專題12相似三角形四種模型

壓軸題密押

通用的解題思路:

題型一：相似三角形基本模型（才字型）

【方法點撥】基本模型:

X字型（平行）反X字型（不平行）

題型二：相似三角形基本模型（A字型）

【方法點撥】基本模型：

A字型（平行）反A字型（不平行）

題型三：相似基本模型（/字型（一線三等角））

【方法點撥】基本模型:

如圖1,N廬/年/瓦班推出△，應(yīng)叨（一線三等角）

如圖2,/斤/年//龐推出△力初sZ\〃E（一線三等角）

如圖3,特別地，當(dāng)〃時比1中點時：叢BDEsADFEs叢CFD捱&ED平■分4BEF,FD平■分/EEC.

題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））

【方法點撥】基本模型:

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.

壓軸題預(yù)測

題型一：相似三角形基本模型（乃字型）

1.（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架4）與CB交于點O,

測得AO=3O=50cm,CO=DO=30cm.

（1）若CD=40。"，求AB的長；

（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度N4O3=106。，求至距離地面的高.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值

sin37°?0.60，cos370工0.80）

圖1圖2

2.（2024?西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測儀他從

觀測出發(fā)點A觀測深坑底部P,且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點E,在深坑右側(cè)用觀測儀CD從測出發(fā)點C

觀測深坑底部尸，且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點F,點3,E,F,。在同一水平線上.已知

CDVEF,觀測儀AB高2加，觀測儀CD高bn,BE=1.6m,FD=0.8m,深坑寬度EF=8.8相，請根據(jù)以

上數(shù)據(jù)計算深坑深度多少米？

P

3.(2024?常州模擬)圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭AC發(fā)出的光線CE平行于直線經(jīng)凸透鏡MN折

射后,過焦點F,并與過凸透鏡中心O的光線CO交于點D,從而得到像.其中，物距49=〃，像距BO=v,

焦距=四邊形AOEC是矩形，DB±AB,MNLAB.

(1)如圖2,當(dāng)蠟燭AC在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即"=;'，請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明此時“不成像”;

(2)若蠟燭AC的長為5c加，物距〃=15cm,焦距/=10S,求像距v和像5D的長.

4.(2023?浙河區(qū)校級三模)綜合與實踐

瑩瑩復(fù)習(xí)教材時，提前準(zhǔn)備了一個等腰三角形紙片ABC,如圖，AB=AC=5,BC=6.為了找到重心，

以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點5與點C重疊對折，得折痕AE,展開后，她把點3與點A

重疊對折，得折痕DF,再展開后連接CD,交折痕AE于點O,則點O就是AABC的重心.

教材重現(xiàn)：

如圖4-15,用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片.你知道怎樣確定這個點的位置嗎？

在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線如圖

4-16,AE是AABC的5c邊上的中線.

圖4-15

讓我們先看看三角形的中線有什么特點.

?圖4—16????

(1)初步觀察：

連接AF,則■與所的數(shù)量關(guān)系是：；

(2)初步探究：

請幫助瑩瑩求出AAOC的面積；

(3)猜想驗證；

瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現(xiàn)。4=2OE,CO=2OD.她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由；

(4)拓展探究：

瑩瑩把AAFC剪下后得△A尸。，發(fā)現(xiàn)可以與A/W拼成四邊形，且拼的過程中點A，不與點A重合,

直接寫出拼成四邊形時OT的長.

5.（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，AB是。。的直徑，04=3.動點P從點A出發(fā)，在上沿順時針方向運

動到終點3,速度為每秒萬個單位.同時動點。從點3出發(fā)，在上沿順時針方向運動，速度為每秒3萬

個單位.當(dāng)點尸到達終點時，點。也隨之停止運動.連結(jié)OP、OQ.設(shè)點P的運動時間為/秒.

（1）的周長為;

（2）當(dāng)點尸與點。重合時，求AP所在的扇形的面積；

（3）當(dāng)OPJLO。時，求力的值；

（4）作半徑O尸的垂直平分線交于點“、N,連結(jié)尸Q.當(dāng)尸。將線段分成1:2的兩部分時，直接

寫出f的值.

Q

6.(2023?海曙區(qū)校級三模)如圖1,在菱形ABCD中，AB=2石，點尸是對角線SD上的動點，。。是

圖1圖2

(1)如圖2,當(dāng)時，求證：BC是0。切線；

(2)延長AP交射線3c于點。.

