云南省玉溪市澄江市一中2024-2025學(xué)年上學(xué)期期末考試

局二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合/=k€2|/一2尤（0｝,則/的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.7C.8D.16

2.已知函數(shù)/（x）=log2（ax2+2x+3）,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)上，總存在實(shí)數(shù)%,使得/（%）=左

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

3.設(shè)函數(shù)?。?:知八，若〃》）無最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

-2x,x>a,

-8,2](T2]

4.當(dāng)xe[0,2兀]時(shí)，曲線V=cosx與了=2cos交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

5.復(fù)數(shù)z=（-l+i）（2+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,且對(duì)任意機(jī),〃eN*（機(jī)>”）均有a,i+%>_,=2%,+2%.記｛%｝

的前”項(xiàng)和為'，則$7=（）

B.140C.256D.784

7.已知向量力以拒,反N為基底時(shí)的坐標(biāo)為（2,-3,3）,則/以忸-23而+3,2分為基底時(shí)的

坐標(biāo)為（）

A.HlB-c.(1,3,2)D.(1)-3,2)

\乙乙乙J\JJ乙J

22

8.如圖，4,B是橢圓C：0+A=1(。>6>0)的左、右頂點(diǎn)，尸是e。：工2+/=。2上不同

ab

于48的動(dòng)點(diǎn)，線段尸4與橢圓。交于點(diǎn)。，若tan/。84=3tan/0A4,則橢圓的離心率

為()

A.-B.—C.—D.—

3333

二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

n

9.定義無窮有界級(jí)數(shù)a“=XC：%(〃22,"eN*),且零項(xiàng)級(jí)數(shù)％=1,則()

k=0

10.已知函數(shù)y(x),g(x)的定義域均為R,其中/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，g(x)的

圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，/(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,則()

2024

A./(-x)+/(x)=0B./(2024)=7C.g(2024)=-lD,工/(左)=2024

k=\

11.已知函數(shù)/(x)=V^cos[2x+?),貝ij()

/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為伏兀,0

A.

B./(%)的圖象向右平移玄個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是奇函數(shù)的圖象

O

/(X)在區(qū)間—上單調(diào)遞增

OO

5兀13兀

D.若y=/(x)在區(qū)間(0,加)上與y=l有且只有6個(gè)交點(diǎn)，貝

5'丁

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知/'(X)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有/'(x)=eX2x+l)+f(x),

/(0)=-2,則不等式/(x)>4e'的解集是.

13.已知向量1=(1,2)石=(2-44),若方與3的夾角為銳角，則X的取值范圍是

14.已知二面角。一/一用為60。，4Bua,ABH,A為垂足，CDa.J3,Cel,

ZACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為.

四、解答題:本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17

分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.某動(dòng)物園觀光車載有5位旅客自動(dòng)物園門口出發(fā)，游覽途中游客有4個(gè)車站可以下車.如

到達(dá)一個(gè)車站沒有游客下車就不停車.設(shè)每位游客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各位游

0,在第拉占沒有人下車

客是否下車相互獨(dú)立.隨機(jī)變量X,=,z=l,2,3,4.

1,在第z?站有人下車

(1)求隨機(jī)變量區(qū)的概率分布和數(shù)學(xué)期望;

(2)已知：若隨機(jī)變量正服從兩點(diǎn)分布，且尸(X,.=l)=l-尸(X,=0)=q/=l,2,…山，則

/n\n

E=、.記停車的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

1;=1)1=1

16.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=1,且滿足%+4=2"+1,記也,=?“-1eN*.

(1)證明：也｝是等比數(shù)列；

3,證明：數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和凡<；.

(2)記g=

(%-3)(4-3)

22

17.已知橢圓「：X=l(a>0)的右焦點(diǎn)為b(LO),過點(diǎn)尸且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交：T

于43兩點(diǎn)，「在43兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)。.

(1)求證：點(diǎn)。在定直線上，并求出該直線方程;

(2)設(shè)點(diǎn)M為直線。。上一點(diǎn)，且求|力圖的最小值.

18.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時(shí)，為美

觀起見，通常會(huì)用彩繩對(duì)月餅盒做一個(gè)捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖(A)、(B)所

示，并配上花結(jié).

圖(A)中，正四棱柱/BCD-481GA的底面/3CD是正方形，且/8=3,/4=1.

(1)若4H=4E=B]E]=BFi=CF=CG=Qd=、乩=1,記點(diǎn)H關(guān)于平面耳尸的

對(duì)稱點(diǎn)為6,點(diǎn)〃關(guān)于直線月5的對(duì)稱點(diǎn)為鳥.

(i)求線段孫的長(zhǎng)；

(ii)求直線片5與平面所成角的正弦值.

