專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：三角形面積（定值問題） 3題型二：四邊形面積（定值問題） 6題型三：三角形面積（最值，范圍問題） 8題型四：四邊形面積（最值，范圍問題） 11三、專項(xiàng)訓(xùn)練 13一、必備秘籍1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A，，長軸的長為4．過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A，求的面積．2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．求的面積.3．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．4．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知雙曲線C：的上、下焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足，求的面積．5．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，若，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．42．（23-24高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．63．（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，若和的面積分別為8和4，則的面積為（

）A．32 B．16 C． D．84．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線：，：的焦點(diǎn)分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點(diǎn)A，B，若，則四邊形的面積為.5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形為矩形，求四邊形的面積.7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知離心率為的雙曲線經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)如圖，點(diǎn)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，為原點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值.題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知A，B是橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記AM的斜率為，BN的斜率為，且．(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)記的面積為，的面積為，求的最大值．2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長為，點(diǎn)在上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長的最大值；(3)過的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）雙曲線：，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，(1)求證：(2)若雙曲線實(shí)軸長為4，虛軸長為2，過分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍．4．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．6．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過F與垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(2)證明：直線過定點(diǎn)；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線，過該曲線上的點(diǎn)作不平行于坐標(biāo)軸的直線交雙曲線的右支于另一點(diǎn)，作直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，(1)求雙曲線方程．(2)證明：直線過定點(diǎn).(3)當(dāng)?shù)男甭蕿樨?fù)數(shù)時(shí)，求四邊形的面積的取值范圍．2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)．求四邊形的面積的最小值．3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過且斜率非負(fù)的直線與的左?右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.4．（23-24高二上·湖南長沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．5．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA，PB與拋物線E分別交于C，D兩點(diǎn)，C，D恰好為PA，PB的中點(diǎn)．設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N．(1)證明：軸；(2)若點(diǎn)P為半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．162．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，右支上一點(diǎn)滿足，直線平分，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C．10 D．4．（2024·江西宜春·一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為5，則△PAB的面積為（

）A．75 B． C． D．6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．187．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓分別與軸相切于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為、，且，則的面積為．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測）過橢圓C：（）上的動(dòng)點(diǎn)P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點(diǎn)分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最小值是.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0，若，則的面積為．11．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為P，且，過雙曲線C上一點(diǎn)Q作兩漸近線的平行線分別交漸近線于M，N兩點(diǎn)，則四邊形OMQN的面積為.12．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知橢圓的長軸長為4，離心率．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求與的面積之比的取值范圍．13．（23-24高二下·湖南永州·階段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.(1)證明：直線的斜率為定值；(2)求面積的最大值.14．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.15．（2024·陜西西安·二模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且虛軸長為2．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值．16．（23-24高二下·甘肅天水·開學(xué)考試）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且