南京市臨江高級中學(xué)高二下學(xué)期考試

數(shù)學(xué)試卷

時間：120分鐘分值：150分

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一個選項符合題意）

?=|1,—,2|

1.若/〃￡，且，=（2，加，1）為直線/的一個方向向量，<21為平面1的一個法向量，則機的值

為（）.

A.-4B.-6C.-8D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線方向向量與平面法向量垂直數(shù)量積為?？傻?

ii1

【詳解】由題知，/_￡〃，故/-"=2+57篦+2=0,解得機=一8.

故選：C

2.不等式A"-5〃<5的解集為（）

A.{n|-l<?<5}B,{1,2,3,4}C.{3,4}D.{4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式化簡不等式，然后即可求解.

【詳解】由A；+1—5”<5得（〃+1）〃-5”<5,

即“2—4”—5<0，解得一1<〃<5,

又〃+122,MGN,所以不等式A'1—5〃<5的解集為{1,2,3,4}.

故選：B

3.在四面體QA6C中，記OA=a，OB=b，OC=c，若點〃、N分別為棱。A、8C的中點，則=

()

o

L+4+L-L+L+L

A.B.

222222

C.D.

222222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，即可求得答案.

【詳解】由題意得:MN=ON-OM=-(OB^OC)--OA=--a^--b+-c

2222222

故選：B.

r2+匕=1的離心率為如，則橢圓的長軸長為（

4.已知橢圓)

%+12t3

A.1272B.672c.372D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)離心率的公式，求解再根據(jù)方程求橢圓的長軸長.

【詳解】由條件可知，％+12=4，［=〃，則/=12,

192

由條件可知，/=------=一,得，=6,

r+123

所以/=18，橢圓的長軸長2。=6五.

故選：B

/、1

5.若數(shù)列｛%｝滿足2=11，%+1=匚—，貝1。985)

1一凡

11110

A.—B.11C.——D.——

101011

【答案】D

【解析】

【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項.

1

a-----1----------1-----=-?---用----

【詳解】因為1一?！?211-4+1.所以數(shù)列｛%｝周期為3的數(shù)列.

1-4+1

1—a.

所以1985="328x3+1=%

%=11，所以11=7"^-=>?1=—>

一1-q111

.10

故485=<31=—■

故選：D

6.已知空間向量d=(3,0,4),b=(-3,2,5),則向量b在向量。上投影向量是()

A.—(—3,2,5)B.—(—3,2,5)C.—(3,0,4)D.—(3,0,4)

25382538

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量在向量上的投影向量為可同,

6aWcos(&,計算即可求出答案.

【詳解】解：向量d=(3,0,4),6=(—3,2,5),

則|a|=5,忖=屈，

a-b=n.

所以向量6在向量。上的投影向量為

=H(3,0,4),

\b\cos(a,b\-^-：=1rrA

11''\a\慟磯45xV38525

故選：C.

7.從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選出三名同學(xué)，分別參加三個不同科目的競賽，其中甲同學(xué)必須參賽，則不

同的參賽方案共有()

A.24種B.18種C.21種D.9種

【答案】B

【解析】

【分析】參賽方案可分兩步完成，第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，第二步將甲和所選兩人安排去參加三

個不同科目的競賽，故這是一個分步完成的排列組合綜合問題.

【詳解】參賽方案可分兩步完成，

第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，有C；種方法，

第二步將甲和所選兩人安排去參加三個不同科目的競賽，有A；種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得共有團=18種方法.

故選：B.

8.如圖,正方體ABCD-AgCQ的棱長為1,動點M在線段上,動點P在平面上，且AP工

平面"SR,則線段AP長度的取值范圍為（）

C.卓衣D.玲,亞

【答案】D

【解析】

【詳解】以。為坐標原點，以DA,DC,。。為羽y,z軸建立空間直角坐標系,

設(shè)尸3仇1),CM=t,te[O,l],則M(0,0,0),5(1,LO),A(0,0,1)，

則轉(zhuǎn)=(a_1,瓦1),3。1叫=(0,—1,1—f),

因為API平面也2,則〈,，解得「?,

APMDl=-b+l-t=O[b=l-t

故P(1+/,1T,1),則|AP|=J(l+/_l)2+(]_.2+]2+|,

，1Y313

而函數(shù)y=21—/+]/w[O,l]在％=]取到最小值Q,在％=0,1時，取最大值2,

故|AP|e[恪,四],

2

故選：D

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.每題有多項符合題意，全對得6

分，部分選對得3分，有錯選得0分.)

