5.3.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性

。?？碱}型目錄

題型1相互獨(dú)立事件的判斷..........................................................................2

題型2相互獨(dú)立事件的概率..........................................................................7

題型3相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用.....................................................................9

但知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一相互獨(dú)立的含義

1.定義：一般地，當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí)，就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡(jiǎn)稱獨(dú)立).事件A與B相

互獨(dú)立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會(huì)影響事件A發(fā)

生的概率.

注意：因?yàn)?A與B相互獨(dú)立"是"P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個(gè)事件是相

互獨(dú)立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以迅速得到它們同時(shí)發(fā)生的概率在實(shí)際問題中，我們常常依據(jù)實(shí)際

背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認(rèn)為事件之間沒有影響，則認(rèn)為它們相互獨(dú)立.

知識(shí)點(diǎn)二相互獨(dú)立事件性質(zhì)及計(jì)算公式

當(dāng)事件A,B相互獨(dú)立時(shí)，彳與B,A與萬，彳與否也相互獨(dú)立.

若事件A,B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)xP(B);

若事件Ai,A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(Ai)XP(A2)x...xP(An).

相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別：

①相互獨(dú)立事件指一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，互斥事件是指不可能同時(shí)發(fā)生的

兩個(gè)事件。

②若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則一定不能互斥；反之，若兩個(gè)事件互斥，則一定不能相互獨(dú)立。

③兩個(gè)事件相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B),而當(dāng)兩個(gè)事件互斥時(shí)，有P(A+B)=P(A)+P

(B)，但由P(A+B)=P(A)+P(B)卻不能得到兩事件A與B互斥。

但題型分類

題型;相互獨(dú)立事件的判斷

【方法總結(jié)】?jī)蓚€(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷

(7)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.

(2)定義法:如果事件/,B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件/發(fā)生的概率與事件2發(fā)生的概率的積，則事

件/,2為相互獨(dú)立事件.

注意：互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別

"互斥事件"和"相互獨(dú)立事件"是兩個(gè)不同的概念，前者表示不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，后者是指

一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響

相互獨(dú)立的事件可以同時(shí)發(fā)生，且同時(shí)發(fā)生的概率尸(AB)=P(A)P(B),而互斥的兩個(gè)事件/,

8滿足P(N+8)=2(/)+P(8).兩事件A,B相互獨(dú)立是指事件A發(fā)生的概率與事件B是否發(fā)生

沒有關(guān)系，并不是說A,B間沒有關(guān)系.相反，若5獨(dú)立，則常有AB科)，即/與5不互斥-A.B

互斥是指/的出現(xiàn)必導(dǎo)致5的不出現(xiàn)，并沒有說/出現(xiàn)的概率與2是否出現(xiàn)有關(guān)系事實(shí)上，當(dāng)RN)>0,

P(5)>0時(shí)，若/,5互斥，貝UAB柳，從而尸()=0,但尸(A)P(B)>0,因而等式尸(AB)

=P(4)P(B)不成立，即互斥未必獨(dú)立.若N,8獨(dú)立，貝尸(A8)=尸(/)P(8)",從而N,B

不互斥(否則,P(AB)=0,導(dǎo)致矛盾).

【例題11(2023上?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件4="第一枚硬幣正面朝

上"，事件8="第二枚硬幣反面朝上"，則下列對(duì)事件4B的表述正確的是()

A.4與8互為對(duì)立事件B.A與B互斥

C.4與B相互獨(dú)立D.PQ4B）=|

【答案】C

【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

事件力包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），

事件B包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），事件4B包含的結(jié)果有：（正，反），

所以力與B不互斥，且不對(duì)立，故A、B錯(cuò)誤；

又P（2）=iiP（71B）=；,所以PQ4B）=P（B）P（a）,所以4與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯(cuò)誤.

ZZ4

故選：c.

【變式11】1.（2022下?廣東梅州?高一統(tǒng)考期末）同時(shí)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用X表示紅色

骰子的點(diǎn)數(shù)"表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)設(shè)事件4="x+y=7",事件B="孫為奇數(shù)"，事件C="x>3”,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.A與B對(duì)立B.CiC）=i

6

C.A與C相互獨(dú)立D.B與C相互獨(dú)立

【答案】C

【分析】對(duì)于A:根據(jù)對(duì)立事件概念分析判斷；對(duì)于B:事件的運(yùn)算結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；對(duì)于CD:根

據(jù)古典概型結(jié)合獨(dú)立事件的概念分析判斷.

