1/1第二講不等式的證明回顧(黃秀紅)一、思維導(dǎo)圖不等式不等式柯西不等式證明不等式比較法、綜合法、分析法直接證明間接證明反證法其他方法放縮法數(shù)學(xué)歸納法：與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題二、例題例1設(shè)均為正數(shù)，且，求證：.【知識(shí)點(diǎn)】綜合法【解答過(guò)程】證明：因?yàn)?，故，則,所以.【思路點(diǎn)撥】用綜合法證明不等式，可利用已經(jīng)證過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式.【答案】略例2已知，試求的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解答過(guò)程】解：由柯西不等式，得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【思路點(diǎn)撥】柯西不等式可以用來(lái)求最值和證明不等式，應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要注意等號(hào)成立的條件.【答案】1例3設(shè)，求證：.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【解答過(guò)程】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，eq\f(1,2)n(n＋1)＝1，所以，所以時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，當(dāng)時(shí)，，，所以，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立.根據(jù)①②可知對(duì)任意的，不等式恒成立.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點(diǎn)：①第一步是基礎(chǔ)，②第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒(méi)有第二步，只能是不完全歸納法；③是使命題成立的最小正整數(shù)，不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)；第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱作數(shù)學(xué)歸納法.【答案】見(jiàn)解析三、檢測(cè)題（一）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求1.已知a，b，c，d都是正數(shù)，且bc＞ad，則eq\f(a,b)，eq\f(a＋c,b＋d)，eq\f(a＋2c,b＋2d)，eq\f(c,d)中最大的是（）A.eq\f(a,b)B.eq\f(a＋c,b＋d)C.eq\f(a＋2c,b＋2d)D.eq\f(c,d)【知識(shí)點(diǎn)】比較法【解題過(guò)程】因?yàn)閍，b，c，d均是正數(shù)且bc＞ad，所以有eq\f(c,d)＞eq\f(a,b). ①又eq\f(c,d)－eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(cb＋d－a＋cd,db＋d)＝eq\f(bc－ad,db＋d)＞0，∴eq\f(c,d)＞eq\f(a＋c,b＋d)， ②eq\f(c,d)－eq\f(a＋2c,b＋2d)＝eq\f(cb＋2d－a＋2c·d,db＋2d)＝eq\f(bc－ad,db＋2d)＞0，∴eq\f(c,d)＞eq\f(a＋2c,b＋2d). ③由①②③知eq\f(c,d)最大，故選D.【思路點(diǎn)撥】通過(guò)作差與0的大小關(guān)系的比較【答案】D2.設(shè)xy>0，則的最小值為（）A.－9B.9C.10D.0【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】.【思路點(diǎn)撥】認(rèn)清柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式【答案】B3.對(duì)于x∈[0，1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，則代數(shù)式a＋3b的值（）A.恒為正值 B.恒為非負(fù)值C.恒為負(fù)值 D.不確定【知識(shí)點(diǎn)】直接證明【解題過(guò)程】依題意2b＞0，∴b＞0，且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒為正值.【思路點(diǎn)撥】利用分析法【答案】A4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(an,bn＋1)，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是（）A.an＞an＋1 B.an＜an＋1C.an＝an＋1 D.與n的取值有關(guān)【知識(shí)點(diǎn)】比較法【解題過(guò)程】an＋1－an＝eq\f(an＋1,bn＋1＋1)－eq\f(an,bn＋1)＝eq\f(a,bn＋b＋1bn＋1).∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.【思路點(diǎn)撥】通過(guò)作差與0的大小關(guān)系的比較【答案】B5.已知正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.3B. C.18 D.9【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】根據(jù)柯西不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要注意等號(hào)成立的條件.【答案】B6.設(shè)a＝lg2－lg5，b＝ex（x＜0），則a與b的大小關(guān)系是（）A.a＜bB.a＞bC.a＝bD.a≤b【知識(shí)點(diǎn)】直接證明【解題過(guò)程】a＝lg2－lg5＝lgeq\f(2,5)＜0.又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b.【思路點(diǎn)撥】通過(guò)作差與0的大小關(guān)系的比較【答案】A7.若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k＝（）A.eq\f(2,3)B.2C.6D.2或6【知識(shí)點(diǎn)】解不等式【解題過(guò)程】∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6，∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.【思路點(diǎn)撥】把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)得到的取值范圍，再比較可得【答案】B8.