2024?2025學(xué)年第二學(xué)期3月質(zhì)量調(diào)研測試

局一數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

已知向量04=（2,3）,

1.若。4LA3,則x=()

10

A.—B.1C.1D.T

3

2.已知a￡(0,兀)，tana,則cos2。=()

2

13壯D.U

A.-B.-C.

55515

3.設(shè)向量a=(x+l,x)力=(x,2),則()

A.“％=—3”是“alb”的必要條件B.“x=-3”是“a//b”的必要條件

C.“％=0”是“a1/,”的充分條件D.“x=-1+0”是“alib”的充分條件

4.設(shè)。為ABC所在平面內(nèi)一點，BC=4CD，貝U（）

1415

A.AD==——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3344

1541-

C.AD=——AB+-ACD.AD=-AB——AC

4433

5.已知a終邊與單位圓交點Px,|,且a是第二象限角，則Jl—sin2a+j2+2cos2a的值等于

11

A-B.——C.3D.-3

55

7T7T

6.在AABC中，若sinAcos（］■-B）=l-sin（5-A）cos5,則這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

7.為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2尤的圖象，只要把y=0cos2x的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動2個單位長度B.向左平行移動白個單位長度

OO

7T7T

C.向右平行移動一個單位長度D.向左平行移動一個單位長度

44

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體II?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強互作用力（SIM）材

料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實讀者，

他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”：由線段AB,AC和優(yōu)弧BC圍成，AB,AC與圓弧分別切

于點2、C,直線8c與水平方向垂直（如圖），已知“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5,則

cosZBAC=（）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請把答案填涂在答

題卡相應(yīng)的位置上.

9.對于任意的非零平面向量a,匕，c,下列結(jié)論正確的是（）

iiii--..

a-b=b-aB?若〃力二〃.。，貝4/?二。

C.^a+b^'C-a-c+b-cD.

10.已知a、尸a+/7>-|,則下列不等關(guān)系一定正確的是（）

A.sin（a+/?）>sinc+sin萬B.cos（6Z+^）<cosa+cos/?

C.sina+sin/?>1D.cos<7+cosp<yf2

11.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開

口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一

個蜂巢的正六邊形開口ABCOEF,它的邊長為1,點尸是內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（）

A.DE=AF--AD

2

3

B.ACBD=-

4

C.若P為斯的中點，則CP在EC上的投影向量為-/EC

D.的最大值為J7

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

12.己知:=（3,4）,Z?=（4,-2）,若2a—b與左a+2b為共線向量，則實數(shù)%=.

13.E^[]sin[e-W]+cosa=1',貝！]cos12（z+g]=.

14.如圖，在VA3C中，點P滿足3P=2PC，過點P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點M,N,若

AM=2AB,AN=（%">0）,則2+2〃的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

15.已知|。|=1,|方|=2,〃與的夾角是60。，計算

（1）計算a?b，|。+口；

（2）求a+b和。的夾角的余弦值.

16.在①tana=4百，②cos2a=—%，③占吧=走中任選一個條件，補充在下面問題中，并解

49sina2

決問題.

7T

已知0＜。＜一,且_____.

2

（2）若=求夕.

說明：若選擇多個條件解答，則按第一個選擇給分.

71

17.已知向量〃=（2cosx,l）,b=—cosx-\—X60八,—.

[I3）2）2

（1）若〃〃求x的值；

JT

⑵記“龍）=。必，若對于任意和々^0,萬，而|/（石）一/（%）區(qū)力恒成立，求實數(shù)X的最小值.

18.已知。是線段AB外一點，若OA=a,OB=b.

（2）設(shè)點4,4是線段A3的三等分點，OA\,及△。勾3的重心依次為G，G2,G3.

①試用向量a）表示OG{+OG2+OG3；

②依據(jù)①推理，設(shè)點4,4,…,4一1線段AB的〃等分點，Gj,G?,…，G"分別是

0的，。41A的重心請你寫出：OG+O5++0G"及客+%++Q4HT（用a/

表示不必證明）；

③若儂042=24,0408=16,求OG],OG3.

19.對于常數(shù)集合M=…,Q｝和變量e,定義

cos2（6-0,\+cos2（0-0^++cos?（，一仇）位心口j.讓人一人.》衛(wèi)

〃=——----------------豆---------------4為0相對集合M“〃兀余弦方差”.

n

ITT7TI

（1）若集合M卜，=0，求e相對集合M的二元余弦方差.

