2024-2025學(xué)年第二學(xué)期

高二年級(jí)開學(xué)考試（數(shù)學(xué)）

測(cè)試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘總分：150分

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）.

1.曲線""一'在點(diǎn)M（L—2）處的切線方程為（

A.y=-2x+4B.y=-2x-4

D.y=2x+4

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求得切線方程.

-2

【詳解】AV^I7AX+22,所以/'（1）=2,即左=2,

AxAx

故曲線在點(diǎn)M（L-2）處的切線方程為＞+2=2（x—1）,

即y=2x—4.

故選：C.

2.已知拋物線方程為y=2》2,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

r°

【答案】B

【解析】

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可確定焦點(diǎn)坐標(biāo).

,1

【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：廣=—V，

2

則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0。）.

8

故選：B.

1/21

3.正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為5,邑=3,54=15,則生+4等于(

A.9B.72C.70D.48

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列定義以及前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得〃eN*，設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g，

4

可得/=~~~-=4,tz5+a6=q(tZj+a2)=16x3=48.

S]3

故選：D.

uuTruuirruurrmr2a1r

4.如圖，在三棱錐中，OA=a,OB=b,OC=c,BD=-BC,E是線段2。的中點(diǎn)，則無=

3

()

1-171-1-171-1-171-1-1

A-u—bH—cB.-ciH—bH—cC.—ciH—h-\—cD.—tz+—6+—c

236623362263

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量減法和加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.

—■2—■

【詳解】因?yàn)镋是線段的中點(diǎn)，BD=-BC,

所以無=方+次=刀+3通=方+：(方+礪)=厲+：方+3加

OALAB+-X^BC=OA+-(OB-OA]-(OC-OB)=-OA-OB+-OC

=+2232、,+3、>2+63

故選：D

5.已知圓/經(jīng)過P(U),0(2,-2)兩點(diǎn)，且圓心/在直線/:x-y+l=0,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

2/21

A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-3)2+(v-4)2=13

C.(x+3)2+(y+2)2=25D.(X+3)2+(J-2)2=25

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列出方程組，進(jìn)而求解即可.

【詳解】由題知，設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—ay+(y—6)2=/,

(l-a)2+(l-Z))2=r2f?=-3

則《(2—a『+(_2—9J/,解得心=_2,

a-Z?+l=Or=5

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3『+(y+2)2=25.

故選：C

6.若直線(1—a)x+ay+2=0與直線6x—8y+5=0平行，則這兩條直線間的距離為()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出。，利用兩平行線間距離公式求解.

1_aa2

【詳解】由題可得:一=—7—，解得a=4,

6-85

所以兩直線分別為3x—4y—2=0,6x-8v+5=0,

|9|9

所以這兩條直線間的距離為,1=—.

A/62+8210

故選：B.

7.直線/經(jīng)過拋物線C：y2=2px(夕〉0)的焦點(diǎn)尸，與拋物線C相交于4,3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)M

若就二3兩,\FB\=5,則"|=()

25152035

A.——B.—C.—D.—

3236

【答案】A

【解析】

3/21

【分析】設(shè)48方程為：y=與拋物線方程聯(lián)立計(jì)算西+%與西》2,設(shè)M(Oj),由前=3⑸

得再=餐，利用七％的值得%=乎，計(jì)算點(diǎn)8的坐標(biāo)，利用|必|=5計(jì)算夕的值，即可得到直線AB的

斜率以及X1+%的值，利用過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.

設(shè)45方程為：歹二左1%—g

.k?p+2Pp2

=

??Xj+X2----j---，X^X2—.

設(shè)M(0"),由前=3⑸得，|^-p^=3^x1-y,y1

???，=3、一金，解得

4/21

||=Xj+x2+7?=—+4=—.

故選：A.