已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，若y1＝eq\f(ax1＋bx2,a＋b)，y2＝eq\f(bx1＋ax2,a＋b)，則y1y2與x1x2的關(guān)系為（）A.y1y2<x1x2B.y1y2＝x1x2C.y1y2>x1x2 D.不能確定【知識(shí)點(diǎn)】直接證明【解題過(guò)程】∵a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，∴y1y2＝eq\f(ax1＋bx2,a＋b)·eq\f(bx1＋ax2,a＋b)＝eq\f(ax1＋bx2ax2＋bx1,a＋b2)＝eq\f([\r(ax1)2＋\r(bx2)2]·[\r(ax2)2＋\r(bx1)2],a＋b2)>eq\f(\r(ax1)·\r(ax2)＋\r(bx2)·\r(bx1)2,a＋b2)＝eq\f(a＋b2x1x2,a＋b2)＝x1x2.【思路點(diǎn)撥】由于都為正數(shù)以及結(jié)構(gòu)特征，利用均值不等式比較大小【答案】C9.要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)成立，a，b應(yīng)滿足的條件是（）A.ab＜0且a＞bB.ab＞0且a＞bC.ab＜0且a＜bD.ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b【知識(shí)點(diǎn)】比較法【解題過(guò)程】eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)?（eq\r(3,a)－eq\r(3,b)）3＜a－b?3eq\r(3,ab2)＜3eq\r(3,a2b)?ab（a－b）＞0.當(dāng)ab＞0時(shí)，a＞b；當(dāng)ab＜0時(shí)，a＜b.【思路點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)比較大小【答案】D10.設(shè)a1，a2，…，an為正實(shí)數(shù)，P＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，Q＝eq\f(n,\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,an))，則P，Q間的大小關(guān)系為（）A.P>QB.P≥QC.P<Q D.P≤Q【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】∵（a1＋a2＋…＋an）≥eq\o((1＋1＋…＋1)2,\s\do14(n個(gè)))＝n2，∴eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\f(n,\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,an))，即P≥Q.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要注意等號(hào)成立的條件.【答案】B11.若a>0，b>0，則p＝，q＝ab·ba的大小關(guān)系是（）A.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q【知識(shí)點(diǎn)】均值不等式【解題過(guò)程】eq\f(p,q)＝.若a≥b>0，則eq\f(a,b)≥1，a－b≥0，從而eq\f(p,q)≥1，得p≥q；若b≥a>0，則0<eq\f(a,b)≤1，a－b≤0，從而eq\f(p,q)≥1，得p≥q.綜上所述，p≥q.【思路點(diǎn)撥】熟記均值不等式幾種基本形式【答案】A12.在△ABC中，A，B，C分別為a，b，c所對(duì)的角，且a，b，c成等差數(shù)列，則角B適合的條件是（）A.0＜B≤eq\f(π,4) B.0＜B≤eq\f(π,3)C.0＜B≤eq\f(π,2) D.eq\f(π,2)＜B＜π【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列、均值不等式【解題過(guò)程】由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\f(a＋c2,4),2ac)，＝eq\f(3a2＋c2－2ac,8ac)＝eq\f(3a2＋c2,8ac)－eq\f(1,4)≥eq\f(1,2).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立.∴cosB的最小值為eq\f(1,2).又y＝cosB在上是減函數(shù)，∴0＜B≤eq\f(π,3).【思路點(diǎn)撥】結(jié)合均值不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解【答案】B（二）填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在題中橫線上13.設(shè)x，y，z∈R，且滿足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝eq\r(14)，則x＋y＋z＝________.【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】由柯西不等式可得（x2＋y2＋z2）（12＋22＋32）≥（x＋2y＋3z）2，即（x＋2y＋3z）2≤14，因此x＋2y＋3z≤eq\r(14).因?yàn)閤＋2y＋3z＝eq\r(14)，所以x＝eq\f(y,2)＝eq\f(z,3)，解得x＝eq\f(\r(14),14)，y＝eq\f(\r(14),7)，z＝eq\f(3\r(14),14)，于是x＋y＋z＝eq\f(3\r(14),7).【思路點(diǎn)撥】認(rèn)清柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征【答案】eq\f(3\r(14),7)14.若實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b（a≠b），則mx＋ny的最大值為_(kāi)_______.【知識(shí)點(diǎn)】三角代換【數(shù)學(xué)思想】化歸與轉(zhuǎn)化的思想【解題過(guò)程】設(shè)m＝eq\r(a)cosα，n＝eq\r(a)sinα，x＝eq\r(b)cosβ，y＝eq\r(b)sinβ，則mx＋ny＝eq\r(ab)cosαcosβ＋eq\r(ab)sinαsinβ＝eq\r(ab)cos（α－β）.當(dāng)cos（α－β）＝1時(shí)，mx＋ny取得最大值eq\r(ab).【思路點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)正、余弦函數(shù)的有界性求最值【答案】eq\r(ab)15.函數(shù)y＝的最小值是________.【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】由柯西不等式，得y＝當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,\r(cosα))＝eq\f(1,\r(sinα))，即α＝eq\f(π,4)時(shí)等號(hào)成立.