湘豫名校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.命題“VxeR,27+2*21”的否定是()

A.VxeR,2T+2*<1B.3x0GR,2一%+2與21

C.VxgR,2r+2*<1D.3x0eR,2一"+2與vl

2

2.已知z=l-i,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi+—對應(yīng)的點位于()

z

A.實軸上B.虛軸上

c.直線y=x上D.直線y=r上

3.某中學(xué)有初中生600名，高中生200名，為保障學(xué)生的身心健康，學(xué)校舉辦“校園安全知

識”了競賽.現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣的方法，分別抽取初中生機名，高中生〃名，經(jīng)統(tǒng)

計：名學(xué)生的平均成績?yōu)?4分，其中機名初中生的平均成績?yōu)?2分，“名高中生的

平均成績?yōu)闊o分，則苫=()

A.74B.76C.78D.80

4.已知網(wǎng)=|網(wǎng)=1,甌卜四，m+OB+OC=0,設(shè)函與反的夾角為a,則夕=()

A.240°B.225°C.135°D.90°

5.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，若函數(shù)y=g(x+2)與y=的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,

則g(4)=()

A.1B.0C.-1D.-2

6.若函數(shù)/(x)=sintyx(0>°)在區(qū)間(兀，2兀)內(nèi)沒有最小值，則。的取值范圍為()

7.己知集合川={(尤,y)l(x-l)，y2=4},曲線C上的點構(gòu)成集合

N=\tx-l,^y\\(x,y)eM\,則曲線C上的點到直線y=x+2石的最大距離為()

A3MVio「3百V5

A.DR.-----C.-----JnJ.----

2222

xln（H-3^xNl

8.己知函數(shù)〃尤）=,'、/'，則滿足〃5-a）<〃a+l）的實數(shù)。的取值

（2-x）ln（7-4x+x2）,x<l

范圍為（）

A.（1,+<?）B.（2,+co）C.（3,+oo）D.（4,+oo）

二、多選題

9.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為為="2-沏，則（）

A.4+。3=a5+%

B.｛%｝中的最小項為-16

C.從第三項起，｛4｝的每一項都大于它的前一項

D.數(shù)列｛a*-4｝為等差數(shù)列

10.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，。是BG與的交點，ABAC=ZBM=ZOL4,=60°,

AB=AC=AAj=1,則（）

A.AO=AB+AA^+ACB.A0=—

2

D.用到平面ABC的距離為如

C.AO_L平面ABC

11.已知曲線。:，+/+4『=16，+4）,（-2,0）,月（2,0）,設(shè)M是C上任意一點，0

為坐標(biāo)原點，則（）

A.曲線C關(guān)于原點。對稱

22

B.曲線C上所有的點都在橢圓上+匕=1內(nèi)部

124

C.曲線C在由直線許±26和＞=±2所圍成的矩形框里（含邊界）

D.存在點使得/片仍為鈍角

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.某同學(xué)收集了第一屆全國學(xué)生（青年）運動會吉祥物“壯壯”和“美美”的卡片各一張，第

19屆亞運會吉祥物“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”的卡片各一張.現(xiàn)該同學(xué)準(zhǔn)備將這5張卡片貼在墻

上，若將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，則不同的貼法種數(shù)為.

（用數(shù)字作答）

13.已知拋物線E:4x的焦點為歹，過點尸且不與x軸垂直的直線與E交于A8兩點，

AB

過A5的中點M作x軸的平行線交E于N點，則--=_____________.

NF

3

14.在VA5C中，角A,3,C所對的邊分別為。，b,c,邊上的圖為心若。=4,h=-,

則反的最小值為____________;若/7=且4,則匕U的最大值為_____________.

6be

四、解答題

15.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的80只小鼠隨機均分為兩組:

對照組（不含藥物）和實驗組（添加藥物），飼養(yǎng)相同時間后，分別測量這兩組小鼠的體重

（1）估計實驗組小鼠體重增加量的80%分位數(shù)加；

（2）將這兩組小鼠的體重增加量，從低到高分為三個等級:

體重增加量X/gx<1010<x<20%>20

等級較輕中等較重

假設(shè)對照組和實驗組小鼠體重增加量的等級結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻

率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從實驗組和對照組中各隨機抓取一只小鼠，求抓取的實驗組

小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率.