①如圖3,若成為OO直徑，求C。的長；

4P

②如圖4,若點。、A、。三點共線，求絲的值;

PQ

(3)當(dāng)0<x<4時，直接寫出r與x的函數(shù)關(guān)系式:

7.(2024?廬江縣一模)已知：如圖，AD4B和AEBC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,且點A、

B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED,AE與BD交于點F.

(1)求證：DF-BC=BF-AB；

(2)若DF=CE,求變的值.

BD

8.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模)四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AC是。。的直徑,連結(jié)BD交AC于點G,AF1BD,

垂足為E.

圖1圖2

(1)如圖1,若AF交3c于點尸.

①求證：ZBAF=ZCAD；

4

②若O。的直徑為10,cosZBCA=~,BF:CG=3:5,求"'的長.

(2)如圖2,若AF交CD于點尸，連結(jié)若OD//AB,AE=#,DF=2CF,求的直徑.

9.(2023?谷城縣模擬)在AABC和AEDB中，NC=NEBD=90°,ZBAC=ZBED=a點。在線段AC上.

圖⑴圖⑵圖⑶

(1)【特例證明】如圖(1),當(dāng)々=30。時，ED±AB,證明:AE±AC；

(2)【類比探究】如圖(2),當(dāng)&W30。，點D是線段AC上任一點時，證明:

①ABDFsAEAF；

②AE_LAC；

4/7Q

(3)【拓展運用】如圖(3),當(dāng)&二45。時，——=—,AE=\2,求長.

BF5

10.（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形/WC。是正方形，點E為CD邊上一點（不與

端點重合），連接BE，作點D關(guān)于BE的對稱點D',DD'的延長線與BC的延長線交于點F,連接BD,D'E.

①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點E在CD上移動時，ABCE=ADCF.并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完

整.

證明：延長延交加于點G.

②進一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點〃與點尸重合時，ZCDF=°.

（2）【類比遷移】如圖②，四邊形ABCD為矩形，點E為CD邊上一點，連接助，作點。關(guān)于盛的對稱

點、D,9的延長線與3c的延長線交于點P,連接3D,CD',D'E.當(dāng)CDUDF,AB=2,BC=3時，

求CD的長；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形ABCD為菱形，ADf,AC=2,點尸為線段上一動點，將

線段4）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點E落在菱形的邊上（頂點除外）時,如果DF=EF,

請直接寫出此時OF的長.

圖②

圖①圖③圖③備用圖

11.(2023?羅湖區(qū)二模)如圖1,已知：AABC內(nèi)接于圓O,AB=AC,連接AO并延長，交于點O.

AAA

(^)c

?c

圖1圖2圖3

(1)求證：AD±BC；

(2)如圖2,過點3作BE_LAC于點E,交圓。于點P,交AD于點G,連接AT、CF,求證：AG=AF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DE,CF=5,AF=3卡，求DE的長.

題型二：相似三角形基本模型（A字型）

1.（2023?無錫）如圖，AB是OO的直徑，F(xiàn)D為OO的切線，CD與相交于點E.DF//AB,交C4的

延長線于點/，CF=CD.

（1）求NF的度數(shù)；

（2）^DEDC=8,求O。的半徑.

2.（2024?武威一模）己知：如圖，點。在三角形ABC的邊AB上，DE交AC于點E,ZADE=ZB,點、F

在AD上，且

#'T/1、AZ)AE

求證：(I)——=——

ABAC

(2)AAEF^AACD.

3.（2024?武漢模擬）如圖，°。是AA5c的外接圓，AB^AC,DA,DC是。。的切線，切點分別為A,

C.

（I）求證：AABC^ADAC；

（2）連接OD,與AC交于點尸，連接B尸，BD,若02=9,求”的值.

BC4BD

AD

0?

B

4.（2024?巴彥縣一模）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為5根的視力表，但兩面

墻的距離只有3根.在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的

方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計方案新穎，構(gòu)思巧妙.

甲乙

圖例

①CA

鵬FA

1

____1

-1

B，D卜<-------3m--------?

5m----------------?

