(北師大版)七年級下冊數(shù)學《第1章整式的乘除》

專題與塞有關(guān)的運算解答題

題型歸納

題型一直接運算幕的運算性質(zhì)計算

1.(2023春?宿州期中)計算：-(-2x4)2+%1。+/.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運算再合并同類項即可.

【解答】解：?-x2-(-2x4)2+X104-7.

=x5-4X8+A：8

=e-3x8.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握運算法則是關(guān)鍵.

2.(2024秋?蔡甸區(qū)校級期中)計算：〃4.〃5_儲0+〃+(—2次)3.

【分析】先計算同底數(shù)幕乘法、同底數(shù)塞的除法、積的乘方，再合并同類項即可.

【解答】解：(一2a解3

=a9-/一8/

=-8〃9.

【點評】此題考查了同底數(shù)幕乘法、同底數(shù)幕的除法、積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

3.(2024秋?松江區(qū)期末)計算：爐/?工3-(-x)6+(x3)2.

【分析】先根據(jù)同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方法則計算，再合并同類項即可.

【解答】解：1?一?/-(-X)6+(?)2

=%6-x6+X6

=x6.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

4.(2024秋?西寧期末)計算：〃3?〃4?2〃一(〃2)4+(-3/)2.

【分析】先根據(jù)新的乘方與積的乘方運算法則，同底數(shù)幕的乘法運算法則進行計算，然后再合并同類項

即可.

【解答】解：cr>9ci^92a-(/)，(_3/)2

=2〃8-〃8+9〃8

=10〃8.

【點評】本題考查了累的乘方與積的乘方，同底數(shù)累的乘法運算，合并同類項，熟練掌握幕的乘方與積

的乘方運算法則，同底數(shù)塞的乘法運算法則，合并同類項是解題的關(guān)鍵.

5.(2024春?牡丹區(qū)月考)計算：

(1)(-m)*(-m)2*(-m)3；

(2)(m-?)*(n-m)3*(n-m)4.

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運算進行計算；

(2)根據(jù)同底數(shù)基的乘法運算進行計算即可求解.

【解答】解：(1)(-m)*(-m)2*(-m)3

=(-m)1+2+3

=(-m)6

=m6；

(2)(m-H)*(H-m)3*(n-m)4

=(m-n)*[-(m-n)3]*(m-n)4

=-(m-n)8.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

6.計算：

(1)〃2?(-〃)2_

(2)/?(-。)?(-〃)&

【分析】(1)先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)基的乘法法則進行計算，最后合并同類項即可；

(2)先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)新的乘法法則進行計算，最后合并同類項即可.

【解答】解：(1)/?(_〃)2_〃3.〃

=〃2?〃2_〃4

=〃4-I,

=0;

(2)/?(-〃)2+?*(-?)4

=a39a2+a9a4

=a5+a5

=2a5.

【點評】本題考查了合并同類項法則和同底數(shù)幕的乘法，注意：①把同類項的系數(shù)相加作為結(jié)果的系數(shù),

字母和字母的指數(shù)不變；②

7.(2024秋?五常市期中)計算：

(1)^*%4+(x3)2-5x6；

(2)(-2a)6-(-3C/3)2+[-(2a)了.

【分析】(1)先算乘方再算乘法，最后合并同類項；

(2)先計算積的乘方，再合并同類項.

【解答】(1)原式=/+/一

(2)原式=64々6-9/+(-4a2)3

=64〃6-9〃6-64。6

=-9〃6.

【點評】本題考查了整式的運算，掌握同底數(shù)累的乘法法則、積的乘方法則及合并同類項法則是解決本

題的關(guān)鍵.

8.計算：

(1)X2*X+X9X2；

(2)a3*an1+a9an+1；

(3)a2*a3-(-a3)9a4+a6*(-a)；

(4)(x-y)5?(y-%)4*(x-y)2.

【分析】(1)根據(jù)整式的混合運算，先計算乘法，再計算加法.

(2)根據(jù)整式的混合運算，先計算乘法，再計算加法.

(3)根據(jù)整式的混合運算，先計算乘法，再計算加減.