16.己知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，前〃項和為S“，且4=1,瓦是1-5,與S用的等差

中項.

⑴證明：數(shù)歹叫后｝是等差數(shù)列；

⑵設(shè)〃=(-!)”?⑸+4)，求數(shù)列也｝的前2"項和耳.

22

17.已知雙曲線C:3=1(。＞0力＞0)的左、右頂點分別為A,4，虛軸的兩個端點分

ab

別為用(O,_b),員(0涉)，點網(wǎng)2,26)在c上，四邊形4片&與的周長為4班.

(1)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點。(-1,2)的直線與C交于尸，。兩點，直線A|P,AQ分別與y軸交于Af,N兩點,

證明：

18.已知函數(shù)〃x)=e￡—av-3(aeR).

(1)當(dāng)尤NO時，若不等式/(x"5-2恒成立，求。的取值范圍；

⑵若〃元)有兩個零點七，/，且玉＜馬.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：3eri+eX2＞3a.

19.已知四面體ABCD

(1)若該四面體為正四面體，球。與其四個面都相切，證明：該四面體與球0的體積之比等

于它們的表面積之比；

⑵設(shè)點G是滿足函+說+宓+罰=。，過點G的平面。分別與直線AB,AC,AD交于

點尸，Q,R,且麗=4麗，AQ^Z,AC,醺=4苞，證明：：+；+；=4；

4七七

(3)若空間內(nèi)一點目滿足。麗+6麗+c配+1而=6(。，b,c,〃均為實數(shù)，且全不為0),

C：

證明：VH-BCD-^H-ACD-^H-ABD：^H-ABC~:同'||1d-

試卷第4頁，共4頁

《湘豫名校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案DCDCBDABABDBC

題號11

答案AC

1.D

【分析】根據(jù)含有一個量詞命題的否定的原則，即可得答案.

【詳解】含有一個量詞的命題的否定的做法為“換量詞，否結(jié)論”，

所以“VxeR,2T+2、21”的否定為“玉。eR，2』+2苑<1”.

故選：D.

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘、除法運算化簡，由幾何意義可得復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)，從而判斷

其位置.

2/、22（l+i）2（l+i）

【詳解】因為z=l—i,所以zi+—=il-i+-=i+l+I/、=i+l+\^=2+2i.

zl—i（1—ij（l+1J2

所以復(fù)數(shù)Zi+-所對應(yīng)的點坐標(biāo)為（2,2）,位于直線丁=無上.

Z

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)分層隨機抽樣的特點求出加與〃的關(guān)系，再利用平均數(shù)的計算公式列出關(guān)于無

的方程，進而求解工的值.

m600

【詳解】由題意，得*200可得72：3：X=74,解得X=80.

72m+nx_.3+1

-----------=/4,

、m+n

故選：D.

4.C

【分析】利用向量的平方等于模的平方來求解夾角即可.

【詳解】由函+赤+定=0得：OB=-^OA+OC]^>OB={OA+OC^

因為|西卜|詞=1,|反卜近，J5）f^1=1+2+204-dC=>|0A|-|0c|cos^OA,OC）=-1,

-1_A/2

即8$（弧因=

HF

答案第1頁，共14頁

3兀

4

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)函數(shù)〃尤)為R上的奇函數(shù)，可得"0)=0,又由函數(shù)y=g(x+2)與y=〃尤)

的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，可得〃x)+g(4-x)=O,從而可解g(4).

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，

所以〃T)=—"力,則"0)=-"0),所以"0)=0,

函數(shù)y=g(x+2)與、="尤)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

則”x)+g(2+2-x)=0,即〃x)+g(4—x)=0,

所以g(4)=-"。)=。.

故選：B

6.D

【分析】由題設(shè)y=siiu在(師,2.)上沒有最小值，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)列不等式求參

數(shù)范圍.

