高三數(shù)學(xué)作業(yè)第十章《計數(shù)原理、概率、隨機變量及分布》

第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合

一、公式運算

*1.c；+c+c；+c=()

A.C；B.C：C.C：D.C；

*2.若C^=C嬤，則利=

*3.A；=6,貝”的值是

*4.(多選題)已知”且〃?,〃eN*,則下列等式中正確的是()

A.A>—B.A：：；=(〃+l)〃！C.C；TD.

mlml

二、排列問題

例1.有3名男生，4名女生，求按下列要求有多少種排法

(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或兩端位置

(2)甲不站排頭，乙不站排尾

(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起(捆綁法)

(4)全體排成一行，其中男生不相鄰(插空法)

(5)全體排成一行，其中甲乙丙的順序固定(定序除法)

例2.從0、1、2、3、4、5中任取5個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù):

(1)共有多少個五位數(shù)？

(2)能被5整除的五位數(shù)有多少個？

(3)比13000大的五位數(shù)有多少個？

(4)個位數(shù)字小于十位數(shù)字的五位數(shù)有多少個？

(5)將這些五位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，則第85項是什么？

(6)所有這些五位數(shù)的個位數(shù)字的和是多少？

三、分組分配問題(不相同元素)

例3.有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的方法?

(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分為三份，每份2本；

⑶分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分為三份，一份4本，另兩份各1本；

(6)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

例4.結(jié)合排列組合，解決下列問題.

(1)隔板法：①相同元素的分配②每組至少有一個元素

將6封相同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法?

⑵將6封不同的信放到7個不同的信箱中，有多少種放法？(分步乘法)

(3)(先分組再分配)

將6封不同的信放到5個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法?

將5封不同的信放到4個不同的信箱中，恰有一個空信箱，有多少種放法?

（4）將4封標有序號A,B,C,。的信放到四個標有A,B,C,。的信箱中，恰有一組序號相同，則有多

少種放法？

練習1.現(xiàn)有6個小球和4個盒子，下面的結(jié)論正確的是（）

A.若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，每個盒子都不空，共有24種放法

B.若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有40種

C.若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有2160種

D.若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有384

2.從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有

種.（用數(shù)字填寫答案）

3.如圖所示2x2方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許

重復(fù).若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有種.

4.如題圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供選擇,

要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有

第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合答案

一、公式運算

*1.c；+c+c；+c：=()

A.C；B.C：C.C：D.C；

答案：A

提示：由組合數(shù)性質(zhì)C2=c：+c：得c；=c：,

C+c：+G+c：=c：+c；+G+c：=c：+G+c：=c：+c：=c：.

*2.若貝那=()

A.2B.6C.2或6D.2或507

答案：D

提示：由題意知加=3機-4,或加+3m—4=2024,所以=2或=507.

*3.A：=6,貝口的值是()

A.6B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】因為A：=6,所以x(x-l)=6,即/_元_6=0,

所以(x+2)(x—3)=6,解得x=—2或x=3,

又無22,所以x=3.故選：C.

*4.(多選題)已知且〃?,〃eN*,則下列等式中正確的是()

A.A'：=—B.A：；；=(〃+l)"!C.C；=dD.C：-+C：=C：+1

mlm\

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會排列組合的恒等變換，熟練公式的選擇和應(yīng)用.

答案：(l)BCD特殊值代入即可，不比如答案繁瑣

提示：(1)對于A中，由排列數(shù)的計算公式，可得A；=；—,所以A錯誤；

對于B中，由排列數(shù)的計算公式，可得A；：；=(〃+l)〃5_l)(〃-2)-x3x2xl=(〃+l)〃!，所以B正確;

YlIYI\1

對于C中，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，可得C；=；——~=^,所以c正確；

(n-m)!m!(n-m)\mlml

對于D中，法一:

n(m-l)!(n-m+1)!m\{n-m)\

m-n\+(n-m+l)-n!(n+1)-n\

m!(n-m+l)!m!(n-m+l)!

=5+1)!:c”

m!(n-m+l)!，，+1

法二：根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，可得cr+c；=c：1成立，所以D正確.

