高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】.故選：.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：.3.已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對于恒成立，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，，即，整理得，故選：D．4.在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（）A.50 B.70 C.90 D.110【答案】B【解析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.5.已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個該種零件中合格品的個數(shù)為（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600【答案】C【解析】因為服從正態(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為，故選：C．6.一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到是黑球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，則.故選：B.7.在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，則，且，，相互獨立，設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級為事件，則，設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級為事件，則，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，錯選得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小.B.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則預(yù)報變量減少0.8個單位C.在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好.D.對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越小【答案】BC【解析】對于，標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越大，故不正確；對于，在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則預(yù)報變量減少0.8個單位，故正確；對于，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好，故正確；對于，對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，故不正確.故選：.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，，則（）A.數(shù)列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045【答案】BD【解析】在等差數(shù)列中，由，得，即，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯誤；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正確，C錯誤；因為，，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選：BD11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（）A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種【答案】ABD【解析】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，所以，，即，因為，則，，所以，，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，即，故C錯誤；且，故A正確；若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，設(shè)甲，乙，丙對應(yīng)，則，，，，，，所以一共有六種情況，故D正確；故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.數(shù)列，為其前項和，則__________.【答案】【解析】.故答案為：.13.已知，則曲線在點處切線方程為__________.【答案】【解析】，所以，且，所以曲線在點處切線方程為，即.故答案為：.14.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，由，則在上有解．令，因為，所以只需或，即或，解得．所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負(fù)的那個人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）前3局甲都獲勝的概率為；（2）所有可能取值為.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則；所以的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.16.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn＜2.解：（1）由題設(shè)得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知，因為對任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx．（1）當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域是，時，，當(dāng)時，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，由題意當(dāng)時，恒成立，或恒成立．若，則恒成立，當(dāng)時，，即的最大值為0，∴；若，，當(dāng)時，無最小值，∴不可能恒成立；綜上．18.清明小長假期間，大連市共接待客流322.11萬人次，游客接待量與收入達(dá)到同期歷史峰值，其中到東港旅游的人數(shù)達(dá)到百萬之多.現(xiàn)對到東港旅游的部分游客做問卷調(diào)查，其中的人只游覽東方水城，另外的人游覽東方水城和港東五街.若某位游客只游覽東方水城，記1分，若兩項都游覽，記2分.視頻率為概率，解答下列問題.（1）從到東港旅游的游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從到東港旅游的游客中隨機抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求；（3）從到東港旅游的游客中隨機抽取10人，其中兩處景點都去的人數(shù)為.記兩處景點都去的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時，最大？解：（1）的可能取值為，則，，所以的分布列為：3456數(shù)學(xué)期望.（2）由人的合計得分為分，得其中只有1人兩項都游覽，則，設(shè)，則，兩式相減得，所以.（3）依題意，，設(shè)最大，則，即，整理得，即，解得，而，因此，所以當(dāng)時，.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時，，所以求在處的切線方程為：．（2），若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，即對于恒成立，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故．（3）法一：由（2）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，即在上總成立，令得，，化簡得：，所以，，累加得，即，命題成立．法二：可設(shè)數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時也成立，所以，本題即證，以下證明同法一．法三：（i）當(dāng)時，左式，右式顯然成立；（ii）假設(shè)當(dāng)不等式成立，即，那么當(dāng)時，左式，證明，即需證，設(shè)，則，即只需證，即，設(shè)所以在單調(diào)遞增，，可知不等式是也成立，綜上可知，不等式對于任意正整數(shù)都成立．注意：中，寫成或都可以．遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】.故選：.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：.3.已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對于恒成立，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，，即，整理得，故選：D．4.在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（）A.50 B.70 C.90 D.110【答案】B【解析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.5.已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個該種零件中合格品的個數(shù)為（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600【答案】C【解析】因為服從正態(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為，故選：C．6.一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到是黑球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，則.故選：B.7.在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，則，且，，相互獨立，設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級為事件，則，設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級為事件，則，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，錯選得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小.B.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則預(yù)報變量減少0.8個單位C.在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好.D.對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越小【答案】BC【解析】對于，標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越大，故不正確；對于，在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則預(yù)報變量減少0.8個單位，故正確；對于，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好，故正確；對于，對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，故不正確.故選：.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，，則（）A.數(shù)列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045【答案】BD【解析】在等差數(shù)列中，由，得，即，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯誤；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正確，C錯誤；因為，，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選：BD11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（）A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種【答案】ABD【解析】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，所以，，即，因為，則，，所以，，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，即，故C錯誤；且，故A正確；若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，設(shè)甲，乙，丙對應(yīng)，則，，，，，，所以一共有六種情況，故D正確；故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.數(shù)列，為其前項和，則__________.【答案】【解析】.故答案為：.13.已知，則曲線在點處切線方程為__________.【答案】【解析】，所以，且，所以曲線在點處切線方程為，即.故答案為：.14.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，由，則在上有解．令，因為，所以只需或，即或，解得．所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負(fù)的那個人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）前3局甲都獲勝的概率為；（2）所有可能取值為.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則；所以的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.16.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn＜2.解：（1）由題設(shè)得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知，因為對任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx．（1）當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域是，時，，當(dāng)時，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，由題意當(dāng)時，恒成立，或恒成立．若，則恒成立，當(dāng)時，，即的最大值為0，∴；若，，當(dāng)時，無最小值，∴不可能恒成立；綜上．18.清明小長假期間，大連市共接待客流322.11萬人次，游