(4)先變形，再根據(jù)同底數(shù)幕乘法法則(同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加)解決此題.

【解答】解：(1)

=x3+x3

=2x3.

(2)?/1

=2an+2

(3)〃2?〃3_(_〃3)?〃4+〃6?(—〃)

=4+4-a

(4)(x-j)5*(y-x)4>(x-y)

(x-y)5*(x-y)4*(x-y)

(x-y)11

【點評】本題主要考查同底數(shù)塞的乘法，熟練掌握同底數(shù)幕的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵.

9.(2024春?嶗山區(qū)校級月考)計算：

(1)x2*x2>x+x4*x；

(2)a*J~(-3屋)2+〃1。4~〃2.

【分析】(1)利用同底數(shù)累乘法法則計算即可；

(2)利用同底數(shù)幕乘法及除法法則，積的乘方法則計算即可.

【解答】解：(1)原式=/+金

=2/；

(2)原式=〃8-9〃8+〃8

=-7〃8.

【點評】本題考查幕的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

10.(2024春?江都區(qū)校級月考)計算：

(1)(m-1)3*(1-m)4+(1-m)^*(m-1)2；

(2)(一$)2?。5+。10(〃-(-2/)3.

【分析】(1)將原式變形為(m-1)3-(m-1)4-(m-1)2,再利用同底數(shù)幕的乘法運算法

則計算；

(2)先計算幕的乘方，同底數(shù)幕的乘除運算，再合并同類項即可.

【解答】【分(1)解：(m-1)3,(1-m)4+(1-m)5*(m-1)2

=(m-1)3>(m-1)4-(m-1)5*(m-1)2

=(m-1)3+4-(m-1)5+2

=(m-1)7-(m-1)7

=0;

(2)解：(-/)2?〃5+〃10.〃-(-2a/3

二小/+小一1+8〃9

=q9+〃9+8〃9

=10。9.

【點評】本題考查幕的乘方、同底數(shù)幕的乘除運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

題型二由幕的運算性質(zhì)求字母或式子的值

1.（2024春?濱湖區(qū)期中）已知10"=20,10"=4,求：

（1）IC?”的值；

（2）34"+9"的值.

【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則的逆運算寫出102m-10?,再根據(jù)嘉的乘方的逆運算求出結(jié)果;

（2）先把3.+9"化為3.+32",然后根據(jù)同底數(shù)哥的除法法則計算.

【解答】解:（1）V10m=20,10"=4,

.,.102mn

=1（）2'"+10"

=4004-4

=100；

(2)V10m=20,10"=4,

.\102m=400,

IO?"""=100,

2m-n—2,

.L〃

=g2rn-

=92

=81.

【點評】本題考查同底數(shù)幕的除法、幕的乘方，掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

2.（2024春?丹陽市月考）（1）若2x+5y-3=0,求4432丁的值.

（2）若“為正整數(shù)，且口=4,求（3尤加）2-4（?）2〃的值.

【分析】（1）先根據(jù)同底數(shù)幕乘法和哥的乘方法則變形，再把2x+5y=3代入行計算即可;

（2）先根據(jù)幕的乘方的運算法則變形，再把r”=4代入計算即可.

【解答】解：（1）4*32丫=22尢25>=22戶5，，

；2x+5y-3=0,

.?.2x+5y=3,

...原式=2^=8.

(2):口=4,

Z.(3?n)2-4(?)2n

=9x6n-4x4n

=9(7")3-4(口)2

=9X43-4X42

=512.

【點評】本題考查嘉的運算，掌握累的乘方，積的乘方，同底數(shù)幕的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

3.(2024秋?思明區(qū)校級期中)若/=a"(a>0且aWl,;九、九是正整數(shù))，則機=".利用上面的結(jié)論解決

下面的問題：

(1)如果2X4*X8X=221,求尤的值；

(2)如果3。+2?6。+2=182=4,求q的值.

