廣西2025屆“武鳴高中-貴百河”高三下學(xué)期4月聯(lián)考測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知（i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．2 D．43．雙曲線兩個焦點，焦距為8，為曲線上一點，，則（）A．1 B．1或9 C．9 D．34．空間中，已知兩條直線，其方向向量分別為，則“”是“與所成角為”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（）A．2 B． C． D．6．已知函數(shù)的周期為1，且在上單調(diào)遞減，則可以是（）A． B．C． D．7．若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A．1 B．2 C．2022 D．20238．定義的實數(shù)根為的“堅定點”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅定點”的是（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，其殘差為，、分布如圖所示，且，，則（）A．樣本正相關(guān) B．C． D．處理后的決定系數(shù)變小10．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有實數(shù)根，，，則（

）A． B．C． D．的最小值為511．如圖，在長方體中，為棱上一點，且，平面上一動點滿足是該長方體外接球（長方體的所有頂點都在該球面上）上一點，設(shè)該外接球球心為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．長方體外接球的半徑為B．點到平面的距離為C．球心到平面的距離為D．點的軌跡在內(nèi)的長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知為銳角，且，則．13．已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是．14．過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最小值是，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在△ABC中，.(1)求A；(2)證明：.16．為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取80名學(xué)生．通過測驗得到了如表數(shù)據(jù)：學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計503080(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍．在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．(2)據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%，且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)?？?cè)藬?shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進行調(diào)查訪談．如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，求該名學(xué)生來自丙校的概率．附：臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．如圖，在四棱雉中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．(1)作出點在平面的射影，并證明平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．18．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍；(3)證明：.19．已知圓和點(1)過點M作圓O的切線，求切線的方程；(2)已知，設(shè)P為滿足方程的任意一點，過點P向圓O引切線，切點為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點N，使得為定值?若存在，則求出定點N的坐標，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，則說明理由；(3)過點M作直線l交圓O于兩個不同的點C，線段CD不經(jīng)過圓心，分別在點C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點E，求證：點E在一條定直線上，并求出該直線的方程.

參考答案1．【答案】B【詳解】由，，，則.故選B．2．【答案】A【詳解】依題意，，所以.故選A.3．【答案】C【詳解】由題意可得，即，又，即，由雙曲線的定義可得，解得或9，又，所以．故選C.4．【答案】A【詳解】由，可以推出與所成角為，但與所成角為時，或，所以是與所成角為的充分不必要條件.故選A.5．【答案】A【詳解】由，得或，設(shè)方程的兩個根為，方程的兩個根為，則，因為函數(shù)的對稱軸都是，則不妨設(shè)，又因為方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則等差數(shù)列為，所以，則.故選A.6．【答案】C【詳解】對于A，的周期為，當(dāng)時，，所以不單調(diào)，故A錯誤；對于B，的周期為可知的周期為2，故B錯誤；對于C，的周期為，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，符合題意，故C正確；對于D，因為的周期為，不合題意，故D錯誤.故選C．7．【答案】D【詳解】∵，∴.故選D.8．【答案】D【詳解】對選項A：，令，則，解得，，存在“堅定點”；對選項B：，在上單調(diào)遞減，時，，時，；在上單調(diào)遞增，時，，時，，所以關(guān)于的方程在上有一解，存在“堅定點”；對選項C：，令，則，即，顯然是“堅定點”；對選項D：，令，則，因為且，所以不存在“堅定點”．故選D.9．【答案】BC【詳解】A，經(jīng)驗回歸方程的斜率，則樣本負相關(guān)，故A錯誤；B，原樣本，因回歸方程過樣本中心，則，解得，故B正確；C，由已知的、分布圖可知，的集中度更高，則更小，故C正確；D，由圖可知，圖2的殘差波動范圍更接近軸，擬合效果更好，決定系數(shù)更大，D錯誤．故選BC．10．【答案】ABD【詳解】解：由得，因為在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以，且，所以，則，所以，因為，所以，所以的最小值是5，故選ABD11．【答案】ABD【詳解】對于A，長方體外接球的半徑，故A正確.對于B，以為A一頂點，為以A為頂點的棱，構(gòu)造棱長為3的正方體，連接，則點A到平面的距離為正方體體對角線長的，得，故B正確；對于C，取的中點，連結(jié)，則，又面，所以面.面平面平面.過作于，則平面.在中，計算得，所以，于是，故C錯誤.對于D，過點A向平面作垂線，垂足為，連結(jié)，則，又，得，即點的軌跡為以為直徑的圓，在中，，所以點的軌跡在內(nèi)的長度為，故D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】由．所以．由于為銳角，所以，則，結(jié)合，所以，因此．13．【答案】【詳解】若函數(shù)的定義域為，值域為，則不同的函數(shù)的個數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個：（1）；（2）；（3）；故所求概率為.14．【答案】【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，由切圓于點，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可知的最小值為，整理可得，解得，且，所以.15．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，，即，化簡得，即，故或，又，解得或（舍去），故．（2）要證，即證，即證，由（1），，所以，即證．不妨設(shè)（其中），則顯然恒成立．故，命題得證．16．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）因為，所以兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間沒有關(guān)系，所有數(shù)據(jù)都擴大10倍后：這時兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間有關(guān)系，所以相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論不一樣，主要是因為樣本容量的不同，只有當(dāng)樣本容量越大時，用樣本估計總體的準確性會越高.（2）抽取甲、乙、丙三所學(xué)校優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)分別為：，記分別為事件“抽到的學(xué)生來自甲、乙、丙學(xué)?！?，為事件“抽到一名優(yōu)秀學(xué)生”，則，，所以，所以從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，該名學(xué)生來自丙校的概率為：.17．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）在中，作，垂足為，點即為點在平面的射影．下面證明平面：因為四邊形為等腰梯形，所以，在，中，，，解得，．又，．又平面平面，平面平面平面，平面，又平面，．又，，，平面，平面．（2）連接點與的中點，則．又平面平面，平面平面，平面，平面．如圖，以為原點，過點且平行于的方向為軸，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則．設(shè)平面的法向量為，易知，所以，則取，則，則．設(shè)平面的法向量為，，，所以，則取，則，則．，故平面與平面的夾角的余弦值為．18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，.因為是偶函數(shù)，先證當(dāng)時，.由，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.因為是偶函數(shù)，所以當(dāng)時，，.綜上，.（2）由，得.因為在上為增函數(shù)，所以對恒成立.①當(dāng)時，恒成立，此時；②當(dāng)時，即對恒成立.令，.由（1）知在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，解得，即a的取值范圍為.（3）由（1）可知，當(dāng)，時，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.令，，則，即.由（2）可得，當(dāng)時，.因為，所以，即.所以.所以.19．【答案】(1)和(2)存在，定點，定值或定點，定值(3)證明見詳解，【分析】(1)分析直線斜率存在與不存在，設(shè)出直線方程，由直線與圓相切，得到方程求解即可；(2)設(shè)，求出關(guān)于點的軌跡方程，再設(shè)，根據(jù)為定值，列方程求解即可；(3)設(shè)出相關(guān)點的坐標，利用垂直關(guān)系及向量計算即可證明.【詳解