22

8.已知雙曲線C:二—」=1（?！?/〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，左、右頂點(diǎn)分別為4,4,以大巴

ab

TT

為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)尸，且N尸44=,，則雙曲線。的離心率為（）

A,B.2C.—D.V13

33

【答案】D

【解析】

【分析】利用雙曲線漸近線確定C0S/P04=q，由余弦定理可得1尸4|=b,再由勾股定理得尸4，44,

C

又由/上4出=］確定tan/P44=（=G得?=2百，最后根據(jù)e=jl+二：求得離心率.

【詳解】根據(jù)題意可知：點(diǎn)尸在以。為圓心。為半徑的圓上，所以O(shè)P=c；

W

根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=±—x,有tan/尸ON2=—，

aa

a

由雙曲線中02—/=/,工丁得cos/。。&=一，

c

0P\=c,

在APOA2中，口出|=a,

余弦定理有|尸闋2=Qp「T04『—2。尸.02.cosZP0A2,解得|尸4|=b；

有10H2Toz2「=|&2『，所以「4,44；

=--,tanPA^=-^―=V3,所以，

在Rt△尸中，NP44

32a

所以雙曲線離心率e=J1+—j=J1+12=y/13.

故選：D

5/21

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍）,

常見有兩種方法：

①求出a,c,代入公式0=二；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合〃=°2—/轉(zhuǎn)化為0,，的齊次式，然后等式（不

等式）兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、多項(xiàng)選擇題（多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）.

9.已知等差數(shù)列｛%｝的前,項(xiàng)和為用,。6=10，&=5,則（）

A.｛%｝是遞增數(shù)列

B.｛%｝的前“項(xiàng)和中星最小

C.—15

D.數(shù)列的前10項(xiàng)和為技

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)條件先求解出｛%｝的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和S"；對(duì)于A：由公差d>0,即可判斷；對(duì)于B：

根據(jù)年的表達(dá)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷；對(duì)于C：由通項(xiàng)公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于D：先判斷

為等差數(shù)列，然后利用公式進(jìn)行求和即可判斷.

n

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為d,

等差數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和為,&=10,星=5，

4=q+5d=10a--5

所以《解得《x

S5=5。1+10d=5d=3

所以%=—5+（〃-1）x3=3〃—8,,

對(duì)于A：等差數(shù)列｛%,｝中d=3〉0,所以｛4｝是遞增數(shù)列，故A正確;

6/21

aa1312169

對(duì)于B：S=—n~---n=—H--

“222

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)〃=2時(shí)Sn最小，故B正確;

對(duì)于C：由%=3〃-8,得％=3x8-8=16,故C錯(cuò)誤;

313S313

對(duì)于D:因?yàn)镾“=—"---〃，貝］J_!L=一〃----

22“22

3

所以邑是首項(xiàng)為-5,公差為士的等差數(shù)列,

n2

所以用10x9335

的前10項(xiàng)和為10x(-5)+X—二,故D正確.

222

故選：ABD.

10.如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-4民G。一動(dòng)點(diǎn)河是V48G內(nèi)部一點(diǎn)(含邊界)，則下列選

A.動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，三棱錐M-NCD]的體積是定值

B.對(duì)于任意M,平面。5c

C.動(dòng)點(diǎn)M到直線CD的距離最小值為41

D.滿足2/=歧的/的軌跡長(zhǎng)度為邁E

39

【答案】ACD

【解析】

【分析】由正方體中平面ZCD]〃平面48G可得知到平面的距離為定值即可判斷A；由點(diǎn)M運(yùn)

動(dòng)到3點(diǎn)時(shí)4M不垂直于用。可判斷B；建系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)/到直線CD的距離為d,求出相關(guān)于2,4的表

達(dá)式，可得力的最小值即可判斷C；利用A到平面48G的距離確定平面48G內(nèi)I的位置，可得點(diǎn)M的

7/21

軌跡圓弧的半徑r可判斷D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,易知在正方體中，平面ZCD]〃平面&8G，故動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，M到平

面/CQ的距離為定值，所以三棱錐ZC。的體積是定值，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到3點(diǎn)時(shí)，易知4M不垂直于用。，所以4M不垂直于平面。耳。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)"（x,y,z）,設(shè)