【詳解】由xe(兀,2兀)，則r=(yxe(tyn:,2m:)且0>0,

所以y=sinf在(河,2師)上沒有最小值，

3兀3

若0<。;1<2。兀<——,可得0<@V—,

24

兀兀

13737

若F2kliW兀<兀4----F2kli左￡N,7T—F2k—卜k,左EN,

2224

37

所以彳40《二，

24

綜上,。心(3力1［「"37.~

故選：D

7.A

【分析】先求出曲線C,再應(yīng)用三角換元，結(jié)合點到直線距離公式及三角函數(shù)值域得出最大

距離.

答案第2頁，共14頁

【詳解】因為M={(尤,y)|(x-l『+y2=4},曲線C上的點構(gòu)成集合

N=|(x,y)eMj,

設(shè)曲線C上的點「(為,%)，則玉=彳_1,M=措，

所以x=Xi+l,y=2%,所以x；+4y；=4,即子+,；=],

所以設(shè)再=2cos6,必=sin。,

所以曲線C上的點尸到直線y=x+2岔的最大距離為

12cos6-sin6+2君|12cos6-sin6+2A/^12cos(6+°)+26|j

d=VFTF=V2=正，tan°二鼠

因為cos?+0)e[-1,1],所以[=2cos(6>誓)+2四&3^=3回,

-0V22

當(dāng)且僅當(dāng)cos(e-0)=1,即夕=。時取等號，曲線C上的點到直線y=x+2正的最大距離為

3M

2

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)解析式得到“2-x)=/(x),即/(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的區(qū)

間單調(diào)性，利用對稱性、單調(diào)性解不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】若x>l,貝1」2—x<l,^/(2-x)=[2-(2-x)]ln[7-4(2-x)+(2-^)2]

=x]n(x2+3)=/(x),

所以/(X)的圖象關(guān)于X=1對稱，

7Y2

當(dāng)X21,有y=xln(/+3),則y'=抽(*+3)+^—>0,

x+3

所以/(X)在(L+8)上單調(diào)遞增,故在(F,1)上單調(diào)遞減，

對于,貝+可得

所以(4-a)?<〃2=>16<8〃=>〃>2.

故選：B

9.ABD

答案第3頁，共14頁

【分析】根據(jù)見=/-8”=(〃-4)2-16,寫出相關(guān)項并確定最小項判斷A、B、C,再應(yīng)用

等差數(shù)列的定義判斷D.

【詳解】見="-即=(1)2-16,

對于A,q=%=-7,%=%=T5,則4+%=。5+“7，故A正確；

對于B,當(dāng)〃=4時，｛%｝中的最小項為%=T6,故B正確；

對于C,由上計算得%=%=T5,顯然從第三項起，｛4｝的每一項不一定大于它的前一項，

故C錯誤；

對于D,由a*—a”=(71+2)2—8(〃+2)—n~+8n=4n—12,

顯然(a”+3-a“+i)—(a0+2—。")=[4(〃+1)—12]—(4九—12)=4,

所以｛%+2-%｝是公差為4的等差數(shù)列，故D正確.

故選：ABD.

10.BC

【分析】對A,利用向量的線性運算求解；對B,由平方后結(jié)合

UUL1UUUL

數(shù)量積的運算，即可求得答案；對C,利用向量數(shù)量積運算驗證AO.48=0,可得AO，48,

同理得AOL4C,根據(jù)線面垂直的判定定理得證；對D,由C選項得也為平面A8C的一

個法向量，利用向量法求點到平面的距離.

【詳解】設(shè)題4,AC=b，麗=工

uniuumHITinniummuuniziux__、

對于A,AO=AB+BO=AB+-BCi=AB+-\<BBx+BCj

uunitorizuuirtun、iuuniuiriair

=AB+-BBx+-(AC-ABj=-AB+-AAi+-AC,故A錯誤；

uniiuumiUULTiuuiriririr

對于B,因為AO=—A5+—AA+—AC=—a+—b+—c,

222222

|UULT|21/1rf\21/r2r2r2rrrrrr\

所以=1(Q+Z?+C)=—^+b+c+2a-b+2a-c+2b-cj

=-|l+l+l+2xlxlxl+2xlxlx-+2xlxlxl|=-,

4(222j2

則=*，故B正確；

答案第4頁，共14頁

UULTUULT1rIrIrr2r2rrrr

對于c,因為AO.45=—a+—b+—ca-c+a-b-b-c1-1+---=0,

22222

所以AO_LA3,同理，可得AO_LAC,又A13cAe=4，片氏4。(=平面AQC,

所以AO,平面A^C,故C正確;

uuiruurIbrrr?/rrrrr\"]\\

x,,2=

對于D,因—(〃+Z?+c),c=—ltzc+Z?c+c)=——I----Fl1,

22\/2122J

由選項c知，AO_L平面ABC,所以正為平面ABC的一個法向量,

IUUUUUUI

與I1_V6

所以點用到平面ABC的距離d=-^p=7?=F",故D錯誤.

