四川省成都市成華區(qū)某校2024-2025學年高一下學期

3月月考數學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.請把答案填涂到答題卡相應位置上.

1.下列說法中，正確的是()

A.若|a|〉|。|,則a〉6

B.若則￡=[

C.若a=b,則allb

D.若a力b，則a與b不共線向量

【答案】C

【解析】對于A,向量的模為非負數，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯

誤.

對于B,兩個向量的模相等，但方向可以不同，故B錯誤.

對于C,若a=b，則a,6必定共線，故；〃力，故C成立.

對于D,當aw/,時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，故口與｝可以為共線向量,

故D錯誤.

故選：C.

2sin20°sin800-cos160°sin10°=()

A、BTcT

D--T

【答案】A

【解析】由誘導公式和逆用兩角和的正弦公式有，

sin20sin80-cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin(20+10)=sin30=g.

3.最小正周期為2兀，且在區(qū)間0,]上單調遞增的函數是()

sin%

A.y=sinx+cosxB.y=sinx-cosxC.y=sinxcosxD.y=------

cosx

【答案】B

【解析】對于選項A,y=sinx+cosx=^sin[x+：J,最小正周期為7=年=2兀，

單調遞增區(qū)間為2E—]<x+：<2kji+^（kGZ）,即2kit-^<x<2kn+^keZ）,

3兀71

該函數在一-J,：上為單調遞增，則選項A錯誤；

44

對于選項B,y=sinx—cosx=0sin[x—最小正周期為T=f=2兀，

單調遞增區(qū)間為2左兀一]<x-^<2E+'|■（左GZ）,即2E-；<2防i+毛（左eZ）,

713兀

該函數在一二,丁上為單調遞增，則選項B正確；

44

12兀

對于選項C,y=sinxcosx=—sin2x,最小正周期為7=萬=兀，

單調遞增區(qū)間為2左兀一]<2x<2kn+^kGZ）,即左兀一：W防i+；（左eZ）,

7171

該函數在一二,二上為單調遞增，則選項C錯誤；

_44_

einV

對于選項D,y=------=tan%,最小正周期為了=兀,

COSX

（71兀、

在-5,5為單調遞增，則選項D錯誤.

故選：B.

4.0是空間任意一個確定的點，點P在直線AB上，SLOP^XOA+-OB,貝ijx=（

3

12

A.1B.—C.—D.-

33

【答案】C

【解析】因為點尸在直線上，且0P=XOA+，O3,所以X+'=1,得X=2.

333

故選：C.

5.已知sin[x—?）=|>則sin2x的值等于（）

【答案】D

TT4

【解析】由sin(x-----)=—

45

%—2x2x-［J=l-2sin7

則sin2x=cos=cos=l-2x

25

故選：D.

6.平面中兩個向量Q,b滿足=，則2a—方在。方向上的投影向量為（）

A.2B.2aC.—2aD.-2

【答案】B

2

【解析】由題意得：（2a—Z?>a=2相—力a=2.

故2a—6在a方向上的投影向量為Qa-b）-a上

|。|\a\

故選：B.

7.已知函數/（%）=，5sinscosG%+cos2〃比（0>0）,若函數於）在）上單調遞減,

則實數①的取值范圍是（

1212°4°4

A.B.C.D.

3?23?3

【答案】B

［解析］函數/(x)=百sinoxcoscox+cos2①x(①>0)=sin2cox+g(1+cos2cox)

1

=—sin2a)x+-cos2cox+-=sin2cox+—+2,

222I6

由函數府）在11,乃J上單調遞減，且+n+71①?+71,

666

71712

3兀+—>—+2k7l

6212

得《,keZ,解一+—+左，keZ.

33

Ion+—<—+2kn

62

12-71?7汗112

又因為CD>0,—X3—所以左=0,所以實數g的取值范圍是

22a)2

故選：B.

