2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬03一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：.故選:D2.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布推出，根據(jù)公式先計(jì)算出、，由此分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯(cuò)誤；D中，，故D正確.故選：C3.離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出，得到答案.【詳解】由題意得，解得，，解得，故.故選：B4.元宵節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，當(dāng)天人們會(huì)吃湯圓、賞花燈、猜燈謎.小華爸爸手里有6個(gè)燈謎，其中4個(gè)事物謎，2個(gè)字謎，小華隨機(jī)抽取2個(gè)燈謎，事件A為“取到的2個(gè)為同一類燈謎”，事件B為“取到的2個(gè)為事物謎”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，所以，故選：B.5.某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，得到如圖的“心形線”.觀察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】，，所以軸下方的圖象為函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故排除CD；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，時(shí)，函數(shù)圖象上每點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)先變小，再增大，故排除B，只有A正確.故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于或等于0，即可求解.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.7.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420【答案】C【解析】【分析】由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題求解.【詳解】(1)當(dāng)5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當(dāng)5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當(dāng)5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C8.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項(xiàng)和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.24 B.26 C.29 D.36【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知等比數(shù)列求得其前項(xiàng)和，代入，整理得到，要求中的整數(shù)項(xiàng)，需使的最末位是1或6，列出數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)，即得的值.【詳解】依題意，題中的等比數(shù)列為，故該數(shù)列前項(xiàng)和，則，要使數(shù)列中只取得整數(shù)項(xiàng)，需使是5的正整倍數(shù)即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的數(shù)列的項(xiàng)依次為：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，故故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知對(duì)任意的，，下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)和的意義計(jì)算判斷AC；分析判斷BD.【詳解】數(shù)列中，對(duì)任意的，，，，AC正確；由，知的值無(wú)法確定，則通項(xiàng)也無(wú)法確定，BD錯(cuò)誤.故選：AC10.已知的展開式中第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且各項(xiàng)系數(shù)的和為0，則（）A.B.的展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)C.的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512D.除以9的余數(shù)為8【答案】BD【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的概念和組合數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合有理項(xiàng)的概念，根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)可判斷選項(xiàng)B；由偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合二項(xiàng)式定理可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由的展開式中第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可得：，由組合數(shù)的對(duì)稱性可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0，所以令可得：，解得：.則的二項(xiàng)式通項(xiàng)為.由為整數(shù)可得：，所以的展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)檎归_式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)樗猿?的余數(shù)為8，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）．A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù)，使得成立D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則．【答案】BD【解析】【分析】求導(dǎo)后討論單調(diào)性可判斷A；求導(dǎo)后討論的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷B；利用常數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得的單調(diào)性可判斷C；利用極值點(diǎn)偏移問題的解法求解，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由，得，由于分子判別式小于零，所以恒成立，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，可得，令，則，令，則，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，即有，，即為，化為，故，所以，則，設(shè)（），可得，令，則在上恒成立，可得，所以，故單調(diào)遞增，可得，故成立，故D正確．故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)與零點(diǎn)可用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后再結(jié)合具體函數(shù)值分析；（2）對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問題可分離參數(shù)后求導(dǎo)，分析單調(diào)性再求參數(shù)的范圍；（3）極值點(diǎn)平移問題，先構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，再賦值，最后可得三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某座山，若從東側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，從西側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，那么游客從上山到下山共有______種不同的走法【答案】25【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算作答.【詳解】依題意，游客上山有5種方法，下山有5種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理知，從上山到下山方法共有種，所以游客從上山到下山共有25種不同的走法.故答案為：2513.某公司定期對(duì)流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，以此來(lái)判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為________．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】0.84##【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，有，結(jié)合原則即可求解.【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為.故答案為：0.84.14.若曲線有兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求曲線過(guò)坐標(biāo)的切線方程，再列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線斜率，切線方程為，又因?yàn)榍芯€過(guò)，所以，整理得，又曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已如曲線在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.【小問1詳解】由于的斜率為，所以，又,故，解得，【小問2詳解】由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16.在某詩(shī)詞大會(huì)的“個(gè)人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從8個(gè)不同的題目中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答．已知這8個(gè)題目中，選手甲只能正確作答其中的6個(gè)，而選手乙正確作答每個(gè)題目的概率均為0.8，且甲、乙兩位選手對(duì)每個(gè)題目作答都是相互獨(dú)立的．（1）求選手甲恰好正確作答2個(gè)題目的概率；（2）記選手乙正確作答的題目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果在抽取的3個(gè)題目中答對(duì)2個(gè)題目就可以晉級(jí)，你認(rèn)為甲、乙兩位選手誰(shuí)晉級(jí)的可能性更大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）選手乙，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意選手甲需要從能正確作答其中的6個(gè)的題目中正確作答2個(gè)題目，在剩余的2個(gè)不會(huì)的題目中答1個(gè)，再求解概率即可；（2）由題意得，，再根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)求解分布列與數(shù)學(xué)期望即可；（3）分別計(jì)算甲乙兩人答對(duì)2或3個(gè)題目的數(shù)學(xué)概率進(jìn)行判斷即可.【小問1詳解】設(shè)事件A為“選手甲正確作答2個(gè)題目”，則．故選手甲恰好正確作答2個(gè)題目的概率為．【小問2詳解】由題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512∴．【小問3詳解】設(shè)選手甲正確作答的題目個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以認(rèn)為選手乙晉級(jí)的可能性更大．17.在公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的應(yīng)用建立關(guān)于d的方程，解之即可求解；（2）由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為d（），由，得，即．由成等比數(shù)列可得，即，解得或（舍去），所以，故．【小問2詳解】由（1）得，所以．18.有甲、乙兩個(gè)不透明的罐子，甲罐有3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，球除顏色外大小完全相同．某人做摸球答題游戲．規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內(nèi)隨機(jī)摸出一球，然后答題．若答題正確，則將該球放入乙罐；若答題錯(cuò)誤，則將該球放回甲罐．此人答對(duì)每一道題目的概率均為．當(dāng)甲罐內(nèi)無(wú)球時(shí)，游戲停止．假設(shè)開始時(shí)乙罐無(wú)球．（1）求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個(gè)的概率；（2）設(shè)第次答題后游戲停止的概率為．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①，②存在，最大值【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)題意可得，即可利用作商求解單調(diào)性，即可求解最值.【小問1詳解】記“此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅、黑各一個(gè)球”，“第次摸出紅球，并且答題正確”，；“第次摸出黑球，并且答題正確”，；“第次摸出紅球或黑球，并且答題錯(cuò)誤”，，所以．又；；，所以．同理：所以．【小問2詳解】①第次后游戲停止的情況是：前次答題正確恰好為4次，答題錯(cuò)誤次，且第次摸出最后一球時(shí)答題正確．所以．②由①知，所以．令，解得；，解得．所以，所以的最大值是．19.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的極大值為，無(wú)極小值.（2）答案見解析（3）．【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的最值，結(jié)合函數(shù)圖像求實(shí)數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.處取得極大值，的極大值為，無(wú)極小值.【小