第4講圓周運動天體的運動

【目標要求】1.會分析常見圓周運動的向心力來源，并會處理圓周運動的問題。2.知道開普勒定律，掌握萬有引

力定律，會分析天體的運動規(guī)律，會比較衛(wèi)星的運行參量。

考點一圓周運動

1.圓周運動的三種臨界情況

⑴接觸面滑動臨界：Ff=FfmaXo

(2)接觸面分圖臨界：尸N=0。

(3)繩恰好繃緊：FT=O；繩恰好斷裂：尸T達到繩子可承受的最大拉力。

2.常見的圓周運動及臨界條件

(1)水平面內(nèi)的圓周運動

水平面內(nèi)動力學方程臨界情況示例

水平轉(zhuǎn)盤上的物

體

12恰好發(fā)生滑動

!,3F^mcor

,|,

圓錐擺模型

*

mgtan

恰好離開接觸面

0=mra)2

(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運動

輕繩模型

恰好通過最高

一~、、最高點：

、\\

/\

\V2點，繩的拉力

]

1F^+mg=m-

X\/!

、/恰好為0

輕桿模型恰好通過最高

最高點：點，桿對小球

V2

mg^F=m—的力等于小球

的重力

關注六個位置

的動力學方

帶電小球在疊加

恰好通過等效

場中的圓周運動程，最高點、

最低點、等效最高點，恰好

最高點、等效做完整的圓周

最低點，最左運動

等效法

邊和最右邊位

置

傾斜轉(zhuǎn)盤上的物

最高點：mgsin

體

0±Ff=mco2r恰好通過最低

點

最低點Ff-

mgsin0=mco2r

//

例1（2023?全國甲卷-17）一質(zhì)點做勻速圓周運動，若其所受合力的大小與軌道半徑的〃次方成正

比，運動周期與軌道半徑成反比，則〃等于（）

A.lB.2C.3D.4

答案C

解析質(zhì)點做勻速圓周運動，根據(jù)題意設周期質(zhì)點所受合外力等于質(zhì)點圓周運動的向心力，根據(jù)產(chǎn)合

r口

-Fn-mt2r,聯(lián)立可得居專其中粵為常數(shù)，廠的指數(shù)為3,故題中片3,故選C。

例2（2024?廣東深圳市二模）某摩天輪的直徑達120m,轉(zhuǎn)一圈用時1600s。某同學乘坐摩天輪，

隨座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，依次從4點經(jīng)8點運動到C的過程中（）

A.角速度為靠ad/s

B.座艙對該同學的作用力一直指向圓心

C.重力對該同學做功的功率先增大后減小

D.如果僅增大摩天輪的轉(zhuǎn)速，該同學在3點受座艙的作用力將不變

答案C

解析根據(jù)角速度的計算公式有。專端rad/s,故A錯誤；該同學乘坐摩天輪，隨座艙在豎直平面內(nèi)做勻

1oUU

速圓周運動，貝腔艙對該同學的作用力和該同學的重力的合力提供向心力，指向圓心，所以座艙對該同學

的作用力不是一直指向圓心，故B錯誤；根據(jù)重力功率的計算公式尸TMgVy,可知重力對該同學做功的功

率先增大后減小，故C正確；在瓦點有月產(chǎn)+(7ng)2=〃很。2,可知如果僅增大摩天輪的轉(zhuǎn)速，該同學在8

點受座艙的作用力將增大，故D錯誤。

例3(2024?江西卷T4)雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動。如圖

(a)、(b)所示，傳動裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。圓盤邊

緣/處固定連接一輕繩，輕繩另一端8連接轉(zhuǎn)椅(視為質(zhì)點)。轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后，其角速度與圓盤

角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動摩擦因數(shù)為"，重力加速度為g,不計空氣阻力。

(1)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度例勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后在水平雪地上繞。點做

半徑為為的勻速圓周運動。求48與08之間夾角a的正切值。

(2)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后在水平雪地上繞。點做半徑為「2

的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為仇繩子在水平雪地上的投影48與的夾角為夕。

求此時圓盤的角速度02。

卷安⑴林9⑵[“gsinecos/?