8.已知函數/(x)=sin(cos九)+cos(sinx),則下列結論錯誤的是()

A.VxGR,/(x-2TT)=f(%)

B.VxG[0,7i],f(x+7t)>0

C./(?是奇函數

D./(%)的最大值大于J5

【答案】C

【解析】A選項，/(x-2TI)=sin(cos(x-2TI))+cos(sin(x-2TI))

=sin(cosx)+cos(sinx)=f(%),所以A選項正確.

B選項，〃%+兀)=sin(cos(x+7i))+cos(sin(x+7i))

=sin(-cosx)+cos(一sinx)=-sin(cosx)+cos(sinx),

由于cosx+sinx=A/2sin[x+巳)<A/2,cosx-sinx=42cos卜+富日

所以cos%+同!1<A/2<-^,所以cos%■一卜in犬

當工￡[0,兀]時，cosXG[-1,1],^-l<-1--|sinx|

兀71

而〉=5析》在一萬，5上單調遞增，

所以sin(cosx)<sin-|sinx1=cos(sinx),

所以xe[0,7i]時，/(X+TI)=-sin(cosx)+cos(sinx)>0,B選項正確.

C選項，的定義域是R,/(0)=sin(cos0)+cos(sin0)=sin1+10,

所以了(%)不是奇函數，C選項錯誤.

D選項，由于;<1<三,所以也<sinl<Y3，

4322

所以〃0)=sinl+l＞夜，所以D選項正確.

故選：c.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把答案填寫

在答題卡相應位置上.

9.計算下列各式，結果為道的是()

A.^2sin15°+A/2COS15B.COS215°-sinl5°cos75°

Ctan30°D1+tan15°

1-tan230°1-tan15°

【答案】AD

【解析】對于選項A,由輔助角公式得0sinl5°+近cosl5°=2sin(15°+45°)

=2sin60°=百，故選項A正確；

對于選項B,cos215°-sin15°cos75°=sin75°cos15°-sin15°cos75°=sin(75"—15°)

=sin60°=-＞故選項B錯誤；

2

。更

tan30°36

對于選項C,-----K=-j=故選項C錯誤；

2

l-tan30一居22

1+tan15°tan450+tan15°/“。＜之八。r-工…田一

對于選項D,-------7=--------；-------=tan(45+15)=tan60=，3,故選項D

l-tan15l-tan15xtan45

正確.

故選：AD.

10.如圖所示，已知角的始邊為X軸的非負半軸，終邊與單位圓的交

點分別為AB,/為線段的中點，射線OM與單位圓交于點C,則()

A.ZAOB=(3-a

B.|OM|=cos^^

c.點C的坐標為COSJ,sin2

,,(oc+BB-a.a+B.(3—a

D.點聞r的坐標為Icosccosc,smcs——^-

[2222

【答案】ABC

IT

【解析】對于A：因為NAQx=a,/BOx=/7,0<a<j3<-,所以NAO3=〃—。，正

確；

對于B：依題意M為線段A5的中點，則貝|]44?！?勺4,

又|Q4|=1,所以QM=|0A|cosNAOM=cos，q,正確；

對于C：M為線段AB的中點，射線與單位圓交于點C,則C為的中點，

所以NCOx=。,

22

又QC=I,所以點c的坐標為卜（^巳芋六足色芋），正確；

對于D：

XM=|(^A+^)=|(COS6Z+COS/7)=|COS[^^+^^]+COS[^^

1aBcc—B.ccB,cc—Bcc-\-Boc—B.ccB.cc—B

=—cos------cos----------sin------sin------+cos------cos------+sin------sin.......-

222222222

1_a+Ba-Ba+Ba-B

=-?2cos--------cos--------=cos--------cos--------,

22222

1/x1z..A、1「.(a+Ba—八.(a+j3a—(3、

yM=7(^+Jj=T(sina+sin/7)=-sin——+——+sin-----------

1.ccBoc—BctB.oc—B.ctBoi—BccB.cc—B

=—sin------cos------+cos------sin------+sin-----—cos----------cos-------sin......-

222222222

1.a+Bcc—B.ccBcc—/3

=--2sm-------cos--------=sin--------cos--------

22222

a+BB-aa+BB-a

所以點Af的坐標為cos----cos----,-sin----cos-----，錯誤.