【分析】(1)先將等式左邊化為底數(shù)為2的同底數(shù)幕的運算，根據(jù)題干給的結(jié)論得到關(guān)于x的方程，進

行求解即可；

(2)逆用積的乘方法則，再根據(jù)題干給的結(jié)論進行求解即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題意可知，2X2^X23X=221,

?21+2戶3%—221,

即l+2x+3尤=21,

解得：x=4；

(2)V3a+2*6a+2=182a-4

A(3X6)?+2=182a-4,

：.18a+2=182a~4,

/.a+2=2a-4,

??■~6.

【點評】本題考查同底數(shù)累的乘法，累的乘方與積的乘方，掌握哥的相關(guān)運算法則是關(guān)鍵.

4.(2024秋?晉安區(qū)校級期中)若2*=2,2〉=3,

(1)求代數(shù)式2戶丫的值；

(2)求8*⑷的值.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，利用同底數(shù)塞相乘法則，把幕寫成兩個底數(shù)是2的幕相乘，再進行計算即

可；

(2)根據(jù)已知條件，逆用幕的乘方法則，把所求的募寫成底數(shù)是2的基，然后進行計算即可.

【解答】解：(1)V2X=2,2>=3,

:.2x+y

=2x-2y

=2X3

=6；

(2)V2X=2,2y=3,

=(23)x?(22)>

=(2X)3?2，)2

=23X32

=8X9

=72.

【點評】本題主要考查了整式的有關(guān)運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)幕相乘法則和幕的乘方法則.

5.(2024春邛日谷縣期中)(1)已知"=3,"^=12,求〃+"的值；

(2)已知8a=5,80=6,求8?a+2B的值.

【分析】(1)先根據(jù)已知條件逆用同底數(shù)幕的乘法法則，求出〃的值，再把必=3和d的值代入計算即

可；

(2)先根據(jù)已知條件逆用同底數(shù)哥的乘法法則和哥的乘方法則，把所求算式寫成含有8。，8占的形式，

代入進行計算即可.

【解答】解：(1)：〃=3,產(chǎn)占12,

."+，=〃?/=12,

???/+〃

=3+4

=7；

（2）V8a=5,8。=6,

.\82a+2P

=82a,82P

=（8?）2.（8B）2

=52X62

=25X36

=900.

【點評】本題主要考查了整式的有關(guān)運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)幕的乘法法則和暴的乘方法則.

6.（2024春?蒼梧縣期中）在幕的運算中規(guī)定：若〃=a>（a>0且aWl,尤，y是正整數(shù)），則x=y.

利用上面的結(jié)論解答下列問題：

（1）若4、=26,求x的值；

（2）若9短3尹』：!。。，求x的值.

【分析】（1）利用幕的乘方的法則變形，得到2x=6,再進行運算即可；

（2）利用同底數(shù)累的乘法法則變形，得到尤+1=2,再進行運算即可.

【解答】解：（1）V4^=26,

.\22X=26,

.?.2x=6,

解得x=3；

（2）..?5%+2-5/1=100,

：.5x+1X5-5Kl=100.

4X5t'+1=4X52,

/.x+l=2,

解得x=l.

【點評】本題主要考查累的乘方，同底數(shù)嘉的乘法，解答的關(guān)鍵是掌握運算法則.

7.（2024秋?商水縣月考）若〃（根，〃是正整數(shù)，〃>0且aWl）,則m=〃.

利用上面的結(jié)論，解答下面的問題.

(1)若2X8XX16X=222,求x的值.

(2)若(27。2=3%求尤的值.

(3)已知p=5,，q=7,,用含p,q的式子表示3535.

【分析】(1)利用募的乘方以及同底數(shù)哥相乘的運算法則變形為2義8。16=2乂23收2以=21+3戶4，=222,

結(jié)合題意得出l+3x+4x=22,計算即可得解；

(2)利用幕的乘方法則變形為(27X)2=36^=312,結(jié)合題意得出6X=12,計算即可得解；

(3)根據(jù)幕的乘方與積的乘方法則化為含有57和75的式子，即可得解.

