熱點(diǎn)5統(tǒng)計(jì)與概率年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷——獨(dú)立事件的概率與數(shù)學(xué)期望21——新高考Ⅱ卷頻率分布直方圖與條件概率19統(tǒng)計(jì)與概率19獨(dú)立事件的概率與數(shù)學(xué)期望18【典例1】(17分)(規(guī)范解答)(2024·新高考Ⅱ卷)某投籃比賽分為兩個(gè)階段,每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成,比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次,若3次都未投中,則該隊(duì)被淘汰,比賽成員為0分,若至少投中一次,則該隊(duì)進(jìn)入第二階段,由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次,每次投中得5分,未投中得0分,該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨(dú)立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率;(2)假設(shè)0<p<q,(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大,則該由誰參加第一階段比賽?(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?【審題思維】(1)利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.(2)(i)分別求出甲與乙先參加第一階段比賽,二人所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率P甲與P乙,作差法比較P甲,P乙,從而得到該由誰參加第一階段的比賽;(ii)分別求出甲、乙先參加第一階段的比賽,數(shù)學(xué)成績(jī)的期望E(X)與E(Y),作差法比較E(X),E(Y),從而得到應(yīng)該由誰參加第一階段比賽.【解析】(1)因?yàn)榧住⒁宜陉?duì)的比賽成績(jī)不少于5分,所以甲第一階段至少投中一次,乙第二階段至少投中一次,…………2分所以甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率為:P=(10.63)(10.53)=0.686. ………………4分(2)(i)若甲先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為:P甲=[1(1p)3]q3,若乙參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為:P乙=[1(1q)3]p3, …………6分所以P甲P乙=q3(qpq)3p3+(ppq)3=(qp)(q2+pq+p2)+(pq)[(ppq)2+(qpq)2+(ppq)(qpq)]=(pq)(q2+pq+p2)+(pq)[(ppq)2+(qpq)2+(ppq)(qpq)]=(pq)(3p2q23p2q3pq2)=3pq(pq)(pqpq)=3pq(pq)[(1p)(1q)1]>0,……9分所以P甲>P乙,所以為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大,該由甲參加第一階段比賽. ………10分(ii)若甲先參加第一階段的比賽,比賽成績(jī)X的所有可能取值為0,5,10,15,P(X=0)=(1p)3+[1(1p)3]·(1q)3,P(X=5)=[1(1p)3]C31q(1q)P(X=10)=[1(1p)3]C32q(1q)P(X=15)=[1(1p)3]·q3,所以E(X)=15[1(1p)3]q=15(p33p2+3p)q, 13分記乙參加第一階段比賽,比賽成績(jī)Y的所有可能取值為0,5,10,15,同理E(Y)=15(q33q2+3q)p,所以E(X)E(Y)=15[pq(p+q)(pq)3pq(pq)=15(pq)pq(p+q3)>0, ………………16分所以為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由甲參加第一階段比賽. ……………………17分【題后反思】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等知識(shí),解答時(shí)要防止兩種失誤:(1)概型歸類要準(zhǔn)確,尤其是相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),二項(xiàng)分布與超幾何分布要分清;(2)概率求解要正確,求解分布列問題的核心是概率計(jì)算,要明確事件性質(zhì)與參數(shù)取值,細(xì)心運(yùn)算,以防錯(cuò)誤.【典例2】(2024·湖北模擬)某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù),現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù),結(jié)果如下表:一周次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的,稱為“經(jīng)常鍛煉”,其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請(qǐng)完成以下2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”,“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計(jì)概率,在全校抽取20名同學(xué),其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求E(X)和D(X);(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”,為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣,在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談,設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635【審題思維】(1)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算χ2即可求解;(2)由題意X近似服從二項(xiàng)分布X~B(20,112),利用方差和期望公式即可求解(3)由題意Y服從超幾何分布,Y的可能取值為0,1,2,3,計(jì)算出各自對(duì)應(yīng)的概率即可求解.【解析】(1)列聯(lián)表如下:性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為H0:性別與鍛煉情況獨(dú)立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān),根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算χ2=60(7×16-23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1;(2)因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù),故X近似服從二項(xiàng)分布,隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率p=560=112,X~B(20,1故E(X)=20×112=53,D(X)=20×112×11(3)10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生,3名女生,Y服從超幾何分布,Y的可能取值為0,1,2,3,P(Y=0)=C70CP(Y=1)=C71C32P(Y=2)=C72C31P(Y=3)=C73C30故所求分布列為:Y0123P17217E(Y)=3×710=2.1【題后反思】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布、超幾何分布和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望計(jì)算.統(tǒng)計(jì)與概率的融合題是高考的熱點(diǎn),常常以統(tǒng)計(jì)圖表為載體,考查概率問題.1.★★★☆☆(2024·北京高考)已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬元,前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬元,第4次賠付0.6萬元.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單,以頻率估計(jì)概率:(1)求隨機(jī)抽取一單,賠償不少于2次的概率;(2)(i)毛利潤是保費(fèi)與賠償金額之差.