2222

故選：ABC.

11.已知函數/（x）=sinGx+“cos5（XGR,0>0）的最大值為2,其部分圖象如圖

所示，則（）

A.a=A/3

B.函數/—為偶函數

C.滿足條件的正實數。，存在且唯一

D./（力是周期函數，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【解析】因為/(x)=sins+acos①X+1sin(

,a1

其中sine=^^=、COS0=「__?-

JCT+1VCl"+1

又/(x)max=J=+1=?，解得a=土百，

又/（0）=。>0,所以石，故A正確;

71

則/(x)=sina)x+s/3coso%=2sina)x+—,

3

冗〃)7TSjT

結合圖象可知經+4=f+2E/eZ,所以0=2+84代eZ,

436

2兀兀

「Tn—〉一

又一?〉一，所以《①2,解得0vgv4,所以。=2,故C正確;

24

g>0

所以/（X）=2sin12x+5j,則/'1%—=2sin21x—季卜方=2sin2x為奇函數，

故B錯誤；

/（X）是周期函數，且最小正周期T=彳=兀，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知a*是兩個不共線的向量，且向量（a+財）與（-3。+與共線，貝UX=.

【答案】■

3

【解析】向量（a+助）與（一3。+6）共線，所以。+財=左（一3。+6）,

k=~-

rl=-3k3

所以L,,解得<；.

A=kc1

iA=-

13

「心’（八萬\1sin<9+cos

13.已知tan0+-；■=不，則---------=____________.

I4J2sing-cos。

【答案】二

2

【解析】由tan16+f]=:an，+!,解得tane=-J_,

I4）1-tand23

▼…sin<9+cos6^tan<9+l1

所以——------=——--=一一.

sin。一cos8tang-12

14.已知函數/（%）=x|%].若對于Vx^R,均有/（cos?x）+4/（。sin九-2）V0成立，則

實數。的取值范圍為.

【答案】[—2,2]

【解析】易知/（—X）=—x|x|=—/（%）,當尤之0時，/（%）=/，易知此時單調遞增；

所以/(%)為奇函數且在(-8,+8)上單增，

4/(6/sinx-2)=(2asinx-4)12tzsinx-4|=f(2asinx-4),

/(cos2x)+4/(asinx-2)?0對任意xwR成立，

U>/(cos2x)+f(2asinx-4)<0對任意成立,

=/(cos2x)<-/(2tzsinx-4)對任意工￡R成立，

=/(cos2x)<f(-2asinx+4)對任意成立，

ocos2xV-2〃sinx+4對任意成立，

osin2x-2asinx+3N0對任意成立，

令，=sinx￡[-l,l]2〃/+320對任意，￡[一1』]成立，

=2成4/+3對任意，成立，又1=0時，顯然恒成立,

33

O2。W/+—對X//￡(0,1]成立且2〃2%+—對\/te[-1,0)成立,

32tz<4

由對勾函數y=%+：在(0,1],[—1,0)單調遞減=〈

2tz>-4

所以。的取值范圍為[—2,2].

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知|a|=4,忖=8,Q與人的夾角為弓.

(1)求,；

(2)當左為何值時,(a+2/?)_L3-b)?

兀

解：(1)a-b=|d：|-|/?|cos<?,Z?>=32cos2^=-16,

...,+可=|〃『+2〃力+卜|=16-32+64=48,.二,+4=4百.

(2)由(〃+2b)_L(如一與得：

(〃+2Z?)?(如一人)=+(2左一一21|=16%-16(2%-1)-128=0,

解得：k=-l.

54

16.已知//都是銳角，sin/3=—,sin(a-J3)=—.

(1)求cosa值；

(2)求cos(a+/?)的值.