方案如圖①是測試距離為5%的大視力表,可以用使用平面鏡成像的原理來解決

硬紙板制作一個測試距離為3m的小視力表房間小的問題.如圖，在相距

②.通過測量大視力表中“E”的高度（BC3m的兩面墻上分別懸掛視力

的長），即可求出小視力表中相應(yīng)的“E”表（AB）與平面鏡（MN）,由平

的高度（DF的長）面鏡成像原理，作出了光路圖，

通過調(diào)整人的位置，使得視力

表AB的上、下邊沿A,B發(fā)

出的光線經(jīng)平面鏡MN的上下

邊沿反射后射入人眼C處，通

過測量視力表的全長（AB）就

可以計算出鏡長MN

（1）甲生的方案中如果大視力表中“E”的高是3.50找，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高是多少？

（2）乙生的方案中如果視力表的全長為0.8加，請計算出鏡長至少為多少米.

5.（2024?汝南縣一模）某“綜合與實踐”小組開展測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案,

并利用課余時間完成了實地測量，測量報告如下.

課題測量旗桿的高度

成員組長：XXX

組員：XXX,XXX,XXX

測量皮尺，標(biāo)桿

工具

測量說明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿EF,觀

示意測者沿著直線后退到點。，使眼睛C、

圖標(biāo)桿的頂端E、旗桿的頂端A在同一直線

上.

DF:B

測量觀測者與標(biāo)桿的距離DR觀測者與旗桿的距離標(biāo)桿EF的長觀測者的眼睛離地面

數(shù)據(jù)的距離CD

1m18m2.4m1.6m

問題如圖，過點C作C”_LAB于點H,交EF于點G....

解決

請根據(jù)以上測量結(jié)果及該小組的思路.求學(xué)校旗桿4?的高度.

6.（2024?雁塔區(qū)校級二模）陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識測量教學(xué)樓前一座假山AB的

高度，如圖，亮亮在地面上的點尸處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上.此

時他起身在尸處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點G處，測得FG=2米，亮亮

的身高砂為1.6米.假山的底部5處因有花園圍欄，無法到達，但經(jīng)詢問和進行部分測量后得知，BF=9

米，點￡＞、B、F、G在一條直線上，CD±DG,AB±DG,EF±DG,已知教學(xué)樓CD的高度為16米，

請你求出假山的高度

7.（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測量山坡的護坡石壩壩頂C與壩腳3之間的距離，把一根長為6米的竹

竿AC斜靠在石壩旁，量出竿長1米處距離地面的高度為0.6米，又測得石壩與地面的傾斜角。為72。.求

石壩壩頂C與壩腳3之間的距離.（結(jié)果精確到0」相，參考數(shù)據(jù)：sin72。。0.95,cos72?！?.31,tan72°?3.08）

8.（2024?西安校級模擬）為了測量物體AB的高度，小小帶著工具進行測量，方案如下：如圖，小小在C處

放置一平面鏡，她從點C沿3c后退，當(dāng)退行2米到。處時，恰好在鏡子中看到物體頂點A的像，此時測

得小小眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小小在尸處豎立了一根高1.8米的標(biāo)桿FG,發(fā)現(xiàn)地面上的

點、H、標(biāo)桿頂點G和物體頂點A在一條直線上，此時測得F"為2.6米，DF為3.5米,己知

ED±BH,GF工BH,點、B、C、D、F、〃在一條直線上.請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算AB的高度.

9.（2024?西安校級四模）每到三月就會讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標(biāo)志

性景點，為了測出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計出了下面的測量方法：己知塔前有一4米高的小樹CD,

發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得即=57米，D、E之間有一個花圃無法

測量，然后在E處放置一個平面鏡，沿BE后退.退到G處恰好在平面中看到樹頂C的像，此時EG=2.4米，

測量者眼睛到地面的距離尸G為1.6米，求出塔高

10.（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國魏晉時期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對象全是有關(guān)高與

距離的測量，因首題測算海島的高、遠，故而書名由此而來，它是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)著作，亦為地

圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺

一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈（30尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯

文如下：現(xiàn)在要測量谷的深度AK,拿一個高AG為6尺的“矩尺”（NG4H）仰放在岸上，從G處望向谷

底LK（H在LG上）,下股A以為9.1尺，在K4的延長線上重新放置“矩尺”（NEBC）,其中3E=AG=6尺，

AB=30尺，從E處望向谷底LK（C在比上），下股3C為8.5尺，求谷軌的深度.（已知NG4”=90。、

ZEBC=90°、ZAKL=90°）

11.（2024?河南一模）“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望.觸類而長之，則雖幽

遐詭伏，靡所不入”就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差.