9.下列說法中正確的是()

A.直線x+y+2=0在y軸上的截距是—2

B.直線x+百y+l=0的傾斜角是60°

C.直線mx-y+m+2=O(meR)恒過定點(-1,2)

D.過點(1,2)且在x軸、V軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,令x=o,求出y,即可判斷；對于B,求出直線的斜率，進而可得傾斜角，即可判斷;

對于C,直線方程可化為(x+l)m—y+2=0,再令x+l=o即可判斷；對于D,分直線過原點和不過原點

兩種情況討論即可判斷.

【詳解】對于A,令x=o,則y=—2,

所以直線x+y+2=0在y軸上的截距是—2,故A正確；

對于B,直線x+6y+l=0的斜率為-#,所以其傾斜角為150°,故B錯誤；

對于C,直線初x-y+加+2=0(加eR)化為(x+l)7〃-y+2=0,

x+l=O[x=-l

令<，得《，

-y+2=0[y=2

所以直線如一丁+機+2=0(加€2恒過定點(一1,2),故C正確；

對于D,當直線過原點時，直線方程y=2x,

當直線不過原點時，設(shè)直線方程為2+2=1,

aa

將(1,2)代入解得a=3,

此時直線方程為x+y—3=0,

所以過點(L2)且在x.軸、y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0或y=2尤，故D錯誤.

故選：AC

10.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為s“，下列說法正確的是()

A.若S“=〃2_3〃+1,則｛a?｝是等差數(shù)列

+1

B.若S“=5"-5,則｛an｝是等比數(shù)列

C.若a,+4SiS,=0(”22),q=；,則數(shù)列為遞增數(shù)列

D.若數(shù)列｛a?｝為等差數(shù)列,2al+3%=耳,，則S10最小

【答案】BC

【解析】

【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項計算即可得.

[詳解]對于選項A,q=Si=—1,0^=81—=-1—(—1)=0,?3=S3—S2=1-(—1)=2,

2g/。1+。3,不滿足｛4｝是等差數(shù)列，故選項A錯誤；

對于選項B,當〃=1時，%=S]=20,

當“22時，a,,=S”—SR=5向—5—(5"—5)=4x5〃，

因為〃=1時也滿足上式，所以%=4x5",則&包=5,

an

所以｛4｝是等比數(shù)列，故選項B正確；

對于選項C,因為an+4S?_1S?=0(?>2),所以S?-SR+4S?_1S?=0,

11)

因為S〃w。，所以不一不一二4,

3八3八一1

f111

因此數(shù)列(?。秊橐?44為首項，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，故選項C正確；

〔S",1

對于選項D,設(shè)數(shù)列｛?,｝的公差為d,因為2%+3a3=E,,所以2q+3%+6d=6q+15d,

即q+9d=0,當d<0時，S),沒有最小值，故選項D錯誤.

故選：BC.

11.將正方形A3CD沿對角線3D翻折，使平面A3。與平面5。的夾角為90。，如下四個結(jié)論正確的是

()

A.AC1BDB.ACD是等邊三角形

7171

C.直線A3與平面3。所成的角為一D.A3與CD所成的角為一

33

【答案】ABD

【解析】

分析】取3。中點，連接OC,根據(jù)給定條件探逐一分析各選項即可判斷作答.

【詳解】取中點，連接。A,OC,如圖，

依題意，AABD,△Cfi。是以8。為斜邊的等腰直角三角形，則AO,3。，COLBD,

而AOCO=O,AO,COu平面AOC,則3￡>上平面AOC,ACu平面AOC,所以

A正確；

一一兀

NAOC是二面角A—BD—C的平面角，即NAOC=—,而AO=CO=。。，則

2

AOC=AOD=COD,

于是得AC=AO=CD,即ACD是等邊三角形，B正確；

因AOLB。，AOLCO,COcBD=O,CO,5。u平面3。，則AO_L平面BCD,

兀

則有/ABD是直線AB與平面5CD所成的角，而NABD=—,C不正確；

取AC,BC中點E,F,連接OE,OF,EF,則OF//CD,EF//AB,NOEE(或其補角)是AB與C￡)所

成的角,

而OE=』AC=』a)=Ob=LAB=EF,即有NOEE=P,D正確.