ITTJTI

（2）當(dāng)集合V=J-§,0,§卜6eR時，求。相對集合”的三元的余弦方差.

（3）在直角坐標(biāo)系中，已知A（—2,3）,3（2,6）,〃為。相對集合M的一元余弦方差，函數(shù)

=4〃,且9（x）=〃匕一%）-2,請問在y=9（x）的圖象上，是否存在一點P,使得AP_L3P，若存

在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2024?2025學(xué)年第二學(xué)期3月質(zhì)量調(diào)研測試

高一數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知向量C—（'）,（'）,0A-LAB,則彳=（）

10i

A.一B.1C.=D.-1

32

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)運算可表示出。4AB=0,解方程即可.

【詳解】AB=OB-OA=（x-2,2）,OALAB>..OA-AB=2（x-2）+6=0,解得：x=—1.

故選：D.

2.已知ae（0,?r）,tana=—,則cos2a=（）

2

13412

A.-B.-C.—D.—

55515

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式，將cos2戊轉(zhuǎn)化為用tan。表示，再代入計算即可.

,、斗癡刀、(c\\ccric2.2cosoc—sincc1—tana

l詳斛】因為a￡(。,兀)，所以cos2a=cosa-sina=------------------=------------

cos2a+si?n2a1l+tan?a

3

又tana=一，所以cosla=-----------

2l+tarra5

故選：B.

3.設(shè)向量a=(x+l,x)]=(x,2),則(

A.“x=-3”是“alb”的必要條件B.“尤=-3”是“alib”的必要條件

C.“尤=0”是7±b"的充分條件D.“x=-1+百”是“aIlb”的充分條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示以及充分條件、必要條件的定義逐項判斷即可.

【詳解】對A,當(dāng)時，則。2=0,所以x-（x+l）+2x=0,解得光=0或—3,即必要性不成

立，故A錯誤；

對B,當(dāng)時，貝i」2（x+l）=*,解得x=1±石，即必要性不成立，故B錯誤；

對C,當(dāng)x=0時，a=（1,0）力=（0,2）,故口必=0,所以。工匕，即充分性成立，故C正確；

對D,當(dāng)％=—1+6時，不滿足2（%+1）=*,所以。//0不成立，即充分性不立，故D錯誤

故選：C.

4.設(shè)。為ABC所在平面內(nèi)一點，BC=ACD＞貝U（）

1415

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3344

1541

C.AD=——AB+-ACD.AD=-AB——AC

4433

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線性質(zhì)和平面向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為BC=4CD，

所以AD=AB+=AB+93C=AB+9癡+9AC=—lAB+9AC,

44444

故選：C

5.已知a終邊與單位圓的交點P[X,|],且a是第二象限角，則J1—sin2a+12+2cos2a的值等于

11

A-B.——C.3D.-3

55

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角的正弦，余弦公式進(jìn)行化簡，再把求值.

【詳解】因為a終邊與單位圓的交點且a是第二象限角，

34

所以sina=i，coscif,則

Jl-sin2a+j2+2cos2a

=Jl-2sina?cos。+J2（1+cos2a）

=J（sina-coso）2+J4cos'a

二|sina-cosa\+2|cos=]+g=3

故選：C

【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義以及二倍角公式進(jìn)行化簡求值，屬于較易題.

7T7T

6.在AABC中，若sinAcosl^-3）=l-sin（5-A）cos3,則這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計算可得；

TTTT

【詳解】解：因為sinAcos（5-3）=1-sin（5■-A）cos5

所以sinAsin5=1-cosAcosB

所以cosAcosB+sinAsinB=l

所以cos（A_5）=1

因為A5e(O,?),所以A—6=0,即A=3

所以三角形為等腰三角形;

故選：D

7.為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=J5cos2x的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動2個單位長度B.向左平行移動弓個單位長度

OO

TV7F

C.向右平行移動7個單位長度D向左平行移動7個單位長度

【答案】A

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（5+。）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】J=sin2x+cos2x=Vlsinf2x+j,

由誘導(dǎo)公式可知：y=A/2COS2X=A/2sin(2%+]]=&sin2(x+~

4

又y=Vlsinf2x+：卜夜sin+￡

則烏—烏=2,即只需把圖象向右平移￡個單位.

