南京市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二月考試卷

高二數(shù)學(xué)試卷

本卷：共150分考試時(shí)間：120分鐘

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(L2,3)關(guān)于xQy平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,2-3)B.(-1,2,-3)C.(-1,-2,3)D.(-1,-2,-3)

【答案】A

【解析】

［分析］根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(L2,3)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2,-3),

故選：A

2.將乘積(/+4/2+g+&)(4+偽)(。1+。2+C3)多項(xiàng)式展開后的項(xiàng)數(shù)是()

A.4+2+3B.4x2x3C.5+3+4D.5x3x4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即得.

【詳解】由題可得多項(xiàng)式展開后每項(xiàng)的字母分別取自三個(gè)括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，應(yīng)分三個(gè)步驟取出，

故由分步計(jì)數(shù)原理可得“=4x2x3.

故選：B.

3.已知向量a=(2機(jī)+1,3,加一1)3=(2,切,一根)，且。/小，則實(shí)數(shù)加的值為()

33

A.0或一B.-C.0或—2D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示分析運(yùn)算.

【詳解】顯然aw0,Z?w0,

11

若〃〃b，奧\a=kb=(2k,km,—km),

2k=2m+1

k—__

可得<km=3解得彳2.

m=-2

故選：D.

4.若｛。,瓦4構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的是（）

..ill

A.a+ba-b1bB.q_b，a-b+c，-c

ii

C.a+2b，a-2b，a+cD.a-2b>4b—2a，a+c

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.

【詳解】因?yàn)椋?瓦。｝構(gòu)成空間的一組基底，所以a,O,c不共面；

由于力二彳（a+人）一（a—b）,所以〃+匕，a-b9Z?共面，A不正確；

由于a-b+c=a,所以a-b+c，-c共面，B不正確；

由于4/?-2a=—2（a—2Z?）+0（a+c）,所以夕―2b，4b-2a>a+c共面，D不正確；

對于不存在實(shí)數(shù)使得）（一萬）+〃（成立，所以，，

C,4+2=2424+4a+2/ja—2ba+c不共

面.

故選：C

uun1uriuunumn

5.已知。，A,B,C為空間中不共面的四點(diǎn)，且OP=—04+—O3+4OC（4eR）,若P,A,B,C四

34

點(diǎn)共面，則/=（）

1157

A.-B.-C.-D.------

341212

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間共面向量基本定理即可求解.

【詳解】因?yàn)槭?，A,B,C四點(diǎn)共面，所以工+工+2=1,所以；1=2.

3412

故選:C.

6.空間四邊形Q4BC中，。4=。，OB=b，OC=%，點(diǎn)A/在線段AC上，且AM=2MC,點(diǎn)N是

08的中點(diǎn)，則A/N=

21,21-1,2.

A.2/_2CB.-a——b+—cC.——a+—b——cD.~a+-b--c

323323323323

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：由空間向量加法法則得到跖V=MO+ON=MA+AO+QN，由此能求出結(jié)果.

詳解：由題空間四邊形Q45c中，0A=a>0B=b，0C=c，點(diǎn)"在線段AC上，且

AM=2MC,點(diǎn)N是03的中點(diǎn)，則M4=|C4=|（Q4—OC）,ON=；O3,

MN=MO+ON=MA+AO+ON

2（、1.

=—（a-c）-a+—b

3V72

1_1,2

=——a+—b——c.

323

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思

想，是基礎(chǔ)題.

7.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有（）

A.720B.360C.240D.120

【答案】C

【解析】

【分析】先將甲乙捆綁在一起，然后將其看成一個(gè)元素與其余4人一起進(jìn)行全排列可得.

【詳解】先將甲、乙兩人排成一排共度=2種排法，將甲、乙兩人看成一個(gè)元素，然后與其余4人一起排成

一排，共有&=120種，所以甲、乙兩人在一起的不同排法共有2x120=240種排法.

故選：C

8.如圖，在棱長為a的正方體A3CD—4301。中，P為4。的中點(diǎn)，。為4片上任意一點(diǎn)，E,F為

CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且跖的長為定值，則點(diǎn)。到平面P跖的距離（)

B.和所的長度有關(guān)

C.等于注aD.和點(diǎn)。的位置有關(guān)

3

【答案】A

【解析】

【分析】取用￡的中點(diǎn)G,連接PG,CG,OP,利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)

系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.

