板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新點(diǎn)1

以高等數(shù)學(xué)知識為背景的

導(dǎo)數(shù)問題高考定位1.導(dǎo)數(shù)解答題與高等數(shù)學(xué)知識交匯命題，考查考生的知識遷移能力、現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力與現(xiàn)場運(yùn)用能力，逐漸成為命題的熱點(diǎn)，難度較大，一般作為壓軸題出現(xiàn)；2.常見的高等數(shù)學(xué)知識除了前面學(xué)習(xí)過的泰勒公式與洛必達(dá)法則、還有拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微積分、帕德近似等.精準(zhǔn)強(qiáng)化練題型一拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理

題型二帕德近似題型三微積分、洛必達(dá)法則

題型突破例1題型一拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理令bn＝2ln(n＋1)－2lnn，n∈N*，則an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln2－2ln1＋2ln3－2ln2＋…＋2ln(n＋1)－2lnn＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).規(guī)律方法羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.羅爾定理描述如下：如果R上的函數(shù)f(x)滿足以下條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，②在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，③f(a)＝f(b)，則至少存在一個(gè)ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.據(jù)此，解決以下問題：(1)證明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中a，b，c∈R；訓(xùn)練1設(shè)F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，則F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)，所以函數(shù)F(x)在[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)上可導(dǎo)，又F(0)＝0，F(xiàn)(1)＝a＋b＋c－a－b－c＝0，故F(0)＝F(1)，所以由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)x0∈(0，1)，使得F′(x0)＝0，所以4ax＋3bx＋2cx0－(a＋b＋c)＝0，所以方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，不妨設(shè)其零點(diǎn)為x1，則f(x1)＝0，x1∈(0，1)，由f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1可得f′(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，所以函數(shù)f(x)在[0，x1]上連續(xù)，在(0，x1)上可導(dǎo)，又f(0)＝e0－0－0－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)x2∈(0，x1)，使得f′(x2)＝0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[x1，1]上連續(xù)，在(x1，1)上可導(dǎo)，又f(1)＝e－a－e＋a＋1－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個(gè)x3∈(x1，1)，使得f′(x3)＝0，所以方程ex－2ax－(e－a－1)＝0在(0，1)上至少有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)g(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，x∈(0，1)，則g′(x)＝ex－2a，

例2題型二帕德近似(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)設(shè)h(x)＝f(x)－R(x)，證明：xh(x)≥0；規(guī)律方法訓(xùn)練2(2)比較f(x)與R(x)的大小；例3題型三微積分、洛必達(dá)法則(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，其中a，b∈R.①證明：對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))處的切線均不重合；由函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，可得f′(x)＝2ax＋lnx＋b＋1，不妨設(shè)0<x1<x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))處的切線方程為l1：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－x1f′(x1)同理曲線y＝f(x)在(x2，f(x2))處的切線方程為l2：y＝f′(x2)x＋f(x2)－x2f′(x2)，假設(shè)l1與l2重合，

②當(dāng)b＝－1時(shí)，若不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.當(dāng)b＝－1時(shí)，不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，所以h(x)＝ax2－x＋xlnx－2sin(x－1)≥0在(0，＋∞)恒成立，所以h(1)≥0?a≥1，下證：當(dāng)a≥1時(shí)，h(x)≥0恒成立.因?yàn)閍≥1，所以h(x)≥x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，設(shè)H(x)＝x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，H′(x)＝2x＋lnx－2cos(x－1).(ⅰ)當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，由2x≥2，lnx≥0，－2cos(x－1)≥－2知H′(x)≥0恒成立，即H(x)在[1，＋∞)單調(diào)遞增，所以H(x)≥H(1)＝0成立；規(guī)律方法訓(xùn)練3(1)試判斷f(x)＝x3－3x是否為區(qū)間[0，3]上的2階無窮遞降函數(shù)；

【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】所以當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′(