(2)據(jù)烘焙店的店員說，圖(A)這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖(8)的十字捆扎更節(jié)省

彩繩.你同意這種說法嗎？請(qǐng)給出你的理由.(注意，此時(shí)AE、片與、烏片、CF、

CG、〃&、4區(qū)這8條線段可能長(zhǎng)短不一)

2ex

19.已知函數(shù)+左是奇函數(shù).(e是自然對(duì)數(shù)的底)

eA+1

(1)求實(shí)數(shù)人的值；

(2)若尤＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式/(2x)WW(x)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍;

(3)設(shè)g(x)=,對(duì)任意實(shí)數(shù)凡6,ce(0,〃],若以/b,c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成

-1-/lW

三角形時(shí)，均有以g(a),g(b),g(c)為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)"的最大值.

一、單選題

1.【答案】C

【解析】久2一2%30,解得0WxW2,又因?yàn)镵6Z,

所以a={0,1,2},即集合有三個(gè)元素，所以/集合有2,=8個(gè)子集.所以選擇C

2.【答案】D

【解析】依題知對(duì)于任意實(shí)數(shù)鼠總存在實(shí)數(shù)%,使得/(%)=左成立，

所以/(X)值域?yàn)镽,因此必須要求y=ad+2x+3取遍一切正實(shí)數(shù),

當(dāng)4=0時(shí)，y=2x+3值域?yàn)镽,符合題意.

。＞01

當(dāng)QW0時(shí)，需＜即0＜。（一.

A=229-12a＞03

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍0,；.

故選：D.

3.【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)無最大值，令爐一3x=—2%,解方程可得尤=-1或x=l,

g[x)=3x3-3令g[x)=0,畫出函數(shù)圖象如圖所示，

當(dāng)a2—1時(shí),/(x)有最大值/(—1)=2或/⑷，

當(dāng)a＜-l時(shí)，有/一34＜一2〃，此時(shí)/(X)無最大值，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-叫-1).所以選擇A。

4.【答案】D

【解析】在坐標(biāo)軸中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示在[0,2可上一共有6個(gè)交點(diǎn)，所以選

擇D.

5.【答案】B

[解析]z=(-1+z)[(l+z)+l]=(-l+0(1+z)+(-l+0=-2-l+z=-3+z,

因此，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】由數(shù)列5｝滿足q=1,且―%“一“=2%,+2%,

令〃=1,可得am+l+*=25+2%=2am+2,即(am+l-am)-(am-%)=2,

再令粼=am+l-am,可得4-鬣t=2,即數(shù)列也｝是公差為2的等差數(shù)列，

又由4=。2-%=。2T，可得與=2根-3+。2,即冊(cè)+1-am=2m-3+a2,

又由冊(cè)=%+(?2-%)+(為一出)+…+9,”-=O.2)2+(m-l)a2

2

即am=(m-2)+(m-l)a2,所以的=1+2a2及%=9+4a2,

令m=3,n=2,可得%+%=2%+2/,代入可得9+4出+1=2(1+2和)+2。2,

解得%=4,所以%,=(%-2)2+(〃7-1)x4=/，

即數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為%=

=12+22+32+42+52+62+72=140.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】為向量力以｛，石同為基底時(shí)的坐標(biāo)為(2,-3,3),

所以p=2a-3b+3c，

設(shè)夕=x(a-2b)+y(a+B)+2zc=(x+y)a+(y-2x)B++2zc，

5

x=一

x+y=23

1

由空間向量基本定理得〈y-2x=-3,解得Vy=-

3

2z=3

3

z=-

2

所以萬以"一23,3+3,2己為基底時(shí)的坐標(biāo)為

故選：B.

8.【答案】D

22

【解析】由題意得0在橢圓C：C:三+彳=1（。>6>0）上，則設(shè)0（。cos。*sin。）,

ab

?一/c/nbsinO/八八，bsind

所以tanZPAB=------------,tanZQBA=-------------,

acos0+aa-acos0

兩式相乘得tanZPAB-tanZQBA=-------bsmO=l,①

acos0+aa-acos0a

因?yàn)?5是e。的直徑，則N4P5=90°，即NP4B+ZPA4=90°,

]]

故tan/PAB=tan/QAB=tanNQAB-tanZPBA=1，②

tan/PBAtan/PBA

tanZQBAb21

由①②得

tanZPBAa23

故選：D.