【解答】解：(1)V2X8xX16x=2X(23)xX(24)x=2X23xX24x=21+3x+4x=222,

?'?l+3x+4x=22,

；?x=3；

(2).(27%)2=[(33)x]2=(33X)2=364=3%

???6x=12,

...x=2；

(3),:p=S,q=[5,

.".3535=(357)5=[(5X7)7]5=(57)5X(77)5=(57)5X(75)/

【點評】本題考查了累的乘方與積的乘方、同底數(shù)累的乘法，熟練掌握同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方與積

的乘方的運算法則是解此題的關(guān)鍵.

題型三運用幕的運算性質(zhì)進行簡便計算

1.(2024秋?潢川縣校級月考)用簡便方法計算：

(1)0,12517X(-8)"；

(2)0.12517X(217)3.

【分析】(1)根據(jù)積的乘方的逆應(yīng)用簡化運算即可；

(2)根據(jù)積的乘方的逆應(yīng)用和幕的乘方簡化運算即可.

【解答】解：(1)0.12517X(-8)17

=[0.125X(-8)]17

=(-1)17

=-1;

(2)0,12517X(217)3

=0.12517X(23)17

=(0.125X8)17

=117

=1.

【點評】本題考查了幕的乘方和積的乘方，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2024春?宿遷月考)用簡便方法計算：

(1)?2019*(-1.25)202。；

⑵(-9)3x(-j)3x(1)3.

【分析】(1)根據(jù)積的乘方把-1.25與0.8相乘，即可計算出結(jié)果；

(2)根據(jù)積的乘方先把-5和三相乘，再與-9相乘，即可計算出結(jié)果.

【解答】解：⑴(32。19義(_1.25)2°2。

=0,820,9X(-1.25)2019X(-1.25)

=(-1.25X0.8)2019X(-1.25)

=-IX(-1.25)

=1.25；

⑵(-9)3X(一|)3X&)3

=(-9)3X(-|x1)3

=[(-9)X(-1)]3

=23

=8.

【點評】本題考查了幕的乘方和積的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握積的乘方的計算法則.

3.(2024春?萊西市校級月考)用簡便方法計算：

(1)(一|)2。21*(|)2022

(2)6nx(1)nx(1)n.

【分析】(1)逆用積的乘方運算法則進行計算即可；

(2)逆用積的乘方運算法則進行計算即可.

【解答］解：⑴(_款。21X(|)2。22

=(-1)2021x(1)2021x|

=(-|x|)2021x|

=(-1)2021X|

=——;

(2)6nx(1)nx(1)n

11

=(6x|x|r

=in

=i.

【點評】本題主要考查了積的乘方運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運算法則，準確計算.

4.計算：

(1)48X0.258；

(2)(-1)2024X(1-)2024.

43

【分析】(1)利用賽的乘方與積的乘方法則計算；

(2)利用幕的乘方與積的乘方法則計算.

【解答】解:(1)48X0.258

=48x4-8

二4。

=1;

(2)(―)2。24*(1-)2必

43

=(-)2024義.)-2024

44

3n

=(-)°

4

=1.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握幕的乘方與積的乘方運算法則.

5.用簡便方法計算.

⑴（一9）3X（一莪X（護

（2）（_/）2019X（?）2018.

【分析】（1）根據(jù)積的乘方運算法則進行簡便計算;

（2）根據(jù)積的乘方運算法則進行簡便計算.

【解答】解：⑴原式=[(-9)X(-|)x|]3

=23

=8；

(2)原式=(―衾)X(―/)2018X《)2018

=(一/)一各X制如8

=(-W)X(-1)2018

=(-aXI

__5_

=-13,

【點評】本題考查積的乘方的逆用，掌握掌握積的乘方（"）運算法則是解題關(guān)鍵.

7.計算：

2o

(1)(-0.125)12X(-1-)7X(-8)13X(一連)9；

35

(2)0,252023X42024-8100X0.5300.

【分析】(1)利用幕的乘方和積的乘方計算；

(2)利用幕的乘方和積的乘方計算.

