第Python經(jīng)典貪心算法之Prim算法案例詳解最小生成樹的Prim算法也是貪心算法的一大經(jīng)典應(yīng)用。Prim算法的特點(diǎn)是時(shí)刻維護(hù)一棵樹，算法不斷加邊，加的過程始終是一棵樹。

Prim算法過程：

一條邊一條邊地加，維護(hù)一棵樹。

初始E＝｛｝空集合，V=｛任選的一個(gè)起始節(jié)點(diǎn)｝

循環(huán)（n–1）次，每次選擇一條邊（v1,v2），滿足：v1屬于V,v2不屬于V。且（v1,v2）權(quán)值最小。

E=E+（v1,v2）

V=V+v2

最終E中的邊是一棵最小生成樹，V包含了全部節(jié)點(diǎn)。

以下圖為例介紹Prim算法的執(zhí)行過程。

Prim算法的過程從A開始V={A},E={}

選中邊AF,V={A,F},E={(A,F)}

選中邊FB,V={A,F,B},E={(A,F),(F,B)}

選中邊BD,V={A,B,F,D},E={(A,F),(F,B),(B,D)}

選中邊DE,V={A,B,F,D,E},E={(A,F),(F,B),(B,D),(D,E)}

選中邊BC,V={A,B,F,D,E,c},E={(A,F),(F,B),(B,D),(D,E),(B,C)},算法結(jié)束。

Prim算法的證明：假設(shè)Prim算法得到一棵樹P，有一棵最小生成樹T。假設(shè)P和T不同，我們假設(shè)Prim算法進(jìn)行到第(K–1)步時(shí)選擇的邊都在T中，這時(shí)Prim算法的樹是P',第K步時(shí),Prim算法選擇了一條邊e=(u,v)不在T中。假設(shè)u在P'中，而v不在。

因?yàn)門是樹，所以T中必然有一條u到v的路徑，我們考慮這條路徑上第一個(gè)點(diǎn)u在P'中，最后一個(gè)點(diǎn)v不在P'中，則路徑上一定有一條邊f(xié)=(x,y)，x在P'中，而且y不在P'中。

我們考慮f和e的邊權(quán)w(f)與w(e)的關(guān)系：若w(f)w(e)，在T中用e換掉f（T中加上e去掉f)，得到一個(gè)權(quán)值和更小的生成樹，與T是最小生成樹矛盾。

若w(f)w(e),Prim算法在第K步時(shí)應(yīng)該考慮加邊f(xié)，而不是e,矛盾。

因此只有w(f)=w(e),我們在T中用e換掉f，這樣Prim算法在前K步選擇的邊在T中了，有限步之后把T變成P,而樹權(quán)值和不變，從而Prim算法是正確的。

請仔細(xì)理解Prim算法——時(shí)刻維護(hù)一棵生成樹。我們的證明構(gòu)造性地證明了所有地最小生成樹地邊權(quán)（多重）集合都相同！

N個(gè)點(diǎn)M條邊的無向連通圖，每條邊有一個(gè)權(quán)值，求該圖的最小生成樹。

最后，我們來提供輸入輸出數(shù)據(jù)，由你來寫一段程序，實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法，只有寫出了正確的程序，才能繼續(xù)后面的課程。

第1行：2個(gè)數(shù)N,M中間用空格分隔，N為點(diǎn)的數(shù)量，M為邊的數(shù)量。（2=N=1000,1=M=50000)

第2-M+1行：每行3個(gè)數(shù)SEW，分別表示M條邊的2個(gè)頂點(diǎn)及權(quán)值。(1=S,E=N，1=W=10000)

輸出最小生成樹的所有邊的權(quán)值之和。

914

124

238

347

459

5610

672

781

897

2811

392

796

364

4614

188

輸出示例

37

maxv=10001

n,m=list(map(int,input().split()))

V=set([1])

cost=[]

foriinrange(n+1):

a=[]

forjinrange(n+1):

a.append(maxv)

cost.append(a)

foriinrange(m):

s,e,w=list(map(int,input().split()))

cost[s][e]=w

cost[e][s]=w

closet=[0]

lowcost=[maxv]

foriinrange(1,n+1):

closet.append(1)

lowcost.append(cost[1][i])

ans=0

foriinrange(n-1):

forjinrange(2,n+1):

if(lowcost[j]!=0)and(lowcost[j]lowcost[k]):k=j

forjinrange(2,n+1):

ifco