4888

故選：A

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體n?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強互作用力（SIM）材

料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實讀者,

他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”：由線段AB,AC和優(yōu)弧BC圍成，AB,AC與圓弧分別切

于點8、C,直線3c與水平方向垂直（如圖），已知“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5,則

cosABAC=()

1204D.立

A.空B.---C.一

16916954

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)圓弧所在圓心為。，半徑為r，連接。4,08,。。，由題意得可得

1r+OA9

OB±AB,ZOAB=-ZBAC,且------=—,根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sinNQ鉆的值，根據(jù)二倍角

22r5

公式，即可得答案.

【詳解】設(shè)圓弧所在圓心為。，連接。A0B,。。，可知0B_LA5NQAB=LNBAC,

2

r+OA95

設(shè)圓。的半徑為r,依題意，有------=—,即廠=—0A,

2r513

所以sinZOAB=—,ABAC=2ZOAB

所以cosABAC=1-2sin2ZOAB=——.

169

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請把答案填涂在答

題卡相應(yīng)的位置上.

9.對于任意的非零平面向量a,b，c,下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b=b-aB?若〃貝|5二。

C.^a+b^'C-a-c+b-cD.a-\b-c\=\a-b]-c

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因為cos〈a,6〉=cos〈Z?,a〉，所以選項A正確；

a-b=a-c=>a(b-c)=0顯然Z?=c不一定成立，所以選項B不正確;

因為(a+〃)?c=〃?c+b?c,所以選項C正確；

因為向量a,(b-c)與0共線，向量(a0)c與C共線，所以a?伍?c)=(a-b)c不一定成立，

因此選項D不正確，

故選：AC

10.已知a、?+^>-|,則下列不等關(guān)系一定正確的是()

A.sin(tz+/?)>sintz+sin/?B.cos(tz+；(?)<costz+cos/3

C.sina+sin/3>\D.cosa+cos/3<^2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用兩角和的正弦公式結(jié)合作差法可判斷A選項；求出的取值范圍，根據(jù)cos(a+乃)<0

可判斷B選項；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出sine>cos4，利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)值域可判斷

D選項.

【詳解】因為a、則sina、cosa,sin尸、cos/7G(0,1),

對于A選項,sin(?+/?)-(sina+sin/?)=sin?cos)3+cos?sin/3-(sin?+sin/7)

=sin?(cos/7-1)+sin/?(cos?-1)<0,故sin(e+/?)<sine+sin/7,A錯；

(兀、7171

對于B選項，因a、/?el0,-I,a+j3>-,則耳<4+/<兀，

所以，cos(or+<0<cosa+cos[3,B對;

/jrijrjrjr

對于c選項，a、0,—,。+/?>-,則0<——/?<。<一,

I2J222

且函數(shù)y=sinx在I。,：上為增函數(shù)，所以，sina〉sin1]—/?J=cos乃,

故sina+sin0>cos(3+sin

因為0</<1,則m<〃+￡<*，故曰+

故sina+sin/>0sin[/+：）>l,C對;

對于D選項，cosa+cos/3<cosa+sina=y[2sinIcr+-^

、t八兀rr兀兀371,,x/2.（71）

因為Ov。<一，則一<。+—<一,故—<sina+—<1，

24442（4）

故costz+cos，（拒sin[a+：]<&,即cosa+cos,<0,D對.

故選：BCD.

11.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開

口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一

個蜂巢的正六邊形開口ABCDER它的邊長為1,點尸是內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（）

翳r>

一1—.

A.DE=AF——AD

2

3

B.ACBD=-

4

C.若P為EF的中點，則C/在EC上的投影向量為-&EC

D.FE+FP的最大值為J7

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)CEL所結(jié)合投影向量的

定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解.

uumuuflumnuuniuum

【詳解】對于選項A：因為?！?OE—=——AD,故A正確；

2

對于選項C：由題意可知：CEYEF,

若P為的中點，所以CP在EC上的投影向量為—EC，故C錯誤;

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)F（羽y）,可知一1<%<；,0<y<

可知當(dāng)x」，y=走，即點P與點。重合時，腔+用的最大值為J7,故D正確；

2'211

故選：AD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

12.已知:=（3,4）,&=（4,-2）,若2a—b與左。+2匕為共線向量，則實數(shù)上=.

【答案】-4

【解析】

【分析】由已知，分別表示出2a-b和左a+2〃的坐標(biāo)形式，再根據(jù)兩向量共線，列出等量關(guān)系即可完成

求解.

【詳解】因為:=（3,4）,1=（4,-2）,所以2a—6=（2,10）,左a+2〃=（3左+8,4k—4）,

因為2a—b與ka+2b為共線向量，所以2（4左一4）=10（3左+8）,解得：k=-4.

