空間向量與立體幾何：動點問題、邊長缺失問題、最值與范圍問題

高頻考點分析

1.動點的表示方法：

(1)若動點所在直線與坐標(biāo)軸平行或重合，則直接設(shè)動點坐標(biāo).

①若動點尸所在直線與x軸平行或重合，則動點尸的坐標(biāo)可設(shè)為(x,〃z,〃)，其中根、”為常數(shù)，X為變量.

②若動點尸所在直線與X軸平行或重合，則動點尸的坐標(biāo)可設(shè)為(加,％”)，其中小、〃為常數(shù)，y為變量.

③若動點尸所在直線與x軸平行或重合，則動點尸的坐標(biāo)可設(shè)為0〃,〃,z),其中加、〃為常數(shù)，z為變量.

(2)若動點所在直線與坐標(biāo)軸不平行，已知點4(石,其，4)、8(%2，%*2)，動點尸(%,%，Z3)在直線上運(yùn)動,

則Q//Q,所以而=2AB,由此可表示出P點坐標(biāo)或直接利用AP表示出目標(biāo)向量.

2.邊長缺失問題

(1)設(shè)所求邊長為人

(2)將r代入求直線向量與平面的法向量；

(3)翻譯題目所給條件，得到關(guān)于t的方程，求解的九

※題目所給附加條件可以是位置關(guān)系、空間角度大小或空間距離等.

3.最值與范圍問題

(1)明晰是動點還是邊長缺失引起的最值問題，設(shè)出動點或邊長；

(2)利用設(shè)出的動點或邊長，表示直線向量與平面的法向量；

(3)翻譯題目所求的幾何量，進(jìn)而根據(jù)解析式的形式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪?

4.代數(shù)法求最值的常見方法

(1)單調(diào)性法(2)二次函數(shù)法(3)三角函數(shù)法(4)換元法

(5)基本不等式法(6)分離常數(shù)法(7)判別式法

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

真題速遞

1.（2024?新課標(biāo)I卷?高考真題）如圖，四棱錐尸-ABC。中，底面ABC，PA=AC=2,BC=1,AB=6.

⑴若證明：〃平面「5C；

（2）若AO1OC,且二面角A-CP-。的正弦值為》求AD.

7

2.（2023?新課標(biāo)I卷?高考真題）如圖，在正四棱柱ABCD-AB1G2中，AB=2,AAl=4.點人1八6,。2分別在棱

明,2昂CC1,皿上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：B2C2^AD2；

⑵點P在棱B片上，當(dāng)二面角尸-4c2-&為150。時，求22P.

2

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

實戰(zhàn)演練一：動點問題

1.(24-25高三下?天津?階段練習(xí))如圖，在多面體ABCDGE尸中，四邊形ABC。為直角梯形，且滿足

EG//AD,EG=AD=DC=DG=2BC=2,CD//FG,DG1ABCD.

(1)證明：AG，平面COE；

(2)求平面CDE與平面ABE夾角的余弦值；

(3)在線段BE上是否存在一點尸，使得直線DP與平面ABE所成角的正弦值為嶇？若存在，求啜的值；若不存

85EB

在，說明理由.

2.(24-25高三下?山西晉中?階段練習(xí))如圖，正方體ABCQ-A4GA的棱長為3,M為CD的中點，點N在線段4。

上(不含端點).

⑴若〃平面ADRA，求證：N為AC的中點;

(2)若平面ADN與平面CDN夾角的余弦值為回，求線段CN的長度.

10

3

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

3.(2025?陜西咸陽?二模)如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=2,沿AC將△AOC折起，使點。到達(dá)點P

的位置，點尸在平面ABC的射影H落在邊4B上.

(1)求三棱錐尸-3S的體積；

(2)若M是邊PC上的一個動點，是否存在點M，使得平面與平面PBC的夾角正切值為叵？若存在，求點V

3

到平面A3C的距離；若不存在，請說明理由.

4.(2025?北京石景山?一模)如圖，在四棱錐尸一ABCD中，PA_L平面ABC。，ABIICD,S.CD=2,AB=1,BC=l,

PA=2,ABIBC,N為尸。的中點.

(1)求證：AN〃平面尸3C；

(2)求二面角C-PD-A的余弦值；

(3)點M在線段AP上，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為如，求點M到平面PCD的距離.

4

2025屆局三三輪沖刺局頻考點復(fù)習(xí)講義

5.(2025?山西太原?一模)如圖，在多面體A8CD所中，四邊形A2CD是邊長為2的菱形，且NBAO=60°,DEI

平面A8C￡),平面BCF_L平面A8CO,ZXBC尸是等邊三角形.

