山東省實驗中學(xué)2024屆高三第三次診斷考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形

2.本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1

頁至第3頁，第n卷為第3頁至第4頁.

3.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

4.非選擇題的作答：用0M加黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

第I卷（共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合”"乂/一》一2<0},N={XGZ|2X+1〉0},則MCN=（）

A.51C.{0,1,2}D.{0,1}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=3—2i,則復(fù)數(shù)z的實部為（）

3.數(shù)列{4}滿足g+|=d，"eN*，貝產(chǎn)。1=2”是"{4}為單調(diào)遞增數(shù)列”（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.把一個正方體各面上均涂上顏色，并將各棱三等分，然后沿等分線把正方體切開.若從所得小正方體

中任取一個，恰好抽到2個面有顏色的小正方體的概率為（）

2841

A.-B.—C.-D.-

92792

5.如圖在正方體ABC?！狝4GR中，點(diǎn)。為線段3。的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸在線段CG上，直線OP與平面

所成的角為a,貝”ina的取值范圍是

22

6.如圖，K、B是雙曲線c：2=1（。〉0乃〉0）的左、右焦點(diǎn)，過工的直線與雙曲線c交于A、

3兩點(diǎn).若A是56中點(diǎn)且5則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±2y/3xB.y=±2A/2X

C.y=±y/3xD.y=±y/2x

2-ax,x<l

7.已知函數(shù)/(%)=11332/c2八11J若對任意石<%2都有

一x—cix+(2〃+2)x-----，無>1

132、'6

/（%）—/（9）＜2%—2%,則實數(shù)0的取值范圍是（）

A.(f-2)B.[1,+co)C.D.-8----

I4

8.棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最

大半徑為（）

A.昱B.—C.巫D.史

36126

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.一組數(shù)據(jù)6,。2,…,為023(。1＜。2＜。3＜…＜。2023)，記其中位數(shù)為瓦均值為根，標(biāo)準(zhǔn)差為耳，由其得到

新數(shù)據(jù)26+1,2%+1,2。3+1,-,24023+1的標(biāo)準(zhǔn)差為52,下列結(jié)論正確的是()

A.k—〃]0i2B.〃ioii<加<%012C.TTI2kD.s2=2sl

兀7T

10.已知函數(shù)〃無)=sin(8+9)0>己闞＜-,和%為了(%)的兩個極值點(diǎn)，且人-巧|的最小值為一,

V2y2

直線x=:為/(%)圖象的一條對稱軸，將/(X)的圖象向右平移四個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

312

下列結(jié)論正確的是()

Aco=4

C.7(x)在間-巳,0上單調(diào)遞增D.g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)￡,0對稱

2sin7LY,0<%<2

11.已知函數(shù)/'(%)=1/、，下列說正確的是()

-/(x-2),x>2

當(dāng)％6[2",2"+2]("6?4)時，/(%)=(sin兀(無一2")

A.

函數(shù)/(X)在2〃,2"+g(

B.〃eN*)上單調(diào)遞增

C.方程〃x)=lg(x+2)有4個相異實根

D.若關(guān)于彳的不等式〃X)4左(1—2)在［2,41恒成立，則左21

12.圓柱。反高為1,下底面圓。的直徑A3長為2,8片是圓柱。。的一條母線，點(diǎn)P,Q分別在上、下

底面內(nèi)(包含邊界)，下列說法正確的有().

A.若PA+PB=3,則尸點(diǎn)的軌跡為圓

B.若直線OP與直線。四成45。，則P的軌跡是拋物線的一部分

C.存在唯一一組點(diǎn)P,Q，使得AP±PQ

D.4「+p。+。用的取值范圍是［舊,2百+逐］

第II卷(共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點(diǎn)A(-M),8(3,y),向量萬=(1,2),若通與行成銳角，則y的取值范圍為.

14.如果圓臺的上底面半徑為5,下底面半徑為R,中截面(與上、下底面平行且等距的平面)把圓臺分為

上、下兩個部分，其側(cè)面積的比為1:2,則火=.

15.若關(guān)于X的不等式優(yōu)+小屋加在(0,+。)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

22

16.已知橢圓C:二+與=l(a〉6〉0),過C中心的直線交C于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在x軸上其橫坐標(biāo)是點(diǎn)

a2b-

M橫坐標(biāo)的3倍，直線NP交C于點(diǎn)Q,若直線QM恰好是以為直徑的圓的切線，則C的離心率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(sinC+sinB)(c-O)=a(sinA—sing).

