北京市第八十中學(xué)2024?2025學(xué)年第二學(xué)期4月練習(xí)

高一學(xué)科：數(shù)學(xué)

2025年4月

姓名班級(jí)考號(hào)

（考試時(shí)間90分鐘滿分100分）

提示：試卷答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.在答題卡上，選擇題用

2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z0+i）=l,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)求出z即可判斷.

11-il-i_l1.

【詳解】???z(l+i)=ll+i-(l+i)(l-i)---2-2X

g］位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限.

則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

故選：D.

2.已知VABC中，BC=4,4。=4若，ZA=30°,則ZB=()

A.30°B.30?；?50°C,60°D.60?；?20°

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理求出sinN3的值，結(jié)合的范圍得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閂ABC中，BC=4,AC=4g,ZA=30°,

BCAC4后；也,

所以ACsinZA

sinZAsinZBsinZB=

BC~4一3

因?yàn)锳C>3C,可得即30°<N3<180°,

所以N3=60?；?20°.

故選：D.

3.已知復(fù)數(shù)z=l+oi（.aeR）,則。=1是忖=J5的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可；

【詳解】解：因?yàn)閦=l+ai,所以目=比+瓜,當(dāng)。=1時(shí)|z|=J5,故充分性成立，當(dāng)忖=J5,即

\z\=y/l+a2=y[2,解得a=±l,故必要性不成立，

故。=1是忖=&的充分不必要條件；

故選：A

4.設(shè)。為VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)就=3①，則（）

A.AD——A.BH—A.CB.AD=—AB—AC

3333

C.AD=--AB+-ACD.AD=-AB--AC

3333

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理，把通,而作為基底,再利用向量的加減法法則把向量苞用基底表示

出來(lái)即可.

【詳解】因?yàn)榕?3函，所以函=gZ=g（正—通），

uurULUTimuuri,uuruumxium4umr

所以A￡>=AC+S=AC+§（AC—AB）=—+

故選：C.

5.在VA3C中，已知a:6:c=3:5:7,則這個(gè)三角形的最大角的弧度數(shù)為（）

57127r兀

A.—B.—C.—D.1

633

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角判斷最大角，利用余弦定理求解.

【詳解】由a:b:c=3:5:7,令。=3左,6=5左,c=7左（左>。），

.?心。/口~、螃+25人4弼,

2ab2x3kx5k2

又Ce（O,7i）,則C=（97r,

所以這個(gè)三角形的最大角的弧度數(shù)為」2兀.

3

故選：B.

\X71IX

6.要得到〉=5由［5+1］的圖象，只要將函數(shù)ynsing的圖象（）

7T7T

A.向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

66

7TTT

C.向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用平移的左加右減的規(guī)則即可得至U.

XTT

【詳解】因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)＞=sin所以將函數(shù)y=sin—的圖象向左平移上個(gè)單位

23

即可.

故選：C

7.在VABC中，若（百+國(guó)）?（□?—函）=0,則VABC為（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.無(wú)法確定

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得（無(wú)+麗）.（G4-CB）-C42-CB=^2-?2=0.從而可

得答案.

【詳解】解：,??在VABC中，（而+區(qū)）.（CA-CB）=CA-CB=b2-a2=0^

..a=b,

」.△ABC為等腰三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

8.已知平面向量均為非零向量，貝『'（￡%”=（尻。?￡”是“向量同向"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】判斷當(dāng)￡%=]."=()時(shí)，=不能得a,c同向，當(dāng)a,c同向時(shí)，可得

(a-b^-c={b-c^-a,從而得出答案.

【詳解】當(dāng)￡U"=o時(shí)，(74"=(尻")?￡,

但此時(shí)向量a,c不一定同向；反之，當(dāng)向量a,c同向時(shí)，

(a-B)?c=(B-cJa成立，所以“(aZjc=是

“向量肩2同向”的必要不充分條件.

故選：B

9.如圖，在傾斜角15。(NC4D=15°)的山坡上有一個(gè)高度為30米的中國(guó)移動(dòng)信號(hào)塔(BC),塔與水

平地面垂直，在A處測(cè)得塔頂B的仰角為45°(NA4D=45°),則塔頂?shù)剿矫娴木嚯x(BD)是

()米.

A.15（A/3+1）B.56+30C.40D.15（3-73）

【答案】A

【解析】

【分析】先在VA5C中利用正弦定理求出AC,然后在Rt/sACD中利用銳角三角函數(shù)的定義可求出CD,

從而可求出BD

【詳解】在VABC中，ZBAC=ZBAD-ZCAD=45°-15°=30°,ZABC=180°-90°-45°=45°,

BC=30,

二十3…TE/門ACBCAC30

由正弦定理得--------=---------,-------=-------,

sinZABCsinABACsin45°sin30°

所以，AC=30x正，得AC=3O0，

22

?/個(gè)人八?10。-//i<。an。、6也^21-\/6-A/2

sinZCAD=sin15=sin(45-30)=----x------------x—=------------,

22224

CD

在RtZkACD中，因?yàn)閟inNCAD=-----,

AC

[7_6

所以CD=ACsinACAD=30&x7-=15(73-1)，

4

所以3Z>=3C+CD=30+15(6—1)=15(6+1).

