試題PAGE1試題試題PAGE2試題邢臺一中2023-2024學(xué)年第二學(xué)期第三次月考高一年級數(shù)學(xué)試題考試范圍：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步、統(tǒng)計（第一節(jié)）說明：1．本試卷共4頁，滿分150分.2．請將所有填寫在答題卡上，答在試卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如圖所示，在中，，則（

）

A． B．C． D．3．為了了解高一年級學(xué)生的視力情況，特別是近視率問題，抽查了其中100名同學(xué)的視力情況.在這個過程中，100名同學(xué)的視力情況（數(shù)據(jù)）是（）A．總體 B．個體C．總體的一個樣本 D．樣本容量4．某校組織全校1850名學(xué)生赴山東曲阜、陜西西安和河南洛陽三地開展研究性學(xué)習(xí)活動，每位學(xué)生選擇其中一個研學(xué)地點(diǎn)，且每地最少有100名學(xué)生前往，則研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)（

）A．最多有1651名學(xué)生 B．最多有1649名學(xué)生C．最少有618名學(xué)生 D．最少有617名學(xué)生5．已知正四面體，M為AB中點(diǎn)，則直線CM與直線BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．設(shè)，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，給出四個命題：①若，，則

②若，，則③若，，則

④若，，則其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.如圖，在重檐四角攢尖中，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍，則側(cè)面與底面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．8．平行四邊形ABCD中，，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（

）①直線；②直線；③直線；④直線.A．①② B．①④C．②③ D．③④二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點(diǎn)在平面內(nèi)C．如果直線上有兩個點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線10．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C． D．11．如圖，正三棱柱的各棱長均為1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則（

）

A．三棱錐的體積為定值B．的最小值為C．平面D．當(dāng)時，過點(diǎn)的平面截正三棱柱所得圖形的面積為三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12．如圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中∶（1）BM//ED；（2）CN和BE是異面直線；（3）CN和BM成60°角；（4）DM⊥BN；以上四個命中正確的序號是；13．要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實驗，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項中屬于最先檢驗的4顆種子依次是．（下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行）03474373863696473661469863716233261680456011141095977494677442811457204253323732270736075124517989731676622766565026710732907978531355385859889754141014．根據(jù)祖暅原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖1所示，一個容器是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個半徑為的實心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時，水面的高度為．（注：）四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．某化工廠三個車間男?女工人數(shù)如下表：第一車間第二車間第三車間女工人數(shù)150100男工人數(shù)200若按車間人數(shù)用分層抽樣的方法抽取100名工人，則應(yīng)在第一車間抽取35名工人，在第二車間抽取25名工人.(1)求這三個車間的工人總數(shù)及的值；(2)若按工人性別用分層抽樣的方法在第三車間抽取8名工人，則其中有5名女工.求該化工廠這三個車間女工與男工的人數(shù)比.16．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線.

(1)畫出直線的位置，并說明作圖依據(jù)；(2)正方體被平面截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.17．如圖，四邊形是邊長為4的菱形，平面將菱形沿對角線折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面．（1）求證：平面；（2）若，求多面體體積．18．如圖，在四棱柱中，是邊長為2的菱形，且，側(cè)面底面為中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.19．如圖，在直三棱柱中，M，N，P分別為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，在上是否存在一點(diǎn)E，使得與BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．參考答案1．D【分析】設(shè)，代入條件根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出，進(jìn)而可得z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè)，則由得，整理得，所以，解得，所以在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.2．A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：.故選：A.3．C【分析】根據(jù)總體，個體，樣本和樣本容量的定義進(jìn)行求解.【詳解】100名同學(xué)的視力情況（數(shù)據(jù)）是從總體中抽取的一部分個體所組成的集合，所以是總體的一個樣本.故選：C4．D【分析】根據(jù)題意求出最多和最少的人數(shù)即可.【詳解】,，即研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)最少有617名學(xué)生，，即研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)最多有名學(xué)生.故選：D5．B【分析】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接、，利用幾何法求解作答.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接、，因為、分別為、的中點(diǎn)，則且，因此或其補(bǔ)角為直線與直線所成的角，因為為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同理，在等腰中，，所以直線CM與直線BD所成角的余弦值為.故選：B6．B【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理，以及推論，逐項判定，即可求解.【詳解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，若，，則，，相交或異面，故①不正確；若，，則，故②正確；若，，則，故③正確；若，，則或，故④不正確；正確命題的個數(shù)是.故選：.7．B【分析】作出正四棱錐側(cè)面與底面所成角的平面角，利用側(cè)面積和底面積之間的關(guān)系即可求得平面角的余弦值，即得答案.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐為，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則底面，作于E，連接，

底面，則,而平面，故平面，平面，故，故即為平面與底面所成角，也即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角；因為正四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍，故,即，即,在中，，則，即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，故選：B8．A【分析】若，當(dāng)平面平面時，有，可判斷①；若，會超過，故存在，可判斷②；，始終為銳角可判斷③④．【詳解】如圖．