W=254+//5Q（O<2<1,O<//<1,2+//<1）（題眼），5（2,2,0）,4（2,0,2）,Q（0,2,2）,

54=（0,-2,2）,西=（-2,0,2）,則兩=（—2〃,—2424+2〃），故M（2-2〃,2-24,24+2〃）,設(shè)

動(dòng)點(diǎn)/到直線CD的距離為d,過M作〃“，平面ABCD，過〃作HS±CD于S,連接獨(dú)，則MS=d,

則42=（24+2〃）2+（2—2〃）2=4（%+2兇+2〃2—2〃+1）（關(guān)鍵：主元法求最值），當(dāng)2=0,〃=g

時(shí)，/取最小值，且最小值為2,則動(dòng)點(diǎn)M到直線CD的距離最小值為近，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)A到平面48G的距離為/?,由等體積法得vA_AiBCi=vCi_AAB,則

2

1X^X（2V2）X/Z=|X2X2X2X1,解得/z=孚.如圖2,取/出的中點(diǎn)0,連接0Q,作平

面A.BQ,垂足為/,易知點(diǎn)/在G0的延長(zhǎng)線上.由選項(xiàng)C,可設(shè)平面內(nèi)點(diǎn)/（2—2〃',2-2萬+2”）,

-2〃=2_2雙

萬=(—2〃',2—22',2，+2〃')，又函=(2,2,2),AI//DBt,貝卜解得《

2—2/=2/+2〃',

IQ221

所以/,取48的中點(diǎn)T,連接CT,QT,延長(zhǎng)D4,C?,CT交于點(diǎn)J,作。J.C7于點(diǎn)尸，

KPKJ-2KPJPIP

作KP〃/T交47于點(diǎn)K,如圖2,則一=—,即KP3>則KP=—，又===;=亍，即

ATAJ-=^-3DCJCCCX

222-9/A/7

3IP，則配=—，貝I〃一§,即〃,則〃=9,所以0/=洶.（提示：利用等比例確定

I=T3QJ=1TFT3乂3

平面內(nèi)/的位置）.由已知，點(diǎn)M的軌跡為以/為圓心的圓弧，不妨設(shè)該圓弧的半徑為r,則

V6

―,則更=」『=回，則以/為圓心的圓弧所對(duì)圓心角。=巴，故軌跡

3r2V223

3

8/21

長(zhǎng)為氧互，故D正確.

22

11.已知橢圓。：與+\=1（。>6>0）,斗尸2分別為。的左、右焦點(diǎn)，A,8分別為C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是

ab

橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到心距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓。的離心率為g

B.存在點(diǎn)P,使得幽±PF2

o?49冗

C.若1m「+|盟『=9,則APG耳外接圓的面積為《屋

樹陽216

D.的最小值為二

I吶+1履1+27

【答案】ACD

【解析】

X2+V2=l

【分析】A由題可得a+c=3,a-c=l,然后可計(jì)算離心率；B等價(jià)于判斷方程組《X2y2是否有解;

——+—=1

[43

C設(shè)ZFPFp,\PF\=q,由余弦定理及題目條件可得sin/3=半

r2=13,\PFX\=2然后由正弦定理可得外

即可判斷選項(xiàng)正誤；設(shè)|所|=配|=14,

接圓半徑,Dx,|y,化為高1+r+1'

后由基本不等式可得最小值.

9/21

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)尸是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到月距離的最大值和最小值分別為3和1,

。+。=3a=222

所以《,解得:,,，所以b=，力―2=5則橢圓。：土+工=1,

a-c=1c=l43

c1

橢圓C的離心率e=—=—,故A正確；

a2

B選項(xiàng)，若橢圓C上存在點(diǎn)P,使得尸大,尸耳，則點(diǎn)尸在圓必+丁=i上,

X2+V2=1

又因?yàn)榉匠探M《X2J21無解，所以不存在點(diǎn)尸，使得尸大,出，故B錯(cuò)誤;