故選：A

10.在RtAABC中，？390?,=BC=2,若動(dòng)點(diǎn)尸滿足|歷=應(yīng)，則麗.麗的最大值為

()

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解析】

【分析】建系，用坐標(biāo)表示出向量的數(shù)量積，將其理解為點(diǎn)尸到定點(diǎn)(0,1)的距離，再根據(jù)尸點(diǎn)軌跡是以A

為圓心的圓，由幾何關(guān)系確定該距離的最大值即可.

【詳解】如圖，以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，瓦的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則3(0,0),A(V7,0),C(0,2).

設(shè)？(尤,y),貝I麗,國(guó)=無(wú)2+,2_2,=12+(,_])2_].

因?yàn)榫W(wǎng)=0,所以P是圓A：(X—6y+產(chǎn)=2上的點(diǎn).

又點(diǎn)尸與點(diǎn)(0,1)距離的最大值為0+=即x2+(y—1)24卜應(yīng)了=18,

所以而?方417?

故麗?麗的最大值為17.

故選：B.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)

11.已知向量a=(2,l),〃=(3,x),若則x的值為.

【答案】—6

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.

【詳解】由題意,向量。=(2,1)”=(3,x),

因?yàn)榭赺1_5,可得2*3+1義］=0,解得x=—6,

所以尤的值為一6.

故答案為：-6.

12.復(fù)數(shù)-3一i+—2的共軟復(fù)數(shù)為.

1

【答案】-3+2i

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求其共輾復(fù)數(shù)即可.

【詳解】二匕=匕當(dāng)生=2=_3-方，則其共軌復(fù)數(shù)為—3+2i.

ii2-1

故答案為：-3+2i

13.若復(fù)數(shù)z=/+a-2+(1—1)z?為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-2

【解析】

ci+u—2=0

【分析】解不等式組2得解.

a2-1^0

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=/+a—2+(〃—1)z'為純虛數(shù)

礦+a-2=0

所以＜所以a=—2.

a2-1^0

故答案為：-2

14.已知向最￡與B的夾角為60°,a=(l,0),忖=2,則卜卜,|2t?+^|=.

【答案】①.1②.2G

【解析】

【分析】由題意，求得同=1，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的公式，即可求解.

【詳解】由題意，a=(1,0),所以同=1,

因?yàn)椤昱c石的夾角為60。，M=2,

所以|24+萬(wàn)/=4萬(wàn)？+4無(wú)5+7=4xl2+4xlx2xcos60°+22=12,

所以|2M+B|=2G

故答案為：1,2出.

15.已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,JL（a+Z?）sinA=csinC-Z?sinB,若

VA3C的面積為3月，則角C等于,c的最小值為.

2兀

【答案】—②.6

3

【解析】

【分析】第一空利用正弦定理將已知條件中的式子角化邊，再利用余弦定理即可求出角C；第二空利用三

角形的面積公式可求出a/?=12,再利用余弦定理和基本不等式即可求出c的最小值.

【詳解】第一空：

因?yàn)?。+6區(qū)1174=。5111。一加1113,

22222

所以由正弦定理得，(a+b)a=c-b,gpa+b-c^-ab,

_+/—c?—cib1

所以由余弦定理得,cosC=-----------=----=一一

lablab2

27r

因Ce(0,7i),所以。=可；

第二空:

因?yàn)閂ABC的面積為36,所以,〃加由。=@必=3百，所以出7=12,

24

由余弦定理得，c2=a~+b2-labcosC=a2+]^+ab>2ab+ab=3ab=36，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2^3時(shí)等號(hào)成立，

所以cN6,即c的最小值為6.

故答案為：--;6.

3

JTJTI71]\4711[7T]

16.已知函數(shù)〃x）=sin（奴+0）侄>0）在上單調(diào)，且:|=/|下|=-/|-二|，則。的

、‘''、L36」3

取值可能為________.

①13②7—③9'@12⑤5―

5552

【答案】①③

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性先得了》兀，再由/-=得/（%）的一個(gè)零點(diǎn)為—方，即可

分周期的情況求得。的值.

兀T

【詳解】設(shè)“力的最小正周期為丁，則由“X）在-土,7上單調(diào)，

3

,T、兀（兀、

可得不■之：——;，即T2兀，

2613）

（兀）r（兀）

由且/7=-^一￡卜

7171

得了（%）的一個(gè)零點(diǎn)為-3+6_-

2—12

因?yàn)槟岵沸臸

所以有以下三種情況：①/="—￡=?，則啰=”12

366T一〒

4兀71

@3T_T+（兀）_5兀，得/=駟，則@=4i9

6-=—；

421⑵6

T5兀/T10K.2兀3

@7=->1得3丁=丁，N則◎=▼=

46313

故選：①③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性先得T2兀，再由7(2]=一/1一?〕，得了(力的一個(gè)零點(diǎn)

[6JV3)

7T

為-二，即可分周期的情況求得。的值.