【詳解】取2c的中點(diǎn)G,連接PG,CG,OP,則PG//CD,所以點(diǎn)。到平面？即的距離即點(diǎn)。到平

面PGCD的距離，與所的長度無關(guān)，B錯(cuò).又4隹〃平面尸GCD,所以點(diǎn)A到平面尸GCD的距離即

點(diǎn)。到平面尸GCD的距離，即點(diǎn)。到平面？即的距離，與點(diǎn)0的位置無關(guān)，D錯(cuò).

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,。,0),。(0,0,0)，4(。,0,。),/31^，°，，|，，

DC=(O,a,O),以=(a,O,a),DP=^|,O,tzj,

rfa八

，一nDP=O,,\—x+az=O,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面尸GCD的法向量，則由:—得《2

n~9ay=0,

令z=l，則無=-2,丁=。，所以幾=(—2,0,1)是平面尸GCD的一個(gè)法向量.

,DA,-n—2a+aJ5a

設(shè)點(diǎn)。到平面PEF的距禺為d,則壯二J；=7二三A對，C錯(cuò).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中，正確的是()

A.兩條不重合直線心4方向向量分別是a=(2,0,—1),Z>=(T,0,2),則3出

B.直線/的方向向量c=(12),平面a的法向是〃2=(6,4,—1),則

C.兩個(gè)不同的平面a,夕的法向量分別是M=(2,2,—1),v=(-3,4,2),則

D.直線/的方向向量d=(O,l,l),平面&的法向量〃則直線/與平面a所成角的大小為］

【答案】AC

【解析】

【分析】由3=—2a可判斷A；由c?相=0可判斷B；由小丫=0可判斷C;根據(jù)線面角的向量公式直接計(jì)

算可判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?=—2a，且4,L不重合，所以4〃/2,A正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)椤?相=lx6+(-l)x4+2x(-l)=0,所以c_Lm,

所以///?；?ua,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：因?yàn)椤ā?2><(—3)+2乂4+(-1)><2=。，所以。_L/?,C正確；

D選項(xiàng)：記直線/與平面1所成角為6,則sin'=kosd,“=&■:正=；,

JTJT

因?yàn)?。e0,-,所以。=:，D錯(cuò)誤.

26

故選：AC

10.若。=(-1",-2),6=(2,—1,1),。與人的夾角為120。，則X的值為()

A.17B.-17C.-1D.1

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量夾角公式得到方程，求出；1=17或-1.

d.b即(-U,-2>(2,-1,1)_-2H2

【詳解】由題意得=cos120。

A/1+A2+4xJ4+1+176-V22+52

化簡得42—162—17=0，解得2=17或一1

故選：AC

11.如圖，在長方體ABC。一4gG2中，45=，14。=&141=百，點(diǎn)2為線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)時(shí)，B-P,。三點(diǎn)共線

B.當(dāng)APLA。時(shí)，APLRP

C.當(dāng)AC=34。時(shí)，RP//平面BDC]

D.當(dāng)A。=54。時(shí)，4。，平面2Ap

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量公式，可得

答案.

【詳解】由題意，如圖建系：

則。(0,0,0),C(0,百,0),(0,0,1),

A(l,0,0),4(1,0,1),BQ,區(qū)0),G(0,6,1),

.(Ii)

設(shè)AC=A：AP,AC=(—i,g,—1),則4尸=—--

、KKK,

可得2P=24+4。=1--,-^-,--,

kkk,

(iR

AP=AAl+AlP=--,^,1--,

、kkk,

對于A：當(dāng)AC=2AP時(shí)，則點(diǎn)尸為對角線AC的中點(diǎn)，

根據(jù)長方體性質(zhì)可得民尸,A三點(diǎn)共線，故A正確;

對于B：當(dāng)APLA。時(shí)，

131

/.AP-AC=-+-+——1=0,解得左=5,

kkk

所以AP=

1丁5

14W4_r434

則AP-qP=6B------1------——#0

252525

因此不正確，故B錯(cuò)誤；

<2也]