—+—=1

[43

C選項(xiàng)，設(shè)/片Pg=民|「公]=夕,|尸鳥|=[,則0+q=4,

若陷『+1尸闖2=9,又（閥㈤時(shí)『=閥『+歸閭2+2閥平閶=16,

77

所以|「7訃|尸7磯=5,即夕q=Q,

附（+|尸曰-出川/+/—而

在月中，由余弦定理可得cos夕=

2附|朋|2Pq

7

47—2x—4

(P+qY7—2pq—4c7_25_

2Pq247

276

因?yàn)?<￡<兀，所以sin0=

7

設(shè)月外接圓的半徑為r

2ccc2x17

二2r,.\2r=——=一產(chǎn)

249兀

根據(jù)正弦定理可知，sin。2V62V6則S二71r

24

7

49兀

即APG與外接圓的面積為示故C正確;

22

X

D選項(xiàng)，設(shè)尸片=羽尸鳥二y,則+y

x+1y+2

(x+1-l)2(歹+2—2)21clc/?4I4

=A---------Z—+V--------Z—=x+1—2H-------by+2-4-I---------=-------1(-------

x+ly+2X+Iy+2x+ly+2

令s=x+l,/=y+2,則s+r=7,

10/21

714

當(dāng)且僅當(dāng)/=2s,即s=—,Z=一時(shí)取

33

所以「「最……

附卜1盛|+27

故選：ACD

三、填空題（本小題共3小題，每小題5分，共15分）.

12.拋物線儼=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且傾斜角為45°的直線與拋物線相交于48兩點(diǎn)，則AO/B的

面積為.

【答案】272

【解析】

【分析】將所求三角形△048的面積分解為以處為底邊的兩個(gè)A0E4和△0E8的面積和，然后聯(lián)立直

線與拋物線的方程，消去x,得到關(guān)于V的一元二次方程，即可求解.

【詳解】過拋物線/=4x的焦點(diǎn)/（1,0）的直線方程為：y=x-l,

y=x-l.

聯(lián)立“，得j/—4y—4=0,

J=4x

所以A=16+16=32〉0,%+%=4,%%=-4,

所以WQB=；ICE"%一%卜g+%)?—4%為=gJ16+16=2正.

故答案為：26.

13.已知曲線/（x）=21nx—1在點(diǎn)（1,/。））處的切線也是曲線=的切線，則。=.

［答案】2±26

【解析】

【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出在（1,/。））處的切線方程，然后根據(jù)二次函數(shù)與直線相切，根據(jù)判別式求出

對(duì)應(yīng)的a.

2

【詳解】因?yàn)?'（x）=—,所以/（1）=2,又/⑴=—1,

X

故曲線/（X）=2InX-1在點(diǎn)（1,/（I））處的切線方程為y+1=2（、—1）,即丁=2、—3.

11/21

y=x"+ax,?,

由「可得￥2+（4_2）1+3=0,&=（。_2）2_]2=0,

y=2x-3,

解得。=2±2百.

故答案為：2±26.

1a”

14.已知數(shù)列｛%｝滿足％=—,且%+i=,則a=_______.

2+1n

【答案】-^―

3〃一1

【解析】

f111c

【分析】由題意可證明數(shù)列〈一卜是以一=2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

qJai

式.

【詳解】對(duì)%+i=4；兩邊同時(shí)取倒數(shù)，

3%+1

13a+11、11c

所以---=-------=一+3,則---------=3,

%+1%%%+1an

[11I、

所以數(shù)列一卜是以一=2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,

an\%

所以—=2+3(〃_1)=3"一],

所以4J

故答案為：-----.

3〃一1

四、解答題(本小題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟).

15.已知過拋物線=2/(0>0)的焦點(diǎn)/的直線交拋物線。于43兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí),

|/切=4.

(1)求拋物線C的方程：

(2)若|45|=6,求直線/的方程.

【答案】(1)y2=4x

12/21

(2)yplx-y-V2=0>或y[2x+y-41=0

【解析】

【分析】(1)由題意求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程可得答案；

(2)設(shè)直線/方程為V=k(x-1),與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)可得答案.