54

解：(1)因為。，夕都是銳角，sin/?=—,sin(a-/3)=-,

i------------10,jrTTq

所以cos'=^/l-sin2/?=—,-—<a-/3<—,cos(?-/?)=-,

cos6Z=cos[(a-/?)+/?]=cos(a-/3)cos/3-sin(a-/3)sinj3

3124516

=—x--------x—=——

51351365

「、k12.?516

(2)由(1)矢口cospn=一,sinp=一,cosa=一

131365

_______Aa

因為。銳角，所以sine=J1-cos2a=一,

65

cos(a+￡)=cosacos/?一sinasin/7=^|x^|-||x^=123

845

17.己知函數f(x)=Asin(ox+。)+B(A>0,。>0,|0|<])的部分圖象如圖所示.

(1)求/(x)的解析式及對稱中心坐標;

7T

(2)將/(幻的圖象向右平移一個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，最后

6

將圖象向上平移1個單位，得到函數g(x)的圖象.求不等式-Gwg(x)<l的解集.

A+B=l

解：(1)由圖象可得《解之得A=2,B=-1.

-A+B=-3

17TlTTTTTT

由圖象可知一T=-----------，，一=一,G=2,即/(x)=2sin(2%+。)-1,

21212co2

[JT]TTTTTT

又/一二1,故一+0=—+2E,keZ,則o=—+2E,keZ,

<12)623

TTTTTT

結合|0|<5,可得。=.?./?(x)=2sin(2x+g)—1,

..兀jj./cJC7Cj

令2xH——AJI,KG7i將：x-.............>keZ,

326

l^TTTT

曲線/(%)的對稱中心為(------,—l),kGZ.

26

j?jIj?

(2)把曲線/(%)向右平移一個單位后的曲線為y=2sin[2(x——)+—]-1=2sin2x—1；

663

把曲線y=2sin2x-l上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標不變得到曲線

y=2sinx-l；

把曲線y=2sinx-l向上平移1個單位得到曲線g(x)=2sinx.

令一GVg(x)<1得——<sinx<—.

22

選擇恰當的周期長區(qū)間，利用曲線y=SinX得不等式組的解集為：

.._,71-，71,5兀_,4兀,”、

[x\2lai——<%<2kn+—或2blH-----<x<2lai+——，左eZ}.

3663

18.隨著我國綜合國力的不斷增強，不少綜合性娛樂場所都引進了“摩天輪”這一娛樂設

施.(如圖1)有一半徑為40m的摩天輪，軸心。距地面50m,摩天輪按逆時針方向做勻速

旋轉，轉一周需要3min.點尸與點。都在摩天輪上，且點尸相對于點。落后Imin,當點尸

在摩天輪的最低點處時開始計時，以軸心。為坐標原點，平行于地面且在摩天輪所在平面內

的直線為x軸，建立圖2所示的平面直角坐標系.

⑴若/G[0,3],求點P的縱坐標關于時間《min)的函數關系式y(tǒng)?)；

(2)若/G[0,3],求點P距離地面的高度關于時間*min)的函數關系式〃(/),并求

5LL

f=—(min)時，點尸離地面的高度；(結果精確到0.1,計算所用數據：、歷。1.4,百合1.7)

8

(3)若當尸，。兩點距離地面的高度差不超過20同時，求時間《min)的取

值范圍.

解：(1)當，=0min時，以OP為終邊的角與-一的角終邊重合，

2

27r

且OP轉動的角速度為飛-rad/min,

所以tmin時，OP終邊所在的角度為冬

32

所以y(0=40sin(Tt-=—40cos^//e[0,3].

(2)由題知，點P距離地面的高度關于時間《min)的函數關系式網。，

則以力=y⑺—(―50)=y⑺+50,re[0,3]，

TC

h(t)=40sin(—r--)-(-50)=50—40cos—^Je[0,3]>

當f=，(min)時，

貝I"(g)=50-40