/2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月檢測一數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A B. C. D.2.如圖，在三棱臺中，從中取3個點確定平面，若平面平面，且，則所取的這3個點可以是（）A. B. C. D.3.已知圓錐側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B. C. D.4.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.65.空中有一氣球（近似看成一個點），其在地面的射影是點，在點的正西方點測得它的仰角為，同時在點的南偏東的點，測得它的仰角為，若兩點間的距離為266米，那么測量時氣球到地面的距離是（）A.米 B.米 C.266米 D.米6.在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點連接形成的幾何體.它由八個正三角形和六個正方形圍成（如圖所示），若它的棱長為2，則下列說法錯誤的是（）A.該二十四等邊體的外接球的表面積為B.該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式C.直線與的夾角為60°D.平面8.某地開展植樹造林活動，擬測量某座山的高．勘探隊員在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，他沿著坡角為的斜坡向上走?00米后到達(dá)，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋O(shè)山高為，若在同一鉛垂面，且在該鉛垂面上位于直線的同側(cè)，則（）A.米 B.米C.米 D.米9.下列說法正確的是（）A.若，，則可作為平面向量的一組基底B.若，都是非零向量，且，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D.若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是10.如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（）A.M，N，A，B四點共面 B.直線與平面相交C.直線和所成的角為 D.平面和平面的夾角的正切值為211.已知復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則三．填空題（共3小題，每題5分，共15分.）12.三棱錐高為，若三個側(cè)面兩兩垂直，則為的______心.13.廈門一中為提升學(xué)校食堂服務(wù)水平，組織全校師生對學(xué)校食堂滿意度進行評分，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分（滿分100分）作為樣本，在這200個樣本中，所有學(xué)生評分樣本的平均數(shù)為，方差為，所有教師評分樣本的半均數(shù)為，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，若，抽取的學(xué)生樣本多于教師樣本，則總樣本中學(xué)生樣本的個數(shù)至少為______．14.如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長為且，若平面上存在點，使得的面積為，則線段長度的最小值為______．四．解答題（共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）.（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求的取值范圍.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，底面，點E在棱上.（1）求證：平面；（2）若，點E為的中點，求二面角的余弦值.17.如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.（1）求證：直線平面；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值.18.在某抽獎活動中，初始時袋子中有3個除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅．每次隨機抽取一個小球后放回．抽獎規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球為中獎，抽中白球為未中獎；若抽到白球，放回后把袋中的一個白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài)．記第n次抽獎中獎的概率為．（1）求，；（2）若存在實數(shù)a，b，c，對任意的不小于4的正整數(shù)n，都有，試確定a，b，c的值，并證明上述遞推公式；（3）若累計中獎4次及以上可以獲得一枚優(yōu)勝者勛章，則從初始狀態(tài)下連抽9次獲得至少一枚勛章的概率為多少？19.在中，．為邊上一點，為邊上一點，交于．（1）若，求；（2）若，求和的面積之差．2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月檢測一數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)加法的法則進行求解即可.【詳解】，，故選：B2.如圖，在三棱臺中，從中取3個點確定平面，若平面平面，且，則所取的這3個點可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得出平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，當(dāng)平面時，有，從而可得出正確選項.【詳解】由于幾何體是三棱臺，則，又平面，平面，所以，平面，當(dāng)平面，平面平面時，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，選項C符合要求.故選：C.3.已知圓錐側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)題意可求得母線l，底面半徑r，根據(jù)勾股定理，可求得圓錐的高h(yuǎn)，代入體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐母線長為lcm，底面半徑為rcm，如圖所示，由題意得：，所以母線cm，所以側(cè)面展開半圓的弧長為cm，所以底面圓的周長為，即，所以底面半徑cm，所以該圓錐的高cm，所以圓錐的體積.