2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中仿真模擬試卷01數(shù)學(xué)（新高考九省聯(lián)考題型）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知在四面體中，為的中點，，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，因為為的中點，，且，.故選：D.2．若4名教師報名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動，可以從A，B，C這3個學(xué)校中選報1個，則不同的報名方式有（）A.16種 B.24種 C.64種 D.81種【答案】D【解析】每位教師報名都有3種選擇，則4名教師報名方式有（種）.故選：D.3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968【答案】C【解析】由正態(tài)分布的對稱性可知,所以，故選：C4．設(shè)、，向量，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.5．某學(xué)校高三（）班要從名班干部（其中名男生，名女生）中選取人參加學(xué)校優(yōu)秀班干部評選，事件男生甲被選中，事件有兩名女生被選中，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，事件男生甲與兩名女生被選中，則，因此，故選：B.6．2023年3月，某校A，B，C，D，E，F(xiàn)六名同學(xué)參加了中學(xué)生地球科學(xué)奧林匹克競賽，均在比賽中取得優(yōu)異成績，現(xiàn)這6名同學(xué)和他們的主教練共7人站成一排合影留念，則主教練和A站在兩端，B、C相鄰，B、D不相鄰的排法種數(shù)為（）A.36 B.48 C.56 D.72【答案】D【解析】分2步進行分析：第一步：主教練和A站在兩端，有種情況；第二步：中間5人分2種情況討論：若B、C相鄰且與D相鄰，有種安排方法；若B、C相鄰且不與D相鄰，有種安排方法，則中間5人有種安排方法，故共有種不同的安排方法．故選：D．7．若函數(shù)與函數(shù)有相等的極小值，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由對勾函數(shù)可知：在時取到極小值，對于，則有：當(dāng)時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值，不合題意；當(dāng)時，，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.故選：B.8．長方體中，，，為側(cè)面內(nèi)的一個動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，必有，，，，設(shè)，而，，由題意得，故，得，故，故，，易知面法向量，故，若最大，則最大，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，最大，此時，，此時最大，且，顯然A正確.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.有且僅有兩個極值點B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為或D.可能有四個零點【答案】AC【解析】根據(jù)的圖象，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，所以A正確；而B錯誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，或，解得或，所以C正確；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可知函數(shù)的圖象與軸最多有三個交點，所以D錯誤.故選：AC10．如圖，由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為2．則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接，與交點為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為2，所以，，點坐標(biāo)為，所以，對于A：，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設(shè)與平面所成角為，則，所以，故C正確；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點到平面的距離為，故D正確；故選：BCD．11．一個不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球?兩個白球，從中不放回地任取2個球，每次取1個.記事件為“第次取到的球是紅球”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨立【答案】BCD【解析】對于A，與可以同時發(fā)生，即兩次取到的都是紅球，則與不互斥，故A錯誤；對于B，箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球、兩個白球，則，故B正確；對于C，，，則，故C正確；對于D，，，，則有與相互獨立，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項為______【答案】【解析】根據(jù)題意可得，解得，則展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為：.故答案為：13.若定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為______【答案】【解析】構(gòu)造，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，不等式可化為，即，所以，所以原不等式的解集為.故答案為：14.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線l的方程為，則直線l的一個方向向量是__________，直線l與平面所成角的余弦值為__________．【答案】①.②.##【解析】因為平面的方程，不妨令，可得，所以過點，設(shè)其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個法向量為，經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知.（1）求的值；（2）求展開式中項的系數(shù).【答案】（1）；（2）240.【解析】（1）因所以即所以（2）由（1）得中，所以中，，所以，所以，所以系數(shù)為.16．某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、英語共6節(jié)課．（1）如果數(shù)學(xué)和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？（2）語文必須排第一課，物理和數(shù)學(xué)不能排一起，則不同的排法有多少種？（3）如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排法？（4）如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續(xù)上），則共有多少種不同的排法？（5）原定的6節(jié)課已經(jīng)排好，學(xué)校臨時通知要增加生物、化學(xué)、地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）【答案】（1）240；（2）72；（3）484；（4）120；（5）504.【解析】（1）第一步，先將數(shù)學(xué)和語文排在一起，有種排法；第二步，將數(shù)學(xué)和語文看成一個整體，與歷史、物理、體育、英語一起全排，有種排法，所以，數(shù)學(xué)和語文必須排在一起共有種排法.（2）第一步，先排語文，有1種排法；第二步，將歷史、體育、英語排成一排，有種排法；第三步，在第二步產(chǎn)生的4個空位中插入物理和數(shù)學(xué)，有種排法.所以，總的排法有種排法.（3）第一類，第一節(jié)排數(shù)學(xué)，其余五節(jié)任意排，有種排法；第二類，第1步，從歷史、語文、物理、英語中選一科排在第一節(jié)，有4種排法，第2步，再從剩下的4個學(xué)科（不包括數(shù)學(xué)）中選一科排在最后一節(jié)，有4種排法，第3步，中間4節(jié)任意排，有種排法，所以，總排法有.綜上，滿足條件的排法有種.（4）數(shù)學(xué)、語文、英語的上課順序共有種，滿足條件的順序只有1種，故滿足條件的排法有種.（5）第一步，先在7個空位中選擇一個空位排生物，有7種；第二步，在排入生物之后產(chǎn)生的8個空位選擇一個空位排化學(xué)，有8種；第三步，在排入化學(xué)之后產(chǎn)生的9個空位選擇一個空位排地理，有9種.所以，總的排法有種.17．已知函數(shù)在處取得極大值．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知令得或，當(dāng)時，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取得極大值不符；當(dāng)，即時，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.18．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；（1）證明：無論取何值，總有；（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；（3）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)時，取得最大值，此時，（3）不存在點使得平面與平面所成的二面角為【解析】（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1）∵,，∴，所以無論取何值，.（2）∵是平面ABC的一個法向量.∴∴當(dāng)時，取得最大值，此時，，.（3）假設(shè)存在，則，設(shè)是平面的一個法向量.則得，令，得，，∴，∴，化簡得(*)，∵，∴方程（*）無解∴不存在點使得平面與平面所成的二面角為.19．2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市．為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學(xué)校進行研究，得到如圖數(shù)據(jù)：（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)校可以作為“基地學(xué)?！保F(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選出3所，記X為可作為“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在這10所學(xué)校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校中恰有一所參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，抽到學(xué)校中恰有一所學(xué)?！皢伟寤背^30人的概率；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，小明同學(xué)3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到3次，那么理論上至少要進行多少輪測試？【答案】（1）分布列見解析，（2）（3）12輪【解析】（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)校有4所，則X的可能取值為0，1，2，3．．所以X的分布列為：X0123P所以．（2）由題可知，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學(xué)校，且參加“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人的學(xué)校為C、G，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人，且參加“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校為D、I，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參加“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校為A、B、E、H，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參加“單板滑雪”的人數(shù)