(1)求角C的大小

(2)若/ACB的平分線交AB于點(diǎn)。，且CD=2,AD=2DB，求AABC的面積.

18.如圖，三棱錐S—ABC的底面A3C和側(cè)面S3。都是等邊三角形，且平面平面A3C,點(diǎn)P

在側(cè)棱上.

(1)當(dāng)尸為側(cè)棱&4的中點(diǎn)時，求證：S4,平面P3C；

pA

(2)若二面角P—5C—A的大小為60。，求一的值.

SA

19.已知在數(shù)列｛%,｝中，%=l,a〃+i=2（〃+l）a”.（“eN

n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)若數(shù)列他,｝的通項公式在外和d+i之間插入上個數(shù)，使這左+2個數(shù)組成等差數(shù)列，將插入

的女個數(shù)之和記為4,其中％=1,2,n,求數(shù)列｛c“｝的前〃項和.

20.某中學(xué)有A,8兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(AA)(A6)（民⑷(B，B)

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計概率.

(1)估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)假設(shè)〃表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，P(M)>0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證

明.網(wǎng).

21.已知函數(shù)〃x)=lnx,g(x)-ex.

YI1

(1)若函數(shù)9(x)=/(x)-:-----,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

X-1

(2)設(shè)直線/為函數(shù)/(%)的圖象上一點(diǎn)處的切線.證明：在區(qū)間(1,+8)上存在唯一的

%,使得直線/與曲線y=g(x)相切.

22.已知動圓過點(diǎn)/(0,1),且與直線/:y=-l相切，設(shè)動圓圓心。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過/上一點(diǎn)p作曲線C的兩條切線PAM,A,3為切點(diǎn)，叢,尸5與x軸分別交于"，N兩

點(diǎn).記△AR0，&PMN,△跳N的面積分別為S］、邑、S3.

(i)證明：四邊形RVPAf為平行四邊形；

,2

(ii)求^的值.

5區(qū)

山東省實驗中學(xué)2024屆高三第三次診斷考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形

2.本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1

頁至第3頁，第n卷為第3頁至第4頁.

3.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

4.非選擇題的作答：用0M加黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

第I卷（共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合”"乂/一》一2<0},N={XGZ|2X+1〉0},則MCN=（）

A.51C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】化簡集合MM根據(jù)交集運(yùn)算得解.

【詳解】因為M={x|無2-％-2<0}={x[—l<x<2},N=Z|x〉-g1,

所以McN={0』}.

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=3-2i,則復(fù)數(shù)z的實部為（）

8811

A.—B.——C.—D.——

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,即可得答案.

…叔、"1一o）「汨3-2i（3-2i）（l-2i）-1-8118.

【詳解】由（l+2i）z=3—21可得z=----=-----L------=------=------1,

'7l+2i5555

故復(fù)數(shù)Z的實部為-工，

5

故選：D

3.數(shù)列｛4｝滿足4+|=d，"eN*，貝產(chǎn)。1=2”是"｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：由=。；一。"=怎（?！币?）>0,解得a“<0或4〉1,

所以“q=2”是“｛an｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A

4.把一個正方體各面上均涂上顏色，并將各棱三等分，然后沿等分線把正方體切開.若從所得的小正方體

中任取一個，恰好抽到2個面有顏色的小正方體的概率為（）

2841

A.-B.—C.-D.-

92792

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.

【詳解】一共有3x3x3=27個小正方體，

其中2個面有顏色的小正方體有12個，（每條棱上有1個）

124

所以恰好抽到2個面有顏色小正方體的概率為一=一.

279

故選：C

5.如圖在正方體中，點(diǎn)。為線段5。的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸在線段CG上，直線0P與平面

48。所成的角為a,貝|Jsina的取值范圍是

c.停苧

【答案】B

【解析】

【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，則AG=所以

333l_

-+——2+3

22逑，cosZA.OC=,sinZ^OC=—

cosZ2410GsinZ2410cl

32x@33

2x-

22

又直線與平面所成的角小于等于90。，而NA。。為鈍角，所以5皿a的范圍為[二2]],選B.

【考點(diǎn)定位】空間直線與平面所成的角.

22

6.如圖，耳、心是雙曲線C：，—g=l（a〉0]〉0）的左、右焦點(diǎn)，過工的直線與雙曲線C交于A、

8兩點(diǎn).若A是Bg中點(diǎn)且36，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=B.y=

C.y=±y/3xD.y=±y/2x

【答案】A

【解析】

【分析】^\AB\=\AF2\=m,利用雙曲線的定義得|A耳|=|A周+2a=m+2a,忸耳|=忸周—2a=2zn—2%

bh

再利用勾股定理建立方程組，消去〃2,得到13。2=°2,進(jìn)而得到—的值，由y=±2*得到雙曲線的漸近線

aa

方程.