【詳解】由題意可知：x,ye{123,4,5,6},

對(duì)于選項(xiàng)A：事件A="x+y=7",事件B="孫為奇數(shù)"，

例如尤—y—2,則x+y—4^7,xy—4不為奇數(shù)，

即A事件和B事件可以同時(shí)不發(fā)生，所以A事件與B事件不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B:樣本空間共36個(gè)樣本點(diǎn),

且A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)),共6個(gè)樣本點(diǎn)，所以PQ4)=[,

B={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)),共9個(gè)樣本點(diǎn)，P(B)=：,

c={(x,y)|xe[4,5,6},ye{1,2,3,4,5,6}},共18個(gè)樣本點(diǎn),P(C)=|,

則BnC={(5,1),(5,3),(5,5)},所以P(BnC)=白=匕故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)c：因?yàn)镻(B)P(C)=；X?=《力P(BnC),所以B與C不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；

4Zo

對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?nC={(4,3),(5,2),(6,1)},則P(4flC)=22,

oXolz

且。(4)。⑹=ixi=^,可得P(4nc)=P(A)P(C),

oZIZ

所以4與C相互獨(dú)立，故C正確.

故選：c.

【變式11】2.(多選)(2024上?遼寧大連?高一大連二十四中校考期末)有5個(gè)標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,5

的小球，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事

件”第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是6",丁表示事件”兩次取出

的球的數(shù)字之和是5",則()

A.甲與乙互斥B.丙與丁互斥

C.甲與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立

【答案】BC

【分析】直接由互斥事件的概念判斷A、B選項(xiàng)；計(jì)算出甲、乙、丙、丁事件的概率，由獨(dú)立事件概率公式

判斷C、D選項(xiàng)即可.

【詳解】由題意可知:兩點(diǎn)數(shù)和為6的所有可能為(1,5),(2,4),所3),(4,2),(5,1),

兩點(diǎn)數(shù)和為5的所有可能為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

可得P(甲)=Q(乙)=Q(丙)=卷=|/(丁)=羨=卷，

對(duì)于A選項(xiàng)，甲與乙可以同時(shí)發(fā)生，例如(1,2),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，丙與丁不可能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，。(甲丙)=5=「(甲)「(丙)，可知甲與丙相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，P(乙丁)=福4P(乙)P(丁)，可知乙與丁不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【變式11】3.(多選)(2024上?遼寧撫順?高一校聯(lián)考期末)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰

子朝上一面的點(diǎn)數(shù)用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù),y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)定義事件A=7+y=7",B="盯

為奇數(shù)"，C="x>3",則下列結(jié)論正確的是()

A.事件A與B互斥

B.事件A與B是對(duì)立事件

C.事件B與C相互獨(dú)立

D.事件A與C相互獨(dú)立

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，利用列舉法，結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的概念，可判定A正確，B不正確；再由相互

獨(dú)立事件的判定方法，可判定C不正確，D正確.

【詳解】拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)，

用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，

定義事件：A="x+y=7',B="孫為奇數(shù)"，C="%>3",

對(duì)于A中，事件力包含的基本事件為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

事件B包含的基本事件為(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),

事件4與B不能同時(shí)發(fā)生，所以事件a與8為互斥事件，所以A正確；

對(duì)于B中，事件4與B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以不是對(duì)立事件，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，事件C="x>3",可得P(C)=§,又由P⑻=?=汨P(BC)=?1

則P(BC)豐P(B)P(C),所以事件B與C不相互獨(dú)立，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中,由PQ4)=^=i且P(4C)=5=匕則滿足PQ4C)=P⑷P?,

所以事件4與C相互獨(dú)立，所以D正確.

故選：AD.

【變式11】4.(2023下福建高一福建師大附中校考期末)同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表

示"兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5",事件B表示"紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)"，事件C表示"兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)

相同"，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”.

①A與C互斥②B與D對(duì)立③A與D相互獨(dú)立④B與C相互獨(dú)立

則上述說法中正確的為

【答案】①④

【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對(duì)應(yīng)的組合，結(jié)合互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的定義或

性質(zhì)判斷事件間的關(guān)系即可.

【詳解】若(x,y)表示(紅，藍(lán))的點(diǎn)數(shù)組合，則所有可能組合有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

事件A的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種;

事件B的組合有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共18種；

事件C的組合有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6種;

事件D的組合有(1,1),(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共27種；

事件4D的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故PQ4D)=巳；

事件BC的組合有(2,2),(4,4),(6,6),故。(8。)=看；

綜上，A與C互斥，B與D不對(duì)立,P(A)=|,P(B)=；,P(C)=|,P(￡>)=:,

所以PQ4D)中P(4)P(。)，P(BC)=P(B)P(C).A與D不相互獨(dú)立、B與C相互獨(dú)立.