【小問1詳解】

由題意，，〈或)

所以4=2px曰，解得P=2,p=-2(舍去)，

所以拋物線C的方程為j2=4%：

【小問2詳解】

由(1)y2=4x,尸。,0),設(shè)/(再,9),3(%2，%)，

由題意知直線/的斜率存在，

/、fV2=4x

設(shè)其方程為歹=k(x-1),與拋物線方程聯(lián)立“，/八，

y=k(x-l)

可得左2/一(2左2+4卜+左2=0,所以占+%=2人：4,

2后2+4

\AB\=玉+々+2=+2=6，解得k=±V2，

k2

所以直線/的方程為y=±也(x-1),

即V2x~y~V2=0,或y[2x+y-V2=0.

2

Y，=1伍〉04〉0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2月，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(坨0).

16.已知雙曲線C：—

a

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設(shè)雙曲線。的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線交。于A、8兩點(diǎn)，若4B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?，求|4B|.

2

【答案】(1)土_/=1

3.

(2)

5

13/21

【解析】

【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求解即可;

（2）設(shè)為了=左。-2）,/（石,必），B（x2,y2）,直曲聯(lián)立表示出韋達(dá)定理，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到斜率，再

由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出結(jié)果即可;

【小問1詳解】

因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2#，所以2a=26，所以a=G；

雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（垃0）,所以c=2；所以/=02-02=1；

2

所以雙曲線方程為：—-v2=l

3.

【小問2詳解】

由（1）得尸（2,0）,根據(jù)題意得過少的直線斜率存在,

設(shè)為j=1(x-2),再泌),B(x2,y2),

y=k(x-2)

聯(lián)立《工22,化簡(jiǎn)得(1—3左之)》?+]2左2]—12左2—3=0,

三一'=

△=144左4—40—3左2)(—12左2—3)=12左2+12〉0

所以苞+/=?;，石"2=12k2+3

3k2-1

1212k2_24

因?yàn)?8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為《，所以西+》2=

3A：2-I-y

12k2+327

解得左2=2,所以X]?%=

3F-15

24

所以(1+2)

14/21

17.已知數(shù)列｛4｝是公差大于1的等差數(shù)列，%=3,且為+1,%-1，。6-3成等比數(shù)列，若數(shù)列也｝前〃

項(xiàng)和為Sn,并滿足Sn=2bn+n,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若。"=(%-1)電-1)，求數(shù)列｛g｝前〃項(xiàng)的和北.

【答案】(1)%=2〃-1；b?=l-2n

(2)7；,=(2-H)2"+2-8.

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的基本量可求出an；利用S”和bn的關(guān)系，構(gòu)造出。-1=2(4_1-1)即可求出bn；

(2)由(1)可知=—(〃—1)2"1,利用錯(cuò)位相減法求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由％=3,且%+1,a3—l,4-3成等比數(shù)列知:

%+d=3

,(?一八(一八2,整理得：5/—12d+4=0，

(4+1)(4+5d—3)=(q+2d-1)

2

即d=2或者d=(,因?yàn)楣畲笥?,故d=2.

且％=3—d=l,故%=2〃-1.

數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和為S〃,并滿足S〃=2%+〃①，

且A=H=2。+1,解得乙二一1,

故當(dāng)〃22時(shí)，S〃_i=22T+〃一1②，

15/21

①式減②式得：S“_S“T=2bn-2b”_]+l=bn,

即4-1=2(%-1),故也-1｝是公比為2的等比數(shù)列,

則4—1=仇-1)x2*-2",

故"=1-2"；

【小問2詳解】

由⑴可知的=(%-1)(2-1)=(2〃-2乂-2")=-(〃-1)2向,

+1

故7；=0-23-2x24-3x25-……_(/?_1)2?,

則24=0—24—2x25—3x26—……-(n-l)2n+2,

?3r\n+2

^^-27；,=-23-24-25-......-2,,+1+(M-1)2"+2=——=----F^-1)2"+2,

1—2

故_(=("_2)2〃+2+8,

則7；=(2—〃”"+2—8.