故選：BC.

11.AC

【分析】曲線上任意點(x，y)關(guān)于原點對稱的點為(-%,-y),代入曲線驗證判斷A；曲線化為

亡=1一('燈+4-2)2并得至(J-2百Wx42石、一2WyW2判斷C,橢圓化為反=1一二，在

44412

取相同x值情況下比較“)+4-2);《大小判斷'特殊點界點M(0,2)并應(yīng)用余弦定理

412

判斷D.

【詳解】對于C:(x2+y2+4)2=16(x2+4)上任意點ay),關(guān)于原點對稱的點為(fr),

所以[(—])?+(一y)?+4]~=16[(—x)2+4],即(%2+y2+4)2=16(x2+4),

所以(一%,一丁)也在曲線(_?+,2+4)2=16(%2+4)上，A對;

2

曲線可化為21=值荷_五1=＞+4-2

-------^20’

444

所以2W&+4W4,^-2A/3<X<2A/3,同理可得y244n-24y<2，

所以曲線。在由直線＞±2&和＞=±2所圍成的矩形框里(含邊界)，C對;

又蘭+《=1可化為￡=1-目

124412

所以心+4_2)2f_爐+4-66+4+8_心+4_2)心+4-4)<0

412-6—6’

所以心+4一上工,則1—心+422J江,

412412

22

所以曲線C上所有的點都在橢圓工+匕=1外部(含邊界)，B錯;

124

答案第5頁，共14頁

顯然"(0,2)在曲線，+必+4)2=16(/+4)上，此時COS=°，

ZFtMF2=注:*

結(jié)合B結(jié)論，易知4M耳490。，D錯.

故選：AC

12.8

【分析】按照特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先排“壯壯”、“美美”和“宸宸”、“蓮蓮”，再與“琮琮”

進行排列即可.

【詳解】先將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，有A；A；種貼法,

再將這4張卡片看成一個整體，與“琮琮”一起貼在墻上，有A；種貼法，

由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的貼法種數(shù)為A；A；A；=8種.

故答案為：8.

13.4

【分析】根據(jù)題意作示意圖，設(shè)出直線A3的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得

點”的坐標(biāo)，從而求得點N的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義求解.

【詳解】如圖，由題意可知，直線的斜率存在且不等于0,

因為拋物線E:V=?的焦點為P(1,0),設(shè)直線A3的方程為x=股+1,

[x=my+1

聯(lián)立方程12'可得9-4陽-4=0,

U=4元

設(shè)3a2，%)，則%+%=4俏,%%=-4,

答案第6頁，共14頁

2

設(shè)M（物,加）,N（/,%），則%=%=*產(chǎn)=2m,代入拋物線方程可得xN=m,

由拋物線的定義可知，|NF|=A+I=；/+L

\AB\=|AF|+|BF|+%+2=機（必+%）+4=4川+4.

AB4m2+4

所以而==4

m2+1

故答案為：4.

14.64

3

【分析】若Q=4,/Z=5,根據(jù)三角形面積公式可得AsinA=6,利用sinAWl,得解；若

〃二立人根據(jù)三角形面積公式可得/=？^。0!!^,結(jié)合余弦定理可得

6

b2+c2=4bcsin^A+^,代入運算得解.

31113

【詳解】若a=4,/z=—,由SVABC=—匕csinA=—Q/Z=—x4x—=3,

22222

所以Z?csinA=6Wbc,當(dāng)且僅當(dāng)sinA=l,即A=90°時，取等號，

所以拉？的最小值為6.

h—a，S\,4Rr——besinA=-cix———■Q，尚由—2y［^bcsinA,

6VABC226

由余弦定理得2AsinA=b1+c2-2bccosA，

整理得/+c2=4bc］等sinA+gcosA=4bcsin（A+￡］,

.?.二U=4sin（A+￡］,當(dāng)A=g時，之土且取得最大值4.

be<6J3be

故答案為：6,4.