故選：C4.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合基本不等式和可得，即可求解.【詳解】因為，由余弦定理可得，則，則，又，所以，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最大值為．故選：B．5.空中有一氣球（近似看成一個點），其在地面的射影是點，在點的正西方點測得它的仰角為，同時在點的南偏東的點，測得它的仰角為，若兩點間的距離為266米，那么測量時氣球到地面的距離是（）A.米 B.米 C.266米 D.米【答案】A【解析】【分析】設(shè)米，利用直角三角形的性質(zhì)得米，米，在中，由余弦定理建立方程求解即可.【詳解】設(shè)米，由題意知：平面，平面，平面，所以，又，則米，米，在中，由余弦定理得：，即，即，解得，故測量時氣球到地面的距離是米.故選：A6.在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別取的中點，可得是異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），在中，由余弦定理求解即可.【詳解】分別取的中點，連接，所以，所以異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），即，設(shè)，所以，，所以在中，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.7.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點連接形成的幾何體.它由八個正三角形和六個正方形圍成（如圖所示），若它的棱長為2，則下列說法錯誤的是（）A.該二十四等邊體的外接球的表面積為B.該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式C.直線與的夾角為60°D.平面【答案】D【解析】【分析】將二十四等邊體補齊成正方體，根據(jù)空間幾何相關(guān)知識進行判斷.【詳解】由已知，補齊二十四等邊體所在的正方體如圖所示記正方體體心為，取下底面中心為，二十四等邊體的棱長為2易知，則外接球半徑所以外接球的表面積，故A正確.由歐拉公式可知：頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)2，故B正確.又因為∥，易知直線與的夾角即為直線與的夾角為，故C正確.又因為∥，∥，易知直線與直線的夾角為可知直線與直線不垂直，故直線與平面不垂直，故D錯誤.故選：D8.某地開展植樹造林活動，擬測量某座山的高．勘探隊員在山腳測得山頂?shù)难鼋菫椋刂陆菫榈男逼孪蛏献吡?00米后到達(dá)，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋O(shè)山高為，若在同一鉛垂面，且在該鉛垂面上位于直線的同側(cè)，則（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用三角形的性質(zhì)，再根據(jù)正弦定理列式，即可求解.【詳解】由題意可知，，，，在中，，，由正弦定理得，即，，所以米.，故選：B9.下列說法正確的是（）A.若，，則可作為平面向量的一組基底B.若，都是非零向量，且，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D.若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是【答案】BD【解析】【分析】對于A，由基向量不共線即可判斷；對于B，由向量的模的公式計算可得，即可判斷；對于C，兩向量夾角為銳角，要考慮數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，即即可判斷；對于D，利用在上的投影向量定義計算即得.【詳解】對于A項，因，故不能作為平面向量的一組基底，即A項錯誤；對于B項，由兩邊平方，，即，則，故B項正確；對于C項，依題意與的夾角為銳角，則，解得且，故C項錯誤；對于D項，在上的投影向量為，故D項正確.故選：BD.10.如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（）A.M，N，A，B四點共面 B.直線與平面相交C.直線和所成的角為 D.平面和平面的夾角的正切值為2【答案】BCD【解析】【分析】A：連接，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；B：為中點，連接，易得，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；C：若分別是中點，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大??；D：若分別是中點，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可.【詳解】A：連接，如下圖面，而面，面，所以M，N，A，B四點不共面，錯誤；B：若為中點，連接，N為棱的中點，由長方體性質(zhì)知：，顯然面，若面，而面，顯然有矛盾，所以直線與平面相交，正確；C：若分別是中點，連接，由長方體性質(zhì)易知：，而，故，即直線和所成的角為，由題設(shè)，易知，即△為等邊三角形，所以為，正確；D：若分別是中點，顯然，易知共面，所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，而面面，長方體中，，如下圖，為和面夾角的平面角，，正確.故選：BCD11.已知復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】舉例說明判斷AD；利用復(fù)數(shù)運算及共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的意義計算判斷BC.詳解】對于A，取，，而，A錯誤；對于B，設(shè)，，由，得，，B正確；對于C，由及已知得，設(shè)，，解得，則，C正確；對于D，取，，而，D錯誤.故選：BC三．填空題（共3小題，每題5分，共15分.）12.三棱錐的高為，若三個側(cè)面兩兩垂直，則為的______心.