故答案為：—4.

13.已知5111[0—巳）+（：000=二，則Jcos[2a+gj=.

7

【答案】—##0.28

25

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡得出sin（a+與]的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos￡a+M的值.

【詳解】因為

sin[a」]+c°s”且ina-Lsa+cos”且ina+-sa=sint+』二

L6j2222（6）5

2^^]=l-2sin2^g=l-2xgj=5.

所以,cos2a+—=cos++

I3

7

故答案為：—.

14.如圖，在VABC中，點尸滿足8P=2PC，過點尸的直線與筋,AC所在的直線分別交于點M,N,若

AM=2AB,AN=〃AC,（入4>0）,則2+2〃的最小值為.

【解析】

121212

【分析】先由題意得AP=zAB+萬AC=AM+丁AN,進(jìn)而由共線定理得”+丁=1,接著結(jié)

33732T3〃323〃

合基本不等式即可求解.

【詳解】因為3P=2PC，AM=AAB,AN=jLiAC,^〃>0），

---22（-\12_1Ax.2._

所以AP=AB+5P=AB+—BC=AB+—AC—AB=—A45+—AC=—AM+——ANT,

33'，333A3〃

I2

因為以、P、N三點共線，所以7T+丁=1（4〃〉0）

3〃

r12）=次+"+2梯*=*=3,

所以2+2〃=（幾+2〃）一+一

、32

2〃22

當(dāng)且僅當(dāng)￡=丁即〃=幾=1時等號成立.

323〃

所以2+2〃的最小值為3.

故答案為：3.

【點睛】思路點睛：根據(jù)已知條件關(guān)系和所求問題的特征，結(jié)合向量的環(huán)境優(yōu)先考慮共線定理中的三點共

121212

線系數(shù)和為1，故先由題意得APM^AB+WACM=AM+TAN,從而由共線定理得7+丁=1,

33323〃3/Tt3〃

接著結(jié)合基本不等式可求解.

四、解答題：本大題共5小題，共77分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

15.已知|a|=1,16|=2,a與6的夾角是60。，計算

（1）計算a-b，|。+切；

（2）求a+b和。的夾角的余弦值.

【答案】（1）a-b=l>\a+b|=77

⑵硬

7

【解析】

【分析】（1）利用數(shù)量積的定義可求出a-b，先求出|a+〃F，即可得出|a+〃|；

（2）先求出（。+匕）也，根據(jù)向量夾角關(guān)系即可求出.

【小問1詳解】

由題可得a?。=M?W?cos60°=lx2x；=l,

|a+b|2=?+2a-b+b=l+2xl+4=7，所以|。+￡）|=近；

【小問2詳解】

?.ya+bya=a+a-b=1+1=2,

設(shè)a+人和。的夾角為9,

[a+bYa7O/7

所以cos6=^—'=A

〃+V7xl7

16.在①tana=4百，②cos2a=-父，③匕￡吧=正中任選一個條件，補充在下面問題中，并解

49sina2

決問題.

7T

已知0<。<一,且_____.

2

(1)求sin[a—看]的值；

(2)若0<，<e<5，sin(tz-，)=^^,求夕.

說明：若選擇多個條件解答，則按第一個選擇給分.

【答案】(1)各

14

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)對三個條件逐一研究，求出sina=迪,cosa=,，再得用兩角差的正弦公式將sinja-

77I6J

展開后代入計算即可；

(2)利用角的變換，，=a—(。―，)，再通過sin〃=sin[a—(a—1)]展開后求值，得到sin4=@,

2

結(jié)合角的范圍即可求出夕的大小.

【小問1詳解】

兀

0<a<—sina>0,cosa>0,

2

若選①tana=4G，由sin2a+cos2a=l

俎?1

倚：sma=----,cosa=—

77

出

若選②cos2。=l—2sin2=_—則sir?。二史G|0,714

a9，.二sina=-----

4949I7

則cosa-Jl—sin2a=—

若選③1_cosa_,貝U2（1—cosa）=6sina,代sinc+2cosc=2,

sina2

Xsin2a+cos2a=1得sina=-----,cosa--

77

：sinct—-----,cosct——，

77

.（兀）兀.7111

?.sma——=smacos——coscrsm—=一

I6J6614

【小問2詳解】

cc兀

Q<P<a<—

3<~J3<0,:.0<a-J3

.zQ、_36_13

sin（6Z—p）—[4,,..cos（6Z—p）-?