15.（1）24

⑵0.26

【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率計算求解；

（2）應(yīng)用獨立事件概率乘積公式結(jié)合互斥事件概率和公式計算求解.

【詳解】（1）因為［25,30］的頻率為0.15,且［20,25）的頻率為0.25,

所以加在［20,25）內(nèi)，所以（25-加）x0.05+0.15=02*所以加=24.

（2）對照組較輕的概率為0.15,中等的概率為0.35,較重的概率為0.5；

答案第7頁，共14頁

實驗組較輕的概率為0.2,中等的概率為0.4,較重的概率為0.4；

設(shè)抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級為事件A,

則尸(A)=0.4x(035+0.15)+0.4x0.15=0.26.

所以抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率為026.

16.(1)證明見解析

(2)2M2+3n

【分析】(1)先根據(jù)等差中項列式，再根據(jù)完全平方公式計算化簡，由定義得出等差數(shù)列;

(2)先寫出等差數(shù)列的通項公式，再應(yīng)用抄“｝的分組求和得出凡即可.

【詳解】⑴因為歷是17“與九的等差中項，所以2扃=1-5,+$山

所以S,=l+S“+「2師=(反一『，

因為數(shù)列｛凡｝的各項均為正數(shù)，所以s”＞。，

所以其=6二T，所以6:一￡=1，

所以數(shù)歹U｛后｝是公差為1，首項為￡=苑=1的等差數(shù)列；

(2)因為數(shù)列｛后｝是公差為1,首項為廓=1的等差數(shù)列，

所以V^=l+("T)xl="，

所以=九2,當(dāng)〃=1時，%=1,

22

當(dāng)2時，an=Sn-Sn_x=n-(n-1)=2n-l,

所以=2〃-1,

所以2=(T"G+%)，

T2n=~Si—Q[+5+—S3—Q3+邑+Q4H--FS2rl+Cl2n

=(S2-S1)+(S4-S3)+---+(S2n-S2n_1)-(tz1+&+???+電〃)

—a~2+/+?■,+%〃—(q—?+*'*—生〃)

=一(6+/+??-+出〃―1)+2(%+〃4+???+外〃)

答案第8頁，共14頁

/（q+*）?2「（2+出”）

2一2

〃（1+4〃-3）〃（3+4〃-1）

+2x

22

=一〃（2〃-1）+幾（4幾+2）=2〃2+3〃

17.⑴Y上=1

4

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，求解即可;

（2）設(shè)直線尸。：＞=%（無+D+2,尸（占,％）,聯(lián)立，韋達(dá)定理，然后寫出M、N的

縱坐標(biāo)，證明耳（。,-2）為M,N中點即可.

=4石

1=1

【詳解】（1）由題可得412，解得

b=2

[a2b2

設(shè)直線PQ：y=Mx+l）+2,尸（士,乂），。（尤2,%），由（1）得A（T，O），4（。，-2）

y=k（x+V）+2

聯(lián)立Iy2得（4_左2）/_2左伏+2）x—（左2+4k+8）=0,

X--=1

14

[,、j丁舊4日2女（女+2）—左2—4左一8

韋達(dá)定理得玉+三=,,，%三=———,

4—k24—k

以p=」7,所以直線42：，=/（》+1）,

國+1XI+1

y.k（x+l）+2.2.2

令1=0,得＞“=七=——--同理可得yN=々+-^7，

%+1玉+1%+1x2+1

7272_7_?11%,+x9+2

yM+>N=k---------k,-\-----------2k+2----------1----------2k------------------------

玉+1x2+1（玉+lx2+1Jx,x2+x1+x2+l

答案第9頁，共14頁

W+2)

4—2k2+4k+S-2k2

代入得%+%=2左+2?=2k+2-

_心一妹-821()+2)-k2-4k-8+2k2+4k+4-k2

4-4-+4-k2+

,_4%+82.