—劉徽《九章算術(shù)注?序》

某市科研考察隊為了求出某海島上的山峰AB的高度，如圖，在同一海平面的。處和尸處分別樹立標(biāo)桿CD

和跖，標(biāo)桿的高都是5.5米，DF兩處相隔80米，從標(biāo)桿CD向后退H米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)

桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿。向后退13米的H處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上.求

山峰AB的高度及它和標(biāo)桿CD的水平距離.

注：圖中各點都在一個平面內(nèi).

12.（2023?益陽）如圖，在RtAABC中，ZACB=9Q°,AC>3C,點。在邊AC上，將線段ZM繞點。按

順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA,線段DT交AB于點E,作AP，于點F,與線段AC交于點G,連接FC,

GB.

（1）求證：AADE三△AOG；

(2)求證：AFGB=AGFC；

，當(dāng)4G平分四邊形。CBE的面積時，求AD的長.？

13.（2024?沐陽縣校級模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直

角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進行了研究.如圖①，已知AA5c和AADE均為等腰直角三角形，點D,E分別在線

段AB,AC上，S.ZC=ZAED=90°.

（1）觀察猜想小華將AADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接班），CE,設(shè)的延長線交CE于點尸，如圖②,

當(dāng)點E與點尸重合時：

①處的值為;

CE-----

②N3WC的度數(shù)為度；

（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)AADE,連接BD,CE,（1）中的兩個結(jié)論是否仍

然成立？請說明理由；

（3）拓展延伸：若AE=DE=也,AC=BC=71O,當(dāng)CE所在的直線垂直于"）時，直接寫出班）的長.

14.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形ABCD內(nèi)接于0O,AC是的直徑，連結(jié)交AC于點G,AF±BD,

垂足為E.

圖1圖2

(1)如圖1,若AF交3c于點P.

①求證：ZBAF=ZCAD；

②若。。的直徑為10,cosZBC4=1,BF:CG=3:5,求AF的長.

(2)如圖2,若AF交CD于點P,連結(jié)OD,若OD"AB,AE=下,DF=2CF,求的直徑.

15.(2024?黃埔區(qū)一模)如圖,在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,AB=43AD,AG=6AE.矩

形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接3G,CF,AC,AF.

(1)求證：AABG^AACF；

(2)當(dāng)CE的長度最大時，

①求3G的長度；

②在AACF內(nèi)是否存在一點尸，使得CP+4P+6P尸的值最小？若存在，求CP+AP+若P尸的最小值；若

不存在，請說明理由.

備用圖

題型三：相似基本模型（｛字型（一線三等角））

1.（2022?郴州）如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,3C=6.點E是線段AD上的動點（點E不與點A,

。重合），連接CE,過點￡作防，?！?交AB于點F.

（1）求證：AAEFSADCE；

（2）如圖2,連接CF,過點5作3GLCF,垂足為G,連接AG.點M是線段3c的中點，連接GM.

①求AG+GM的最小值；

②當(dāng)AG+GM取最小值時，求線段DE的長.

（圖2）

2.（2024?太白縣一模）為完成社會實踐活動，曉玲打算去測量大雁塔南廣場上佇立著的玄奘雕塑.曉玲自

制了一個矩形紙板CDEF，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端A在DC的延長線上，并在頂點C處

懸掛一個鉛錘恰好交DE于點測得點C到雕塑?的距離CH為6〃z,CD=0.5m,DM=Q.6m,

點C到地面3E的距離為加，AB//CM,ABYBE,CHLAB于點、H,所有點都在一個平面內(nèi)，請求出

玄奘雕塑的高

A

BE

3.（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1,點3,C,。在同一直線上，NB=ZACE=ND,求證:

AABC^ACDE；

【問題探究】（2）在（1）條件下，若點C為皿的中點，求證：AC2=ABAE；

【拓展運用】（3）如圖2,在AABC中，NS4c=90。，點。是AABC的內(nèi)心、若04=2夜，OB=^2OC,

則BC的長為____.

