量有4個(gè)，

燈籠之間的間隔有5個(gè).

?.?矩形的寬為10m,每個(gè)燈籠的直徑為1m.

燈籠的半徑是0.5m,每個(gè)間隔的長度為：空1=1.2(加).

由題意得：點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為-5,

.?.最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；-5+1.2+0.5=-3.3.

答：最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3.3.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.根據(jù)生活常識(shí)得到若在大門掛燈籠，有x個(gè)燈籠就有(x+1)個(gè)間隔是解

決本題的易錯(cuò)點(diǎn).

18.(2024?邯鄲模擬)圖1是兩層噴泉景觀的效果圖，圖2是其示意圖，兩層噴泉落在直徑為4優(yōu)的圓內(nèi)，

噴泉的水流均看作拋物線的一部分，下層噴泉G的噴水口設(shè)在圓心。處，落地點(diǎn)與圓心O的水平距離為2/，

水流的最高點(diǎn)距離地面加；上層噴泉的噴水口設(shè)在圓心。的正上方，且水流經(jīng)過下層噴泉水流的最高點(diǎn)，

以圓心為原點(diǎn)，過圓心的一條水平線為x軸，中心線/為y軸建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)水流的

高度為y(單位：m),水流距離中心線的水平距離為x(單位；m).

（1）求圖3中下層噴泉所對應(yīng)拋物線G