三、排列問題

例1.有3名男生，4名女生，求按下列要求有多少種排法

(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或兩端位置

(2)甲不站排頭，乙不站排尾

(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起(捆綁法)

(4)全體排成一行，其中男生不相鄰(插空法)

(5)全體排成一行，其中甲乙丙的順序固定(定序除法)

⑴.7=2160

(2)方法一(特殊位置)：排頭優(yōu)先考慮：

第一步，先排排頭，可在除甲之外的剩余6人中任取一個排在排頭，有種不同的排法；

第二步，再排其他人，余下6人有可種不同的排法；

上述排法包括了乙排在排尾的情況，因此要扣除乙在排尾的排法，乙在排尾的排法有a呢種排法.因

此共有

&攬-應(yīng)A=4320-600=3720種不同的排法.

方法二(間接法)：7個人排列，共有％種排列方法；

其中不符合條件的有甲排在排頭和乙排在排尾時的排列，各有找種不同的排法；

而這兩種計數(shù)方法都包含了甲在排頭且乙在排尾的情況，這種情形有耳種排法；

故共有可一2琛+&=5040-1440+120=3720種排列方法.

(3)捆綁法用6=720

(4)全體排成一行，其中男生不相鄰(插空法)

AX=540

例2.從0、I、2、3、4、5中任取5個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)：

(1)共有多少個五位數(shù)？

(2)能被5整除的五位數(shù)有多少個？

(3)比13000大的五位數(shù)有多少個？

(4)個位數(shù)字小于十位數(shù)字的五位數(shù)有多少個？

(5)將這些五位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，則第85項是什么？

(6)所有這些五位數(shù)的個位數(shù)字的和是多少？

答案：(1)600(2)216(3)552(4)300(5)14302(6)1440

提示：：(1)首位不能是0,共有次&=600個五位數(shù).

(2)個位數(shù)字為?；?時，可以被5整除，首位不能為0,分兩類：

第一類，個位數(shù)字為0,有8=120個；第二類，個位數(shù)字為5,且首位數(shù)字不為0,有A：A：=96個,

故共有120+96=216個.

(3)解法一：分兩類：萬位數(shù)字為2、3、4、5時，符合題設(shè)，共有A：8=480個；第二類，萬位數(shù)字

為1,則千位數(shù)字只能為3、4、5,有A；A：=72個，共有480+72=552個.

解法二：考慮比13000小的數(shù)：萬位數(shù)字只能是1,千位數(shù)字為?；?,共有=48個，故比13000

大的數(shù)有600-48=552個.

(4)在(1)中所得的600個數(shù)中，可分成兩類，一類是個位數(shù)字小于十位數(shù)字，另一類是個位數(shù)字大于十

位數(shù)字，且它們成對出現(xiàn)，故個位數(shù)字小于十位數(shù)字的五位數(shù)占一半，即300個.

(5)萬位數(shù)字為1時，共有川=120個，故萬位數(shù)字為1；千位數(shù)字為0時，共有A；=24個，同理，千

位數(shù)字為2,3,4,5時，也都有24個，且72<85<96,故千位數(shù)字為4；百位數(shù)字為0時，有小=6個，

且85-72=13,12<13<18,故百位數(shù)字為3；由此第85項為14302.

(6)個位數(shù)字為1的有A：A：=96個，同理，個位數(shù)字為2,3,4,5都各有96個，它們的和為

5=96x(1+2+3+4+5)=1440.

三、分組分配問題(不相同元素)

例3.有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的方法？

⑴分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分為三份，每份2本；

(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分為三份，一份4本，另兩份各1本；

(6)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生掌握不同元素的分組、分組分配問題.

答案：⑴C：C：C；=90(3)C：C；C；=60(4)C：C；C；段=360

(5)6：I=C；=15(6)90+360+90=540

A

提示：(1)分三步完成，先給甲兩本，再給乙兩本，最后兩本給丙.共有C：C：C；=90種方法;

(2)上題可分兩步完成：先分三份，每份2本，設(shè)有x種方法；再將三份分給甲、乙、丙三人，有8種

c2c2c2

方法.因此C：C：C；=X<,即》=弋產(chǎn)=15種方法;

3

(3)這是“不均勻分組”問題，共有C；C；C；=60種方法；

(4)在(3)的基礎(chǔ)上分配，共有C；C；C；6=360種方法；

⑸這是“部分均勻分組問題”，共有箋G=C=15種方法;

A

⑹分三類情況：一是“2、2、2型”，即C：CC；=90種方法；二是“1、2、3型“，即C：C；C；@=360種

6

方法；三是“1、1、4型”，即；,?聞=C：8=90種方法.綜上，總共有90+360+90=540種方法.