C

圖1

4.（2023?浦橋區(qū)校級四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊AA5c中，AB=9,D為BC三等分點、（BD<CD）,

連接距，在右側(cè)作/4DE=60。，求?IE的長；

問題解決：（2）如圖②，在矩形場地ABCD中，AB=300米，3c=400米，AC為對角線，現(xiàn)在要在3c邊

上設(shè)置一個門，在AC上安裝一個掃描儀器，該掃描儀的范圍為a（即ZBEV=e）,經(jīng)過測試將掃描范圍設(shè)

置為sincr=3時，效果最佳，以A、F、C、O四點為頂點搭建一個帳篷，則將掃描儀石放置距離。多長

5

距離時，四邊形AFCD面積最大，最大面積為多少？

圖①圖②

5.（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩

個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點。，點。又是正方形4耳。。的一個頂點，交口于

點E,OG交3C于點尸，則AE與■的數(shù)量關(guān)系為；

【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線機、〃經(jīng)過正方形A3CD的對稱中心O,直線機分別

與AD、BC交于點E、F,直線”分別與AB、CD交于點G、H,S.m±n,若正方形ABCD邊長為8,

求四邊形OE4G的面積；

【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形MCD的邊8上，頂點E

在3C的延長線上，且3C=6,CE=2.在直線跖上是否存在點尸，使AAPR為直角二角形？若存在，求

出的的長度；若不存在，說明理由.

6.（2024?濱?？h一模）【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為邊上一點，連結(jié)DE,過點E作

交BC于，點F.易證：MED^ABFE.（不需要證明）

【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AS邊上一點，連結(jié)DE,過點E作砂，Z）E交BC于點尸.

（1）求證：AAED^^BFE.

（2）若AB=10,AD=6,E為鉆的中點，求■的長.

【應(yīng)用】如圖③，在AABC中，ZACB=9Q°,AC^BC,AB=4.E為筋邊上一點（點E不與點A、B

重合），連結(jié)CE,過點E作NCEF=45。交BC于點F.當(dāng)ACEF為等腰三角形時，3E的長為.

Dr------------------1CD------------------------------.C

口；Z

AEBAEBAE

圖①圖②圖③

7.(2023?武漢模擬)點C在AB的延長線上，且4MB=ZDBE.

(1)如圖(1),若NC=NA,求證：ADAB^ABCE；

(2)如圖(2),若CEUAD,ZC=45°,若后AB,則旦之的值為—；（直接寫出）

B(

AHf—

(3)如圖(3),連接AE,若ADABSADBE,—=①，求證：AE=2BD.

AD

ABCABCAB

(1)(2)(3)

8.（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：

在綜合實踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動.如圖①，四邊形ABCD和四邊形EFGH都

是正方形，邊長分別是12和13,將頂點A與頂點E重合，正方形瓦G耳繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接班

初步探究：

（1）試猜想線段所與的關(guān)系，并加以證明；

問題解決：

（2）如圖②，在正方形石網(wǎng);”的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點F恰好落在BC邊上時,連接CG,求線段CG的長;

（3）在圖②中，若FG與DC交于點請直接寫出線段的長.

H

B^CBFC

圖①圖②?

9.（2023?商丘二模）綜合與實踐

【動手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AB=6,AD=5.先將矩形ABCD對折，使2C與"）

重合，折痕為MN,沿MN剪開得到兩個矩形.矩形AWk）保持不動，將矩形MBCN繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn),

點N的對應(yīng)點為N'.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點C與點。重合時，MN'交AD于點、E,BC交MN于點、F,此時兩個矩形

重疊部分四邊形的形狀是,面積是；

（2）如圖③，當(dāng)點N落在?1D邊上時，3c恰好經(jīng)過點N,N'C與DN交手點、G,求兩個矩形重疊部分四

邊形MN'GN的面積；

【引申探究】（3）當(dāng)點V落在矩形4W7VD的對角線所在的直線上時，直線NC與直線ZJN交于點G,

請直接寫出線段DG的長.

圖①圖②圖③備用圖

10.（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在AABC中，AB=AC,點。是邊BC中點，在邊■上取一點E,使

得DE=DB,延長團交AC延長線于點尸.

