專題強化：帶電粒子在疊加場和交變電、磁場中的運動

【目標要求】1.了解疊加場的特點，會處理帶電粒子在疊加場中的運動問題。2.掌握帶電粒子

在交變電、磁場中運動的解題思路和處理方法。

考點一帶電粒子在疊加場中的運動

1.疊加場

電場、磁場、重力場共存，或其中某兩場共存。

2.帶電粒子在疊加場中常見的幾種運動形式

運動性質(zhì)受力特點方法規(guī)律

勻速直線運動粒子所受合力為0平衡條件

除洛倫茲力外，另外兩力的合力為牛頓第二定律、圓周運動的

勻速圓周運動

零：qE=mg規(guī)律

除洛倫茲力外，其他力的合力既不

較復雜的曲線運動動能定理、能量守恒定律

為零，也不與洛倫茲力等大反向

【例1】如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標系xOy,其第一象限存在著正交的勻強電場和

勻強磁場，電場強度的方向水平向右，磁感應強度的方向垂直紙面向里。一帶電荷量為+如

質(zhì)量為%的微粒從原點出發(fā)，以某一初速度沿與x軸正方向的夾角為45。的方向進入疊加場

中，正好做直線運動，當微粒運動到/(/,/)時，電場方向突然變?yōu)樨Q直向上(不計電場變化的

時間)，微粒繼續(xù)運動一段時間后，正好垂直于y軸穿出疊加場。不計一切阻力，重力加速度

為g，求：

⑴電場強度E的大??；

(2)磁感應強度B的大小；

(3)微粒在疊加場中的運動時間。

答案⑴陛(2)%R(3)(_+1)\4

qqVI4Ng

解析(1)微粒到達4(/,/)之前做勻速直線運動，對微粒受力分析如圖甲,

甲

可知Eq=mg,

得”嗎

q

(2)由平衡條件得:

qf/B=^mg

電場方向變化后，微粒所受重力與靜電力平衡，微粒在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動運

動軌跡如圖乙，有0出=加一

r

由幾何知識可得：

尸=也/

聯(lián)立解得：片仍融,

(3)微粒做勻速直線運動的時間:

微粒做勻速圓周運動的時間：

微粒在疊加場中的運動時間：

f=fi+f2=(—+1)AA=

4\lg

【例2】(多選X2022?廣東卷⑹如圖所示，磁控管內(nèi)局部區(qū)域分布有水平向右的勻強電場和垂

直紙面向里的勻強磁場。電子從M點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經(jīng)過M尸兩點。已

知M、尸在同一等勢面上，下列說法正確的有()

XXP；XX

A.電子從N到尸，電場力做正功

B.N點的電勢高于P點的電勢

C.電子從M到N,洛倫茲力不做功

D.電子在M點所受的合力大于在尸點所受的合力

答案BC

解析由題可知電子所受電場力水平向左，電子從N到尸的過程中電場力做負功，故A錯誤；

根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，N點的電勢高于P點的電勢，故B正確；由于洛倫

茲力一直都和速度方向垂直，故電子從M到N,洛倫茲力不做功，故C正確；由于M點和P

點在同一等勢面上，故從河點到尸點電場力做功為0,而洛倫茲力不做功，M點速度為0,

根據(jù)動能定理可知電子在P點速度也為0,則電子在M點和P點都只受電場力作用，在勻強

電場中電子在這兩點所受電場力相等，即所受合力相等，故D錯誤。

考點二帶電粒子在交變電、磁場中的運動

解決帶電粒子在交變電、磁場中的運動問題的基本思路

先讀圖看清并且明白場的變化情況

受力分析分析粒子在不同的變化場區(qū)的受力情況

過程分析分析粒子在不同時間段內(nèi)的運動情況

找銜接點找出銜接相鄰兩過程的物理量

選規(guī)律聯(lián)立不同階段的方程求解

【例3】如圖甲所示，M、N為豎直放置且彼此平行的兩塊平板，板間距離為d,兩板中央各

有一個小孔。、0'正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如

圖乙所示（設垂直于紙面向里的磁場方向為正方向）。有一群正離子在f=0時垂直于M板從小

孔。射入磁場。已知正離子質(zhì)量為帶電荷量為正離子在磁場中做勻速圓周運動的周

期與磁感應強度變化的周期都為To,不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所

受重力及離子間的相互作用力。求：

⑴磁感應強度風的大小。

(2)要使正離子從O垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度壞的可能值。

答案(嚼⑵黑一23...)