=2k+2?---------2k—2k7—4——4,

-4

所以耳(0,—2)為M,N中點，所以

18.(l)tz<l

⑵(i)a>0,(ii)證明見解析

【分析】(1)整理不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分情況研究函數(shù)單調(diào)性，可得答案；

(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)分情況研究函數(shù)單調(diào)性，求得其最值，結(jié)合零點存在性定理，可得答案;

(ii)明確零點的取值范圍，分析整理不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造不等式與函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值，可得答案.

22

【詳解】(1)設(shè)p(x)=/(x)-'+2=e*-1-ax—20),

則//(x)=e￡-<7-x(x20),令q(x)=p'(x),貝可(x)=e"—120,

所以"(x)在［0,+w)上單調(diào)遞增，從而戶(x)2加(。)=1一a.

①當(dāng)1—a'O,即。<1時，p'(x)20,貝在［0,+8)上單調(diào)遞增，從而0(力2°(0)=0,

符合題意；

②當(dāng)1—a<0,即a>l時,y(0)<0,則一定存在%,使得當(dāng)。<x</時,p(x)<0,則p(x)

在(。,%)上單調(diào)遞減，從而。(力<。(0)=0,合題意.

綜上所述，。的取值范圍為(-8』.

(2)(i)由題意知，的定義域為R"'(x)=e=a.

當(dāng)aWO時，尸(尤)>0,所以在R上單調(diào)遞增，

從而〃尤)在R上至多有一個零點.7分當(dāng)。>0時，令-(無)=0,得x=lna.

當(dāng)x<Ina時，/'(%)<。,/(*)在(-00,1皿)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>Ina時，/,(x)>0,/(x)在(lna,+oo)上單調(diào)遞增.

所以x=lna是/'(x)的極小值點，也是最小值點，

答案第10頁，共14頁

即/(x)min=7(lna)=a-3-alna.g(a)=a—3-alna(a>0),則g'(a)=-lna.

所以當(dāng)0VQV1時，g'(a)>O,g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時，g'(a)<0,g(a)在(l,+oo)上單調(diào)遞減,

所以〃=1是g(。)的極大值點，也是g(〃)的最大值點.

即g⑷2=且6=-2<0,從而/(lna)<0.

r2

一方面，由(1)可知，取a=l,當(dāng)時，e%>l+x+一>1+x,BPex>1+x,

2

gpx>ln(l+x),易知當(dāng)龍>-1時,%21n(l+x)也成立.

所以當(dāng)x>0時，x-l>\wc.所以111工4工一1,即hw±l-L

xxxaa

因為/㈢=一一"［一￡|-3=—>0,所以“X)在內(nèi)有一個零點冉.

_丫2

另一方面，由(1)知，e%>l+x+—(x>0).

又lna<a<2a+3(lnaWa-l<a<2a+3),

所以/(2a+3)=e2a+3-4(2〃+3)—3>1+(2。+3)+^^-—〃(2〃+3)—3

「11八

—5QH—>0,

2

所以〃%)在區(qū)間(山。,2。+3)內(nèi)有一個零點吃.

綜上所述，，的取值范圍是(。,+。).

(ii)證明：由/(%)=/(九2)=0，得e"i=Q%I+33為=a/+3,

2x

所以e^-e'=a^x2-x^),即〃二

一3(e%2-ex'

要證3e*+e巧＞3a成立,只需證3e*+e為＞—

x2一百

3eX|+eX2

即證即證…，>------.令％-%=/>0),則產(chǎn)>士.

e"2-e"1e9w-lx,一占e(-lt

即證fe'+3f>3e,一3,即證"7+3>0(*).

t+1v7

答案第11頁，共14頁

所以/?)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增，所以雙。>〃(0)=。，即(*)式成立.

所以不等式3e*+e%2>3〃成立.

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正四面體的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得=進而可求解四面體的體

3

積，利用等體積法可求解球半徑，即可利用球的體積，以及表面積公式求解，

(2)根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合共面的結(jié)論可得工4=丫4=24=：,結(jié)合尤+〉+2=1,即可

求解，

(3)先證明a+b+c+dxO,進而根據(jù)法向量的性質(zhì)以及數(shù)量積可得

(a+b+c+d)AH-fi=dAD