又由（1）知sin。=^^,cosa='，

77

/.sinP=sinfcr-{a-/?）]

=sinacos（6Z-/?）-cosasin（a-尸）

4A/31313A/3A/3

=---------X--------------X----------=--------，

7147142

冗

17.已知向量〃=（2cosx,l）,b=n

2

（1）若〃〃b，求x的值;

jr

⑵記/（%）=。出，若對于任意看,0,-,而-/（X2）區(qū)力恒成立，求實數(shù)X的最小值.

7T

【答案】（1）冗=耳

3

（2）4的最小值為一

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量平行，得到cosx=—cos[x+]；由xe0,|求解即可；

（2）利用向量的數(shù)量積運算得到“X）解析式，由|/（石）-/區(qū)）區(qū)久恒成立，再通過求解/⑴在

n

xe0,-的最值，即可得到4的最小值.

【小問1詳解】

711

由?！ㄘ?，則則（2COSX,1）=〃（一COS（X+7）,二）,

32

故2cosx=_2cos［x+；］,

2cosx--ucosx+—,1=-

I3j

（兀）八刀■］（兀）（（兀丫

cosx=-coslx+—1,由于xe

L2j1113jJ

所以X=7l-（X+］）,貝=

【小問2詳解】

/（吟1）。（吟i

/（%）=a?〃二（2cos%,l>-cos

13）2）13J2

V

f（x}=-2cosx--cosx-^-.11

sinx+—

v722J2

=^-sin2x--cos2x=sinf2x

22I

?71.7T冗5萬］?萬］］1:

X￡0,—,2x---G—

L2J6L66J16jL2J

,2>|/（^）-/（x）|=l-^=j,

區(qū)九恒成立，.2max

33

從而文之萬，即2mhi

18.己知。是線段AB外一點，若OA=a,OB=b.

(1)設(shè)點G是VABC的重心，證明：OG=g(a+b)；

(2)設(shè)點4,4是線段AB的三等分點，OAA,,Q&&及△。外3的重心依次為G1,G2,G3.

①試用向量a,方表不OG{+OG2+OG3；

②依據(jù)①的推理，設(shè)點A，A，…，4一1線段AB的〃等分點，5,62...,。分別是

。OW，...,。內(nèi)的重心.請你寫出：及(用

44，4_OGX+OG2++0G?Q4,+Q42++Q4Ala/

表示不必證明)；

③若QVQ42=24,Q4Q5=16,求仇不僅不

【答案】(1)證明見解析

--------V!n—128

(2)①a+人；@0G1+0G2++0Gn=—(tz+Z?),0\+OA2++Q4n_】=———(a+Z?)；③

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中線以及重心的性質(zhì)即可求解，

(2)由(1)的結(jié)論，即可根據(jù)向量的線性運算法則求解①，根據(jù)中線的性質(zhì)即可兩式相加求解②，③根據(jù)

數(shù)量積的運算律，聯(lián)立方程即可求解.

【小問1詳解】

連0G,并延長交A3于C,由G是VA3C的重心，則C為A5的中點.

則oc=；(ai+QB)=：(&+/?).

由G是VA3C的重心，則0G=2。。，

3

311

即：-OG=-(d+b),即：OG=-(a+b).

【小問2詳解】

①如圖：點A、A是線段A3三等分點.

由(1)可得：OG]=；(QA+OA)，OG2=：(OA+O&)，OG3=:(O4+O5),

0G]+OG?+OG3=g(a+b)+g(+04),

12「12]

——(tz+/?)+—+—(Z?-ci)+tz+—(b-a)=a+b.

②取AB的中點為M,則(04+04++OAT)+(04T+04-2++。4+。4)

=(O\+04J+(04+042)+(0&T+OA)=("-1)(04+04J=("-1)2OM

={n-\^(0A+0B^=(n-\^(a+b^,

〃一1

故。4+例+…+必-=-^-(.a+b).

OGl+OG2++OGn=^OA+OAi)+^OAl+OA2)++：(0如+0孫

=g[(0A+0A)+(0A+04)++(O4T+O3)].

=；(0A+03)+g[(0A+0&++04T)]=g(a+Z?)+|m(a+Z?)=g(a+Z?),

n

故OG1+OG2+,,+。6=](a+b)

o

[—a+—b\\—a+—b\--a2+—b2+—a-b-24(*)

(33八331999

又。4QB=a2=16(**)

由上面(*)(**)得：/+廬=68,

OGX-