故答案為：①④

題型2相互獨(dú)立事件的概率

【方法總結(jié)】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟

①首先確定各事件是相互獨(dú)立的；

②先求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求其積.

注意：公式尸(N8)=尸(/)P(8)可推廣到一般情形,即如果事件A1,A2,...,An相互獨(dú)立,那么

這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即尸(/晶…4)=尸(出)、尸(出)x…*P

(4).

【例題2](2023下?全國(guó)?高一隨堂練習(xí))某一電子集成塊有三個(gè)元件a,b,c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有

故障相互獨(dú)立.已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行.若每個(gè)元件能正常工作的概率均為]

則在該集成塊能夠正常工作的概率為().

A.—B.—C,-D.—

12512525125

【答案】A

【分析】記事件a為該集成塊能夠正常工作，進(jìn)而結(jié)合對(duì)立事件的概率公式得PG).

【詳解】解：記事件4為該集成塊能夠正常工作，貝以為該集成塊不能正常工作，

所以p⑷=1-P(1)=1-(1)3=詈

故選：A.

【變式21]1.(2022?上海市曹楊中學(xué)高一期末)已知48兩人同時(shí)射擊目標(biāo)C(2、B是否射中之間相互

獨(dú)立)，已知4射中C的概率為0.9,B射中C的概率為0.8,則至少有一人擊中目標(biāo)C的概率是_____.

【答案】0.98

【分析】由事件獨(dú)立性及概率乘法公式知目標(biāo)不被擊中的概率是(1-09)(1-0.8),從而求至少有一人擊中

目標(biāo)的概率.

【詳解】力射中C的概率為0.9,B射中C的概率為0.8，兩人是否命中目標(biāo)相互獨(dú)立，現(xiàn)在兩人同時(shí)射擊目標(biāo)，

至少有一人擊中目標(biāo)C的對(duì)立事件是兩人都沒有擊中目標(biāo),則至少有一人擊中目標(biāo)C的概率是P=1-

(1-0.9)(1-0.8)=0.98.

故答案為：0.98

【變式21]2.(2023上?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末)已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7,0.5,0.4,

若甲、乙、丙各投籃一次(三人投籃互不影響)，則至少有一人命中的概率為

【答案】0.9喘

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，事件和它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，求出結(jié)果.

【詳解】???甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7,0.5,0.4,

甲、乙、丙各投籃一次，則他們都沒有命中的概率為(1-0.7)(1-0.5)(1-0.4)=0.09,

則至少有一人命中的概率為1-0.09=0.91.

故答案為：0.91.

【變式21]3.(2023上?江西宜春?高一江西省宜春中學(xué)?？计谀?甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為]

乙的命中率為|,若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為

【答案】￡

【分析】利用獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)甲乙分別向靶子射擊一次，靶子被命中為事件A,貝以為兩人均未擊中，

所以「⑷=1—P⑷=1—(1(1.

故答案為：裝

【變式21]4.（2023上?遼寧大連?高一大連市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）我市男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)下屆市

運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉時(shí)訓(xùn)練，甲、乙兩隊(duì)隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏兩個(gè)球者

獲勝.通過分析甲、乙過去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為|,乙發(fā)球甲贏的概率為:,不同球的結(jié)果

互不影響.已知某局甲先發(fā)球，該局打四個(gè)球，甲贏的概率是

【答案】J

【分析】由于連勝兩局者贏，則可寫出四局的結(jié)果，計(jì)算即可.

【詳解】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：

該局：第一個(gè)球甲贏、第二個(gè)球乙贏、第三個(gè)球甲贏、第四個(gè)球甲贏，

則概率為

343412

故答案為：表

題型3相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用

【方法總結(jié)】概率問題中的數(shù)學(xué)思想

正難則反.靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系/回）+尸償）=〃簡(jiǎn)化問題，是求解概率問題最常用的方法.

⑵化繁為簡(jiǎn)?將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.“所

求事件”分幾類售慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件;還是分幾步組成隋慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件人

⑸方程思想.利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程（組）,通過解方程信團(tuán)使問題獲解.