對于C：當(dāng)AC=3A。時(shí)，D[P=

設(shè)平面BDC]的法向量為n=(x,y,z)，

DB=(1,V3,0),DC[=(0,后1),

n-DB=x+J3y=0,n-DCX=>j3y+z=0,

當(dāng)y=-1時(shí)，x=百，z=y/3，故n=（6,-1,6）,

A7i-D,P=-xT3----xV3=0，：.nLD,P,

333

又D|P<Z平面3DC],qP//平面3DG，故C正確；

對于D：當(dāng)AC=5A尸時(shí)，可得AP=—，DA=（1,0-1）,

I555Jr

設(shè)平面DXAP的法向量為m=（a,b,c），

貝!J/%.AP=++&c=0，m-D,A=a—c=0>

555

取a=—1,則6=6，c=—1，；?根=（—1,百1）,

而AC=（—,4。//加，平面2AP，故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

12.若三個(gè)向量a=（3,3,2）,b=（6,m,7）,c=（0,5,l）共面，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【答案】21

【解析】

【分析】根據(jù)向量共面基本定理即可求解.

【詳解】a=（3,3,2）,/7=（6,m,7）,c=（0,5,l）共面，則存在實(shí)數(shù)羽y,使得〃=xa+yc,即

6=3xx=2

<m=3x+5y^<y=3,

7=2x+ym=21

故答案為：21

13.己知平面a的一個(gè)法向量為“=（2,1,2）,點(diǎn)A（—2,3,0）在a內(nèi)，則P（l,l,4）到a的距離

【答案】4

【解析】

【分析】解利用點(diǎn)到面的坐標(biāo)距離公式1=如坦即可求解.

\n\

【詳解】解：由題意得:

AP=(l,l,4)-(-2,3,0)=(3,-2,4)

6-2+8

則P（l,l,4）到平面a的距離=

\>l\A/22+1+22

故答案為：4

14.如圖，已知四棱柱A3CD-A4GA的底面A耳為平行四邊形，E為棱A3的中點(diǎn),

1AM

AF=-AD,AG=2GA,AC1與平面EFG交于點(diǎn)M,則下方=_______.

3lAC1

【解析】

【分析】設(shè)40=九4。1，其中0<2<1，用AB、AD>A&表示向量GM、GE、GF，利用共面向量

基本定理可知存在機(jī)、neR使得GAf=7TIGE+"GF，由空間向量基本定理可得出關(guān)于機(jī)、"、%的方程

組，即可解得實(shí)數(shù)2的方程組，即可解得實(shí)數(shù)X的值.

【詳角軍】設(shè)AM=AACj=AB+AD+AA^j=AAB+AAD+AAA1,其中

GM=AM-AG=AAB+AAD+AAA]-1M=2AB+2AD+I2-1j,

GEMETGW?|爪GF=AF-AG^AD-l^

因?yàn)镋、F、G、〃四點(diǎn)共線，則向量GM、GE、G廠共面,

由共面向量定理可知，存在機(jī)、八七區(qū)使得6/以=7獻(xiàn)7￡+次乃，

1-12

—mAB+—nAD——(<m+n^AAi

1,

—m-A

2

1。,解得彳=2.

所以，＜—n=A

313

m+n)=2--

)3

故答案為：—.

13

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知向量a=(1—1,1一%")力=(2",，).

（1）若〃±b,求，的值;

（2）求卜一《最小值.

【答案】（1）2⑵半

【解析】

【分析】（1）由空間向量垂直得到方程，求出答案;

(2)計(jì)算出Z?—a=(1+，,21—1,0),求出最小值.

【小問1詳解】

因?yàn)樗浴?/?=（），

即2(1_才)+/(1-?)+/=0,

解得1=2；

【小問2詳解】

b—a=(1+兀2t—1,0)

所以,_d=J(l+7)2+(21)2=,5產(chǎn)—2/+2=，

所以當(dāng)/=」時(shí)，取得最小值為次5.

5115

16.如圖，在直三棱柱A3C—4與G中，ACJ.BC,E為8片的中點(diǎn)，AB=CC^2BC^2.