18.如圖，在多面體48CDE9中，ED_L平面45CD,四邊形4DEF為平行四邊形，AB//CD,ADLCD,

FD=AB=AD=-CD=2,P為EC的中點(diǎn).

2

(1)求證：BF1BC；

(2)求直線AD與平面BE尸所成角的正弦值；

(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H,使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為逗?若存在,求—

14BC

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵T

16/21

(3)存在點(diǎn)X,使得滿足要求，此時(shí)也=」

BC3

【解析】

【分析】(1)由。尸工平面N8CD,ADLCD,得D4,DC,DR兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，建立空間

直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算而?前即可得證；

(2)利用空間向量求直線與平面的所成角的方法計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(3)由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)槠矫?5cD,40,CDu平面48c。,

所以ED，4。，F(xiàn)DLCD,

又4DLCD,所以ZX4,DC,兩兩垂直，

以ZU,DC,DE所在的直線分別為X軸，V軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則^(2,0,0),5(2,2,0),F(0,0,2),￡(—2,0,2),C(0,4,0),P(-l,2,1),BF=(-2,-2,2),BC=(-2,2,0)

所以麗?瑟=0,所以BE，8c.

【小問2詳解】

設(shè)平面BE戶的一個(gè)法向量々=(x2,j2,z2),

因?yàn)辂?(—2,—2,2),所=(2,0,0),

”——??

n-BF-0_2%2-2%+2^2—0

所以《2即《

2X=0

n2-EF=02

令％=1，則％2=°，Z2=l,所以〃2=(0,1,1),

又無二(2,2,0),設(shè)直線與平面所成角。,

|DB-n12_1

貝ijsing二2

I函.區(qū)I272x72-2

17/21

【小問3詳解】

假設(shè)存在，設(shè)麗=/芯(OW/<1),貝I麗=/(—2,2,0)=(—2/,2/,0),

所以麗=麗+麗=(2-2/,2+2/,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為=(x1,y1,z1),因?yàn)閆>P=(—1,2,1),

時(shí)J晨麗=0-x1+2J1+z1=0

[^-DH=0,[(2—2/)%+(2+2/)必=0'

令Xi=1+f,則％=/-1,Zj=3-t,

所以〃]=(1+?,/—1,3—/),

由⑵問可知：平面AE尸的一個(gè)法向量為后=（0,1,1）,

設(shè)平面DHP與平面8所的夾角為a，

/——\〃「〃22V42

貝ucosa=cos（〃1,〃2）=|L,，4=/廠—L=--，

'/岡,悶v3r-6r+llx<214

解得/=工或（舍），

33

所以存在點(diǎn)X,使得滿足要求，止匕時(shí)即里=」.

3BC3

220）的右焦點(diǎn)為川石,o）,離心率為乎.

19.已知雙曲線E：二―4l(a>0,b>

a1b-

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)E的右頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)（4,0）的直線與E的右支交于c,。兩點(diǎn)，記直線4c4。的斜率分別為

kvk2,求證：左/2為定值；

（3）已知點(diǎn)屈（為,%）是￡上任意一點(diǎn)，直線/是￡在點(diǎn)M處的切線，點(diǎn)尸是/上異于點(diǎn)河的動(dòng)點(diǎn)，且

過點(diǎn)P與加（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線/'交E于43兩點(diǎn)，定義?為雙曲線E在點(diǎn)M處的切

\PA-\PB\

害肚匕，記為幾（天,比），求切割比X（2亞,1）.

【答案】（1）--/=1；

4'

18/21

2

（2）證明見解析；（3）2（2V2,1）=j.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求的值，寫出E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出4的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出根與系數(shù)的關(guān)系，求出上/2的值，

（3）先求出切線方程，結(jié)合兩直線方程求出|「」攸「，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式求出忸聞、

\PB\，根據(jù)切割比定義求解2（2A/2,1）.

【小問