【詳解】設(shè)|AB|=|A周=〃z,|A耳|=|A閭+2°=m+2°,忸娟=忸周-2a=2相一2a,

忸用2+畫2=|A周2,網(wǎng)「+忸曰=國歐,

(2m—2^)2+m2=(根+2〃)？①,

(2m—2tz)2+4m2=4/②，

由①可得根=3〃，

代入②式化簡得：134=/,

***12a2=/?2,=2^3,

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±-x=土2區(qū).

a

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、漸近線方程，解題時要注意如果題干出現(xiàn)焦半徑，一般會用到雙曲線的

定義.

2-ax,x<\

7.已知函數(shù)/'(%)=<1332/c2八11,，若對任意石<%2都有

—x—ax+12tz+2)x-----,x>1

132、'6

f(xl)-f(x2)<2x1-2x2,則實數(shù)a的取值范圍是()

【答案】A

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為任意％<%都有/(%)—2石</(9)—29，令g(x)=/(x)-2x,得到g(x)在R上

遞增求解.

【詳解】解：因為若對任意石<%2都有/(%)一/(%2)<2%一2%2,

所以對任意不<%2都有</(X2)-2X2,

令g(x)=/(x)—2x,則g(%)在R上遞增,

當(dāng)工?1時，g(x)=2—(a+2)%,則Q+2V0,即。<—2成立;

1311

當(dāng)X>1時，g(九)=—/QX?+2〃2%2---,

326

貝！Jg'(x)=/一3at+2片，

Qr\[

當(dāng)丑41,即。<一時，g'(l)=l-3a+2a2>0,解得(?<-；

2

當(dāng)網(wǎng)〉1,即a〉2時，g'(^-]=-La>0,無解；

23I2J4

17113

又2—(〃+2)<---〃+2〃2----,即4/—〃—320，解得—或

v73264

綜上：a<—2,

故選：A.

8.棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最

大半徑為()

AA/3RA/2RA/6NA/6

36126

【答案】C

【解析】

【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用匕_BCO=%-88+%-.0+%必8+%-神￡)求出內(nèi)切球的

半徑，再通過4義=也求出空隙處球的最大半徑即可.

AOOF

【詳解】由題，當(dāng)球和正四面體A-5CD的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時半徑最大,

設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為R,空隙處最大球的球心為Q,半徑為，

G為△BCD的中心，得AGL平面BCD,E為CD中點(diǎn)，

球。和球0分別和平面ACD相切于R,H,

在底面正三角形BCD中，易求BE=6，BG=-BE=^^，

33

AG=yjAB2-BG1=^4-1=

又S=S=S=S=-x4=^3，

4ABmCxABD△ACD/J△oBCCZD74

3匕一8co_________又

由^A-BCD-^O-BCD+^O-ABC+^O-ACD+^O-ABD，即得RVIVIVIc'乂

°ABCD丁丁0AABD°AACD

20V62：A/6A/6

..K=—T==----，AO=AG—CJO---------------=-----，

4G6362

4c“”2屈2A/6V6

AO,=AG—2R—r------------------r---------r，

1363

又△AHO'fAFO,可得42=也即r=逅，即球的最大半徑為亞

AOOF1212

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.一組數(shù)據(jù)6,為023（。1<。2<。3<…<%023），記其中位數(shù)為左，均值為根，標(biāo)準(zhǔn)差為S],由其得到

新數(shù)據(jù)26+1,2%+1,2。3+1〉-,24023+1的標(biāo)準(zhǔn)差為52,下列結(jié)論正確的是（）

A.k=。1012B.[[0[1<加<“1012C.m>kD.S]=2為

【答案】AD

【解析】

【分析】利用中位數(shù)的定義可判斷A選項；舉反例可判斷B選項C；利用均值和方差公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因％<“2023，

樣本數(shù)據(jù)最中間項為al%，

由中位數(shù)的定義可知，左=%)12，A正確;

8

對于B,不妨令=n(/I=1,2,..2022),a2023=100,

n?1+2+…+2022+10(/1+2+…+2023

則m=--------------------->---------------=1012=>B錯誤;

20232023

對于C,不妨令=〃("=1,2,…,2022),%023=2022.1,

n,1+2+---2022+2022.11+2+---2022+2023

則"2=---------------------------------------------------<-------------------------------------------------=1012=al012=k,C錯誤;

20232023

對于D,數(shù)據(jù)2%+1,2a2+1,2a3+1,---,2?2024+1的均值為:

20242024

2(2。,+1)2羽

i=l_____________i=l+1=2m+1

20242024

20242024

^[(2?,.+l)-(2m+l)]45(4-一加日

其方差為D對.