12

三、解答題：本大題有3小題.共46分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明.證明過程或演算步驟.

1—/、71

17.已知向量a=(0,2),b=(1,in),且￡與B的夾角為1.

(1)求加，卜+2,；

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)左取何值時(shí)，向量4%+序與左％+B方向相反？

(3)若a-0與Z+B的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)m=1,卜+2q=2逐

(2)k=-2

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合已知條件列方程可求出加，然后求出3+25的坐標(biāo)，從而可求出

歸+2年

(2)由題意得43+左石=〃(左￡+3),且〃<0,然后列方程組可求得結(jié)果；

(3)由題意得伍-明?口+B)>o,且與Z+B的不共線，從而可求出實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)橄蛄縜=(0,2),B=,且公與B的夾角為:，

na-b2mm^2

所以COS7=E^=?=^=1——Q=F,解得7"=1,

4MM2Vl+mVl+m22

所以B=(l,l)，

所以￡+23=(0,2)+2(1/)=(2,4),

所以|￡+2目=正了不=而=2遍；

【小問2詳解】

因?yàn)橄蛄?Z+/B與后+B方向相反，

所以存在〃<0,使4a+左B=〃(左a+B),

Lik

因?yàn)椤昱c辦不共線，所以'4=，

［左=〃

-k=2［k=-2

解得〈c(舍去)，或(C，

［〃=2-2

所以左=—2；

【小問3詳解】

因?yàn)?=(0,2),^=(1,1),

所以￡_/13=(0,2)_幾(1,1)=(_42_/1),Z+B=(l,3),

因?yàn)閍-幾方與a+b的夾角為銳角，

所以(1")0+刀>0,且￡一萬(wàn)與Z+B的不共線，

由(a—XZ?)?(a+Z?)>0,得一X+3(2—X)>0,解得2<5，

由Z-XB與Z+B的不共線，得2—彳0―3彳，得；lw—1,

3

所以X〈一且;lw—1,

2

3

即實(shí)數(shù)4的取值范圍為(一右―l)U(T，i).

18.設(shè)函數(shù)/(X)=Gsinxcosx-cos?x-g.

(1)求了(%)的最小正周期，單調(diào)增區(qū)間，對(duì)稱中心；

(2)當(dāng)xe時(shí)，求函數(shù)/(%)的最大值和最小值；

(3)若函數(shù)八%)在［-m,0］上有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的加取值范圍.

兀兀(7CkjL)

【答案】(1)T=71；單調(diào)遞增區(qū)間為一：+左兀,彳+左兀,keZ?,對(duì)稱中心為二+三-,一1￡Z

63U22)

3

(2)最小值-一；最大值0.

2

5兀8兀)

(3)TTj

【解析】

【分析】(i)利用輔助角公式和二倍角公式化簡(jiǎn)/(%),再利用周期公式求周期，令

JIJIJIJI

——+2EV2x——K—+2E,左wZ求單調(diào)增區(qū)間，令2%一一二左兀，左wZ求對(duì)稱中心；

2626

71

(2)求2%-占的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象可求其值域；

O

7T

(3)求的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象可求其零點(diǎn).

O

小問1詳解】

\A.216.c1+COS2X1

f(x)=smxcosx-cosx——=——sin2x-------------

V'2222

V3.101.兀)]

=——sin2x——cos2x-l=sin2x——-1,

22I

則最小正周期T=@=71,

2

JIJIJIJI

令一Q+2EV2x--<—+2kn,kGZ,^-—+kn<x<—+kii.keZ,

7C7C

則/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為++,ksZ,

令2x一二=bi,左eZ,=—+—,^eZ,

6122

(jrKTT\

則f(%)的對(duì)稱中心為[正■+?■，—1J，%GZ.

【小問2詳解】

s71兀5兀,.(7711)1y

XG0,—,貝IJ2X—：￡,貝|sin2%一二￡--J，

2666{612

3

則/(%)￡,0,

故當(dāng)2%—巴=—烏,即％=0時(shí),/(%)取最小值-』；

662

當(dāng)x=],即x=0時(shí)，/(%)取最大值0.

【小問3詳解】

函數(shù)/（九）在［-加，°］上有兩個(gè)零點(diǎn)，則sin［2x-=1在［-加,0］上有兩個(gè)根,

又XG[T50],則2x—巴e-2m--,--

666

結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，—&<—2巾—二<—四，得型V機(jī)<.，

26233

「5兀8兀1

則加取值范圍為—

19.已知△A2C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足由sinA+cosA=0，有三個(gè)