【思路點(diǎn)撥】熟練掌握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征【答案】3＋2eq\r(2)16.已知a，b，c，d∈R＋，且S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,b＋c＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,a＋b＋d)，則S的取值范圍是________.【知識(shí)點(diǎn)】放縮法【解題過(guò)程】由放縮法，得eq\f(a,a＋b＋c＋d)＜eq\f(a,a＋b＋c)＜eq\f(a,a＋c)；eq\f(b,a＋b＋c＋d)＜eq\f(b,b＋c＋d)＜eq\f(b,d＋b)；eq\f(c,a＋b＋c＋d)＜eq\f(c,c＋d＋a)＜eq\f(c,c＋a)；eq\f(d,a＋b＋c＋d)＜eq\f(d,d＋a＋b)＜eq\f(d,d＋b).以上四個(gè)不等式相加，得1＜S＜2.【思路點(diǎn)撥】常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等.【答案】（1，2）（三）解答題：本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.（本小題滿分10分）設(shè)x2＋2y2＝1，求u（x，y）＝x＋2y的最值.【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】由柯西不等式，有|u（x，y）|＝|1·x＋eq\r(2)·eq\r(2)y|≤eq\r(1＋2)·eq\r(x2＋2y2)＝eq\r(3)，得umax＝eq\r(3)，umin＝－eq\r(3).分別在時(shí)取得最大值和最小值.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于認(rèn)清柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征【答案】umax＝eq\r(3)，umin＝－eq\r(3).18.（本小題滿分12分）已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1.求證：eq\f(x2,y＋2z)＋eq\f(y2,z＋2x)＋eq\f(z2,x＋2y)≥eq\f(1,3).【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式【解題過(guò)程】因?yàn)閤>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：[（y＋2z）＋（z＋2x）＋（x＋2y）]eq\f(x2,y＋2z)＋eq\f(y2,z＋2x)＋eq\f(z2,x＋2y)≥（x＋y＋z）2，又因?yàn)閤＋y＋z＝1，所以eq\f(x2,y＋2z)＋eq\f(y2,z＋2x)＋eq\f(z2,z＋2y)≥eq\f(x＋y＋z2,y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)＝eq\f(1,3).【思路點(diǎn)撥】認(rèn)清柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征【答案】見(jiàn)解析19.（本小題滿分12分）設(shè)a，b，c是不全相等的正實(shí)數(shù).求證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.【知識(shí)點(diǎn)】直接證明【解題過(guò)程】法一要證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc，只需證lg＞lg（abc），只需證eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc.∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ca)＞0，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)≥abc＞0成立.∵a，b，c為不全相等的正數(shù)，∴上式中等號(hào)不成立.∴原不等式成立.法二∵a，b，c∈{正實(shí)數(shù)}，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ca)＞0.又∵a，b，c為不全相等的實(shí)數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc，∴l(xiāng)g＞lg（abc），即lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.【思路分析】分析法、綜合法是證明的不等式的主要方法之一，熟練其書(shū)寫(xiě)特征【答案】見(jiàn)解析20.（本小題滿分12分）若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求證：不能同時(shí)大于1.【知識(shí)點(diǎn)】反證法【解題過(guò)程】假設(shè)三數(shù)能同時(shí)大于1，即（2－a）b＞1，（2－b）c＞1，（2－c）a＞1.那么eq\f(2－a＋b,2)≥eq\r(2－ab)＞1，同理eq\f(2－b＋c,2)＞1，eq\f(2－c＋a,2)＞1，三式相加eq\f(2－a＋b＋2－b＋c＋2－c＋a,2)＞3，即3＞3.上式顯然是錯(cuò)誤的，∴該假設(shè)不成立.∴（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能同時(shí)都大于1.【思路點(diǎn)撥】一般對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.【答案】見(jiàn)解析21.（本小題滿分12分）求證：2（eq\r(n＋1)－1）＜1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)（n∈N＋）.【知識(shí)點(diǎn)】放縮法【解題過(guò)程】∵eq\f(1,\r(k))＝eq\f(2,2\r(k))＞eq\f(2,\r(k)＋\r(k＋1))＝2（eq\r(k＋1)－eq\r(k)），k∈N＋，∴1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞2[（eq\r(2)－1）＋（eq\r(3)－eq\r(2)）＋…＋（eq\r(n＋1)－eq\r(n)）]＝2（eq\r(n＋1)－1）.又eq\f(1,\r(k))＝eq\f(2,2\r(k))＜eq\f(2,\r(k)＋\r(k－1))＝2（eq\r(k)－eq\r(k－1)），k∈N＋，∴1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜1＋2[（eq\r(2)－1）＋（eq\r(3)－eq\r(2)）＋…＋（eq\r(n)－eq\r(n－1)）]＝1＋2（eq\r(n)－1）＝2eq\r(n)－1＜2eq\r(n).∴2（eq\r(n＋1)－1）＜1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r