1=1木⑴?12rl((sinesin0+〃cose)r2

解析(1)設轉(zhuǎn)椅做勻速圓周運動時輕繩拉力為bT,轉(zhuǎn)椅質(zhì)量為相，受力分析可知輕繩拉力沿切線方向的分

量與轉(zhuǎn)椅受到地面的滑動摩擦力平衡，沿徑向方向的分量提供轉(zhuǎn)椅做圓周運動的向心力，故可得/TCOS

a=ma)i2n,/zmg=FTsina

聯(lián)立解得tana—

312rl

⑵設此時輕繩拉力為FT；沿AxB方向和垂直AxB方向豎直向上的分力分別為F^Fj'sm6,FT*FT'C6S0

2

對轉(zhuǎn)椅根據(jù)牛頓第二定律得FTICOSP=m(jL)2r2

沿切線方向根據(jù)平衡條件有尸TIsin.=四=〃尺

豎直方向根據(jù)平衡條件有FN+FT2=mg

聯(lián)立解得02=I"gsin”二

懷用牛仔2q(sinesin/?+〃cose)r2°

考點二萬有引力與宇宙航行

1.開普勒定律理解

0

(1)根據(jù)開普勒第二定律，行星在橢圓軌道上運動時，相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則也門=V2〃2；

⑵根據(jù)開普勒第三定律，沁若為橢圓軌道，則廠為半長軸，若為圓軌道，則尸心

(3)運行過程中行星的機械能守恒，即Eki+%=Ek2+Ep20

2.萬有引力定律3磬

(l)r為兩質(zhì)點之間的距離或兩個均勻球體的球心間的距離；

(2)G為引力常量，由物理學家卡文迪什測出。

3.天體質(zhì)量和密度的計算

已知g(或可

求

中

心重力加

天

的

體以測和天

速度法g)

和

質(zhì)

置I體半徑一

密

度衛(wèi)星環(huán)U已知7?(或")幾了同穴

繞法|和軌t半GT?

4.衛(wèi)星的發(fā)射、運行及變軌

忽略自轉(zhuǎn)：故GA/=g&2(黃金代換式)

考慮自轉(zhuǎn)：

在地面附近靜止

兩極：G字1=.g

赤道：Gr^=mgo+mco2R

恪=廊=7.9km/s是最小的發(fā)射速度

地球的第一宇宙速度：v=[

衛(wèi)星的發(fā)射

和最大的環(huán)繞速度

GM1

man—冊=產(chǎn)f%10c3

v2[GM1

m--->v=/---->voc—

rVrVr

Mm、

G-^r=F^nr：]

(天體)衛(wèi)星在圓軌道上運行rzo\GM1

ma>r->3=73oc-=

\r3后

m^j-rtT=tTocVr^

T2\GM

“軌高速低周期大”

(1)由低軌變高軌，瞬時點火加速，穩(wěn)定在高軌道上時速度較

小、動能較小、機械能較大；由高軌變低軌，反之

變軌(2)衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道的相切點，加速度相等，外軌道的速度大

于內(nèi)軌道的速度

(3)根據(jù)開普勒第三定律，半徑(或半長軸)越大，周期越長

例4（2024?江西卷—4）“嫦娥六號”探測器于2024年5月8日進入環(huán)月軌道，后續(xù)經(jīng)調(diào)整環(huán)月軌

道高度和傾角，實施月球背面軟著陸。當探測器的軌道半徑從n調(diào)整到々時（兩軌道均可視為圓形

軌道），其動能和周期從Eki、乃分別變?yōu)榉?、?2o下列選項正確的是（）

AEkl」2

T2同

Ek2支2'T2y/r^

71—必

Ek2ri'T2

，Ek2「2'T2

答案A

解析探測器在環(huán)月軌道做勻速圓周運動，貝陰球?qū)μ綔y器的萬有引力提供向心力，設月球的質(zhì)量為跖

探測器的質(zhì)量為如貝伴徑為n時有喈=喏=若*1,半徑為生時有等喏=端2再根據(jù)動能

加科,可得動能和周期的比值分別為學上，白空，故選A。

r3

2如riT2V2

例5（2024?湖北卷?4）太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓

周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在尸點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射

氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸

大于原軌道半徑。貝1）（）

A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同

B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小

C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小

D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大

答案A

解析在尸點變軌前后空間站所受到的萬有引力不變，根據(jù)牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在尸點的