11=1

§22024-。2024

故選：AD

(兀、71

10.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+9)6y>0,|^|<-為八》)的兩個極值點(diǎn)，且歸一司的最小值為一，

I2J2

直線彳=三為〃》)圖象的一條對稱軸，將“力的圖象向右平移.個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

312

下列結(jié)論正確的是()

“兀

A.co=4B.(p=---

6

c.在間-”上單調(diào)遞增D.g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)go1對稱

【答案】BCD

【解析】

T兀

【分析】由題意可得一=—,即可求出外，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可求出。，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性

22

和對稱性即可判斷CD.

【詳解】因為占,%為了(%)的兩個極值點(diǎn)，且四的最小值為1~,

Tjr27r

所以一=2=」，所以。=2,故A錯誤；

222?

則/(x)=sin(2x+0),

又直線x=g為/(%)圖象的一條對稱軸，

27rjrJr

所以---\-(p=—+kjt,所以夕=-----卜kit,keZ,

326

又冏<]‘所以°=—怖’故B正確；

所以/(x)=sin12x-2，

[兀八/日。兀兀兀

由，1#2%--G——,

L6J626

所以/(x)在間-￡,0上單調(diào)遞增，故C正確;

將了(%)的圖象向右平移土個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

sin2(x~~71

貝1Jg(尤)==sin2x--\,

6I3

因為g0,

所以g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確.

故選：BCD.

2sin7ix,0<x<2

11.已知函數(shù)/'(x)=1.、，下列說正確的是()

-f[x-2),x>2

當(dāng)16[2%2"+2](九6]>1")時，/(x)=gsin兀(x-2")

A.

函數(shù)/(x)在2",2〃+g(

B.〃eN*)上單調(diào)遞增

C.方程y(x)=lg(x+2)有4個相異實根

D.若關(guān)于彳的不等式〃工)?左(工一2)在[2,41恒成立，則上

【答案】BC

【解析】

【分析】A、B項利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性求解；C項，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)解決方程根的問題；D項，利

用切線性質(zhì)解決不等式問題.

2sinTLX,0<x<2

【詳解】A項，;?(%)=1，表示當(dāng)龍?0,2]時，了(無)向右平移2個單位長度時，y值

-f[x-2),x>2

變?yōu)樵瓉淼牧?，所以?dāng)xe[2〃,2〃+2](〃eN*),/(力=擊

sin7兀i(x-2n),A項錯誤;

「1135

B項，當(dāng)xe[0,2]時，〃x)=2sin兀V,增區(qū)間為0,-和-,2,當(dāng)xe[2,4]時，增區(qū)間為2,—和

L，」22

1,4,同理可得，所以〃尤)在2〃,2〃+；(”eN*)上單調(diào)遞增，B項正確;

55

C項,如圖所示，y=/(x)與g(x)=lg(x+2)的圖象,滿足了>g

象共有4個交點(diǎn)，所以方程/(x)=lg(x+2)有4個相異實根，C項正確;

D項，當(dāng)xe[2,4]時，/(x)=sin7t(x-2),

所以/(x)<左(x-2)nsin7i(x-2)W左(％—2),

當(dāng)兩函數(shù)相切時，上有最小值，/，(X)=7TCOS7l(X-2),

所以/'(2)=兀，所以左2兀，D項錯誤.

y=*<x-2）

故選：BC.

12.圓柱。a高為1,下底面圓。的直徑A3長為2,8月是圓柱的一條母線，點(diǎn)P,Q分別在上、下

底面內(nèi)(包含邊界)，下列說法正確的有().

A.若PA+PB=3,則尸點(diǎn)的軌跡為圓

B.若直線0P與直線。瓦成45°,則P的軌跡是拋物線的一部分

C.存在唯一的一組點(diǎn)P,Q,使得APLPQ

D.AP+PQ+Q5］的取值范圍是［、河,26+石］

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式以及向量夾角公式列式計算可得點(diǎn)尸的軌跡方程判斷

選項A和選項B,假設(shè)根據(jù)勾股定理列式結(jié)合均值不等式計算最值，即可判斷選項C,計算

AP+PQ+QB1的最大值3AP判斷選項D.