2223

故選：ABD

三、非選擇題（本題共3小題，共15分）

12.公園計劃在小路的一側(cè)種植丹桂、金桂、銀桂、四季桂4棵桂花樹，垂乳銀杏、金帶銀杏2棵銀杏

樹，要求2棵銀杏樹必須相鄰，則種植方法共有種.

【答案】240.

【解析】

【分析】把兩棵銀杏樹看出一個元素，求得有2中不同的排法，再把四棵桂花樹和兩棵銀杏樹的整體的5個

不用的元素，進行全排列，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，把兩棵銀杏樹看出一個元素，共有用=2種不同的排法，

則四棵桂花樹和兩棵銀杏樹的整體，共有5個不用的元素，共有團=120中不同的排列，

所以兩棵銀杏樹必須相鄰，共有用團=2x120=240種不同的排法，

故答案為240種.

【點睛】本題主要考查了排列的實際應(yīng)用問題，其中解答中認真審題，把兩棵銀杏樹看出一個整體，合理

排列求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

13.若雙曲線為-會=1（。〉0/〉0）的離心率為2,則其兩條漸近線所成的銳角的大小為.

兀

【答案】-##60°

【解析】

【分析】由離心率公式可得q=且，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及斜率公式即可求解.

b3

【詳解】由題意e=Jl+N=2,即±=3,可得@=走，

Va2ab3

所以漸近線y=土fx的斜率為土昱,所以兩條漸近線的傾斜角為工和型，

b366

兀

所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為一.

3

71

故答案為：—.

3

14.已知函數(shù)/(x)=lnx—改2+%〃￡氏當〃二。時，則曲線y=/(x)在點(e,〃e))處的切線方程是

；若/(%)有兩個零點，則〃的取值范圍是.

【答案】?.y=+?.(0,1)

【解析】

【分析】①求出/'(X),由/'(司=0可求出切線的斜率，根據(jù)點斜式即可求得切線方程；②分離變量可得

=1,令g(x)=：H(x>0),求導(dǎo)可得g(x)的單調(diào)性，進而數(shù)形結(jié)合可求。的取值范圍.

XX

【詳解】①當a=0時，/(x)=lm+x,/(e)=lne+e=e+l,

所以/'(力=工+1,曲線y=/(x)在點(e,〃e))處的切線斜率左=/'(e)=』+l,

xe

所以切線方程為y-(e+l)=(-+1)(%-e),化簡得y=(-+l)x.

ee

②函數(shù)/(%)有兩個零點，等價于方程a=電宇有兩解，

即y=電芋2與V=。有兩個交點，

x

./、lnx+x.八、.,,、l-21nx-x

令g(x)=----—(%>0),貝n!Jg(x)=-------3-----,

%-三

令g<x)=O,得1—21nx—x=0,解得x=l,

因為。(%)=l-21nx-x為減函數(shù)，故g'(x)=0有唯一解，

所以當xe(0,1)時，g'(x)>0,當xe(l,+2o),gr(x)<0,

所以g。)在(0,1)單調(diào)遞增，在(L+8)單調(diào)遞減，

又g⑴J"；1=1當x—+°0時，g(x)—。，當x-0時，g(x)f-oo，

作出函數(shù)y=g(x)如圖所示：

所以當ae(0,1)時，“力有兩個零點.

故答案為：①y=(-+l)x；②(0,1).

e

四、解答題(本題共5小題，共77分)

15.3名女生和5名男生排成一排.

(1)若女生全排在一起，有多少種排法？

(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？

(3)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？

(4)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？

【答案】(1)4320；(2)14400；(3)20160；(4)30960.

【解析】

【分析】

(1)相鄰問題用捆綁法法求解；

(2)不相鄰問題用插空法求解；

(3)由于甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占《，所以全排列再求解；

(4)特殊位置優(yōu)先排列，分情況討論即可，也可以用間接法求解，或者特殊元素法.

【詳解】(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，

這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有A：種排法，

而其中每一種排法中，3名女生之間又有A：種排法，

因此,共有A/A；=4320種不同排法；

(2)(插空法)先排5名男生，有A；種排法，

這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A：種排法，

因此共有A；?A：=14400種不同排法；

(3)8名學(xué)生的所有排列共A；種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占3，

因此符合要求的排法種數(shù)為=20160；

2

(4)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置，

法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有A；種不同排法，

甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A：種，

而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有A；種，

其余人全排列，共有A〉A(chǔ)〉A(chǔ)：種不同排法，

由分類加法計數(shù)原理知，共有A；+A/A/A：=30960種不同排法；

法二（特殊位置法）：先排最左邊，除去甲外，有A；種排法，

余下7個位置全排，有A；種排法，

但應(yīng)剔除乙在最右邊時排法A/A：種，

因此共有A；?A；-A/A：=30960種排法；

法三（間接法）：8名學(xué)生全排列，共A；種，

其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有A；種排法，

乙在最右邊時，有A；種排法，

其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A：種排法，

因此共有A；-2A；+A：=30960種排法.