加速度相同，故A正確；

因為變軌后其半長軸大于原軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，

故B錯誤；

變軌后在尸點獲得豎直向下的反沖速度，原水平向左的圓周運動速度不變，因此合速度變大，故C錯誤；

由于空間站變軌后在尸點的速度比變軌前大，而比在近地點的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在

近地點的小，故D錯誤。

例6（2023?湖北卷2）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條

直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動,

火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3：2,如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出（）

A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27：8

B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大

C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9：4

D.下一次“火星沖日”出現(xiàn)在2023年12月8日之前

答案B

解析火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3：2,根據(jù)開普勒第三定律有

I—

r3r，71］丁3

jT，可得萼，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，速度大小均不變，當火星與

「地3T地7地一地32V2

地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據(jù)萬有

引力定律有G^=??g,由于不知道火星和地球的質(zhì)量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度，

故C錯誤；火星和地球繞太陽做勺速圓周運動，有?；?"，。地等，要發(fā)生下一次火星沖日則有序-

/火/地/地

TT

普六2兀，得t-T”;>7地,可知下一次“火星沖日”出現(xiàn)在2023年12月8日之后，故D錯誤。

（火丁火一（地

例7（2022?福建卷?4）2021年美國“星鏈”衛(wèi)星曾近距離接近我國運行在距地390km近圓軌道上

的天宮空間站。為避免發(fā)生危險，天宮空間站實施了發(fā)動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質(zhì)量

為機的物體從距地心「處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為田，式中拉為地球質(zhì)量，G

r

為引力常量；現(xiàn)將空間站的質(zhì)量記為機0,變軌前后穩(wěn)定運行的軌道半徑分別記為為、r2,如圖所

示。空間站緊急避碰過程發(fā)動機做的功至少為（）

C.|G7Wmo(~^)D.2GMmo(~^)

答案A

解析空間站從軌道半徑為變軌到半徑廠2的過程，根據(jù)動能定理有用+少引力=A￡k

依題意可得引力做功少引力=厘區(qū)建竺

"JT2丁1

萬有引力提供空間站在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有片也羽工

空間站在軌道上運動的動能為&=若

動能的變化量A5k=*股■畔2

2T22rl

聯(lián)立解得心翳（5T）,故選A。

專題強化練［分值:60分］

1?6題每題4分，7?9、11題每題6分，10題12分，共60分

［保分基礎練］

1.（2024?黑龍江省二模）如圖甲所示，汽車的后備箱里水平放著一個裝有圓柱形工件的木箱，工件截面和車

的行駛方向垂直，當汽車以恒定速率通過如圖乙所示的三個半徑依次變小的水平圓弧形彎道N8C時，木箱

及箱內(nèi)工件均保持相對靜止。從汽車行駛方向上看，下列說法正確的是（）

乙

A.Q和M對P的支持力大小始終相等

B.汽車過/點時，汽車重心的角速度最小

C.汽車過/、B、C三點時工件P受到的合外力大小相等

D.汽車過/、C兩點時，M對P的支持力小于Q對P的支持力

答案B

解析汽車過4反。三點時做勻速圓周運動，合外力指向圓弧的圓心，故對工件P受力分析可知，汽車

經(jīng)過4C兩點時合外力向左，經(jīng)過3點時合外力向右，故Q和M對P的支持力大小不是始終相等，故A

錯誤；汽車速率恒定，由角速度與線速度關系°二可知，在/點圓弧軌道半徑最大，則汽車重心的角速度

r

2

最小，故正確；根據(jù)合外力提供向心力，有尸合」匕，當汽車以恒定速率通過半徑依次變小的B、C

B口Y4

三點時，工件P受到的合外力大小依次在增大，故C錯誤；汽車過4。兩點時，所受的合外力向左，因

此M對P的支持力大于Q對P的支持力，故D錯誤。

2.（2024?江蘇卷⑻生產(chǎn)陶瓷的工作臺勻速轉(zhuǎn)動，臺面上掉有陶屑，陶屑與臺面間的動摩擦因數(shù)處處相同（臺

面足夠大），則（

A.越靠近臺面邊緣的陶屑質(zhì)量越大

B.越靠近臺面邊緣的陶屑質(zhì)量越小

C.陶屑只能分布在圓臺邊緣

D.陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)