(1)證明：AC±CXE.

(2)求二面角A—EQ—§的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)叵

5

【解析】

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證明;(2)建系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC-A與G中，CQ1平面ABC,ACu平面ABC,

所以CGIAC,

又由題可知，AC±BC,

CG，3Cu平面5。。］四

且CGCBC=C,

所以AC工平面BCCZ，

又因?yàn)镼Eu平面BCC&1，所以AC工CjE.

【小問2詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CQ分別為x,y,z軸建系如圖,

由AB=2BC=2,可得AC=6,

則有A(百,0,0),￡(0,1,1),G(0,0,2),

設(shè)平面AEG的一個(gè)方向量為m=(x,y,z),AE=(-73,1,1),AC；=(-A/3,0,2),

AE-m=0-\/3x+y+z=0「廣

所以，即《l，令z=V3,則％=2,y=v3,

AC1,機(jī)二0-，3x+2z=0

所以根=(2,

因?yàn)锳C1平面BCC}B］，所以C4=(73,0,0)為平面EQB的一個(gè)法向量,

m-CA_2A/3

所以,cos<m,CA>=

即二面角A—EC1—5的余弦值等于普.

17.如圖，四面體ABCD中，E，E分別為AB，。。上的點(diǎn)，且AE=5E，CF=2DF,設(shè)

DA=a，DB=b?DC-c-

rrr

(1)以｛a力,c｝為基底表示EF；

⑵若NADB=NBDC=NADC=60。,且3=3,囪=3,|岡=3,求同.

.1-1-1-

【答案】(1)EF=——a——b+-c

223

⑵叵

2

【解析】

【分析】(1)利用向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合題設(shè)條件即可求得;

(2)先求出平面的基底兩兩之間的數(shù)量積，再根據(jù)(1)中石/的表示式，兩邊取平方，利用向量數(shù)量積的

運(yùn)算律計(jì)算即得.

【小問1詳解】

由圖可得，EF=DF-DE=^DC-^(DA+DB)=-^a-^b+^c;

【小問2詳解】

由題意，|a|=|Z?|=|c|=3,〈。,力=〈瓦?！?〈。,?！?60，

9

則=b?c=a?c=3x3cos60=一,

2

1-1-1-

于是，由"=——a——b+—c兩邊取平方，

223

-C1-1-1-C1-C1-c1-c-1--1--

|EF|2=(_—a__)+—c)2=—|a|2+-|Z?|2+-\c^+2(-a-b——b-c——a-c)

223449466

/11、cc/11、919

=(—H1-—)x9+2x(----------)x—=—,

44946624

故|七歹|=平

18.用0,1,2,3,9這十個(gè)數(shù)字.

(1)可組成多少個(gè)三位數(shù)？

(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

(3)可組成多少個(gè)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？

【答案】(D900；

(2)648；(3)379

【解析】

【分析】(1)(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先確定百位上的數(shù)字，再分析十位與個(gè)位，進(jìn)而計(jì)算出正確答

案.

(3)根據(jù)分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，分別分析1位數(shù)，兩位數(shù)與三位數(shù)滿足條件的數(shù)字計(jì)算出正確

答案.

小問1詳解】

要確定一個(gè)三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0,有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；第三步，確定個(gè)位數(shù)，有10種選法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9x10x10=900個(gè).

【小問2詳解】

要確定一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9x9x8=648個(gè).

【小問3詳解】

作用題意，小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類：

第一類，滿足條件一位自然數(shù)：有10個(gè)，

第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有9x9=81個(gè)，

第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：

第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1,2,3,4,有4種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有4x9x8=288個(gè)，

所以小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)共有10+81+288=379(個(gè)).

19.如圖，在四棱錐P-ABCD,平面ABCD,AB//CD,且CD=2,A3=l，BC=2也，

PA=X,AB±BC,N為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AN//平面P3C；

(2)求平面與平面P3c所成二面角的余弦值；

(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)Af,使得直線。0與平面P3c所成角的正弦值是也1,若存在，求

26

出也的值，若不存在，說明理由.

DP

【答案】(1)證明見解析

、—「DM2

（3）存在，且——=-