m

解析(1)正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力，有Boql/d=----,做勻速圓周運動的周期

R

2RR

To=

K)

由以上兩式得磁感應強度為=酗

qTo

(2)要使正離子從O'垂直于N板射出磁場，口的方向應如圖所示,

兩板之間正離子只運動一個周期To時，有R=4當兩板之間正離子運動〃個周期即〃To時,

4

有R=且("=1,2,3…)

4〃

聯(lián)立解得正離子的速度的可能值為

.,_BoqR_兀d/一c2x

4一7-一丁工〃一1,2,3…)。

m2nio

【例4】如圖甲所示的坐標系中，在x軸上方的區(qū)域內(nèi)存在著如圖乙所示周期性變化的電場和

磁場，交變電場的電場強度大小為Eo,交變磁場的磁感應強度大小為瓦，取工軸正方向為電

場的正方向，垂直紙面向外為磁場的正方向。在才=0時刻，將一質(zhì)量為冽、帶電荷量為外

重力不計的帶正電粒子，從〉軸上4點由靜止釋放。粒子經(jīng)過電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)后垂直打

在x軸上。求：

B

III[./2TTm

0.51忸2.5〃砥-

(1)粒子第一次在磁場中運動的半徑；

(2)粒子打在x軸負半軸上到。點的最小距離；

⑶起點A與坐標原點間的距離d應滿足的條件；

(4)粒子打在x軸上的位置與坐標原點。的距離跟粒子加速和偏轉(zhuǎn)次數(shù)〃的關系。

答案⑴必與⑵您管(兀+2)

qBjqB$

rpTimEo

⑶d=5=123…)

qBf

_rnimEo

(4)白(兀+2)(幾=1,2,3…)

2qBo2

解析(1)粒子第一次在電場中有qEo=ma

犯=磔，粒子第一次進入磁場中有

qBo

ql/iBo------,職工解付R-----r

RiqBf

(2)由題意可知粒子經(jīng)2次加速和偏轉(zhuǎn)后打在x軸負半軸上到。點的距離最小，如圖甲所示

_6Z/o2_7l2m￡，Q

第一次加速的位移為An

22qBW

第二次加速的位移AX2=3AXI,區(qū)=2〃砧=為旦

Bo

則&=佇=2兀加瓦

qBoqBW

Axp=A%2—Axi+&=兀加?(兀+2)

qBo2

(3)分析帶電粒子運動軌跡，如圖乙所示

可知力與坐標原點間的距離d應滿足

d=〃2尺尸小呻(”=],2,3…)

qBo?

(4)若粒子經(jīng)過n次加速和偏轉(zhuǎn)后打在x軸上

XP="(AXI+RI)=^^(7C+2)("=1,23")。

2qB/

課時精練

基礎落實練

1.如圖所示,一帶電液滴在相互垂直的勻強電場和勻強磁場中剛好做勻速圓周運動，其軌道

半徑為R,已知該電場的電場強度大小為E、方向豎直向下；該磁場的磁感應強度大小為2、

方向垂直紙面向里，不計空氣阻力，設重力加速度為g,貝!1（)

A.液滴帶正電

B.液滴比荷2=巨

mg

C.液滴沿順時針方向運動

D.液滴運動速度大小1/=政

答案C

解析液滴在重力場、勻強電場、勻強磁場的疊加場中做勻速圓周運動，可知qE=mg,得2

m

=2選項B錯誤；靜電力方向豎直向上，液滴帶負電，選項A錯誤；由左手定則可判斷液

E

滴沿順時針方向運動，選項C正確；對液滴有qE=冽g,夕陽=冽一,

R

聯(lián)立得人=遜，選項D錯誤。

E

2.（多選X2024?吉林長春市外國語學校開學考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)的虛線下方分布著互