【詳解】對B,如圖，不妨以。為原點(diǎn)，以A3的垂直平分線，OA,OO.

分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),A(0,1,0),5(0,-1,0),

4（0,—1,1）,設(shè)尸（蒼％1）,則函=（0,-1,1）,麗=（蒼％1）,

—y+1V212

由題意,F，化間得，y=一一％，

7（-i）2+i2x^2+r+i2z2

由于尸點(diǎn)在上底面內(nèi)，所以尸的軌跡是拋物線的一部分，故B正確;

22

___________土+匕=1

對A,PA+PB=3,7^2+（y-D2+i+舊+(y+l『+l=3,化簡得了十一黑一1,即P點(diǎn)的軌跡為橢

420

圓，故A錯誤;

對C,設(shè)點(diǎn)P在下平面投影為6,若APLPQ,

22222

則AP+PQ=AQ,則AP^+1+P1Q-+1=AQ-,

當(dāng)片在線段AQ上時，A邛+6?？扇∽钚≈?，

由均值不等式，A《2+《Q2N2X呼-=當(dāng)-,

當(dāng)且僅當(dāng)APX=PXQ=^-時等號成立，

所以2=AQ2_（A《2+《Q2）W^_,即40224,

而點(diǎn)。只有在與點(diǎn)8重合時，才能取到4，

此時點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，點(diǎn)尸與點(diǎn)。1重合，故C正確；

對D,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)⑸，點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，

AP+PQ+QB］的值為3Ap=3#+2?=3小>24>+小,故D錯誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】判斷本題選項B時，利用定義法計算線線所成的角不好計算時，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利

用向量夾角的計算公式列式計算.

第II卷（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點(diǎn)A（-U）,B（3,y）,向量N=（l,2）,若通與商成銳角，則y的取值范圍為.

【答案】（―1,9）U（9,4W）

【解析】

【分析】根據(jù)向量夾角為銳角利用數(shù)量積求解.

【詳解】因為通=（4?-1）,a=（1,2）,通與9成銳角,

所以AB-a=4+2y—2=2y+2〉0，

解得y>—i,

4=2

當(dāng)而與日同向時，(4,y-l)=2(l,2)(4>0),即1,…，解得y=9,

y-1=22

此時滿足麗.日>0，但行與方所成角為0,不滿足題意，

綜上，窈與@成銳角時，y的取值范圍為(—1,9)U(9,y).

故答案為：(―l,9)U(9,y)

14.如果圓臺的上底面半徑為5,下底面半徑為R,中截面(與上、下底面平行且等距的平面)把圓臺分為

上、下兩個部分，其側(cè)面積的比為1:2,則火=.

【答案】25

【解析】

【分析】中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，則兩個圓臺的側(cè)高相等，且中截面半徑等于兩底面半徑和的一

半，根據(jù)中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側(cè)面積的比為1:2,我們易構(gòu)造出關(guān)于R的方程，解方程即可

求出火的值.

【詳解】設(shè)中截面的半徑為一，則廠①，

2

記中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側(cè)面積分別為豆、S?,母線長均為/,

S[=兀(5+r)/,S2=n(R+r)l,

又:S2=1:2,

(5+r):(R+r)=1:2②，

將①代入②整理得：R=25.

故答案為：25

15.若關(guān)于x的不等式仁+3注加在(0,+e)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(f,2e]

【解析】

【分析】利用分離參數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)來求得a的取值范圍.

【詳解】依題意，不等式(爐+1)寸2加(0,+。)恒成立，

即aW(%+，產(chǎn)在(0,+“)恒成立,

%2

、幾(x2+l)el

以f(%)="~J^~(x>0)，

X

3

爐+%—2x-1+x-lx_(xT乂%2+x+2)x

/'(x)=----;——exae=；e

其中廠+：+2]〉0,所以〃龍）在區(qū)間（0,1）上，/'（x）＜0"（x）單調(diào)遞減;

在區(qū)間（1,+8）上，/'（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增,

所以/(x)2/(l)=2e,所以aW2e,

所以。的取值范圍是（fo,2e].

故答案為：（f,2e]

Xy2

16.已知橢圓C：一十=l（a〉6〉0）,過C中心的直線交C于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在x軸上其橫坐標(biāo)是點(diǎn)

ab2

M橫坐標(biāo)的3倍，直線NP交C于點(diǎn)Q,若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為

【答案】B

2

【解析】

【分析】利用三條直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)差法可得.