2o

【解答】解：(1)(-0.125)12X(-1-)7X(-8)13X(-1)9

=(-j)12X(-|)7x(-8)13x(一|)9

=(-8)-12X(-8)13X(-|)-7X(-|)9

=(-8)X(-|)2

=-8x葛

_72

=-25;

(2)0,252023X42024-8100X0.5300.

-300

=4-2023x42024_2300x2

=4-2°

=4-1

=3.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握幕的乘方和積的乘方運算法則.

8.(2024秋?海門區(qū)校級月考)下面是東東同學完成的一道作業(yè)題，請你參考東東的方法解答下列問題.

東東的作業(yè)

計算：45X(-0.25)5.

解：原式=(-4X0.25)5=(-1)5=-1.

(1)計算：

2022

①82022X(-0.125)；

②的2X(1)12x鈔3；

(2)若3X9"X81"=325,請求出”的值.

【分析】(1)①根據(jù)積的乘方及幕的乘方的運算法則得到正確結(jié)果；

②積的乘方及幕的乘方的運算法則即可得到正確結(jié)果；

(2)利用幕的乘方運算法則的逆用及同底數(shù)幕的乘法法則即可得到n的值.

【解答】解：(1)①82°22X(-0.125)2022=[8X(-0.125)]2022=(-1)2022=1；

②原式=(第12*(護*(|)12x|

=(￥X^XI)12XI

=1X

(2),.,3X9nX81n=325

A3X(32)"X(34)n=325,

?36^1+1—325

6/1+1=25,

解得：n=4.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法法則，積的乘方，塞的乘方的運算法則等相關(guān)知識，熟記對應(yīng)法則

是解題的關(guān)鍵.

9.(2023秋?宛城區(qū)校級月考)【問題發(fā)現(xiàn)】我們知道：(2X3)2=36,22X32=4X9=36,于是(2X3)2

=22X32；(-1X4)3=-64,(-1)3X43=-1X64=-64,于是(-1X4)3=(-1)3X43；

填空：[(-1)x5]2=,(-1)2x52-:

【結(jié)論概括】當w為正整數(shù)時，(詔)"=；

【知識遷移】：

(1)計算：-82023X(-0.125)2023=1；

(2)計算:-24-[(|-1)x24+72024x(-1)2023]x(-1)2.

【分析】結(jié)論概括：根據(jù)有理數(shù)的運算即可求解；

結(jié)論概括：由問題發(fā)現(xiàn)即可得到結(jié)論；

知識遷移：

(1)根據(jù)找到的結(jié)論直接運算即可求解；

(2)根據(jù)有理數(shù)的運算法則、運算律及找到的結(jié)論展開運算即可得到結(jié)果；

【解答】解：問題發(fā)現(xiàn)：

1、LI2z5、225/1、2L21cl25

[(~2)x51=(一力=彳，(-力X5=爐25=彳，

2525

故答案為：—,—;

44

結(jié)論概括：

由問題發(fā)現(xiàn)可得,Cab)n=anbn,

故答案為：a”

知識遷移：

2023

(1)-82023X(-0.125)=-[8X(-0.125)『023=_(_D2023=1)

故答案為：1;

(2)原式=-16-[(|X24-1X24)+7X72023X(-1)2023]X

=-16-[(8—12)+7x(—>17)2023]X1

1

=—16—[—4+7x(-1)]x

1

=-16—(—ll)xg，

=-16+目，

=T4..

【點評】本題考查了有理數(shù)的運算，掌握并靈活運用(。6)的運算是解題的關(guān)鍵.

題型四運用幕的運算性質(zhì)化簡求值

1.（2023春?江陰市月考）已知4X16，"X64"=42i,求（-層）3+（」.％2）的值.

【分析】先根據(jù)嘉的乘方和積的乘方得出5/77+1=21,求出m的值，再算乘方，算除法，最后代入求出

即可.

【解答】解：：4X16^X64^=421,

?41+2加+3加=421

，5根+1=21,

（-m2）3-r（m3*m2）

--nr6—?nr5

--m

=-4.

【點評】本題考查了幕的有關(guān)性質(zhì)，能正確運用整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，難度適中.

2.（2024春?北湖區(qū)校級月考）若a+6+c=3,求2?。-1*?*?*"3c的值.