設(shè)毛利潤為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望;(ii)若未賠償過的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%,已賠償過的增加20%.估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)設(shè)事件A為“隨機(jī)抽取一單,賠償不少于2次”,由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得P(A)=60+30+10800+100+60+30+10=1(2)(i)設(shè)ξ為賠付金額,則ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3,由題可得P(ξ=0)=8001000=45,P(ξ=0.8)=P(ξ=1.6)=601000=350,P(ξ=2.4)=P(ξ=3)=101000所以E(ξ)=0×45+0.8×110+1.6×350+2.4×3100+3×因?yàn)槊麧櫴潜ＹM(fèi)與賠償金額之差,故E(X)=0.40.278=0.122(萬元);(ii)由(i)知未賠償?shù)母怕蕿镻(ξ=0)=8001000=45,至少賠償一次的概率為145=15,故保費(fèi)變化后為0.4×45×(1設(shè)Y為保單下一保險(xiǎn)期的毛利潤,故E(Y)=0.122+0.40320.4=0.1252(萬元).2.★★★☆☆(2024·西城三模)根據(jù)2024城市魅力排行榜,一線城市4個(gè),分別為:上海、北京、深圳、廣州;新一線城市15個(gè),分別為:成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個(gè),分別為:上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市,求該城市是一線城市的概率;(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市,隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量,求隨機(jī)變量X的分布列和期望;(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市,隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量,比較E(X)與E(Y)的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)果)【解析】(1)10個(gè)超大城市中包含4個(gè)一線城市,所以從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市,該城市是一線城市的概率為410=2(2)10個(gè)超大城市中包含6個(gè)新一線城市,X所有可能的取值為:0,1,2,3.P(X=0)=C60C43C103=4120=130;P(X=2)=C62C41C103=60120=12;所以X的分布列為:X0123P1311E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1(3)E(X)=E(Y).理由如下:從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市,隨機(jī)變量Y~B(3,610),E(Y)=3×610=95,所以E(X)=E(3.★★★★☆(2024·日照三模)電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式,編造虛假信息,設(shè)置騙局,對(duì)受害人實(shí)施遠(yuǎn)程詐騙的犯罪行為.隨著5G時(shí)代的全面來臨,借助手機(jī)、網(wǎng)銀等實(shí)施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延,不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了增強(qiáng)同學(xué)們的防范意識(shí),某校舉辦了主題為“防電信詐騙,做反詐達(dá)人”的知識(shí)競(jìng)賽.(1)已知該校參加本次競(jìng)賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)η近似服從正態(tài)分布N(80,25),若某同學(xué)成績(jī)滿足μσ≤η≤μ+2σ,則該同學(xué)被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”;若η>μ+2σ,則該同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”.(i)試判斷分?jǐn)?shù)為88分的同學(xué)能否被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”;(ii)若全校共有40名同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”,試估計(jì)參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)(四舍五入后取整).(2)已知該學(xué)校有男生1000人,女生1200人,經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識(shí),用樣本估計(jì)總體,現(xiàn)從全校隨機(jī)抽出2名男生和3名女生,這5人中了解“反詐”知識(shí)的人數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).參考數(shù)據(jù):若ξ~N(μ,σ2),則P(μσ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】(1)(i)由題意知,該校參加本次競(jìng)賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)η近似服從正態(tài)分布N(80,25),可得μ=80,σ=5,因?yàn)?5<88<90,則該同學(xué)能被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”.(ii)設(shè)全校參與本次競(jìng)賽的人數(shù)為n,“反詐達(dá)人”的概率為:P(η>μ+2σ)=121-P(μ-2則40n=0.02275,解得n≈1758,所以參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)約為1758(2)由題意知,男生了解“反詐”知識(shí)的概率為34,女生了解“反詐”知識(shí)的概率為12,隨機(jī)變量X可得P(X=0)=C20(14)2C30(1P(X=1)=C21(34)(14)C30(12)3+C20(14P(X=2)=C22(34)2C30(12)3+C21(34)(14)C31(12)3+P(X=3)=C22(34)2C31(12)3+C21(34C20(14)2C33(1P(X=4)=C22(34)2C32(12)3+C21(34)(1P(X=5)=C22(34)2C33(1所以隨機(jī)變量X的分布列為X012345P191523339所以,期望為E(X)=0×1128+1×9128+2×1564+3×2364+4×334.★★★★☆(2024·泉州二模)在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中,主持人從編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè),放入一件獎(jiǎng)品,再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是:主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè),若獎(jiǎng)品在此箱子里,則獎(jiǎng)品由抽獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱,在打開2號(hào)箱之前,主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則,主持人將隨機(jī)打開甲選擇之外的一個(gè)空箱子,記為X號(hào)箱.(1)求X=1的概率;(2)求X的方差;(3)若X=1,現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì),請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱,還是改選3號(hào)或4號(hào)箱?【解析】(1)設(shè)A1,A2,A3,A4分別表示1,2,3,4號(hào)箱子里有獎(jiǎng)品,設(shè)B1,B2,B3,B4分別表示主持人打開1,2,3,4號(hào)箱子,則Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4兩兩互斥.由題意可知,事件A1,A2,A3,A4的概率都是14,P(B1|A4)=12,P(