【答案】垂【解析】【分析】先用反證法證明平面PBC，再由面面垂直和線面垂直的判定和性質(zhì)定理證明，同理可證，，即可判斷.【詳解】如圖：首先證明平面PBC.若不然，在平面PAB中，過作于，因為平面平面PBC，平面平面PBC，平面，所以平面PBC.（AM不同于AP）在平面PAC中，過作于，因為平面平面PBC，平面平面PBC，平面，所以平面PBC.（AN不同于AP）這樣，過點A有兩條不同直線AM，AN垂直于平面PBC，這是不可能的.所以假設(shè)不成立，平面PBC得證.同理，由三個側(cè)面兩兩垂直，得平面，平面PAB，因為平面，平面ABC，所以．①因為平面，平面PBC，所以．②由①②及，，平面APH，所以平面APH．又平面APH，所以.同理可證，，所以為的垂心.故答案為：垂13.廈門一中為提升學(xué)校食堂的服務(wù)水平，組織全校師生對學(xué)校食堂滿意度進行評分，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分（滿分100分）作為樣本，在這200個樣本中，所有學(xué)生評分樣本的平均數(shù)為，方差為，所有教師評分樣本的半均數(shù)為，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，若，抽取的學(xué)生樣本多于教師樣本，則總樣本中學(xué)生樣本的個數(shù)至少為______．【答案】160【解析】【分析】假設(shè)在樣本中，學(xué)生、教師的人數(shù)分別為，利用平均數(shù)公式可得出，利用方差公式結(jié)合已知條件可得出，令得，由結(jié)合已知條件可求得的取值范圍，從而可得答案.【詳解】假設(shè)在樣本中，學(xué)生、教師的人數(shù)分別為，記樣本中所有學(xué)生的評分為，所有教師的評分為，由得，所以，所以，即，令，則，，即，解得或，因為且，得，所以.所以總樣本中學(xué)生樣本的個數(shù)至少為160.故答案為：160.14.如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長為且，若平面上存在點，使得的面積為，則線段長度的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，進而，由三角形的面積公式可得，即可求解.【詳解】在中，，則，又平面，平面平面，所以平面，連接，，所以，得，設(shè)（），則，即，得，當(dāng)即即時，取到最小值1，此時取到最小值.故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計算得到、，而，即為所求.四．解答題（共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）.（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，實部等于零，虛部不等于零，列出條件解出即可;根據(jù)條件，虛數(shù)的實部小于零，虛部大于零，列出條件解出即可.【小問1詳解】因為是純虛數(shù)，所以解得故的值為；【小問2詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由題意可得.解得，即的取值范圍是.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，底面，點E在棱上.（1）求證：平面；（2）若，點E為的中點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，因為為菱形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，連接，則平面，由平面，平面，平面，得，故即為二面角的平面角，在菱形中，，所以，又，所以，由點E為的中點，得，所以為等腰三角形，在內(nèi)過點E作高，垂足為H，則，所以，即二面角的余弦值為.17.如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.（1）求證：直線平面；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)和交于點，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）由線面垂直可得線線垂直，再由菱形對角線垂直可得線面垂直，即可得證；（3）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【小問1詳解】設(shè)和交于點，連接，如圖，由于，分別是，中點，故，∵平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】在四棱柱中，底面是菱形，則，又平面，且平面，則，∵平面，平面，∴平面.平面，∴.【小問3詳解】連接，，因為，是中點，所以，因為平面，平面，所以，∴為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.18.在某抽獎活動中，初始時的袋子中有3個除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅．每次隨機抽取一個小球后放回．抽獎規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球為中獎，抽中白球為未中獎；若抽到白球，放回后把袋中的一個白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài)．記第n次抽獎中獎的概率為．（1）求，；（2）若存在實數(shù)a，b，c，對任意的不小于4的正整數(shù)n，都有，試確定a，b，c的值，并證明上述遞推公式；（3）若累計中獎4次及以上可以獲得一枚優(yōu)勝者勛章，則從初始狀態(tài)下連抽9次獲得至少一枚勛章的概率為多少？【答案】（1），（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式計算即可；（2）分別求出第一次中獎，第次抽獎中獎的概率，第一次未中獎而第二次中獎，第次抽獎中獎的概率，前兩次均未中獎，第次抽獎中獎的概率，即可得解；（3）由題意知每抽三次至少有一次中獎，故連抽次至少中獎次，故只需排除次中獎的情況即可獲得一枚優(yōu)勝者勛章，另外，每兩次中獎的間隔不能超過三次，每次中獎后袋中的球會回到初始狀態(tài)，分別從初始狀態(tài)開始，抽一次中獎的概率，從初始狀態(tài)開始抽兩次，第一次未中獎而第二次中獎的概率，從