【分析】首先利用同底數(shù)累的乘法法則進行計算，然后計算指數(shù)部分，最后將a+6+c=3代入進行計算即

可.

［解答］角窣.-1.230+2,2〃+3c一-l+3Z?+2+a+3c=23（a+）+c）+1

〃+/?+<?=3,

原式=23*3+1=21°=1024.

【點評】本題主要考查的是同底數(shù)的乘法，將。+6+c=3整體代入是解題的關(guān)鍵.

3.（2024秋?東莞市校級期中）先化簡，再求值：（2/）3-2爐3尤+（-3x）2-2x?（4x5）,其中x=2.

【分析】先算乘方，再算乘法，合并同類項，最后代入求出答案即可.

【解答】解：（27）3-2x?3x+（-3無）2-2x<4?）

=8x6_6X2+9X2_8x6

=3x2,

當x=2時，原式=3X22=3X4=12.

【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵.

4.（2024秋?平原縣期中）先化簡再求值2加2九.（-2MW?2），（2mn）3,（-mn2）2其中機=4,n=

【分析】運用哥的公式進行運算，合并同類項，代值計算，即可求解.

【解答】解：原式=2層〃,（-8/"6）+8/"3〃3.%2〃4

=-16m5M7+8m5n7

=-8加5〃7,

當m=4,?i=*時，

原式=-8x45x（1）7

=-8X（4X扔x（扔

【點評】本題考查了整式化簡求值，掌握事的運算公式：aman=am+n,（/）"=冊"及其逆用是解題的

關(guān)鍵.

5.(2024春?沐陽縣校級月考)先化簡，再求值：/.(-/)2+(一獨為3,其中。=/，b=2.

【分析】先算乘方，再算乘法，后算加減，然后把a,b的值代入化簡后的式子進行計算即可解答.

【解答】解:a3-(-b3)2+(-^ab2)3

=/?廬+(一款網(wǎng)

=a%6一需%6

O

=彳〃%6,

當6=2時，原式=(x$3x26.x吉X64=1

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

6.(2024秋?明水縣校級期中)先化簡，再求值：

6

(x-j)4-[(y-x)2]2+(x-y),其中x=2,y=-1.

【分析】先進行乘方運算，再進行同底數(shù)幕的除法法則，再代入求值即可.

【解答】解：原式=(x-y)64-(x-y)44-(x-y)=x-y；

當尤=2,y=-1時，原式=2-(-1)=3.

【點評】本題考查同底數(shù)幕的除法，塞的乘方運算.熟練掌握相關(guān)運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)

鍵.

7.(2024春?八步區(qū)校級月考)化簡求值：(/心)3+5(-/廬)2_3[(_ab3)2]3,其中，°=1,b=-1.

【分析】先計算積的乘方，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可得到答案.

【解答】解：(辦6)3+5(-滯)2-3[(-ab3)2]3

=。6盧+5死18_3(否6)3

=囚8+5方18_3A18

=3疑%

當°=1,6=-1時，原式=3X16義(一1)18=3.

【點評】本題主要考查了整式的化簡求值，掌握代入法是關(guān)鍵.

Q1

8.(2024春?靖江市校級月考)先化簡，再求值：一(一2或3.(一匕3)2+(_觸62)3,其中心+*|+(b-2)2=0

【分析】利用積的乘方與哥的乘方運算法則先計算乘方，然后算乘法，再算加法，結(jié)合絕對值和偶次哥

的非負性確定。和b的值，從而代入求值.

【解答】解：原式=-(-8a3).鏘(一等3戶)

=8a%6—令

=條",

V|a+||+(6-2)2=0,且|a+護0,(b-2)2^0,

1

??〃+2=0,b~2—0,

解得：〃=一可。=2,

.?.原式=營乂(-1)3X26

=gx(一6)X64

=-37.

【點評】本題考查整式的混合運算一化簡求值，掌握幕的乘方(flm)n=amn,積的乘方(")運

算法則是解題關(guān)鍵.

