/江西省宜春市宜春中學(xué)、高安二中2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是等比數(shù)列，，則公比等于（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為（

）A．2 B．1 C．－1 D．－24．某種兼職工作雖然以計件的方式計算工資，但是對于同一個人的工資與其工作時間還是存在一定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時間（單位：小時）與工資（單位：元）之間的關(guān)系如表：工作時間24568工資30405070若對的線性回歸方程為，則的值為（

）A．56.5 B．58 C．60 D．62.55．在等差數(shù)列中，前項之和為，最后項之和為，前項之和是，則項數(shù)為（

）A． B． C． D．6．五一放假期間，4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗活動，體驗活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，若2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間，則不同的站法有（

）A．240種 B．192種 C．144種 D．48種7．設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．8．如圖，已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，設(shè)，若構(gòu)成一個公差為等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（

）

A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上任意一點（非長軸的頂點），則下列說法正確的是（

）A．橢圓的焦點坐標(biāo)為B．當(dāng)時，橢圓的離心率為C．當(dāng)時，的周長為D．若橢圓的離心率為，則的面積的最大值是10．已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的有（

）A．若，則；B．若數(shù)列是等差數(shù)列且，則當(dāng)時，取得最大值；C．若數(shù)列是等比數(shù)列，則成等比數(shù)列；D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則.11．如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點為半圓弧上一動點（點與點，不重合），下列說法正確的是（

）A．三棱錐的四個面都是直角三角形B．三棱錐的體積最大值為C．當(dāng)時，異面直線與夾角的余弦值為D．當(dāng)直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中的常數(shù)項是10，則.13．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為14．已知數(shù)列的前項和為則.四、解答題（本大題共5小題）15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2)(3)16．如圖，有直三棱柱.(1)證明：；(2)求二面角平面角的正弦值.17．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的兩點，為坐標(biāo)原點，（i）求邊上的中線所在方程；（ii）直線的斜率之積為，直線的方程.18．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.(3)令，求數(shù)列的前項和.19．在排列組合的學(xué)習(xí)中，我們會遇到一類涂色問題“圓環(huán)涂色”問題（如圖一）：用種顏色給有個區(qū)域（不含最中間區(qū)域）的圓環(huán)涂色，且要求相鄰區(qū)域不同色，用表示完成這一涂色的方法數(shù)

圖一

圖二(1)當(dāng)時，求(2)當(dāng)時，找出的關(guān)系，并求出的通項公式.(3)用種顏色給圖二中個區(qū)域（含最中間區(qū)域）涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，求方法總數(shù).

參考答案1．【答案】C【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，得.故選C.2．【答案】A【詳解】因為，所以，又，所以，故選A.3．【答案】D【詳解】由題意，，所以.故選D.4．【答案】C【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，由線性回歸方程為，，解得.故選C.5．【答案】B【詳解】記數(shù)列的前項和為，因為，上述兩個等式相加可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，可得，由等差數(shù)列的求和公式可得，解得.故選B.6．【答案】B【分析】農(nóng)場主站在中間，先考慮女生所站位置，采用捆綁法，再考慮男生的位置，利用排列知識進(jìn)行求解.【詳解】2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間可分三步完成：第一步：相鄰女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4種；第二步：相鄰女生排在一起有種；第三步：4名男生排在剩下的位置有種.因此2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間共有種站法.故選：B.7．【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，，，，所以.故選D.8．【答案】B【詳解】由橢圓的定義，，，，即，，解得，，設(shè)橢圓的半焦距為，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，，即，解得，即，所以橢圓的離心率.故選B.9．【答案】ACD【詳解】由題意，橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，

對于A，橢圓的焦點坐標(biāo)為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，離心率，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則的周長為，故C正確；對于D，由橢圓的離心率為，得，解得，設(shè)，則的面積，當(dāng)，即點在短軸的頂點時，取得最大值，故D正確.故選ACD.10．【答案】BD【詳解】解：對于A中，因為，當(dāng)時，，兩式相減，可得，當(dāng)時，，不滿足，所以，所以A不正確；對于B中，因為，且，則公差，由，得到，即，所以，故當(dāng)時，取得最大值，所以B正確，對于C中，取，則數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，當(dāng)為偶數(shù)時，，此時不成等比數(shù)列，所以C錯誤，對于D中，因為數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以D正確.故選BD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，四邊形為正方形，為直角三角形；為直徑，為半圓弧上一動點，，為直角三角形；平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，為直角三角形；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面，，為直角三角形；因此，三棱錐的四個面都是直角三角形，故A正確；對于B，過點在平面內(nèi)作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，為三棱錐的高，三棱錐的體積的面積為定值，當(dāng)最大時，三棱錐的體積最大，此時點為半圓弧的中點，，三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；取中點，中點，中點，連接，則，，所以異面直線與的夾角為或其補(bǔ)角，且，又，則，，則，又，則，在中，由余弦定理可得，則異面直線與夾角的余弦值為，故C正確；對于D，由B選項解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，當(dāng)直線與平面所成角最大時，取最小值，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則在直角三角形內(nèi)，，即，，，，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值，直線與平面所成角最大，此時，，，三點均為四棱錐的頂點，平面截四棱錐外接球的截面為的外接圓面，直角三角形外接圓半徑，截面面積，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】二項式展開式的通項為，由，得，于是，所以.13．【答案】【詳解】設(shè)動點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離，設(shè)，求導(dǎo)得，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值為，即的值域為，因此，所以當(dāng)時，點到直線的距離的最小值為.14．【答案】【詳解】由，，可得數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列．對任意正整數(shù)k，；．?dāng)?shù)列的通項公式．則，．15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）.（2）.（3）.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題知面，又面，所以，又面，所以面，又面，所以，又，所以四邊形是正方形，得到，又面，所以平面，又面，所以；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則，得到，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，同理平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，從而二面角的正弦值為.17．【答案】(1)(2)（i）（ii）【詳解】（1）雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則，而，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由消去并整理得，顯然，，邊的中點，所以邊上的中線所在方程為.（ii）由（i）知，則，由直線的斜率之積為，得，即，而，解得，所以直線的方程為18．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，即.是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以由題設(shè)，易知是以1為首項，公差為的等差數(shù)列，（2）由題知，，兩式相減得，；（3），所以.19．【答案】(1)；(2)，；(3).【詳解】（1）由題意，用3種顏色給有4個區(qū)域的圓環(huán)涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，先給涂色，有種方法，接下來，若與同色，則有2種涂色方法，即種；若與不同色，則都只有1種涂色方法，所以，.（2）先考慮的取值：假設(shè)不區(qū)分是否同色，則用種顏色涂這個區(qū)域等價于對以下區(qū)域涂色：因此共有