【詳解】

設(shè)"（七,%）,Q（w，%）,則N（一%,一%）,尸（3%,0）,

設(shè)占、左2、左3,分別為直線肋V、加、N尸的斜率,

因直線是以MN為直徑的圓的切線

所以加，肱V,k,k.=-1,

所以左2左3=_a，

7y?+y

又Q在直線NP上，所以右=工

X2

因M、。在二+21=l(tz>/?>0)±,

ab2

22

所以馬+￥=1，々“2

---------------=1,

ab/b2

兩式相減得史受+支子=0,

CTb-

整理得造斗.q=_1,

Mx9-xa

故，專

故答案為：息

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知(sinC+sinB)(c—6)=a(sinA—sinB).

(1)求角C的大小

(2)若/ACB的平分線交AB于點(diǎn)。，且CD=2,AD=2DB，求AABC的面積.

7T

【答案】(1)c=-

3

(2)班

2

【解析】

【分析】(1)由(sinC+sinB)(c—Z?)=a(sinA—sinB),利用正弦定理轉(zhuǎn)化為/+/一C2=。匕，再利用

余弦定理求解；

2

(2)方法一根據(jù)CD平分NACB,且AD=2DB，利用角平分線定理得到b=2a,AD=-c,

3

BD=\c,再由cosC=L,COSNACD=昱,求得邊長，再利用三角形面積公式求解.方法二根據(jù)

322

C￡＞平分ZACB,且=得到b=2a,然后由切亞。+508=S.c，求得邊。，再利用三角

形面積公式求解.

【小問1詳解】

解：由(sinC+sinB)(c—A)=a(sinA-sinB)及正弦定理，

得(c+b)(c-b)=a(a-b),BPa2+b2-c2=ab>

a"+b2-c21

所以cosC=

2ab2

TT

因為Ce(0,7i),所以C=—.

3

【小問2詳解】

方法一因為CD平分/ACS,S.AD=2DB,

得■翳

所以由角平分線定理,2,

21

則有人=2〃，AD--c,BD=-c.

33

,片+4片—/乙曰r-

由cosC——=------------,得c=<3a-

24/、

4

中國4。9+4—c0

又cosZACD=—=-----------2_'

28a

將。=6a代入，可得〃=6~或a=百.

2

當(dāng)。=且時，c=3,則。3+匿=工+走<2，故舍去，所以a=G.

2222

所以S^ABC=^absinC=^-xx2^3x

rAAn

方法二因為S平分/ACB,且AD=2D5,所以一二——=2,則有人=2〃.

CBDB

因為S^ACO+S&BCD=^ABC9

,1.7117C1.71

所以一x2x〃7xsm—+—x2x〃xsin—=—〃7bsin一,

262623

則有2。=正〃，所以。=百，

22

訴“1713百

所以S^ABC=ga^sin]=2?

18.如圖，三棱錐S—ABC的底面ABC和側(cè)面S3。都是等邊三角形，且平面S5CL平面A5C,點(diǎn)P

在側(cè)棱上.

（1）當(dāng)尸為側(cè)棱&4的中點(diǎn)時，求證：S4,平面P3C；

（2）若二面角尸—3C—A的大小為60。，求——的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）四=土詆

SA2

【解析】

【分析】（1）通過證明S4L3P和S4LCP即可得證；

（2）取BC的中點(diǎn)。，連接SO,AO,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,AO,OS所在直線分別為x軸、y

軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法建立關(guān)系可求解.

【詳解】（1）證明：因為"RC為等邊三角形，所以A3=AC=5C.

因為ASBC為等邊三角形，所以S5=SC=5C,所以A5=S3,AC=SC.

在等腰△BAS和等腰△CAS中，因為尸為以的中點(diǎn)，所以S4,3P,SA±CP.

又因為=BP，CPu平面P3C,所以S4,平面P3C.

(2)如圖，取BC的中點(diǎn)。，連接SO,A0,則在等邊AABC和等邊△SBC中，有3CLAO,

BC±SO,所以NAOS為二面角S—5C—A的平面角.

因為平面S3CL平面A3C,所以NAOS=90°,即AOLSO.

所以。4,OB,OS兩兩垂直.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,AO,QS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=a,

則/Ta,。]/6)

,8；a,0,0,C(-1G,0,0I,S0,0,—a

[2)2J

因為P在以上，設(shè)AP=XAS(O<2<1),P(0,y,z),

/走],