題型五與幕的運算有關(guān)的新定義問題

1.(2024秋?滕州市校級月考)【定義新知】

如果a,b,c是整數(shù)，且那=6,那么我們規(guī)定一種記號(a,b)=c,例如4?=16,那么記作(4,16)

—2.

【嘗試應(yīng)用】

(1)(2,8)=；

【拓展提升】

(2)若k、m、n、p均為整數(shù)，且Qk,9)=m,(k,27)=n,(k,243)=p,求證：m+n=p.

【分析】(1)根據(jù)新定義求解即可;

(2)根據(jù)新定義得到3=9,F=27,^=243,則可證明即?0=田,再由同底數(shù)累乘法計算法則得到

即+以=些,即可證明m-^n—p.

【解答】解：(1)V23=8,

J(2,8)=3,

故答案為：3；

(2)???(Z,9)=m,(%,27)=n,(匕243)=p,

，M=9,公=27,"=243,

???町?^=9X27=243,

??.〃〃?/=/,即？什〃=/,

/.m+n=p.

【點評】本題主要考查了新定義，同底數(shù)塞乘法計算，理解新定義是關(guān)鍵.

2.(2023秋?永定區(qū)期末)在數(shù)學興趣小組中，同學們從書上學到了很多有趣的數(shù)學知識.其中有一個數(shù)學

知識引起了同學們的興趣.根據(jù)?！?從知道。，〃可以求6的值.如果知道。，6可以求力的值嗎？他們

為此進行了研究，規(guī)定：若a"=b,那么/(a,b)=".例如：33=27,則/(3,27)=3.

(1)填空：f(2,4)=,f(4,64)=；

(2)計算：/(-3,81)-f(5,125)；

(3)若/(a,-32)=5,f(4,b)=3,求/(a,b)的值.

【分析】根據(jù)“若a"=b,那么/(a,b)=n”的意義，逐項進行計算即可.

【解答】解：(1)V22=4,

：.f(2,4)=2,

=43=4><4X4=64,

：.f(4,64)=3,

故答案為：2,3；

(2),/(-3)4=81,53=125,

：.f(-3,81)=4,f(5,125)=3,

原式=4-3=1；

(3):(-2)5=-32,43=64,而/(a,-32)=5,f(4,b)=3,

；?a=-2,b=64,

又：(-2)6=64,

'.f(a,b)

=7(-2,64)

=6.

【點評】本題考查同底數(shù)塞的乘法，理解“若an=b,那么/(a,b)=〃”的意義，掌握同底數(shù)幕乘法

的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

3.(2024春?阜寧縣校級月考)規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運算，記作(a,6)：如果不=6,那么(a,b)

=c.例如：因為23=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(5,125)=,(-2,-32)=；

(2)若(4,5)=a,(4,6)=6,(4,30)=c,試探究a,b,c之間存在的數(shù)量關(guān)系；

(3)若Gn,8)+(m,3)=(m,t),求f的值.

【分析】(1)根據(jù)新定義運算，求解即可；

(2)根據(jù)新定義運算，對式子進行變形，再根據(jù)5X6=30,即可求解；

(3)根據(jù)新定義運算對式子進行變形，即可求解.

【解答】解：(1)V53=125,(-2)5=-32,

/.(5,125)=3,(-2,-32)=5,

故答案為：3,5；

(2)a+b=c,理由如下：

(4,5)=〃，(4,6)=b,(4,30)=c,

；.4。=5,心=6,4c=30,

V5X6=30,

.?.4°X4Z,=4C,即4""=4',

??q+Z?=c；

(3)設(shè)(m,8)=x,(m,3)=y,(m,t)=z,則稼=8,於=3,mz=t,

由(加，8)+(m,3)=(m,/)可得x+y=z,

?1=加=M+>=根"乂於=8><3=24.,

【點評】此題考查了新定義運算，同底數(shù)幕的運算及逆運算，解題的關(guān)鍵是理解新定義運算，熟練掌握

幕的有關(guān)運算.