【例題3]（2024上?遼寧沈陽?高一統(tǒng)考期末）已知甲箱中有4個(gè)大小、形狀完全相同的小球，上面分別標(biāo)

有大寫英文字母人B和小寫英文字母a、b;乙箱中有6個(gè)與甲箱大小、形狀完全相同的小球，上面分別標(biāo)

有數(shù)字

1,2,…，eN+）

（1）現(xiàn)從甲箱中任意抽取2個(gè)小球，求恰好一個(gè)小球上面標(biāo)有大寫英文字母、另一個(gè)小球上面標(biāo)有小寫英文

字母的概率;

(2)現(xiàn)從乙箱中任意抽取1個(gè)小球，設(shè)取”所抽小球上面標(biāo)注的數(shù)字"，記事件。="\n-2\<1",事件

E="一<0",若事件D與事件E獨(dú)立，求小的值；

n—2

(3)在(2)的條件下，現(xiàn)將甲、乙兩箱的小球都放入丙箱，充分搖勻，然后有放回地抽取3次，每次取1

個(gè)小球，求這3個(gè)小球中至少有2個(gè)小球上面標(biāo)有英文字母的概率.

【答案】⑴|；

(2)6;

⑶上

',125

【分析】(1)利用列舉法，結(jié)合古典概率公式計(jì)算即得.

(2)求出事件D、E、DE的概率,再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.

(3)將所求概率的事件分拆成互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式計(jì)算即得.

【詳解】(1)依題意，樣本空間Q={(4B),(Aa),(4b),(B,a),(B,b),(a,b)},共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，

記事件C="恰好一個(gè)小球上面標(biāo)注大寫英文字母、另一個(gè)小球上面標(biāo)注小寫英文字母"，

則C={(4a),(4b),(B,a),(B,b)},共包含4個(gè)樣本點(diǎn),

所以事件C的概率為P(C)=：=|.

(2)依題意，事件D=[1,2,3},事件E={3,4},P(D)=3P(E)=3P(DE)=\

由事件。與事件E獨(dú)立，得P(D)P(E)=P(DE),即\,解得m=6,

所以小的值為6.

(3)由(2)知，丙箱中有10個(gè)小球，所抽小球上面標(biāo)注英文字母的事件為F,則P/)=2=|,

記事件M=”這3個(gè)小球中至少有2個(gè)標(biāo)注英文字母"，則M=FFF+FFF+FFF+FFF,

所以P(M)=3X?)2X|+(|)3=^

【變式31】1.(2024上?江西上饒?高一?？茧A段練習(xí))某場(chǎng)比賽甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)學(xué)

生安全知識(shí)的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是|,甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是2.乙、丙兩

個(gè)家庭都回答正確的概率是I,各家庭是否回答正確互不影響，

(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.

【答案】(職,I

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可得；

(2)利用獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)記"甲家庭回答正確這道題"為事件A，"乙家庭回答正確這道題"為事件B,

"丙家庭回答正確這道題"為事件C,

則PQ4)=|,P(A)P(C)=2,P(B)P(C)=|,

即口—P(X)][1-P(C)]=8,P(B)P(C)=|,

所以p⑻=:,P(C)=I,

所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為:,?;

(2)有3個(gè)家庭回答正確的概率為P3=PQ4BC)=PQ4)P(B)P(C)=|x：x”|,

3455

有2個(gè)家庭回答正確的概率為：

所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率P=P+P=S+|=|.

233U5o

【變式31]2.(2023?全國(guó)?高一隨堂練習(xí))在某項(xiàng)1500m體能測(cè)試中，甲、乙兩人各自通過體能測(cè)試的

概率分別是|和|,求：

Q)兩人都通過體能測(cè)試的概率；

(2)恰有一人通過體能測(cè)試的概率；

(3)至少有一人通過體能測(cè)試的概率.

【答案】⑴已

⑵5

⑶？

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，恰有一人通過體能測(cè)試，即為事件IB+4亙，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解；

(3)根據(jù)題意，至少有一人通過體能測(cè)試，即為事件+彳8+4后，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即

可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意,記甲通過體能測(cè)試為事件A,乙通過體能測(cè)試為事件8,

可得事件4與事件B相互獨(dú)立.

則兩人都通過體能測(cè)試的概率Pi=P(4B)=P⑷P⑻=|x：=之

541U

(2)解：由事件4與事件B相互獨(dú)立，則恰有一人通過體能測(cè)試的概率為P2=P(AB+AB)=P(7)P(B)+

P(A)P(B)=-x-+-x-=—.

/545420

(3)解：由事件4與事件B相互獨(dú)立，則至少有一人通過體能測(cè)試的概率為P3=P(AB+AB+AB)=

P(物+P(M+同#

【變