對于①，若，當(dāng)平面平面時，平面平面，平面，所以平面，平面，則，故①正確；對于②，若，則在翻折過程中，會超過，故存在，∵，故直線與直線有可能垂直，故②正確；對于③，在中，∵，∴為銳角，即為銳角，故直線與直線不可能垂直，故③錯誤；對于④，∵，∴中，，∴始終為銳角，故直線不可能與直線垂直，故④錯誤．故選：A.9．BD【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯誤；對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無交點(diǎn)或僅有個交點(diǎn)，故B正確；對C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個在平面不同側(cè)的點(diǎn)到平面的距離相等，則故C錯誤；對D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD10．AC【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與模的定義計算后判斷AC，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法判斷B，由復(fù)數(shù)的模的定義和復(fù)數(shù)相等的定義判斷D．【詳解】設(shè)，則，，A正確；當(dāng)時，，因此B錯誤；，，C正確；時，，，D錯．故選：AC．11．AC【分析】對于,利用，即可證明；對于,將沿展開與正方形在同一個平面內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值,即可求解；對于,利用線面平行的判斷定理即可證明；對于,根據(jù)題中條件首先得到截面圖形，進(jìn)一步求解計算即可.【詳解】由題意可知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到線段的距離，又，所以，所以，為定值，故A正確；將沿展開與正方形在同一個平面內(nèi)，記此時與對應(yīng)的點(diǎn)為，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，即，，故的最小值為，故B錯誤；由點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，得，又平面平面，所以平面，故C正確；連接并延長交于點(diǎn)，連接，則過點(diǎn)的平面截正三棱柱所得截面圖形為，因為，平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，所以，故，故D錯誤．

故選：12．（3）（4）【分析】把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義、異面直線所成角逐一核對四個命題得答案．【詳解】把平面展開圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質(zhì)可知，與異面且垂直，故①錯誤；與平行，故②錯誤；連接，則，為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；在平面上的投影為，根據(jù)三垂線定理得與垂直，故④正確．正確命題的個數(shù)是2個．故答案為：（3）（4）．13．774，428，114，572【分析】依據(jù)題意結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法直接讀數(shù)并滿足號碼不大于850即可.【詳解】依據(jù)題意可知：向右讀數(shù)依次為：774，946，774，428，114，572，042，533，，所以最先檢驗的4顆種子符合條件的為：774，428，114，572.故答案為：774，428，114，572.14．【分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺的體積，因為容器內(nèi)水的體積為，相應(yīng)圓臺的體積為，所以，解得，故答案為：15．(1)，(2)【分析】（1）設(shè)這三個車間的工人總數(shù)為，根據(jù)題意列方程可求出，再根據(jù)分層抽樣的定義可求出的值；（2）由題意可得，，可求出，從而可求出該化工廠這三個車間女工與男工的人數(shù)比.【詳解】（1）設(shè)這三個車間的工人總數(shù)為，則，解得.由，得.（2）在第三車間抽取8名工人，則其中有5名女工，，即.又由（1）易知，..該化工廠這三個車間女工與男工的人數(shù)比為.16．(1)作圖見解析，依據(jù)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，三個平面兩兩相交，三條交線的可能情況分析，此題中的三條交線必定交于一點(diǎn)，即可作圖并寫出依據(jù).（2）根據(jù)作出的圖形可以發(fā)現(xiàn)正方體被平面截成兩部分，較小部分為三棱臺，由棱臺體積公式即可求解.【詳解】（1）如圖所示即為所求：

依據(jù)如下：延長交的延長線于，連接，則即為直線的位置.∵，∴平面，平面，∴平面平面，又由題意顯然有平面平面，∴平面平面，則即為直線的位置.（也可根據(jù)線面平行性質(zhì)確定直線位置）（2）如圖所示：設(shè)直線與交于點(diǎn)，則為四等分點(diǎn)，正方體被平面截成兩部分，較小部分為三棱臺，其體積為.17．（1）證明見解析；（2）12．【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由已知可得，平面平面，得平面，所以，可得答案．（2）算出利用，可得.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，四邊形是邊長為4的菱形，，則為正三角形，所以，而平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，平面，所以平面．（2）依題意，，由（1）知，平面，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，則，而，所以多面體的體積為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知易證，利用線面垂直可得，進(jìn)而可證，利用線線垂直可得平面，可證結(jié)論成立；（2）求得的面積，到平面距離，利用可求體積.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由為中點(diǎn)，知，是邊長為的菱形且為中點(diǎn)，，故，又由平面，平面平面，又四邊形為平行四邊形，，又平面，平面平面平面平面.（2）由（1）知的面積為側(cè)面底面，又，到平面距離為，即到平面距離為三棱錐的體積.19．(1)證明詳見解析(2)(