答案D

解析與臺面相對靜止的陶屑做勻速圓周運動，靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力為最大靜摩擦力時，半

徑最大，設為乙根據(jù)牛頓第二定律可得償陽="。2乙解得7常，"與。均一定，故廠與陶屑質(zhì)量無關且為定

值，即陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)，故A、B、C錯誤，D正確。

3.（2024?內(nèi)蒙古赤峰市一模）2023年10月26日17時46分，神舟十七號載人飛船與空間站組合體完成自主

快速交會對接。飛船的發(fā)射過程可簡化為：飛船從預定軌道I的4點第一次變軌進入橢圓軌道II,到達橢

圓軌道的遠地點3時，再次變軌進入空間站的運行軌道III,與空間站實現(xiàn)對接。假設軌道I和III都近似為

圓軌道，下列說法正確的是（）

第一次

變軌

A.飛船在橢圓軌道II經(jīng)過4點時的加速度比飛船在圓軌道I經(jīng)過/點時的加速度大

B.飛船在橢圓軌道n經(jīng)過4點時的速度一定大于11.2km/s

C.飛船沿軌道II運行的周期小于沿軌道HI運行的周期

D.在軌道I和軌道ni上飛船與地心連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等

答案C

解析由牛頓第二定律有等=3?,解得“f,所以飛船在橢圓軌道n經(jīng)過4點時的加速度與飛船在圓軌

道I經(jīng)過/點時的加速度大小相等，故A錯誤；11.2km/s是第二宇宙速度，大于第一宇宙速度，而第一宇

宙速度是飛船環(huán)繞地球運行的最大速度，所以飛船在橢圓軌道n經(jīng)過4點時的速度一定小于11.2km/s,

r3r3

故B錯誤；由開普勒第三定律有廿妥。，由于所以飛船沿軌道ii運行的周期小于沿軌道m(xù)運行

的周期，故c正確；飛船與地心的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積為S°￥，對飛船有等用當?shù)恼碛?/p>

&三俯而，由于軌道I的半徑小于軌道口的半徑，所以在軌道I上飛船與地心連線在相等的時間內(nèi)掃過

的面積小于軌道山上飛船與地心連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積，故D錯誤。

4.（2024?山東卷S）“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為服已知地球同步衛(wèi)

星的軌道半徑為心則月球與地球質(zhì)量之比可表示為（）

A.EB.EC.4D.1

NQJ7Nar

答案D

解析由華』7肉「得：“嚕

因“鵲橋二號”與地球同步衛(wèi)星周期相同，

M日3

所以n故選D。

M地r

5.（2024?安徽省名校聯(lián)盟聯(lián)考）某同學設計了如圖所示實驗裝置研究向心力，輕質(zhì)套筒A和質(zhì)量為1kg的小

球B通過長度為Z的輕桿及較鏈連接，套筒A套在豎直桿。尸上與原長為Z的輕質(zhì)彈簧連接，小球B可以

沿水平槽滑動，讓系統(tǒng)以某一角速度繞O尸勻速轉(zhuǎn)動，球B對水平槽恰好無壓力，此時輕桿與豎直方向夾

角省37。。已知彈簧的勁度系數(shù)為100N/m,彈簧始終在彈性限度內(nèi)，不計一切摩擦，cos37o=0.8,sin

37°=0.6,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)動的角速度。為（）

A.2rad/sB.2.5rad/sC.4rad/sD.5rad/s

答案D

解析B球?qū)λ讲矍『脽o壓力時，止匕時彈簧的壓縮量為乙-Ceos37。，對A、B整體分析有依LZcos

37°）=mg,根據(jù)牛頓第二定律有wzgtan37。=加"/sin37。，解得。=5rad/s,故選D。

6.（多選X2024?湖南卷-7）2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器順利進入地月轉(zhuǎn)移軌道，正式開啟月球之旅。