二、多選題

9.【答案】BCD

【解析】由。0=1,%=>2),

k=0

k

可得a”=￡Cnak=C°a0+C：%+C>2+......+C：%(〃22),

k=0

所以c。。+C；%+c32+……+=0(〃>2),

同理c?+1?o+c：+嗎+c3%+……+c：+1??=0(〃>1),

所以C：+q=-(C°+1a0+C；+M+C^a2+……+€：>?_,)(?>1),

%=-W?+4+C+M+第+巴+……+'1)’

其中第加+1項(xiàng)為

1c相Q_1x(〃+D〃(〃—D...(n-m+2)a_n(n-l)....(n-m+2)

〃+l77+1〃+lIx2x3x....xmmIx2x3x....xm

二九(九—1)....加+2)(a一"/+1)工0租二c加c1m

Ix2x3x....xmn-m+1nn-m+1

即可得%=-C：R+C；5+C：R+…+C：」^+…+C：T等)(〃N1),

n+\nn—1n-m+\2

因?yàn)椋?1,令〃=1,得％=一0：=一,，

令〃=2,得電=-（C券+?言=-（；）=5

令〃=3,得?=—（《含+C去+C含=一（：—；+f=。，

同理可得%=一：，%=0，°6=!，%=0，%=一:，....，

JI乙J\j

即可得選項(xiàng)BC正確，A錯(cuò)誤，由上述前9項(xiàng)的值可知,

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，除生之外，其余均為0,即電“+1=0（"21），故D正確.

故選：BCD.

10.【答案】BD

【解析】由已知/(尤)一4=g(2+x),g(2-x)=g(2+x),

所以/(x)-4=/(—x)—4,即/(x)=/(-x),故A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?(0)=4+g(2)=7,因?yàn)?(x)關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，

所以/⑴=1,/(一x)+/(x+2)=2,即/(x+4)+/(-x-2)=2,

又因?yàn)?(X+2)=/(-X—2),所以/(X+4)=/(-X)=/(X),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,所以/'(2024)=/(0)=7,所以B正確；

由g(2024)=/(2022)—4=/?⑵-4=2-/(0)-4=2-7-4=-9,所以C錯(cuò)誤;

因?yàn)?(1)=1,/(2)=2-/(。)=2-7=-5,/(3)=/(1)=/(-1)=1,/(4)=/(。)=7,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,所以

2024

?(左)=506[〃1)+/(2)+/(3)+/(4)]=2024,所以D正確.

k=\

故選：BD.

n.【答案】BD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：/(x)=V2cos(2x+—),令2X+生=阮+殳(MZ),解得

442

析3兀Y,兀3兀兀3兀3V…、口

x=~---二.當(dāng)左=1時(shí)，x=----=—^一,選項(xiàng)A錯(cuò)陜.

282888

3兀

對(duì)于選項(xiàng)B：/(x)圖象向右平移k個(gè)單位長(zhǎng)度，得

8

y=V^cos[2(x---)+—]=V2cos(2x+—)=-VIsin2x,是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確.

-842一

5兀TT37r

對(duì)于選項(xiàng)C：令2阮+?！?x+——”2左兀+2兀(左EZ),解得左兀——?x?kn+——(左wZ).

-488

Jr37r57r77r

當(dāng)左=0時(shí),X,,—,xe[丁，弁]不在此區(qū)間，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

8888

對(duì)于選項(xiàng)D：由0cos(2尤+爭(zhēng)=1,得cos(2x+力爭(zhēng)則2尤+*2版土:

(keZ).要使了=/(x)在(0,刃)上與y=1有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則6兀<2加+—W8兀，解

4

?19K27K5n20n19K13兀26兀27兀,(5兀13兀

得Z二<加<〒.又7=T<H，丁=丁(丁，c所ri以加萬，丁，選項(xiàng)D正

ooZoo4OO\Z41_

確.

綜上，答案是BD.

三、填空題

12.【答案】(-鳴-3)U(2,+8)

【解析】令尸(無)=華，F(xiàn)'(x)=

2=2x+1,

ee'

則尸0)=/+1+。，X/(0)=-2,.-.C=-2,.\F(X)=X2+X-2

f(x)=儼+%一2)e”,

所以/(x)〉4e“o，+x-2jex>4ex,BPx2+x-2>4,即(x—2)(x+3)>0,

求得：、<-3或%>2,

所以不等式/(%)>4ex的解集為(-8,-3)U(2,十旬.

4

13.【答案】一,+“

【解析】因?yàn)椤?，B的夾角為銳角，所以M石＞0,即2-4+24〉0,解得4＞一2

但，力同向共線時(shí)也有萬石＞0,故Xw2x(2—%),解得4。1綜上4＞—2且

故答案為：—2,.

14.【答案】正

【解析】如圖所示:

-------------

過。作DELa于尸，/于尸，再過E作/的平行線與過C作/的垂線交于G，連接

EQOG,則HE為二面角￡-/-尸的平面角,易知四邊形由CG為矩形.

