/安徽省部分重點中學高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部是（

）A．2 B． C．1 D．2．已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若滿足條件的有兩個，則的值可能為（

）A．7 B． C．9 D．104．設O為等腰內(nèi)切圓的圓心，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，已知分別是邊上的點，且滿足，，與交于，連接并延長交于點．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．26．已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．7．已知球是三棱錐的外接球，，則當點到平面的距離取最大值時，球的表面積是（）A． B． C． D．8．棱長為的正四面體，下列說法錯誤的是（

）A．正四面體的體積是B.正四面體外接球半徑是C．正四面體內(nèi)切球是D．正四面體表面積是多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知為復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．10．某圓錐的底面半徑是3，母線長為4，則下列關于此圓錐的說法正確的是（

）A．圓錐的體積是 B．圓錐側面展開圖的圓心角是C．過圓錐的兩條母線做截面，面積的最大值是8 D．圓錐側面積是11．化學中經(jīng)常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式）?金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為4，則（

）A．正八面體的外接球體積為B．正八面體的內(nèi)切球表面積為C．若點為棱上的動點，則的最小值為D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，，，求的最大值_________.13．已知函數(shù)滿足：．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則當取得最小值時，．14．在三棱錐中，O為的外心，底面ABC，，，且，則三棱錐外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）在平行四邊形中，是線段的中點，點在直線上，且.(1)當時，求的值；(2)當時，與交于點，求的值.16．（15分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的值；(2)若為的中點，且，，求的面積.17．（15分）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長．(3)若為銳角三角形，求的取值范圍．18．（17分）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，點在邊上，且是的平分線，求的面積.19．（17分）為了求一個棱長為的正四面體的體積，某同學設計如下解法.構造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.（1）類似此解法，如圖2，一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為，，，求此四面體的體積；（2）對棱分別相等的四面體中，，，.求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；（3）有4條長為2的線段和2條長為的線段，用這6條線段作為棱且長度為的線段不相鄰，構成一個三棱錐，問為何值時，構成三棱錐體積最大，最大值為多少？[參考公式：三元均值不等式及變形，當且僅當時取得等號]參考答案題號12345678910答案ACCCABDDBDBCD題號11答案BCD12．【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)式，三角函數(shù)的圖象與性質先計算得，再計算何時取最小值即可得結果.【詳解】易知，若，由輔助角公式得，其中，因為，則，則，所以，若，則，其中，同上，與前提矛盾，舍去，故，易知以為對稱中心，根據(jù)題意函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則則當取得最小值時，.故答案為：.【點睛】難點點睛：現(xiàn)根據(jù)確定的值，得出解析式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性計算即可.13．【分析】先求底面的外接圓半徑，確定三棱錐外接球球心的位置，列方程求出三棱錐外接球半徑，進而可求其表面積.【詳解】如圖：設的外接圓半徑為，三棱錐外接球的半徑為.在中，，所以.記三棱錐外接球的球心為，由.故三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：14．【分析】根據(jù)正八面體的特征可知內(nèi)切球的球心為，進而根據(jù)等體積法即可求解半徑.【詳解】設正八面體內(nèi)切球半徑R，給正八面體標出字母如圖所示，連接和交于點，因為，，所以，，又和交于點，平面，所以平面ABCD，所以為正八面體的中心，所以到八個面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，設內(nèi)切球與平面EBC切于點H，所以平面，所以即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以，因為正八面體的棱長為4，所以，，，所以，，因為，，所以，即，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為：．故答案為：15．（1）由已知當時，，所以，，所以，因為，所以，.（2）所以.16．（1），，；（2）為的中點，，又，，①由余弦定理得，，②聯(lián)立①②，解得，，17．（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，故.（2）由（1）得，，∵的面積為，∴，即，解得，由余弦定理得，，∴，故的周長為.（3）由得，則，.∵為銳角三角形，∴，故，∴，故，∴，即的取值范圍是.18．（，又中，，所以，所以，于是，又，所以，又，所以.（2）由得.即，解得，所以.19．（1）類似地，構造一個長方體，設從同一個頂點出發(fā)的三條棱的棱長分別為，則有：，解得：所以即此四面體的體積為2.（2）證明：在四面體中，因為，，，所以四面體的四個面都是全等的三角形，只需證明一個面為銳角三角形即可.設長方體的長、寬、高分別為abc，則，，，所以，即，所以B為銳角；同理可證：A為銳角，C為銳角，所以△ABC為銳角三角形.所以這個四面體的四個面都是銳角三角形