PAGEPAGE1專題2.5二次函數(shù)與冪函數(shù)1．（2024·遼寧沈陽二中月考）冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝x.故選D.2．（2024·河南洛陽一中期中）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是()【答案】D【解析】由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函數(shù)圖象開口向上，解除A、C.又f(0)＝c＜0，所以解除B，故選D.3.（2024·四川綿陽一中期中）二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x－1)>0的解集為()A．(－2,1)B．(0,3)C．(－1,2]D．(－∞，0)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】依據(jù)f(x)的圖象可得f(x)>0的解集為{x|－1＜x＜2}，而f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，故f(x－1)>0的解集為(0,3)．故選B.4．（2024·云南普洱一中月考）若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】D【解析】∵y＝x(x>0)是增函數(shù)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))).∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是減函數(shù)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，∴b＜a＜c.5．（2024·黑龍江伊春一中期末）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，－1是f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn)，那么不等式f(x)>0的解集是()A．(－4,2) B．(－2,4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】依題意，f(x)圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根是2，另一個(gè)根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4.6．（2024·內(nèi)蒙通遼一中月考）已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【解析】依據(jù)題意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，∴n＝3，∴f(x)＝x3.∵f(x)＝x3是定義在R上的增函數(shù)，又－eq\f(1,2)＜0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝1＜lnπ，∴c＜a＜b.7．（2024·山西運(yùn)城一中期末）已知函數(shù)y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是單調(diào)函數(shù)，則y＝2ax＋b的圖象不行能是()【答案】B【解析】選項(xiàng)A中，a＝0時(shí)，符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)≥0且y＝2ax＋b與x軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，0))應(yīng)位于x軸非負(fù)半軸，B不符合題意．選項(xiàng)C，D符合題意．8．（2024·河北張家口二中期中）若二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值為0，則a＋4b的取值范圍是________．【答案】[2，＋∞)【解析】依題意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.故a＋4b≥2eq\r(4ab)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b，即a＝1，b＝eq\f(1,4)時(shí)等號(hào)成立．所以a＋4b的取值范圍是[2，＋∞)．9．（2024·陜西銅川一中月考）已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，設(shè)p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)依題意得，(m－1)2＝1?m＝0或m＝2，當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)沖突，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必要條件，則B?A，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－k≥1，,4－k≤4，))解得0≤k≤1.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為[0，1]．10．（2024·安徽馬鞍山二中期末）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＞0，,－（x＋1）2，x＜0.))所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在(0，1]上恒成立．又eq\f(1,x)－x的最小值為0，－eq\f(1,x)－x的最大值為－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0]．11．（2024·江蘇蘇州中學(xué)模擬）已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)【答案】C【解析】由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函數(shù)f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故選C.12．（2024·浙江學(xué)軍中學(xué)模擬）已知二次函數(shù)f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為()A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．與a值有關(guān)【答案】C【解析】該二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,4)，又依題意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，所以當(dāng)x1，x2在對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，eq\f(1,4)－x1>x2－eq\f(1,4)，故f(x1)<f(x2)．當(dāng)x1，x2都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，由單調(diào)性知f(x1)<f(x2)．綜上，f(x1)<f(x2)．13．（2024·山東萊陽一中模擬）已知點(diǎn)(m，8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．b<a<c【答案】A【解析】由于f(x)＝(m－1)xn為冪函數(shù)，所以m－1＝1，則m＝2，f(x)＝xn，又點(diǎn)(2，8)在函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3是增函數(shù)．又lnπ>1>2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,3)，因此b>c>a.14．（2024·湖北襄樊五中模擬）已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[0，4]【解析】由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝2(如圖)，若f(a)≥f(0)，從圖象視察可知0≤a≤4.15．（2024·廣東廣雅中學(xué)模擬）已知二次函數(shù)f(x)滿意f(x)＝f(2－x)，且f(1)＝4，f(3)＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得在[1，4)上f(x)的圖象恒在曲線y＝2x＋m的上方？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．【解析】(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c.因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)滿意f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即－eq\f(b,2a)＝1.①因?yàn)閒(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)＝a＋b＋c＝4，②f(3)＝9a＋3b＋c＝0，③聯(lián)立①②③，解得a＝－1，b＝2，c＝3.故f(x)＝－x2＋2x＋3.(2)設(shè)g(x)＝－x2＋2x＋3－2x－m.f(x)的圖象恒在曲線y＝2x＋m的上方等價(jià)于g(x)>0恒成立．所以m<－x2＋2x＋3－2x恒成立．因?yàn)閥＝－x2＋2x＋3在[1，4)上單調(diào)遞減，y＝2x在[1，4)上單調(diào)遞增，所以h(x)＝－x2＋2x＋3－2x在[1，4)上單調(diào)遞減，所以h(x)>h(4)＝－16＋8＋3－16＝－21.即m≤－21.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－21]．1.【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】即則．故選B．2．(2024·上海卷)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝________．【答案】－1【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xα是奇函數(shù)，知α可?。?，1，3.又y＝xα在(0，－∞)上是減函數(shù)，所以α<0，即α＝－1.3．(202