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第七章埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式－－－－－－特殊函數(shù)之三1§7.1

Hermite多項(xiàng)式的定義1.v階Hermite方程的解v階Hermite方程用冪級(jí)數(shù)法求解該方程，設(shè)方程的解為代入方程，整理，得從而有由上式知23從而得方程的解為4其中是任意常數(shù)，又是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故上式是方程的通解。兩個(gè)級(jí)數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)收斂。5考察系數(shù)遞推關(guān)系式為了了解上述多項(xiàng)式的系數(shù)形式，改寫遞推關(guān)系式為2.Hermite多項(xiàng)式當(dāng)v是正整數(shù)n（包括零）時(shí)，進(jìn)一步知，當(dāng)n是偶數(shù)（包括零）時(shí)，變成了多項(xiàng)式，仍為無(wú)窮級(jí)數(shù)；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，變成了多項(xiàng)式，仍為無(wú)窮級(jí)數(shù)。則6則7大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流8取則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有系數(shù)，對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式為關(guān)于x的偶次方的多項(xiàng)式當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有系數(shù)，對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式為關(guān)于x的奇次方的多項(xiàng)式n次Hermite多項(xiàng)式9統(tǒng)一寫法，有前幾次Hermite多項(xiàng)式10§7.2

Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)與遞推公式令將其展開成變量t的Taylor級(jí)數(shù)，則有則是n次Hermite多項(xiàng)式。證明：11比較同次冪系數(shù)有即12即比較同次冪系數(shù)有即13是Hermite方程的解，故是Hermite多項(xiàng)式。定義：稱是Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)。Hermite多項(xiàng)式的微分形式：14Hermite多項(xiàng)式的微分形式：Hermite多項(xiàng)式的遞推公式：15證明從略?！?.3

Hermite多項(xiàng)式的正交性及其應(yīng)用結(jié)論：Hermite多項(xiàng)式在上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交，即結(jié)論：設(shè)f(x)為定義在上的函數(shù)，且滿足（1）f(x)在任何有限區(qū)間內(nèi)都是分段光滑的函數(shù)；

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