由_1/知48//?HCG，所以/DCG為AB與CD所成的角，

設(shè)斯=1,因?yàn)镹OEE=60°,則。尸=2,CG=1,

又由條件知ZDCF=180°-135°=45°,且。尸，/,

所以在RtaDC尸中,℃=2夜，

c1F5

所以在Rt^OCG中,cos/DCG=t￡==

DC-2V2-4

四、解答題

3

15.【答案】解：(1)由已知可得任一游客在第3站不下車的概率為二,

3

因此5位游客都不在第3站下車的概率為尸(X3=0)=(/5,

3

則在第3站有人下車的概率為尸(入3=1)=1-1)5,

所以X?的概率分布列為

工01

243781

P

10241024

yoi

所以磯區(qū)）=前

3

（2）由已知可得任一游客在第，?站不下車的概率為二,

4

因此5位游客都不在第，站下車的概率為（；）5=施，

3

則在第，站有人下車的概率為1-（-）5,

337R1

所以尸肉=0)=(/,P(x,.=l)=l-(-)5,所以E(X)=前，”1,234.

因?yàn)閄=X]+X[+看+,

78]78]

所以E(X)=與旦+匕+X?+羽)=E(X1)+￡(X2)+￡(X3)+￡(X4)=4x--=-

10242JO

16.【答案】證明：（1）因?yàn)?+1%=2向，

所以%+2電用=22"+2,4用電”=2二,所以于必=2,

U2n

因?yàn)?+出"=22向,所以詠=2,

。2"-1

因?yàn)閍=%1T+。2"，

囚為‘"I="2〃+1+。2〃+2_22〃]+2a2“_2

b”a2n-l+a2n“2”-l+“2”

又因?yàn)楫?dāng)”=1時(shí)出。1=4,所以。2=4,所以4=%+%=5,

所以｛4｝是以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)可得或=5-2"T,

二b“_5x2-

因?yàn)?一(%-3肌-3)一(5x2"-3)(5x2-1-3)

_(5X2"_3)_(5X2"T_3)_]____________

),1

一(5x2"-3)(5x2--3)-5X2“T-3-5義2"-3'

所以S.=\

111

=-----------<一.

25x2"-32

17.【答案】（1）證明：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為歹。,0）,

所以片-3=1,所以/=4,

所以橢圓方程為《+/=1,

43

直線不垂直于坐標(biāo)軸，所以設(shè)方程為y=左（》-1）（左%）,5（%,必）,

\22

XV

--------1--------=1

聯(lián)立《43

y=k(x-1)

可得(3+4肥)久2一8卜2%+縱2-12=0,A>0,

8k24/-12

所以X1+X??3+4左2，斗馬-3+4左2，

過點(diǎn)）的切線為子+牛=1，過點(diǎn)2的切線為號(hào)+警二,

因?yàn)辄c(diǎn)。（%,彩）在兩切線上，所以?+?=1,牛+卷?=1,

所以直線的方程為竺x+里了=1,

43■

又直線過點(diǎn)尸（1,0）,所以號(hào)xl+gx0=l,解得&=4.

（2）解：將x=4代入（+W=1得，為=3（1%）=：,

43yr左（無「I）k

3

所以直線。。的方程為y=-j7X,

4k

設(shè)直線和。。交于點(diǎn)尸，

片Ml)4k2

聯(lián)立3，解得馬

y=——x「3+4公

4k

4k2

L*E=王±強(qiáng)，所以P為線段的中點(diǎn),

又“W23+4/2

2o

842、，4左2-1212(r+i)

根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得\AB\=Jl+k2?]—x?|=A/1+k~-4x-------

3+4吃3+4423+4左2

6k2+i)

所以|4P|=

3+4左2

4F+3_\AM\

又因?yàn)閠an/4PA/=

rrrI\4A：2+3ii4A：2+36①+1)

所h以A.A叫/f=『小尸|=開

3+4左2鄧咽”

當(dāng)且僅當(dāng)人=±1時(shí)，等號(hào)成立,

故的最小值為12.

18.【答案】解：(1)(i)以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

由題意得耳(2,3,0),H(2,0,l),G(0,2,l),@(0,1,0),

.?.雨=(-2,2,0),麗=(2,2,0),祁=(0,1,1),

設(shè)平面耳PG。的法向量為G=(x,y,z),

GG-n=y+z=0

則有《i

GXFX-H=2x+2j=0

取x=1,得%=(1,—1,1),

4473

點(diǎn)H到平面耳/］的距離d=

GG甲二丁亍

...|班|=21=容

線段班的長(zhǎng)為半；

(ii)取明的中點(diǎn)片，所以且G典，班,

?.?G/=(2,—1,1),

-----、G1HGF-----?1-----、

___^G,E=-G{E

211

|GXFX|4

由⑴知，麗=2?也二方=-號(hào)乃=88_8^285

間23i'i'Jr"1333

]_J_2

-PA二'二'二

333

又碗=(0,0,1)為平面48CD的法向量,

p^-m_4e

|WH'T

???直線P\P］與平面ABCD所成角的正弦值為

(2)對(duì)于圖(