4.(2024春?姜堰區(qū)校級月考)閱讀理解：①根據(jù)塞的意義，＜?"表示"個。相乘；則〃利+“二代加"；②0n=

m,知道a和〃可以求m,我們不妨思考：如果知道a,能否求〃呢?對于a"=〃z,規(guī)定[a,[〃]=",

例如：因為62=36,所以[6,36]=2.

(1)[2,4]=,[-號，-/]=；

(2)分別計算[2,16]、[2,64]的值,試猜想[2,4]、[2,16]、[2,64]之間的等量關(guān)系式；

(3)若記[3,x]=5m,[3,y+l]=5加+1,請用含尤的代數(shù)式表示y.

【分析】(1)根據(jù)新定義進行計算即可求解；

(2)根據(jù)新定義分別計算[2,16]、[2,64]的值,即可求解;

(3)由題意得尤=35%y+l=35m+l,然后根據(jù)同底數(shù)塞的乘法的逆運算即可求得答案.

【解答】解：⑴[2,4]=2,

T，一狗=3，

故答案為：2,3.

(2)依題意，[2,4]=2,[2,16]=4、[2,64]=6,

[2,4]+[2,16]=[2,64]；

(3)根據(jù)題意得：

x=35m,j+l=35m+1,

：.y+l=35m+1=35mX3=3x,

.\y=3x-1.

【點評】本題考查同底數(shù)塞的乘法、列代數(shù)式，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵.

5.(2024春?臨川區(qū)校級月考)如果/=?那么我們規(guī)定(x,y]=n.例如：因為4?=16,所以(4,16]

=2.

(1)(-2,16]=；若(3,叫=27,則＞=；

(2)已知(4,12]=a,(4,5]—b,(4,y\—c,若a+b=c,求y的值；

【分析】(1)根據(jù)新定義運算的含義可得答案；

(2)由新定義可得：4。=12,4"=5,4c=y,再結(jié)合a+6=c,進一步可得答案.

【解答】解：(1)由題意可得：(-2,16]=4,

,/(3,訓=27,

.-.y=327；

故答案為：4,327；

(2)??,如果V=y,那么我們規(guī)定(x,y]=n,

???由(4,12]=〃，可得4。=12,

(4,5]=b,可得4)=5,

(4,y]=c,可得40=y,

?c,

：.4a+b=4c,

'：4c=y,4a?型=4"+"=12X5=60,

???y=60.

【點評】本題考查同底數(shù)嘉的乘法逆用，塞的逆運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義轉(zhuǎn)換成乘方運算.

6.(2024秋?泗陽縣月考)如果/=?那么我們記為：(x,y)=〃.例如3?=9,則(3,9)=2.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,8)=,(-3,9)=；

(2)若(尤，64)=2,貝！Ix=；

(3)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.

【分析】(1)據(jù)題意，由23=8,(-3)2=9可求得此題結(jié)果；

(2)由(±8)2=64可得(±8,64)=2,從而得到此題結(jié)果是±4；

(3)由4e=16,23=8可得，a—16,b—2,又由24=16,可求得此題結(jié)果為4.

【解答】解：由己知：如果/=?那么我們記為：(尤，y)=〃.例如32=9,貝I](3,9)=2.

(1)V23=8,(-3)2=9,

(2,8)=3,(-3,9)=2,

故答案為：3,2；

(2)(±8)2=64,

(8,64)=2或(-8,64)=2,

；?x=±8,

故答案為：士8；

(3)V42=16,23=8,

(4,16)=2,(2,8)=3,

??〃=16,。=2,

又：2，=16,

/.(Z?,〃)=(2,16)=4.

【點評】此題考查了同底數(shù)幕的乘法，關(guān)鍵是能準確理解和運用新定義進行運算.

7.(2024春?興隆縣期中)規(guī)定兩數(shù)〃，b之間的一種運算，記作(。，b),如果〃。=/?,貝！J(〃，/?)=c.我

們叫(。，b)為“雅對”.

例如：因為23=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對”定義說明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.證明如下：

設(shè)(3,3)—m,(3,5)—n,則3刈=3,3"=5,

故3m3"=3*"=3X5=15,

貝!)(3,15)=m+n,

即(3,3)