【點睛】（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過

程進行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其

他元素（或位置）；

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分

組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.

16.等差數(shù)列｛。“｝中，%=4m9=2%.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)b"=,求數(shù)列也｝的前n項和S.

nann

n+12222222n

【答案】⑴（2）S,,=（---）+（---）++（-----------

21223nn+\n+1

【解析】

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則an=ai+（n—l）d.

%=4,CL+6d=4,

因為｛所以｛

49=2%,4+18d=2(q+8d)

解得ai=l,d=；.所以｛an｝的通項公式為an=3擔

22

1222

(2)bn=一=————=-------

nannkn+Y)nn+1

白尸2n

〃+1

17.已知函數(shù)/(%)='3-3依一1在％=—1處取得極值.

(1)求實數(shù)〃的值；

(2)當2,1］時，求函數(shù)的最小值.

【答案】(1)1

(2)-3

【解析】

【分析】(1)由題意得r(-1)=0,代入求值即可得答案；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求端點函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=x3-3ax-l=>/(%)=3x2-3a，

又函數(shù)/(x)=/-3ax-1在x=—l處取得極值,

所以有/'(_l)=0n3(-l)2_3a=0na=l；

所以實數(shù)。的值為1,經(jīng)檢驗符合題意；

【小問2詳解】

由(1)可知：/(%)=%3-3x-l=>f\x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),

當xw(—2,—l)時，/,(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當xe(—I/)時，/，(%)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減,

所以/(幻在［—2,1］上的最小值為了(—2)和/⑴中較小的一個,

又/(-2)=(—2)3—3x(-2)—1=—3,/(I)=l3-3xl-l=-3,

故函數(shù)/(幻的最小值為-3.

18.如圖，在四棱錐P—ABCO中，平面平面ABCZZADLDCAB”。。,

43=工。。=4。=1,“為棱尸。的中點.

2

(1)證明：5M//平面？AD；

(2)若PC=EPD=\,

(i)求二面角尸—QM—3的余弦值；

(ii)在線段Q4上是否存在點。，使得點。到平面5Z泌的距離是壁？若存在，求出PQ的值；若不

9

存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)(i)—逅；(ii)存在，「。=述

63

【解析】

【分析】(1)通過證明四邊形是平行四邊形，可得的0AN,即可證明；

(2)(i)建立空間直角坐標系，利用向量法求解；(ii)利用點到面距離的向量法求解即可.

【詳解】(1)取尸。的中點N,連接AN,MN,如圖所示：〃為棱PC的中點，

AB//CD,AB=^CD,:.AB//MN,AB=MN,

四邊形是平行四邊形，.AN,

又仁平面PAD,ANu平面PAD,r.//平面PAO.

(2)PC=45,PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2,PDVDC,

■：平面PDC±平面ABCD,平面PDCO平面ABCD=DC,PDu平面PDC,

.?.PD,平面ABCD,

又AD,CDu平面ABCD,PD±AD,而，CD,ADLDC,以點。為坐標原點,

DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

如圖：則P(o,0,1),0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,2,0),

設(shè)平面BDM的一個法向量為n=(x,y,z),

n-DM=y+—z=0

則<2，令z=2,則y=—l,x=L/.〃=(1,一1,2),

n?DB=%+y=0

平面PDM的一個法向量為DA=(1,0,0),

COS(H,DA)=nDA=,

\n\\DA\lxV66

根據(jù)圖形得二面角P—QM—5為鈍角，則二面角—5的余弦值為-逅

6

(ii)假設(shè)在線段上4上存在點。使得點。到平面5ZW的距離是2顯,

9

設(shè)PQ=XPA,O</1<1,

貝I」2(2,0,1-2),BQ=(2-1,-1,1-2),

由(2)知平面皮如■的一個法向量為〃=(L—1,2),

B2./7=2-l+l+2(l-Z)=2-2,

點Q到平面BDM的距離是

\BQ-n\_2-A_2y/6

22.72

..4=—PQ^—!—.

33