/江西省撫州市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．2．在數(shù)列中，若，則（

）A．-2 B．4 C．1 D．3．2024年是安徽省實施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是（

）A． B． C． D．4．設(shè)，，隨機變量X的分布列是a則方差（

）A．既與有關(guān)，也與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān) D．既與無關(guān)，也與無關(guān)5．已知等差數(shù)列與的前項和分別為，且，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記為“斐波那契數(shù)列”的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定正確的是（

）

A．的減區(qū)間是B．的增區(qū)間是C．有一個極大值點，兩個極小值點D．有三個零點10．下列說法正確的是（

）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．若，則C．已知，若，則事件M，N相互獨立D．根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.0511．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在三個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時，，則的最小值為D．若方程有兩個實根，則三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與曲線相切，則.13．小王喜愛逛街和吃火鍋．在周末，她下午去逛街的概率為．若她下午去逛街，則晚上一定去吃火鍋；若下午不去逛街，則晚上去吃火鍋的概率為．已知小王在某個周末晚間去吃火鍋，則下午逛街的概率為．14．已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知公差不為0的等差數(shù)列首項，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.16．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)方程在有解，求實數(shù)的范圍.17．已知數(shù)列的首項，且.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.18．某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結(jié)束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機抽取了20位幸運居民進入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運居民的年齡用隨機變量X表示，且．(1)請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；(2)獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設(shè)恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當(dāng)取得最大值時的值．附：若，則．19．已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在與軸的交點處的切線斜率為-1.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時，；(3)證明：當(dāng)時，.

參考答案1．【答案】A【詳解】因為函數(shù),所以,所以.故選：A.2．【答案】B【詳解】因為數(shù)列中，，所以，，，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以.故選：B3．【答案】D【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有種情況，其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有種，因此化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是.故選：D4．【答案】B【詳解】由分布列可得，故.故選：B5．【答案】D【詳解】因為等差數(shù)列與的前項和分別為，且，所以設(shè)，所以.故選：D6．【答案】B【詳解】因為，則，因為函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得，即，可得，設(shè)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故.故選：B.7．【答案】A【詳解】由題意得當(dāng)時，，則，所以，，……，，，所以，所以，所以，因為當(dāng)時，，則，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A8．【答案】C【詳解】由，兩邊同時加，得：.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.由.故選：C9．【答案】BC【詳解】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，錯誤，正確，所以函數(shù)在，時取得極小值，在時，函數(shù)取得極大值，C正確；因為無法確定，，的正負(fù)，從而無法確定函數(shù)的零點個數(shù)，D錯誤.故選：BC10．【答案】BC【詳解】對于A，對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，故A錯誤；對于B，因為，所以正態(tài)曲線的對稱軸為，則，故B正確；對于C，因為，所以，即，則，則事件M，N相互獨立，故C正確；對于D，因為，所以不能根據(jù)作出D中的判斷，故D錯誤；故選：BC11．【答案】BD【詳解】定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對于A，，，，在區(qū)間和內(nèi)各存在一個零點；當(dāng)時，，，恒成立；有且僅有兩個不同的零點，A錯誤；對于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；對于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個解，若當(dāng)時，，則，C錯誤；對于D，方程有兩個實根等價于與有兩個不同交點，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：BD.12．【答案】2【詳解】因為，所以.由，因為，所以切點坐標(biāo)為，因為點在直線上，所以.故答案為：213．【答案】/【詳解】設(shè)其周末晚間去吃火鍋的概率為，下午去逛街的概率為，則，，則.故答案為：.14．【答案】【詳解】點到直線的距離，則，又，由知，和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，其值域為，又，令，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為對任意的，都有恒成立，所以，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得解得或（舍）∴；（2），，此時；

，，，，所以.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），由解得，或，所以的單調(diào)增區(qū)間為，；（2），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，，所以，若方程在有解，則.17．【答案】(1)(2)證明見詳解.【詳解】（1）因為，所以，即，將上述個式子相乘得，所以，當(dāng)時，成立，故.（2）由（1）得，所以，所以，即.18．【答案】(1)159(2)取得最大值時n的值為8【詳解】（1）因為，所以，則，所以現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)大約為(人)．（2）依題意可得，，設(shè)，所以，所以所以，因為整數(shù)，所以，所以當(dāng)取得最大值時的值為8．19．【答案】(1)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）