(1)求證：ZA=ZCDF；

（2）設(shè)AC的中點為點O,

①如果CD為經(jīng)過A、C、。三點的圓的一條弦，當(dāng)弦CD恰好是正十邊形的一條邊時，求CF:AC的值;

3

②OM經(jīng)過C、D兩點，聯(lián)結(jié)MF,當(dāng)NOEM=90。，AC=1O,tanA=—時，求O”的半徑長.

11.（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這

兩個三角形叫做“共邊全等”.

（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是—；

（2）如圖1,在邊長為6的等邊三角形ABC中，點。在池邊上，S.AD=-AB,點、E、F分別在AC、BC

3

邊上，滿足ABDF和AEZ）廣為“共邊全等”，求CF的長；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+12分別與直線y=x、x軸相交于A、3兩點，點C是03

的中點，尸、。在AAO3的邊上，當(dāng)以尸、B、。為頂點的三角形與APCB“共邊全等”時，請直接寫出

點。的坐標(biāo).

12.（2023?梁溪區(qū)校級二模）如圖，以矩形（MBC的頂點O為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，OC所在直

線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知Q4=3,OC=4,將矩形OABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（

圖1備用圖備用圖

（1）當(dāng)點E恰好落在y軸上時，如圖1,求點E的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點。恰好落在矩形。4BC的對角線上時，求點E的坐標(biāo)；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點M是直線OD與直線3c的交點，點N是直線EF與直線3c的交點，若剛/=’咖,

2

請直接寫出點N的坐標(biāo).

題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））

1.（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用頂點A,點E在線段上，連接EG,DG,

口ABAE

且——=——

ADAG

(1)求證：ZABE=ZADG；

(2)若AB=6,AD=y/15,BE=-BD,求EG的長.

3

G

BC

2.（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1,AA5c和AADE1都是等邊三角形，連接BD,CE.請判

斷血與CB的數(shù)量關(guān)系：.

（2）【類比探究】如圖2,AA5c和AADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接班＞,CE.請

寫出血與CE的數(shù)量關(guān)系：—.

An2

（3）【拓展提升】如圖3,AABC和AADE都是直角三角形，4BC=Z4DE=90。，且一=—=—.連

BCDE4

接BD,CE.

①求叱的值;

②延長CE交50于點尸，交至于點G.求sin/BFC的值

3.（2023?山陰縣模擬）在學(xué)習(xí)鏡面反射后，小明知道了當(dāng)入射光線與鏡面垂直時，反射光線將與入射光線

重合，沿原路返回.他利用此現(xiàn)象設(shè)計了一個測量物體高度的工具.

項目圖例說明

測量工具橫截面圖直角三角形ABC中，ZACB=90°,AB=2AC=2米，點O為AB

I3的中點，在點O處固定一面平面鏡，矩形ACED為支架，在支架

底部安裝輪子，方便移動，支架的高度（包含輪子的高度）CE=0.5

米.

C

DE

測量示意圖在建筑物的頂端N處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板

N大小忽略不計，將測高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面

VE上移動工具，當(dāng)紅外線燈照射到點。處，且反射光線落在白

色紙板上（ONLAB）時，停止移動測高工具.

MDE

待測數(shù)據(jù)的長

在一次實際測量過程中，小明測得測高工具與建筑物的水平距離90=5.5米，請計算建筑物"N的高度（結(jié)

果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)指“L73）.

4.（2023?海城市校級三模）已知：點C、A、。在同一條直線上，ZABC^ZADE^a,線段瓦）、CE交

于點A/.

（1）如圖1,若AB=AC,AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②求NBMC的大?。ㄓ谩瓯硎荆?/p>

（2）如圖2,若AB=3C=fc4C,4）=ED=AAE,則線段或）與CE的數(shù)量關(guān)系為,NBMC=（用

a表不）；

（3）在（2）的條件下，把AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180。，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交于點則NBMC=_（用。表示）.

圖1圖2備用圖

5.（2023?市中區(qū)校級四模）［問題提出］如圖1,在等邊AABC內(nèi)部有一點P,R4=3,PB=4,PC=5,

求NAPB的度數(shù).

［數(shù)學(xué)思考］當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分數(shù)的條件集中起來解決問題.

［嘗試解決］將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到連接PP,則AAP0為等邊三角形.

PP'2+PB2

：.4BPP為___三角形，

的度數(shù)為____.