相垂直的勻強電場和勻強磁場，電場的電場強度大小為10N/C,方向水平向左；磁場的磁感

應強度大小為2T,方向垂直紙面向里。現(xiàn)將一質(zhì)量為0.2kg、電荷量為+0.5C的小球，從

該區(qū)域上方的某點/以某一初速度水平拋出，小球進入虛線下方后恰好做直線運動。己知重

力加速度為g=10m/s2。下列說法正確的是（）

^xxxxxxx

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

A.小球平拋的初速度大小為5m/s

B.小球平拋的初速度大小為2m/s

C.4點距該區(qū)域上邊界的高度為1.25m

D.A點距該區(qū)域上邊界的高度為2.5m

答案BC

解析小球受豎直向下的重力與水平向左的靜電力作用，小球進入電磁場區(qū)域做直線運動,

小球受力如圖所示，

小球做直線運動，則q田cosO=%g,小球的速度l/cos0=kb,代入數(shù)據(jù)解得k&=2m/s,故A

錯誤，B正確；小球從/點拋出到進入疊加場過程，由動能定理得加=，?刈2,根

據(jù)在疊加場中的受力情況可知（加g）2+（gE）2=g田）2,解得/?=n-代入數(shù)據(jù)解得〃=1.25m,

2gB2

故C正確，D錯誤。

3.（2023?廣東梅州市期末）如圖甲所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標系Q軸豎直），在x>0區(qū)

域有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為￡=整；在x>0區(qū)域，還有按圖乙規(guī)律變化

的磁場，磁感應強度大小為瓦，磁場方向以垂直紙面向外為正方向。，=0時刻，有一質(zhì)量為

m、帶電荷量為+q的小球（可視為質(zhì)點）以初速度2/從原點。沿與x軸正方向夾角0=:的方

向射入第一象限，重力加速度為g。求：

2。0

出23568

（1）小球從上往下穿過x軸的位置到坐標原點的可能距離;

（2）小球與x軸之間的最大距離。

答案⑴0絲）（8+兀）+"駕”=0,1,2,3,…）Q）（亞+8-4也」

2qBo4Boq

解析⑴帶電小球從原點進入x>0區(qū)域后有Eq=mg,

所以在此區(qū)域內(nèi)，帶電小球在有磁場時做勻速圓周運動，在無磁場時做勻速直線運動，其軌

跡如圖所示

在0?兀冽時間內(nèi),有q?2i^）Bo=m（/）

2qBor

即廠=網(wǎng)”，小球沿X軸正方向前進的距離Li=W

Boq

在衛(wèi)L?細？L時間內(nèi),小球沿％軸正方向前進的距離上2=2依cos"='2?！?，”

2qBo4qBo44qB0

在酗L?包L時間內(nèi)，小球沿x軸正方向前進的距離為必

4qBo4qBo

在?L?酗L時間內(nèi)，小球沿x軸正方向前進的距離為上

4qBo2qBo

\i2ntri\A\

以此類推，小球從上往下穿過x軸時的位置到坐標原點的距離x=n（2Li+2L2）+Ll=--一（8

2qBo

,2\（2nn/b

+兀）+—（?=0,1,2,3,,,,）?

qBo

⑵由軌跡圖可知，小球與x軸的最大距離位置在第四象限

小球與x軸之間的最大距離

,rIZ,兀、（也兀+8—4也）〃7/

d=L2+r（l—cos-）=-------------------------o

44Rna

IW能力綜合練

4.（多選）（2024?重慶西南大學附中月考）如圖甲所示的平行金屬極板M、N之間存在交替出現(xiàn)

的勻強磁場和勻強電場，取垂直紙面向外為磁場正方向，磁感應強度8隨時間/周期性變化

的規(guī)律如圖乙所示，取垂直極板向上為電場正方向，電場強度￡隨時間/周期性變化的規(guī)律

如圖丙所示。t=O.5/o時，一不計重力、帶正電的粒子從極板左端以速度/沿板間中線平行極

板射入板間，最終平行于極板中線射出，已知粒子在/=1.5犯時速度為零，且整個運動過程

中始終未與兩極板接觸，則下列說法正確的是（）

M

V

而2to3訪4訪5M6而t

N甲乙

0IQ2/Q3Z（）4/Q5Z（）6Z（）t

丙

A.粒子可能在2.5ft)時刻射出極板

B.極板間距不小于爐+也

271

C.極板長度為吧5=1,2,3…)