(1)求證：AD1EF；

(2)若。石=26，點G是線段BF上一點，二面角。-AG-E的余弦值為g,求8G的長.

6.(2025?吉林長春?模擬預(yù)測)斜三棱柱ABC-ABG各棱長為4,NAA8=7mT，O為棱網(wǎng)上的一點.

⑴求證：AB±AC；

⑵若平面44由8,平面ABC,且二面角A-4D-C的余弦值為叵，求8。的長.

7

5

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

實戰(zhàn)演練二：邊長缺失問題

1.(24-25高三下?遼寧?階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面4BC。為梯形，AB//CD,PC=PD=4,AB=6,

PA=30，PB=3屈,Af是棱CO上一點，且二面角M-AP-B為直二面角.

⑴證明：M是C。中點；

(2)若且二面角尸-AO-B的余弦值為"，求CQ的長.

6

2.(24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?期末)如圖，在直三棱柱中，C4=3,CC1=4,二面角A-CQ-B為直二

面角.點N為棱G片的中點，棱4瓦與平面ACN相交于點M.

(1)求證：M為棱AM的中點；

(2)若直線AG與平面ACN所成角的正弦值為士石，求CB的長.

6

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

3.(2025?新疆?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABC。中，尸。J_平面ABC。，底面A3。為菱形，ZABC=60°.

⑴求證：AC1PB；

⑵若48=2,當(dāng)平面平面尸BC時，求PO的長.

4.(2025?北京東城?一模)如圖，在幾何體ABCQEF中，四邊形ABC。為平行四邊形，平面ADEL平面

CDE,ADLDE,AD=DE=DC=1,BF//DE.

(1)證明：FC〃平面ADE；

(2)已知點E到平面A/C的距離為再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求3尸的長.

2

條件①：AE1CD.

條件②：AC=CE.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

7

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

5.(24-25高三下?江蘇鹽城?階段練習(xí))直三棱柱ABC-A與C-已知NA2C為直角，CC1=3,BC=2,線段CQ上

有一點M,G"=1線段8片存在一點N,使得CN_L面腸1B.

⑴求CN長；

(2)若二面角N-AC-3所成角余弦值為叵時，求AB長.

7

6.(24-25高三下?江蘇?開學(xué)考試)如圖，在三棱錐尸-AOE中，C為棱尸。上一點，AC=l,AE=—,CE=—

33

S.ACLPD,PDVDE.

(1)證明：ACL^PDE.

(2)求四面體ACDE的外接球的體積;

(3)若平面CAE與平面ADE夾角的余弦值為獨(dú)1,求DE的長.

13

8

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

實戰(zhàn)演練三：最值與范圍問題

1.(2025?寧夏?一模)如圖，已知四棱臺ABC。-A與G2的上、下底面分別是邊長為1和2的正方形，O為底面

ABCD的中心，A4,=46,ZA^AB=ZA.AD,cosZ^AC=^-.

(1)求證：A。，平面ABC。；

⑵設(shè)M為的中點，CM交于點尸，點Q滿足面，比(0W1).

(i)求直線AP與平面BCG與所成角的正弦值；

(ii)求平面4人尸與平面4尸。夾角的余弦值的取值范圍，并說明f取何值時，平面4APJ.平面APQ.

2.(2025?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱中，AB=A4=2AC=4,cos/B4C=，P是四邊形

AACG(不含邊界)內(nèi)的動點且BP=4.

(1)求證：8(7，平面4436；

⑵求平面42尸與平面8C尸所成角的余弦值的取值范圍.

9

2025屆高三三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)講義

3.(24-25高二上?遼寧?期末)如圖①，在AABC中，C=90°,BC=AC=3,D,E分別是AC,AB上的點，滿

足.DEHBC,且。￡經(jīng)過△ABC的重心.將△ADE沿。E折起到的位置(如圖②)，使A,C_L平面8COE,存在

動點“，使病=2而(/1>0).

(1)當(dāng)彳=g時，求平面CMB與平面MEB夾角的余弦值;

(2)設(shè)直線BM與平面ABE所成角為6,求sin9的最大值.

①②

4.(2025?湖南邵陽?一模)如圖，在直四棱柱&88-4862中，4。=2,BC=CD=O,ZDCB=90°,ZDAB=45°,

E,尸分別為AD,AB的中點.

(1)求證：AD1BD；

⑵求證：平面BDCJ!平面EFD｛；

(3)若CG