［類比探究］如圖2,在AABC中,ABAC=90°,AB^AC,其內(nèi)部有一點尸，若R4=2,PB=1,PC=3,

求NAPB的度數(shù).

［聯(lián)想拓展］如圖3,在AABC中,ABAC=90°,NBC4=30。，其內(nèi)部有一點尸，若上4=3,PB=2,PC=4^,

求44PB的度數(shù).

BB

二B］卜J

ACA

圖1圖2圖3

6.（2023?江漢區(qū)校級模擬）如圖，AABC和AADE1都是直角三角形，NABC=NADE=90。，ZBAC=ZDAE.

(1)如圖1,證明：AABD^AACE；

(2)如圖2,延長D3,EC交于點G,O是花的中點，連接GO,證明：OG=OE；

(3)如圖3,若74D=2AB=4,ZBAC=60。，AADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點、B、C、E共線時，直接寫出

的長—.

A

工，

A/

飛彥

圖1圖2圖2

7.(2023?亳州二模)如圖1,在AABD和AACE中，ZBAD=ZCAE,ZABD^ZACE.

圖1圖2

(1)①求證：AABC^AADE；

②若AB=AC,試判斷AADE的形狀，并說明理由;

(2)如圖2,旋轉(zhuǎn)AADE,使點D落在邊3c上，若44C=NZME=90。，ZB=ZADE.求證：CELBC.

8.(2024?邳州市校級一模)(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,AACB和ADCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接班;.

①線段BE1之間的數(shù)量關(guān)系為；

②NAEB的度數(shù)為.

(2)拓展探究：

如圖2,AACB和4團均為等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,點、B,D,E在同一直線上，連接CE,

求—的值及ZBEC的度數(shù)；

CE

(3)解決問題：

如圖3,在正方形ABCD中，CD=710,若點P滿足尸￡>=&,且/班(0=90。，請直接寫出點C到直線3P

9.(2023?開陽縣模擬)【特例感知】

(1)如圖①，AAO3和AC。。是等腰直角三角形，NAOB=NCOE>=90。，點C在Q4上，點。在30的延

長線上，連接AD,BC,寫出圖中一對你認為全等的三角形—；

【類比遷移】

(2)如圖②，將圖1中的ACOD繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)。(0。<4<90。)，那么第(1)問的結(jié)論是否仍然成立？

如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運用】

(3)如圖③，若AB=6,點C是線段回外一動點，AC=3,連接3C.若將CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得

到CD,連接4),AD是否有最小值，若有請求出最小值；若沒有，請說明理由.

10.（2023?獲嘉縣模擬）在RtAABC中，ZABC=90°,AB=nBC,P為AB上的一點（不與端點重合），

過點P作交AG于點得到WM.

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,當(dāng)“=1時，尸為的中點時，CM與3尸的數(shù)量關(guān)系為;

（2）【類比探究】如圖2,當(dāng)〃=2時，AAPM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，連接CM,BP,則在旋轉(zhuǎn)過程中CM與

5尸之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由；

（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知4?=4,AP=2,當(dāng)AAPM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至3,P,M三

點共線時，請直接寫出線段期的長.

圖1圖2備用圖

11.（2023?順城區(qū)三模）如圖，AABC是等邊三角形，將線段3c繞點5旋轉(zhuǎn)?（0°<?<180°）,得到線段BD,

連接8,N45D的角平分線交直線CD于點E,連接?

（1）如圖1,當(dāng)0。<0<60。時，猜想線段AE,BE,CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想；

（2）如圖2,當(dāng)60。<1<120。時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請完成證明，若不成立，請寫出正確

的結(jié)論并說明理由;

12.（2023?郴州模擬）如圖1,在RtAABC中，N4=90。，AB=9,AC=12,點。是AB上一點（不與點

A,3重合），作OE//3C,交AC于點E.如圖2,把AADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)2度（0<e<90）,連接,

BE,CE.在AADE旋轉(zhuǎn)過程中，完成以下問題，：

（1）如圖2,求證：AADBsAAEC；

（2）如圖3,若點/，H,G分別是DE,BC,3E的中點，求變的值;

GH

（3）如圖2,若AE>=3,求ABCE面積的最小值.

13.（2023?南山區(qū)校級二模）己知正方形ABCD,將邊回繞點