相較于“嫦娥四號”和“嫦娥五號”，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集并通過升空器將月壤

轉(zhuǎn)移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近

似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的;，月球半徑約為地球半徑的;。關于返回艙在該

繞月軌道上的運動，下列說法正確的是（）

A.其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度

B.其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度

C.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的6倍

D.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的倍

答案BD

解析返回艙在該繞月軌道上運動時萬有引力提供向心力，且返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似

為月球半徑，則有

mvI-----

mg月-得V月月R月①

由于地球第一宇宙速度為近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，

同理可得地A地②

由①②可得v月地

故A錯誤，B正確；

再根據(jù)線速度和周期的關系有

?2TT丁月_R月%—%

TjB小5

得T廣拒地，故C錯誤，D正確。

［爭分提能練］

7.（2024?北京市西城區(qū)二模）如圖所示，長為乙的桿一端固定在過。點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定質(zhì)量為加

的小球。桿在電動機的驅(qū)動下在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，帶動小球以角速度。做勻速圓周運動，其中“點為最高

點，C點為最低點，3、。點與。點等高。已知重力加速度為g,下列說法正確的是（）

C

A.小球在3、。兩點受到桿的作用力大于加g

B.小球在/、C兩點受到桿的作用力大小的差值為6mg

C.小球在B、D兩點受到桿的作用力大小等于mco2L

D.小球從/點到B點的過程，桿對小球做的功等于mgL

答案A

解析當小球在反D兩點時，桿對小球作用力豎直方向的分力應等于重力，水平方向分力提供向心力,

故桿對小球的作用力為FT（jn32L）2+故A正確，C錯誤；若小球在最高點，桿對小球的作

用力為支持力，則在/點刃g-FwfcM,在C點網(wǎng)2-切5="心2/,,所以網(wǎng)2內(nèi)1=2加02/,若小球在最高點，

桿對小球的作用力為拉力，則在“點7唯+為1=〃g2/，在C點FN2-mg=ma）2L,所以尺2內(nèi)1=27恪故B錯誤;

小球從/點到3點的過程，根據(jù)動能定理可得吩加g￡=0,解得桿對小球做的功少一加g￡,故D錯誤。

8.（2024?四川成都市二診）在地球赤道平面內(nèi)有一顆運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同的衛(wèi)星，其軌道半徑為地

球半徑的四倍，在赤道上某處建有一衛(wèi)星監(jiān)測站。若地球半徑為凡地球表面重力加速度大小為g,地球

自轉(zhuǎn)角速度為。，則監(jiān)測站能連續(xù)監(jiān)測到該衛(wèi)星的最長時間約為（）

解析設地球質(zhì)量為衛(wèi)星A的質(zhì)量為％根據(jù)萬有引力提供向心力，有筆=也得，由題意可知衛(wèi)星

A的軌道半徑為尸或丑，在地球表面根據(jù)萬有引力等于重力將mg,聯(lián)立解得廠=、用支2兀腎，如圖

所示，衛(wèi)星A的通信信號視為沿直線傳播，衛(wèi)星A和地面監(jiān)測站B之間被地球遮擋時監(jiān)測不到。設無遮

擋時間為乙則它們轉(zhuǎn)過的角度之差最多為2。時就不能通信，根據(jù)幾何關系可得cos釁則有,小

竽=2仇又因為地球自轉(zhuǎn)周期7衛(wèi)，聯(lián)立以上解得"，一金，故選D。

T34二一3

9.（2024?重慶市第一中學檢測）如圖（a）所示，質(zhì)量均為1kg的物體A和B放置在水平圓盤上，與圓盤間的動

摩擦因數(shù)分別為〃A和〃B。用兩根不可伸長的水平細繩將物體A、B和圓盤轉(zhuǎn)軸相連，物體A、B與轉(zhuǎn)軸的

距離分別為LA和次。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當圓盤繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角速度。緩慢增大時，轉(zhuǎn)軸與

物體A之間的細繩拉力尸H、A與B之間的細繩拉力戶12隨〃的關系如圖（b）所示。取g=10m/s2,則下列選

項正確的是（）

(a)(b)

A.〃A=0.25B.〃B=0.1

C/A=1.5mD.fB=2.5m

答案C

解析以物體B為研究對象，則有b2rg,變形得后2=利02rB與丘-小圖像對比可得

LB=2m,/ZB=0.2,故B、D錯誤；以物體A為研究對象可得尸T