D-

Bo71

答案ABD

解析根據(jù)題意可知，在0.5加?加內(nèi)，粒子在磁場中做勻速圓周運動，且轉(zhuǎn)了1周，在九?1.5%

內(nèi)，粒子在電場中向下做減速運動到速度為零，在1.5砧?2/0內(nèi)，粒子在電場中向上做加速運

動到速度為匕在2%?2.5/0內(nèi)，粒子在磁場中做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)了1周，粒子回到極板中

線，速度平行于極板中線，接下來粒子周期性地重復以上運動，粒子在一個運動周期內(nèi)的軌

跡如圖所示。

粒子一個運動周期為T=2.5to-O.5to=2to,故粒子射出極板的時刻可能為t=O.5to+nT=(O.5

+2〃汝(〃=1,2,3…),

當〃=1時，=0.5m+7=2.5%，故A正確；粒子在磁場中，設粒子的軌跡半徑為乙則有T磁

=組=2砧，解得粒子在電場中向下減速的位移為〉=匕。5加=匕，故極板間距應滿

24

尺d22&+y)=2(4o+Uo,故B正確；極板長度可能為￡="2，=2/“"(〃=1,23“)，故C錯

兀2

誤；粒子在磁場中，有7堿=孫=2如，解得瓦=眄，粒子在電場中，有巾。05/0=遏O5ft),

qBoqtom

解得瓦=坐可得*二江，故D正確。

qtoBo7i

5.在如圖甲所示的正方形平面內(nèi)存在著垂直于該平面的勻強磁場，磁感應強度的變化

規(guī)律如圖乙所示。一個質(zhì)量為加、帶電荷量為+q的粒子(不計重力)在/=()時刻沿。c邊從。

點射入磁場中。已知正方形邊長為乙磁感應強度的大小為瓦,規(guī)定垂直于紙面向外為磁場

的正方向。

(1)求帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期5。

(2)若帶電粒子不能從。。邊界射出磁場，求磁感應強度的變化周期T的最大值。

(3)要使帶電粒子從b點沿著ab方向射出磁場，求滿足這一條件的磁感應強度變化的周期T

及粒子射入磁場時的速度大小。

答案⑴物⑵池

qBo3qBo

(3)—理(“=2,4,6…)

qBonm

2兀/

解析⑴由9田0=加一，To=一,

r/

聯(lián)立解得o

qBo

(2)如圖甲所示為周期最大時粒子不能從0a邊射出的臨界情況，由幾何關系可知sina=[,

得a=30°o

在磁場變化的半個周期內(nèi)，粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為150°,

運動時間為t=—，)=’也，而t=-

126qBQ2

所以磁感應強度的變化周期7的最大值為的1

3qBo

a

OOx

⑶如圖乙所示為粒子從b點沿著ab方向射出磁場的一種情況。在磁場變化的半個周期內(nèi),

粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為2￡,其中￡=45。，

即1=邕，所以磁場變化的周期為T=-

24qBo

弦（W的長度為5=-（H=2,4,6-）

n

cT

圓弧半徑為R=—=—（〃=2,4,6…）

72n

2

由ql^）Bo=m—,解得%=超一（“=2,4,6…）。

Rnm

6.（2024?江西省月考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標系xOy中，第四象限內(nèi)有垂直坐標

平面向里的勻強磁場和沿x軸正方向的勻強電場，磁感應強度大小為8,電場強度大小為瓦

第一象限中有沿y軸正方向的勻強電場（電場強度大小未知），且某未知矩形區(qū)域內(nèi)有垂直坐

標平面向里的勻強磁場（磁感應強度大小也為B）。一個帶電小球從圖中了軸上的M點沿與x

軸成0=45。角斜向上做勻速直線運動，由x軸上的N點進入第一象限并立即在矩形磁場區(qū)域

內(nèi)做勻速圓周運動，離開矩形磁場區(qū)域后垂直打在〉軸上的尸點（圖中未標出），已