A

【方法與程序】(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以

分組后一定要除以A%(力為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù).這類問題有平均分組無序和平均分組有序兩種情

形；

(2)對于部分均分，即不平均分組中的部分平均分組問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),

即若有初組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以根!，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣

的全排列數(shù)，這類問題也有無序和有序兩種情形；

(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以

全排列數(shù)，這類問題也有不平均分組無序和不平均分組有序兩種情形.

例4.結(jié)合排列組合，解決下列問題.

(1)隔板法：①相同元素的分配②每組至少有一個元素

將6封相同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？

(2)將6封不同的信放到7個不同的信箱中，有多少種放法？(分步乘法)

(3)(先分組再分配)

將6封不同的信放到5個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？

將5封不同的信放到4個不同的信箱中，恰有一個空信箱，有多少種放法？

(4)將4封標有序號A,B,C,。的信放到四個標有A,B,C,。的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少

種放法？

2.解析⑴C；=10

(2)76

⑶c；A；=1800、C；?C；A；+二UA3=600

IA2)

(4)8

【分析】（1）根據(jù)題意，由隔板法代入計算，即可求解

（2）根據(jù)題意，由分步乘法計數(shù)原理代入計算，即可求解；

（3）根據(jù)題意，；先選后排，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，代入計算，即可求解；

（4）根據(jù)題意，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理，代入計算，即可求解.

【詳解】（1）相同元素隔板法，6封信排成一列，中間有5個空位，選取其中2個插入隔板，故有C；=10種

放法；

（2）以信的角度去看第一封信有7個選擇，第二封信有7個選擇，…，所以共有76種放法；

（3）先選后排，必然有一個信箱放兩封信，則從6封信中選取2個看成一個整體，即C：種，再將其進行

排列，即A；種排法.故共有C；A；=1800種放法；

先選后排，因為恰有一個空信箱，所以取出一個箱子有C種取法，

5個球放入三個盒子可分3,U和2,2,1兩類方法，

（C2C2、

所以共有c；?C；A；+nA；=600種

（4）若A組的序號相同，則B信封此時有兩個選擇（C,。信箱），從而信封只剩下1種信箱的選擇,

同理可知其它序號相同時各有2種選擇，故共有4x2=8種放法.

練習1.現(xiàn)有6個小球和4個盒子，下面的結(jié)論正確的是（）

A.若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，每個盒子都不空，則共有24種放法

B.若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有40種

C.若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有2160種

D.若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有384種

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分相同元素與不同元素的分組分配問題

答案：BC

提示：對于A選項，若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，每個盒子都不空，只需在6

個相同的小球中間形成的5個空位中插入3塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為C；=10種，A錯;

對于B選項，若6個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒，

先要指定空盒的編號，有4種情況，然后在6個相同的小球中間形成的5個空位中插入2塊板即可,

所以，不同的放法種數(shù)為4C；=40種，B對；

對于C選項，若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有一個空盒，

先要指定空盒的編號，有4種情況，然后將這6個不同的小球分為三組，每組小球的個數(shù)分別為1、2、

3或4、1、1或2、2、2,然后再將這三組小球放入剩余的三個盒子中，所以，不同的放法種數(shù)為

41c；C；C；+C+

G：C]A；=2160種,C對;

對于D選項，若6個不同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子，且恰有兩個空盒，先要指定空盒的

編號，有C：=6種情況，然后將這6個不同的小球分為兩組，每組小球的個數(shù)分別為1、5或2、4或3、3,

然后再將這兩組小球放入剩余的兩個盒子中，所以，不同的放法種數(shù)為C：C+c：+A；=372種，D

錯.故選：BC.

【方法與程序】A.隔板法，相當于5個空位中插入3塊板；B.先指定空盒，再用隔板法；C.先

指定1個空盒，再將不同的小球分組分配；D.先指定1個空盒，再將不同的小球分組分配；

2.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有

種.（用數(shù)字填寫答案）

答案：16

提示：法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有第二

種情況，有2位女生入選，不同的選法有C；?C：=4（種）.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選

的不同的選法有16（種）.

法二:從6人中任選3人，不同