四、一元線性回歸模型的預(yù)測(cè)應(yīng)用

(一)分析自變量解釋力分析自變量對(duì)因變量的解釋力可以從兩個(gè)層次進(jìn)行，即有無(wú)解釋力和有多大的解釋力。分析的方法有許多種，這里從兩個(gè)層次僅介紹方差分析和決定系數(shù)兩種方法，前者可用于有無(wú)解釋力的分析，后者可用于解釋力強(qiáng)弱的判斷。

1．回歸方差分析自變量對(duì)因變量有無(wú)解釋力，一般可以運(yùn)用方差分析的方法(即F檢驗(yàn))對(duì)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。方差分析以總離差平方和的分解為基礎(chǔ)，以F分布表確定的臨界值為標(biāo)準(zhǔn)，檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相關(guān)的顯著性。

變差因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來(lái)源于兩個(gè)方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，變差的大小可以通過(guò)該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差

來(lái)表示誤差的分解(圖示)xyy

誤差平方和的分解(三個(gè)平方和的關(guān)系)

SST=SSR+SSE總平方和(SST){回歸平方和(SSR)殘差平方和(SSE){{離差平方和(或稱總離差平方和)由剩余平方和、回歸平方和所構(gòu)成，用符號(hào)表示如下：即總離差平方和(Lxy)＝剩余平方和(Q)+回歸平方和(U)剩余平方和又稱殘差平方和，它反映自變量x對(duì)因變量y的線性影響之外的一切因素(包括x對(duì)y的非線性影響和測(cè)量誤差等)對(duì)因變量y的作用?；貧w平方和反映在總離差平方和之中，由于x與y的線性關(guān)系而引起因變量y變化的部分。

例5仍以例11表8．9中的資料為例，給定顯著性水平α＝0．05，已知回歸系數(shù)b＝0．8122，n＝8，對(duì)某地居民購(gòu)買(mǎi)商品支出與其貨幣收入建立回歸模型的方差分析如下：將以上的計(jì)算結(jié)果列入方差分析表，見(jiàn)表8．12。對(duì)于給定的顯著性水平α＝0．05，查F分布表得臨界值：變量之間的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的，有95％的把握程度說(shuō)明自變量工對(duì)因變量y有解釋力。

由于，故可以認(rèn)為兩2．模型優(yōu)劣判斷方差分析可以說(shuō)明自變量對(duì)因變量有無(wú)解釋力的問(wèn)題，如果說(shuō)自變量對(duì)因變量有解釋力，那么究竟有多大的解釋力呢，或者說(shuō)因變量的變化有多少可以通過(guò)自變量的變化得到解釋呢?通?？梢岳脹Q定系數(shù)進(jìn)行分析。其計(jì)算公式為：在已經(jīng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)廠的條件下，很容易得到?jīng)Q定系數(shù)戶的值。如例1l某地居民購(gòu)買(mǎi)商品支出與其貨幣收入的相關(guān)系數(shù)r＝0.9980，則其決定系數(shù)r2=0.9960。它說(shuō)明在居民購(gòu)買(mǎi)商品支出的總變差中，99.60%可以用其貨幣收入的變化來(lái)解釋；未被解釋的0.40％是由于其他原因所致。

(二)測(cè)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤也稱估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差或剩余標(biāo)準(zhǔn)差，是回歸直線隨機(jī)離差的均方根，反映以回歸直線為中心的各觀察值與其估計(jì)值之間的平均離差程度。它是回歸模型的誤差分析指標(biāo)，從另一方面顯示回歸模型擬合的優(yōu)劣狀況。其計(jì)算公式為：一元線性回歸模型

(基本假定)x=x3時(shí)的E(y)x=x2時(shí)y的分布x=x1時(shí)y的分布x=x2時(shí)的E(y)x3x2x1x=x1時(shí)的E(y)

0xyx=x3時(shí)y的分布

0+1x(三)運(yùn)用模型預(yù)測(cè)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，一般都是用大樣本來(lái)分析研究問(wèn)題(教材舉例中用小樣本僅是為了節(jié)省篇幅)，即樣本容量通常在30個(gè)以上。按照誤差為正態(tài)分布的原理，當(dāng)樣本容量n≥30時(shí)，我們可以做出以下假定：y的觀察值在對(duì)應(yīng)的每個(gè)估計(jì)值夕周圍都是正態(tài)分布，所有的正態(tài)分布都具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，由樣本數(shù)據(jù)求出估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤如以后，可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積查對(duì)表，以一定的概率和精確度對(duì)總體回歸值做出區(qū)間估計(jì)。

置信區(qū)間、預(yù)測(cè)區(qū)間、回歸方程xpyx

x預(yù)測(cè)上限置信上限預(yù)測(cè)下限置信下限§4多元回歸與曲線回歸分析一、多元線性回歸模型

多元回歸分析是以多元回歸模型研究多個(gè)自變量與一個(gè)因變量的相互關(guān)系，從而推算或預(yù)測(cè)因變量的未知值或未來(lái)值。多元回歸分析有多元線性回歸分析和多元曲線回歸分析，這里主要介紹多元線性回歸分析。它是一元線性回歸分析的擴(kuò)充，其基本原理與一元線性回歸分析相同，但具體操作過(guò)程要繁瑣得多。

一般地，如果有n個(gè)自變量xl，x2，…，xn與一個(gè)因變量y呈線性相關(guān)，則可建立n元線性回歸模型：如果有兩個(gè)自變量x1和x2與一個(gè)因變量y呈線性相關(guān)，則可建立二元線性回歸模型：如果有三個(gè)自變量xl，x2和x3與一個(gè)因變量y呈線性相關(guān)，則可建立三元線二、復(fù)相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗(yàn)如前所述，相關(guān)系數(shù)是說(shuō)明現(xiàn)象之間線性相關(guān)方向和相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，無(wú)論是兩變量的相關(guān)系數(shù)還是多變量的相關(guān)系數(shù)，其基本公式為：為了區(qū)別起見(jiàn)，通常把一元線性相關(guān)系數(shù)稱為單相關(guān)系數(shù)，把二元及更多元的線性相關(guān)系數(shù)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)。

三、多元線性回歸分析的應(yīng)用與一元線性回歸(也稱單回歸)分析一樣，當(dāng)我們建立了多元線性回歸(也稱復(fù)回歸)模型